离散数学讲义
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义与意义离散数学的定义离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的基本概念集合逻辑函数图论1.3 离散数学的研究方法形式化方法归纳法构造法第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念与运算集合的定义与表示方法集合的运算（并、交、差、补）2.2 逻辑基本概念命题与联结词逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）2.3 命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑的形式化表示与推理谓词逻辑的形式化表示与推理第三章：函数与图论3.1 函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性3.2 图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）3.3 树的基本概念与应用树与图的关系树的结构性质与应用（二叉树、堆、平衡树）第四章：组合数学4.1 组合数学的基本概念排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）4.2 组合数学的计算方法直接法、间接法、递推法、函数法4.3 组合数学在计算机科学中的应用算法设计与分析（动态规划、贪心算法）程序语言中的组合类型（类型系统、类型检查）第五章：数理逻辑与计算复杂性5.1 数理逻辑的基本概念命题逻辑的数学模型（布尔代数、逻辑函数）谓词逻辑的数学模型（一阶逻辑、描述逻辑）5.2 计算复杂性的基本概念与分类计算复杂性的定义与度量（时间复杂性、空间复杂性）计算复杂性的分类（P与NP问题、整数分解问题）5.3 离散数学在算法设计与分析中的应用算法设计与分析的基本原则离散数学在算法优化与分析中的作用第六章：关系与映射6.1 关系的基本概念关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）6.2 关系的闭包与简化关系的闭包概念关系的简化与规范化6.3 函数与二元关系函数与关系的联系与区别二元组与二元关系的应用第七章：代数结构7.1 代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用7.2 群与群作用群的定义与运算群作用与群同态7.3 环与域环的定义与性质域的特殊性质与应用第八章：数理逻辑与计算理论8.1 数理逻辑的进一步应用命题逻辑与谓词逻辑的推理规则数理逻辑在计算机科学中的应用8.2 计算理论的基本概念计算模型的定义与分类计算复杂性的理论基础8.3 离散数学在计算理论中的应用计算理论中的逻辑与证明离散数学在算法设计与分析中的作用第九章：组合设计与计数原理9.1 组合设计的基本概念组合设计的定义与类型组合设计在编码理论中的应用9.2 计数原理的基本概念鸽巢原理、包含-排除原理函数的方法与应用9.3 图论与网络流图的遍历与路径问题网络流与最优化问题第十章：离散数学的综合应用10.1 离散数学在计算机科学中的应用算法设计与分析数据结构与程序语言设计10.2 离散数学在数学与应用数学中的作用组合数学在概率论与数论中的应用图论在网络科学与社会网络分析中的应用10.3 离散数学在未来科技发展中的展望量子计算与离散数学与逻辑推理重点和难点解析重点环节一：集合的基本概念与运算集合的表示方法（列举法、描述法）集合的运算（并、交、差、补）重点环节二：逻辑基本概念与推理命题与联结词（且、或、非）逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）重点环节三：函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性重点环节四：图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）重点环节五：组合数学的基本概念与计数原理排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）重点环节六：关系与映射关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）重点环节七：代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用重点环节八：数理逻辑与计算理论数理逻辑的推理规则计算理论的基本概念（计算模型、计算复杂性）重点环节九：组合设计与计数原理组合设计的定义与类型计数原理的应用（鸽巢原理、包含-排除原理）重点环节十：离散数学的综合应用离散数学在计算机科学中的应用（算法设计与分析、数据结构与程序语言设计）离散数学在数学与应用数学中的作用（组合数学在概率论与数论中的应用、图论在网络科学与社会网络分析中的应用）全文总结和概括：本《离散数学教案》课件涵盖了离散数学的基本概念、逻辑推理、函数与图论、组合数学、数理逻辑与计算理论、组合设计与计数原理等多个重要环节。
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展：一、古老历史：计数：自然数发展：图论：Konigsberg七桥问题二、年青新生：计算机：二进制运算离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法：强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用参考教材：1、离散数学（耿素云，屈婉玲，北大版）2、离散数学（方世昌，西安电子科大版）3、离散数学结构（第三版、影印版）（Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross，清华版）4、离散数学提要与范例（阮传概、卢友清，北京广播学院版）第一章命题逻辑（Proposition Logic）1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学：研究推理的一门学科数理逻辑：用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容：古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑：逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition)：一个有确定真或假意义的语句。
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
《离散数学》讲义(胡盛)
小结
合式公式（命题公式）及其判定 自然语言的翻译（符号化形式）
列出原子命题，并符号化 不同的原子命题使用不同的符号，符号使用最少 选择合适的联结词，根据命题表达的真实含义，而不 拘泥于形式
离散数学
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1-3 命题公式与翻译
P12(3)(5)ad(7)
离散数学
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
(PQ) (PQ) T F F T
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1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
定义1-5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对 应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真公 式。 例如：表1-4.4
明天下雨
2. 我们去看电影
房间里有十张凳子
二元运算
离散数学 17
1-2 联结词
析取(),其定义可用如下真值表表示
P T T F Q T F T PQ T T T 今天我在家看电视或去剧场看戏
她可能是100米或400米赛跑的冠军
他昨天作了二十或三十道习题 可兼或
F
F
F
排斥或
二元运算
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它可以是有意义的一般论证，也可以是科学理论中的数学证 明或结论。建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规 则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这 些规则，通常称为推理规则。
离散数学
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左孝凌离散数学PPT课件
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学讲义第2章
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2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
《离散数学教案》课件2
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义介绍离散数学的概念和特点强调离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的重要性解释离散数学在算法设计、编程和计算机科学其他领域的应用强调离散数学对于解决问题和逻辑思维的重要性1.3 离散数学的基本概念介绍集合、图、逻辑、组合等基本概念解释这些概念在离散数学中的作用和相互关系第二章：集合论2.1 集合的基本概念定义集合、元素、集合之间的关系介绍集合的表示方法：列举法和描述法2.2 集合的运算介绍集合的并、交、差、补等基本运算解释集合运算的性质和规律2.3 集合的推理和公理化介绍集合论的基本公理和公理化体系解释集合论的公理化意义和作用第三章：逻辑与布尔代数3.1 逻辑的基本概念定义逻辑联结词、命题、真值表等基本概念介绍逻辑推理和论证的基本方法3.2 布尔代数的基本概念介绍布尔代数的基本元素和运算解释布尔代数在计算机科学中的应用3.3 逻辑与布尔代数的关系解释逻辑和布尔代数之间的联系和转化举例说明逻辑表达式和布尔代数表达式的相互转化第四章：图论4.1 图的基本概念定义图、顶点、边等基本概念介绍图的表示方法和图的类型4.2 图的运算和性质介绍图的连通性、路径、圈等基本概念解释图的运算和性质的应用和意义4.3 图的应用介绍图在计算机科学中的应用：算法设计、网络结构等举例说明图的应用实例和解决实际问题的方法第五章：组合数学5.1 组合数学的基本概念定义组合、排列、组合数等基本概念介绍组合数学的基本原理和方法5.2 组合计数原理介绍排列组合计数原理及其应用解释组合计数原理在离散数学中的重要性5.3 图着色和组合优化问题介绍图着色问题的定义和解决方案举例说明组合优化问题及其解决方法第六章：算法设计与分析6.1 算法的基本概念定义算法、输入、输出、有效性和可读性等基本概念解释算法在解决问题中的重要性6.2 算法设计技术介绍常用的算法设计技术：贪心法、分而治之、动态规划等解释每种技术的应用场景和特点6.3 算法分析与复杂性介绍算法分析和时间复杂度、空间复杂度的概念解释常用算法分析方法和评价标准第七章：数理逻辑与命题逻辑7.1 数理逻辑的基本概念介绍数理逻辑中的基本概念：命题、联结词、逻辑运算等解释数理逻辑在计算机科学中的应用7.2 命题逻辑的推理规则介绍命题逻辑中的推理规则：蕴含式、否定式、De Morgan定律等解释这些规则在逻辑推理中的应用和意义7.3 数理逻辑与计算机科学解释数理逻辑在计算机科学中的重要作用：编程语言、形式验证等举例说明数理逻辑在计算机科学中的应用实例第八章：集合论与数理逻辑的应用8.1 集合论在计算机科学中的应用介绍集合论在计算机科学中的应用：数据结构、数据库等解释集合论在计算机科学中的重要性和作用8.2 数理逻辑在计算机科学中的应用介绍数理逻辑在计算机科学中的应用：形式语言、编译原理等解释数理逻辑在计算机科学中的重要性和作用8.3 集合论和数理逻辑在其他领域的应用介绍集合论和数理逻辑在其他领域的应用：数学、哲学等解释集合论和数理逻辑在其他领域的重要性第九章：图论的应用9.1 社交网络与图论介绍社交网络中的图论应用：网络结构、关系分析等解释图论在社交网络分析中的作用和意义9.2 路径与圈的应用介绍路径和圈在图论中的应用：最短路径、环路检测等解释路径和圈在解决实际问题中的重要性9.3 网络流与匹配问题介绍网络流和匹配问题的定义和解决方案解释网络流和匹配问题在计算机科学中的应用第十章：组合数学的应用10.1 组合数学在计算机科学中的应用介绍组合数学在计算机科学中的应用：数据存储、编码理论等解释组合数学在计算机科学中的重要性和作用10.2 组合优化问题介绍组合优化问题的定义和解决方案解释组合优化问题在离散数学中的重要性和应用10.3 组合数学在其他领域的应用介绍组合数学在其他领域的应用：生物学、经济学等解释组合数学在其他领域的重要性第十一章：离散数学与计算机科学11.1 离散数学与算法强调离散数学在算法设计和分析中的作用解释如何使用离散数学工具解决算法问题11.2 离散数学与数据结构探讨离散数学在数据结构设计中的应用解释离散数学概念如何帮助优化数据结构11.3 离散数学与编程语言讨论离散数学在编程语言设计和实现中的角色举例说明离散数学在编程语言特性中的应用第十二章：离散数学与实际应用12.1 离散数学与网络科学介绍离散数学在网络科学中的应用解释图论和其他离散数学概念在网络结构和分析中的重要性12.2 离散数学与密码学探讨离散数学在密码学中的核心作用解释离散数学如何帮助设计和分析密码系统12.3 离散数学与讨论离散数学在领域的应用解释离散数学在知识表示、推理和问题解决中的作用第十三章：离散数学的实践项目13.1 离散数学项目的设计与实施介绍如何设计离散数学实践项目强调项目实施的重要性和方法13.2 离散数学项目的案例分析分析成功的离散数学项目案例从中提炼经验教训，为今后的项目提供参考13.3 离散数学项目的评价与反馈讨论离散数学项目评价的标准和方法强调项目反馈在持续改进和学习中的重要性第十四章：离散数学与数学逻辑14.1 离散数学与数理逻辑探讨离散数学与数理逻辑的紧密联系解释数理逻辑在离散数学问题求解中的作用14.2 离散数学与模型论介绍模型论及其在离散数学中的应用解释模型论在形式系统验证和解释中的重要性14.3 离散数学与计算理论讨论离散数学在计算理论中的应用强调计算理论在理解计算过程和设备中的价值第十五章：离散数学的未来发展15.1 离散数学的新兴研究领域介绍离散数学新兴研究领域和发展趋势强调跨学科合作在离散数学研究中的重要性15.2 离散数学在新技术中的应用探讨离散数学在云计算、大数据等新技术中的应用解释离散数学在未来信息技术发展中的关键作用15.3 离散数学教育的挑战与机遇讨论离散数学教育面临的挑战和机遇强调离散数学教育在培养创新人才中的重要性重点和难点解析重点：1. 离散数学的基本概念和特点2. 集合论、逻辑、图论和组合数学的核心理论和方法3. 离散数学在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构、网络科学、密码学等4. 离散数学实践项目的设计、实施和评价5. 离散数学教育的挑战与机遇难点：1. 集合论、逻辑、图论和组合数学的高级理论和复杂应用2. 算法设计和分析中的数学建模与优化3. 离散数学在跨学科领域中的应用，如生物学、经济学等4. 离散数学教育中的教学方法和策略设计5. 离散数学研究的前沿领域和未来发展趋势希望本文的重点和难点解析能对学习离散数学的教案有所帮助。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
06离散数学课件资料
2024/7/3
离散数学
10
二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。
离散数学讲稿
• 谓词逻辑： 一、基本概念 为什么研究谓词逻辑 . 例: 1、李华是大学生 H(l) 2、王芳是大学生 H(w) 3、松树是植物 谓词：描述个体性质的部分. 个体：被描述的对象 . 命题逻辑最小单位是原子命题 (大写字母表谓词)… 谓词字母 谓词逻辑可以分为谓词和个体 (大写字母表个体)…客体 谓词：①命题的逻辑形式 H(w) H—谓词 w—客体 ②复合命题的谓词形式 “a是P且b是Q” ——P(a)∧Q(b) “若a是P则b是Q“——P(a)Q(b) “a是P当且仅当b为Q”——P(a)Q(b)
5、间接证明法：（反证法） 相容（一致性）：若H1、H2 …… Hm皆为前提且存在一组真值 指派使得H1、H2 …… Hm皆为T，则称H1、H2 …… Hm为相容的 或一致的，否则不相容的或非一致. 定理 : 设前提集合 {H1、H2 …… Hm}是相容并且设C是一个公式, 若前提集合{H1、H2 …… Hm、 C }是不相容的,即它蕴含着一个 永假式 , 则可从前提集合{H1、H2 …… Hm}推出来. 证明：≧ H1∧H2∧……∧Hm∧ C R∧ R ≨ H1∧H2∧……∧Hm∧ C为永假式 又≧前提集合{H1、H2 …… Hm}是相容 . ≨使得H1∧H2∧……∧Hm为T的那些真值指派 , 使得 C为F , 则C为T, 因此 , H1∧H2∧……∧Hm C
例: Q (PQ) 证明: Q (PQ) Q ( P∨Q) Q∨ P∨Q T ≨ Q P Q 推理的方法证明:前提蕴含结论的正确性. 推理的规则 : Ⅰ、前提引用规则：P在任何推理步骤上皆可引用前提. Ⅱ、结论引用规则：T在任何推理步骤所得到结论在后续推理 步骤中皆可引用. Ⅲ、臵换规则：E1~E24 Ⅳ、代入规则； Ⅴ、推理的定理(CP)： 若H1∧H2∧……∧Hm∧Q R 则有 H1∧H2∧……∧Hm QR Ⅵ、基本蕴含式可使用：I1 ~ I14 例（略）
《离散数学》讲义 - 3
离散数学
2
1、集合概念及表示
（1）集合 ①概念 一般地说，把具有相同性质的一些东西，汇集成 一个整体，就形成一个集合。 例如：教室内的桌子；全国的高等学校；自然数的 全体；直线上的点。 ②分类 有限集：集合的元素个数是限的。 无限集：集合的元素个数是无限的。
离散数学 3
（2）表示
①集合：A～Z；元素（集合中的事物）：a～z。 ② I 元素a属于集合A， 记作：aA II 元素a不属于集合A， 记作：aA
离散数学
8
（2）应用
定理3-1.1 集合A和B相等的充分必要条件是这两 个集合互为子集。
离散数学
9
4、真子集
定义3-1.3 如果集合A的每一个元素都属于B，但 集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真 子集。 记作：AB。 即：AB(AB)(AB) AB(x)(xAxB)(x)(xBxA)
离散数学 46
（2）相等
定义3-4.1 两个序偶相等， <x,y>=<u,v>,iff x=u,y=v。 注意： ①序偶<a,b>中的两个元素可以属于不同的集合， 可代表不同类型的事物。 ②在序偶<a,b>中，a称第一元素，b称第二元素。
离散数学
47
（3）推广
三元组是一个序偶，其第一元素也是一个序偶。 形如： <<x,y>,z> <<x,y>,z>=<<u,v>,w>,iff<x,y>=<u,v>,z=w 即：x=u,y=v,z=w。 约定：三元组<<x,y>,z>记作<x,y,z> 注意： 当xy时，<x,y,z><y,x,z> <<x,y>,z><x,<y,z>> 其中：<x,<y,z>>不是三元组。 同理：四元组第一元素是三元组 四元组：<<x,y,z>,w> 四元组相等： <<x,y,z>,w>=<<p,q,r>,s> (x=p)(y=q)(z=r)(w=s)
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学(第四版)讲义2
第9章树[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]第二章一阶逻辑（Predicate Logic）1、一阶逻辑基本概念2、一阶逻辑公式及解释3、一阶逻辑等值式1、一阶逻辑基本概念前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容，其基本组成单位是原子命题。
一般地，原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组成。
例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，这里“电子商务”是主语，而“是……”是谓语。
当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题：电子政务是计算机技术的一个应用系统。
由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语用来描述该个体的性质或个体间的关系，这里我们称其为谓词。
用P表示谓词“是……”。
则P（电子商务）或P（电子政务）分别等值于前述两个命题的表达。
将个体用变量（称为个体变量）x推广，则P(x)表示：x是计算机技术的一个新的应用系统。
这时该语句就不是一个命题，而是一个命题函数。
DEFINITION 1.一个谓词P连同相关的n(n≥0)个个体变量组成的表达式称为n元谓词(n-predicate)，记P(x1, x2, …, x n)，其中n是该表达式中不同个体变量的数目。
EXAMPLE 1设P(x)表示语句“x > 3.”，则P(4)和P(2)的真值是多少?P(4) = 1P(2) = 0EXAMPLE 2设Q(x, y)表示语句“x = y + 3.”，则Q(1, 2) 和Q(3, 0)的真值是多少?Q(1,2) = 0Q(3,0) = 1EXAMPLE 3设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?R(1, 2, 3)= 1R(0, 0, 1)= 0当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。
例如，P(x,y,z)表示x位于y与z之间，是一个三元谓词。
当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值为1。
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
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课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
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0
0
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0
1
0
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0
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NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
7
什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
12
1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
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1-1 命题及其表示法（续）
习惯上，命题用小写字母p，q，r，…， 或用带下标小写字母表示。
例如：
命题p：中国人们是伟大的。 命题q：别的星球上有生物。 命题p1：1+101=102（在十进制或二进制数范围内）。 命题P2：今天下雨。 命题r：我去看电影。
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1-1 命题及其表示法（续）
判断下列句子哪些是命题？
棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的
乐趣。
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希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽 曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英 国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架 关于数学游戏和数学谜的书。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基 础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多 思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思 考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
• 太阳明天会出来。
是命题，它的真值是唯一确 定的，只是目前人们不知道
是命题，它的真值是唯一确 定的，到明天就知道了。
再次注意：命题是具有唯一真值的陈述句。
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我正在说谎
悖论(paradox)是一种矛盾命题。悖论是自相矛盾的命题。 即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立； 反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个 命题成立。
• 地球是圆的。
是命题，真值为T
• 2+3=5
是命题，真值为T
• 2+3=6 • 你会讲英语吗？ • 3-x=5
是命题，真值为F 不是命题（疑问句不是命题）。 不是命题，它的真值不确定。
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1-1 命题及其表示法（续）
判断下列句子哪些是命题（续）？
• 请关上门！
不是命题，祈使句不是命题。
• 除地球外的星球 有生物。
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例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天 他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问 题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他 就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡 子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人， 按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾
paradox来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一 想”。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部
分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有
强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣
味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分
析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插
基本内容是：命题逻辑（演算）和 谓词逻辑（演算）。
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第一章 命题逻辑
命题演算是数理逻辑的基本组成部分，是谓词演算的基础。 本章包括以下内容：
1-1 命题及其表示法 1-2 连结词 1-3 命题公式及翻译 1-4 真值表与等价公式 1-5 其它连结词 1-6 对偶与范式 1-7 重言式与蕴涵式 1-8 推理理论 1-9 应用
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什么是离散数学？
本课程将学习数理逻辑、集合论以 及图论、代数系统的部分内容。
数理逻辑的重点是公式演 算 与推理证明；集合论的重点是关系 理论与映射的描述；图论则着重于 讨论结点之间的关系以及图论方法 的各种实际应用。
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课程内容
第一篇
数理逻辑
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第一篇 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理 过程的科学。主要是指引进一套符 号体系的方法，因此数理逻辑一般 又叫符号逻辑。
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
考核方式：
闭卷笔试
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课程要求
（1）上课认真听讲 （2）课后及时复习 （3）独立、认真地完成作业 （4）有问题及时提出，不要积累问题
6
什么是离散数学？
• 是研究离散对象和它们之间的关系 的现代数学。
• 它为计算机科学中的数据结构、编 译理论、操作系统、算法分析、人 工智能等提供了必要的数学知识。
离散数学讲义（电子版）
Discrete Mathematics
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月