三角函数应用专题
三角函数的实际应用
三角函数的实际应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅仅是理论上的概念，在日常生活中也有着广泛的实际应用。
三角函数的实际应用涉及到多个领域，包括物理、工程、天文学以及计算机图形等。
本文将介绍三角函数在这些领域中的一些实际应用案例，并探讨其重要性和影响。
一、物理应用1. 弹簧振动弹簧振动是物理学中常见的现象，它是由于弹性体受到外力作用而发生的周期性振动。
三角函数可以用来描述弹簧振动的运动规律。
根据胡克定律，弹簧振动的恢复力与其伸长长度成正比。
这个关系可以用正弦函数表示，即 F = k*sin(ωt)，其中 F 表示恢复力，k 表示弹性系数，ω 表示角频率，t 表示时间。
通过三角函数的表达，我们可以计算出弹簧振动的周期、频率等重要参数，进而研究和分析弹簧振动的性质，为相关实验和工程设计提供依据。
2. 交流电路在电学中，交流电路是一种重要的电路类型。
三角函数可以用来描述交流电路中电压和电流的变化情况。
正弦函数被广泛应用于交流电路的分析和计算中。
例如，正弦波电压在时间上的变化可以用 V(t) = Vm * sin(ωt) 表示，其中 V(t) 表示时间 t 时的电压值，Vm 表示电压的最大值，ω 表示角频率。
通过使用三角函数，我们可以计算交流电路中的功率、相位差等重要参数，从而更好地理解和设计电路。
二、工程应用1. 建筑设计在建筑设计中，三角函数被广泛地应用于计算和测量。
例如，三角函数可以用来计算建筑物的高度、倾斜度以及角度等信息。
在进行建筑物定位和测量时，使用三角函数可以通过测量某个点与两个已知点之间的距离和角度，推导出该点的准确位置和方向。
这对建筑师和工程师来说是非常重要的，它们可以基于这些计算结果进行建筑物的合理布局和设计。
2. 机械运动机械运动是工程学中的一个重要领域，三角函数在机械运动中具有广泛的应用。
例如，在机械设计中，三角函数可以描述旋转运动的速度和加速度，帮助工程师分析和计算各种机械零件的运动特性。
三角函数的应用专项训练
三角函数的应用专项训练姓名：__________班级：__________评价：__________一、单选题（共8小题）1. 已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos等于( )A. －B. －C.D.2. 已知α∈，sinα＝，则tanα等于( )A. －B. 2C.D. －23. 若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A. B. － C. D. －4. 函数f(x)＝(0<x<π)的大致图象是( )A. B. C. D.5. 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A. f(x)＝|cos 2x|B. f(x)＝|sin 2x|C. f(x)＝cos|x|D. f(x)＝sin|x|7. 已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R.若曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f(x)的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 3π8. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、多选题（共5小题）9. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. ω＝B. ω＝C. φ＝D. A＝510. 已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称C. 函数y＝f(x)在上单调递减D. 该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin11. 将曲线y＝sin2x－sin(π－x)sin上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)的图象关于直线x＝对称B. g(x)在[0，π]上的值域为C. g(x)的图象关于点对称D. g(x)的图象可由y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到12. 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则下列结论中正确的是( )A. f(x)的一个周期为－2πB. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称C. x＝是f(x)的一个零点D. f(x)在上单调递减13. 对于函数f(x)＝给出下列四个命题，其中为真命题的是( )A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C. 该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称D. 当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤三、填空题（共4小题）14. y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ＝________.15. 设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.16. 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向________平移________个单位长度．17. 在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE的长为________．四、解答题（共4小题）18. 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．20. 如图为电流强度I与时间t的关系式I＝A sin(ωt＋φ)的图象．(1)试根据图象写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A sin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝200米，BC＝400米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L(θ)＝ME＋MN.(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数L(θ)的定义域；(2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．1. 【答案】A【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－.2. 【答案】A【解析】因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－1-sin2α＝－＝－，所以tanα＝＝－.3. 【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为α∈(0，π)，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝.4. 【答案】B【解析】因为f(x)＝，＝＝＝＝|cos x|，所以，其在(0，π)上的大致图象为B选项中的图象.5. 【答案】B【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin 的图象．6. 【答案】A【解析】选项A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故选项A正确；选项B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故选项B不正确；选项C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故选项C不正确；选项D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故选项D不正确．7. 【答案】D【解析】将函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R化简，可得f(x)＝sin.曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，令f(x)＝1，则ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2kπ，k∈Z.设距离最小的相邻交点的横坐标分别为x1，x2，∴－＝ω(x2－x1)，∴x2－x1＝＝，解得ω＝，∴y＝f(x)的最小正周期T＝＝3π.8. 【答案】B【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.9. 【答案】ACD【解析】由函数的图象可得A＝5，周期T＝＝11－(－1)＝12，∴ω＝.再由“五点法”作图可得×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝.故选ACD.10. 【答案】ABC【解析】由函数的图象可得A＝2，由·＝－，得ω＝2.再由最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，得φ＝，得函数f(x)＝2sin，故选项D正确；当x＝－时，f(x)＝0，不是最值，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，不等于零，故选项B错误；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选项C错误.11. 【答案】ABD【解析】y＝sin2x－sin(π－x)sin＝＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴g(x)＝sin＋，对于选项A，当x＝时，x－＝，∴g(x)关于直线x＝对称，故选项A正确；对于选项B，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin∈，∴g(x)∈，故选项B正确；对于选项C，当x＝时，x－＝0，g＝，∴g(x)关于点对称，故选项C错误；对于选项D，y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＋＝cos ＋＝sin＋＝g(x)的图象，故选项D正确．12. 【答案】ABC【解析】∵函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，∴f(x)＝sin＝sin，∴f(x)的一个周期为－2π，故选项A正确；∵y＝f(x)＝sin，∴y＝f(x)的图象的对称轴方程满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴当k＝－2时，y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项B正确；由f(x)＝sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴x＝是f(x)的一个零点，故选项C正确；当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，故选项D错误．13. 【答案】CD【解析】由题意知函数f(x)＝画出f(x)在x∈[0，2π]上的图象，如图所示，由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，故A选项错误；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故B选项错误；由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，故C选项正确；在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故D选项正确.14. 【答案】－或【解析】函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－.当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.15. 【答案】3＋【解析】由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.16. 【答案】左【解析】方法一：y＝sin＝cos＝cos＝cos.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．方法二：y＝cos 2x＝sin＝－sin＝－sin2，y＝sin＝－sin2.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．17. 【答案】【解析】根据题意，设BE＝m，由sin∠EPB＝，得PE＝3m，cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝cos(π－2∠PEB)＝－cos 2∠PEB＝1－2cos2∠PEB＝，由翻折特点可得B′E＝BE＝m.又AE＝2－m，在Rt△B′AE中，cos∠B′EA＝＝，解得m＝，所以PE＝3m＝.18. 【答案】解(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝232cosx+12sinx＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，∴函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.19. 【答案】解(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin x cos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cosθ＋＝，所以cosθ＝，因为θ∈，所以sinθ＝－√1−cos2θ1-cos2θ＝－，所以sin 2θ＝2sinθcosθ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝－.20. 【答案】解(1)由题图知，A＝300，T＝－＝，∴ω＝＝100π.∵－＝－，∴φ＝＝，∴I＝300sin(t≥0)．(2)问题等价于T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.21. 【答案】解(1)在矩形ABCD中，∵B，E关于MN对称，∠BNM＝θ，∴∠AME ＝2θ，∠MEN＝，且BM＝ME.在Rt△AEM中，AM＝ME cos 2θ＝BM cos 2θ.又∵AM＋BM＝200(米)，∴BM cos 2θ＋BM＝200，∴BM＝ME＝＝，∴Rt△EMN中，MN＝＝.∴L(θ)＝ME＋MN＝＋在Rt△BMN中，BN＝MN cosθ＝，∵0<BM<200,0<BN<400，∴函数L(θ)的定义域为.(2)L(θ)＝ME＋MN＝＋＝＝.令t＝sinθ，∵θ∈，∴t∈，令φ(t)＝－t2＋t＝－2＋，当t＝时，φ(t)取最大值，最大值为，此时θ＝，L(θ)取最小值．∴L(θ)的最小值为400 米，此时θ＝.第11页共11页。
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用非常广泛，以下是一些具体的例子：
1. 导航和测量：在地理学和导航系统中，三角函数被广泛用于确定位置和导航路线。
例如，使用正弦函数可以计算出一个船只或飞机相对于地平线的高度，而使用余弦函数可以帮助计算两地之间的距离和方位角。
2. 音乐学：在音乐学中，三角函数也有重要的应用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的波动，音乐中的音调和和弦也可以用三角函数来表示。
3. 光学：在光学中，三角函数被广泛应用于描述和计算光线的传播、折射和反射。
我们可以利用三角函数来计算出反射镜或折射体中光线的角度和路径。
4. 建筑和工程：在建筑和工程中，三角函数常用于测量高度、距离和角度。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、角度和结构的稳定性。
5. 航海和航空：航海员和飞行员使用三角函数来计算船舶或飞机的位置、航向和速度。
三角函数也用于制定航线和导航系统。
6. 电磁学：电磁学中常用交流电，而交流电可以用三角函数（特别是正弦函数和余弦函数）来描述。
此外，复数函数常用正弦函数和余弦函数的复变函数表示。
7. 日常生活：在现实生活中存在大量具有周期性变化的现象，比如农业中筒车中盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系、物理中
的简谐运动等。
这些都可以借助三角函数来描述。
总的来说，三角函数在生活中的应用非常广泛，几乎无处不在。
三角函数的应用题练习题(基础)
三角函数的应用题练习题(基础)题目1: 三角函数的高度应用某个人站在一座高楼的窗户旁，离地面的距离是20米。
该人仰望斜顶角度为30度的楼顶，试计算楼顶的高度是多少米？答案：首先，我们可以利用正弦函数来解决这个问题。
正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边。
按照这个定义，我们可以得到以下方程：sin(30度) = 对边/20米对方程进行求解，我们可以得到：对边 = 20米 * sin(30度)利用计算器，我们可以得到：对边 = 10米因此，楼顶的高度是10米。
题目2: 三角函数的距离应用一辆汽车正在沿着直路行驶。
从汽车起点到终点的直线距离为1000米。
汽车行驶的角度与直线路线的夹角为45度。
试计算汽车实际行驶的距离是多少米？答案：对于这个问题，我们可以使用余弦函数来求解。
余弦函数定义为：cos(θ) = 临边/斜边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：cos(45度) = 临边/1000米对方程进行求解，我们可以得到：临边 = 1000米 * cos(45度)利用计算器，我们可以得到：临边 = 707.106米因此，汽车实际行驶的距离是707.106米。
题目3: 三角函数的速度应用一艘船以20米/秒的速度顺水行驶。
河流的流速为10米/秒，且方向与船垂直。
试计算船在水中实际的速度是多少米/秒？答案：对于这个问题，我们可以使用正切函数来求解。
正切函数定义为：tan(θ) = 对边/临边。
应用于这个问题，我们可以得到以下方程：tan(θ) = 10米/秒 / 20米/秒对方程进行求解，我们可以得到：tan(θ) = 0.5利用计算器，我们可以得到：θ = 26.565度因此，船在水中实际的速度是约为26.565米/秒。
三角函数的8种性质及应用专题讲解
三角函数的8种性质及应用专题讲解本文将讲解三角函数的8种性质及应用。
三角函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用领域。
1. 正弦函数的性质及应用正弦函数是三角函数中的一种，记作sin(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正弦函数的应用包括：- 在物理学中，用于描述振动和波动现象；- 在工程学中，用于计算交流电流的变化。
2. 余弦函数的性质及应用余弦函数是三角函数中的一种，记作cos(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
余弦函数的应用包括：- 在几何学中，用于计算角度和距离；- 在工程学中，用于计算交流电压的变化。
3. 正切函数的性质及应用正切函数是三角函数中的一种，记作tan(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正切函数的应用包括：- 在静力学中，用于计算物体的平衡条件；- 在通信工程中，用于计算信号的传输角度。
4. 余切函数的性质及应用余切函数是三角函数中的一种，记作cot(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余切函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算电流和电阻之间的关系；- 在金融学中，用于计算利率和本金的关系。
5. 正割函数的性质及应用正割函数是三角函数中的一种，记作sec(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
正割函数的应用包括：- 在工程学中，用于计算电路的电流和电压之间的关系；- 在测量学中，用于计算角度和边长的关系。
6. 余割函数的性质及应用余割函数是三角函数中的一种，记作csc(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余割函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算声波和光波的频率；- 在经济学中，用于计算供应和需求之间的关系。
7. 三角函数的诱导公式及应用三角函数的诱导公式是将一个三角函数表达为其他三角函数的组合形式。
利用诱导公式，可以简化三角函数的运算。
三角函数的诱导公式的应用包括：- 在数学证明中，用于简化复杂的三角函数表达式；- 在物理学和工程学中，用于计算复杂波动的特性。
专题01 三角函数的实际应用(解析版)
一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos cb A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =BA sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot ab A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边AC(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l =。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。
例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.8【解答】解：如图，延长AB 交水平线于M ，作FN ⊥CM 于N ，延长DE 交AM 于H ．:i h l=hlα在Rt△CFN中，∵＝，CF＝20米，∴FN＝BM＝12米，CN＝16米，∴DH＝CM＝16+8＝24米，在Rt△ADH中，AH＝DH•tan50.2＝24×1.2＝28.8米，∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM＝BM＝28.8+2﹣12＝18.8米，故选：C．2．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．3．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24【解答】解：根据题意可知：∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴DN＝2米，CN＝4.8米，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，∴tan∠ADG＝，∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，解得AB＝21.6（米），答：碧津塔AB的高约为21.6米．故选：B．5．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米【解答】解：如图，延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，由题意得：CD＝26米，BC＝EF＝9米，BF＝CE，在Rt△CDE中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CE＝10米，ED＝24米，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，FD＝EF+ED＝33米，∠ADF＝52°，∴AF＝FD•tan52°≈33×1.28＝42.24（米），∴AB＝AF﹣BF＝42.24﹣10≈32.2（米）；即建筑物AB的高度为32.2米；故选：D．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．276【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F，则四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝36（米），FG＝CH，在Rt△CDH中，CD＝260米，CH：DH＝1：2.4，∴CH＝100（米），DH＝240（米），在Rt△BCF中，CF＝36米，BF：CF＝1：2.4，∴BF＝15（米），FG＝CH＝100（米），∴DG＝DH+HG＝276（米），AG＝AB+BF+FG＝244（米），∵tan27°＝≈0.5，即≈，解得：DE≈212（米），故选：B．9．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x （m），由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得：x＝，∴DF＝BG＝3x＝（m），EF＝0.40（40+4x）＝（m），∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；故选：B．10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.6【解答】解：作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，设FG＝5x，则EG＝12x，∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，∵∠CAM＝45°，∴AM＝CM＝（24+12x）米，∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，∵∠CBN＝61°，∴tan∠CBN＝＝，∴x＝，∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．故选：C．11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米【解答】解：如图所示：延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，得矩形ABMG、DHEG，设DH＝x，则HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．故选：B．12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD⊥BC于点D，∵扶梯AB的坡度i＝3：4，∴，设BC＝3x米，则AC＝4x米，∵AP＝8米，QP＝1.5米，∴DQ＝（4x+8）米，BD＝（3x﹣1.5）米，∵∠BQD＝18°，tan∠BQD＝，tan18°≈，∴≈，解得x＝2.5，∴BC＝3x＝7.5，∵点B到顶部的距离是2.3米，∴点C到顶部的距离是2.3+7.5＝9.8（米），即点P到顶部的距离是9.8米，故选：B．13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．14．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝50米，∴BG＝30（米），AF＝CG＝40（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，∴EF＝tan53°•CF＝1.3x（米），∵DE＝15米，∴1.3x﹣x＝15，∴x＝50，∴DF＝50米，∴AD＝AF+DF＝40+50＝90（米），故选：D．15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．21【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，∵∠DBC＝60°、CD＝8，∴BD＝＝＝16，∵AB的坡度i＝tan∠ABQ＝，∴∠ABQ＝∠EAB＝60°，∴∠ABD＝60°，∴PD＝BD sin∠ABD＝16×＝8，BP＝BD cos∠ABD＝16×＝8，∵∠EAD＝15°，∴∠DAP＝∠BAE﹣∠EAD＝45°，∴PA＝PD＝8，则AB＝AP+BP＝8+8，∴AQ＝AB cos∠ABQ＝（8+8）×＝4+12≈19，故选：B．16．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：则四边形BHGC为矩形，∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，∵斜坡CD的坡度是＝，∴设CG＝3x米，则DG＝4x，由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1，∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），在Rt△AHE中，tan∠AEH＝＝tan62°≈1.88，∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），故选：B．17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈205.7，∴AB＝205.7（米），故选：C．18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝BD+DF＝3+x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x≈0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15（米），∴OE＝3.15+1.2＝4.35≈4.4（米），故选：C．19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，∵i＝1：2.4，AB＝26m，∴设BN＝x，则AN＝2.4x，∴AB＝2.6x，则2.6x＝26，解得：x＝10，故BN＝DM＝10m，则tan30°＝＝＝，解得：BM＝10，则tan35°＝＝＝0.7，解得：CM≈11.9（m），故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．故选：B．20．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8【解答】解：延长ED交BC的延长线于点F，作EG⊥AB于G，DH⊥AB于H，则四边形GHDE为矩形，∴GH＝DE＝1.5，GE＝DH，设DF＝x，∵斜坡CD的坡度为1：2，∴CF＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得，x＝，则DF＝，CF＝2，∴GE＝DH＝BC+CF＝2+2，在Rt△AGE中，tan∠AEG＝，则AG＝EG•tan∠AEG≈（2+2），∴AB＝AG+GH+BH≈4.85+1.5+2.24≈8.6（米），故选：C．。
三角函数的应用题及解答
三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。
本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。
1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。
设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。
解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。
因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。
2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。
解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。
设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。
解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。
因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。
3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。
解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。
设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。
解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。
因此，航天器的真实高度约为433.01公里。
通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。
无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。
总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。
三角函数的应用
三角函数的应用
三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各种数学问题中。
本文将介绍三角函数在几何、物理、工程等领域中的应用。
几何应用
1. 求角度：可以利用正弦、余弦和正切函数来求解三角形的角度。
例如，已知三角形两条边的长度，可以通过正切函数求得其夹角。
2. 求边长：三角函数可以用于计算三角形中未知边长的长度。
例如，已知一个角度和与之相邻的一边的长度，则可以通过正弦或余弦函数计算出另外两条边的长度。
3. 解决三角形的面积问题：三角函数可以帮助计算不规则三角形的面积。
例如，可以通过正弦公式求出三角形面积。
物理应用
1. 物体运动的计算：正弦和余弦函数可以用来描述物体在水平
方向和垂直方向的运动。
2. 振动和波动：三角函数也被广泛运用于描述振动和波动现象。
例如，正弦函数可以描述声波的传播，余弦函数可以描述气体分子
在空气中的振动。
工程应用
1. 静力学：三角函数可以用来解决物体在平衡状态下的问题。
例如，可以通过正弦和余弦函数计算某个角度对应的平衡点位置。
2. 电学：三角函数可以用来描述交流电路的行为。
例如，可以
利用正弦函数描述电流和电压的周期变化。
综上所述，三角函数在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，是数学中的一种基本工具。
掌握三角函数的应用可以帮助我们
更好地理解和解决各种实际问题。
三角函数的应用
三角函数的应用1.几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，通过正弦定理和余弦定理，我们可以计算任意三角形的边长或角度。
此外，三角函数也经常用于解决三角形的面积、高度和面积比较等几何问题。
2.物理应用三角函数在物理学中也起着重要的作用。
例如，我们可以利用正弦函数来描述物体的周期性振动，如钟摆的摆动、弹簧的拉伸等。
此外，通过余弦函数，我们还可以描述物体的匀速圆周运动，如行星绕太阳的运动等。
3.工程应用在工程学中，三角函数的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，正弦和余弦函数可用于描述三维空间中的旋转和平移变换。
另外，在建筑和土木工程领域，三角函数可用于计算房屋的高度、角度和斜面的坡度等。
4.统计应用三角函数在统计学中也有一些应用。
例如，在时间序列分析中，我们可以利用三角函数来拟合和预测周期性数据，如季节性销售数据、股市走势等。
此外，三角函数还可以用于频谱分析和信号处理等领域。
5.日常生活中的应用除了学术和科学领域，三角函数还在我们的日常生活中有许多应用。
例如，我们可以利用三角函数来计算日出日落时间、倾斜角度和倾斜距离等。
此外，三角函数还可以用于导航、测量和建模等实际问题的解决。
综上所述，三角函数在几何学、物理学、工程学、统计学和日常生活中都有广泛的应用。
通过运用三角函数，我们可以解决各种与角度、周期和振动有关的问题，为实际应用提供有效的数学工具和方法。
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数学三角函数的应用研究。
数学的实践与认识。
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数学教育。
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三角函数应用专项练习题(经典)
三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。
这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。
每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。
2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。
2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。
2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。
2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。
2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。
2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。
3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。
由于角A为第一象限角，邻边为正数。
所以cos A = √3/2。
3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。
由于角B为第二象限角，邻边为负数。
所以sin B = -√3/2。
3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。
使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。
因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。
专题41 三角函数的应用(解析版)
专题41 三角函数的应用1.某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin160πt ＋110，其中，f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数是( ) A ．60 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】C【解析】∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.2.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p (x ，y ).若初始位置为P 0(√32，12)，当秒针从P 0(注此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin (π30t +π6)B ．y ＝sin (−π60t −π6) C ．y ＝sin (−π30t +π6) D ．y ＝sin (−π30t +π3)【答案】C【解析】由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30. 设函数解析式为y ＝sin (−π30t +φ)(因为秒针是顺时针走动)， ∵初始位置为P 0(√32，12)，∴t ＝0时，y ＝12， ∴sin φ＝12， ∴φ可取π6，∴函数解析式为y ＝sin (−π30t +π6). 3.如下图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cmC ．该质点在0.1s 和0.5s 时振动速度最大D ．该质点在0.3s 和0.7s 时的加速度为零 【答案】B【解析】由题中图象可知振幅为5cm ，故选B.4.电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200时，电流I 为( ) A ．5A B ．52AC ．2AD ．－5A 【答案】B【解析】把t ＝1200代入关系式得I ＝5sin(π2＋π3)＝5sin 56π＝56(A)，故选B.5.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T 等于( )A．24.5天B．29.5天C．28.5天D．24天【答案】B【解析】由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球以月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期.6.如下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置图，经过1周期后，乙点的位2置将如同()A．甲B．丙C．丁D．戊【答案】C周期，绳波正好从乙点传到【解析】因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过12丁点.又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，周期，乙点位置将移至它关于x轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图所以经过12中的丁点相同.7.如下图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(√2，－√2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵P0(√2，－√2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4，此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∴d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝√2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.8.如下图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置.风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为______米；风车翼片的端点离地面距离h(米)与启动时间t(分钟)之间的函数关系式为______.【答案】14h＝8sinπ6t＋10(t≥0)【解析】由题意，T＝12，∴ω＝π6，设f(t)＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0)，则{A+B=18,−A+B=2,∴A＝8，B＝10，∵当t＝0时，f(t)＝10，∴φ＝0，∴f(t)＝8sinπ6t＋10，当t＝17时，f(17)＝14.9.如下图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 【答案】(1)如下图所示建立直角坐标系，设角φ(−π2<φ<0)是以Ox 为始边，OP 0为终边的角. OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6，则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin (π6t +φ)＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin (π6t −π6)＋2. (2)令z ＝4sin (π6t −π6)＋2＝6，得sin (π6t −π6)＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s.10.如下图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？【答案】(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6. 所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0).(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8.所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).11.下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).以月份为x 轴，x ＝月份－1，以平均气温为y 轴. (1)描出散点图.(2)用正弦曲线去拟合这些数据. (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①yA ＝cos (πx6)； ②y−46A＝cos (πx6)；③y−46−A＝cos (πx6)； ④y−26A＝sin (πx6).【答案】(1)(2)如下图所示.(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A ＝25.8. (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0， 代入①，得yA ＝26.025.8＞1≠cos π6，∴①错误； 代入②，得y−46A ＝26.0−4625.8＜0≠cos π6，∴②错误；同理④错误，∴③最适合这些数据.12.某港口水深y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.经长期观察，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象. (1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的(船舶依靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间？(忽略进出港所需的时间)，【答案】(1)由已知数据，描出曲线如图.易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10. (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5， ∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π，② 由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6≤17π6. 化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船在1：00至5：00或13：00到17：00能安全进港，故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时. 13.已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【答案】(1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180+1900)＝175，∴ω＝2πT ＝150π. 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin (150π·1180+φ)＝0， 而|φ|＜π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin (150πt +π6). (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω＞0)，∴ω≥300π＞942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943.14.如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象.(1)试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中l 在任意一段1100秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值|A |与最小值－|A |，那么正常整数ω的最小值是多少？ 【答案】(1)由图知，A ＝300. 设t 0＝－1300，t 1＝1150，t 2＝160.∵T ＝t 2－t 0＝160－(－1300)＝150，∴ω＝2πT ＝100π. ∴ω·(－1300)＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3). (2)由题意知T ≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，∴最小的正整数ω＝629.。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。
本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。
一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。
假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。
由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。
通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。
2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。
例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。
正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。
此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。
二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。
例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。
这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。
2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。
例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。
这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。
三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。
此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。
2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。
三角函数应用(常见题型)
三角函数应用(常见题型)一、求角的弧度和角度常用的角度单位有度和弧度两种，它们在三角函数的应用中经常被使用。
- 弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，通常用符号“rad”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
- 角度是用一个直角顶点处的一条封闭射线除以另外一条初始射线所得的比值。
通常用符号“°”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
在实际计算中，经常需要将角度和弧度进行转换。
根据以上定义，可以得到下面的换算关系：- 弧度 = 角度× π / 180- 角度 = 弧度× 180 / π二、常见题型1. 根据已知边长求角度：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，求其夹角C的度数。
解题思路：使用三角函数中的反函数来求解。
根据问题描述，已知a和b，可以计算出斜边长c，然后使用反正弦函数求解夹角C。
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$$$C = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$$2. 根据已知角度求边长：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求斜边的长度。
解题思路：使用三角函数中的正弦函数来求解。
根据问题描述，已知a、b和夹角C，可以使用以下公式求解斜边c的长度。
$$c = \frac{b}{\sin(C)}$$3. 角度和边长之间的关系：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求另一个夹角A的度数。
解题思路：注意，直角三角形中，角A和角C的和为90度。
所以可以利用该关系来求解角A的度数。
$$A = 90 - C$$三、总结三角函数的应用在几何学和物理学中有广泛的使用。
通过掌握常见题型的解法，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
三角函数的应用及实例
三角函数的应用及实例三角函数是数学中一个重要的分支，是数学与实际生活相结合的一个桥梁。
它的应用涵盖了物理、工程、计算机图形学等多个领域，可以解决很多实际问题。
下面我将介绍三角函数的应用及实例。
一、物理应用：1. 力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个固定点上，我们需要求这两个力的合力及合力的方向。
可以利用三角函数中的正弦定理和余弦定理来解决这个问题。
2. 运动学: 三角函数在描述物体的运动过程中经常会用到，例如在直角坐标系中，物体在坡面上滑动的速率与坡度的关系可以用正弦函数表示。
3. 波动现象：波动是物理学中一个重要的概念，它的描述和分析中就需要用到三角函数。
例如，我们可以用正弦函数描述声波、水波、电磁波的传播过程，利用三角函数来计算频率、波长、速度等物理量。
二、工程应用：1. 构建桥梁：在构建拱桥或斜拉桥等大型工程中，需要计算各个构件的长度、倾角等问题，利用三角函数可以快速地解决这些问题。
2. 建筑设计：在建筑设计中，尤其是对于带有倾斜屋顶的建筑物，需要计算倾角、弧度以及各个构件的长度，三角函数可以提供精确的计算方法。
3. 导航与测量：在航海、航空和地理测量等领域，计算方向、距离、高度等问题常用到三角函数，例如计算飞机的飞行角度、航线等。
三、计算机图形学：1. 三维图形的旋转：在计算机图形学中，三角函数的旋转变换经常使用，可以实现物体的旋转、缩放等操作。
2. 光线追踪：在渲染和光线追踪算法中，需要计算光线与物体表面相交的位置和角度，用到了三角函数的计算。
3. 视角变换：在3D图形的构建和显示中，视角变换是一个常见的操作。
通过调整视角的角度和距离，可以改变观察者对图形的观察效果，三角函数被广泛应用于此。
综上所述，三角函数在物理、工程和计算机图形学等多个领域中都有广泛的应用。
无论是解决实际问题，还是进行工程设计和计算机图形的构建，都需要用到三角函数。
因此，掌握三角函数的概念、公式和应用是十分重要的。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中重要的概念，在各个领域中有着广泛的应用。
本文将从几何、物理、工程等不同领域介绍三角函数的应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、几何中的三角函数应用1. 三角函数在测量两个不相连直线的夹角上有着广泛的应用。
例如，我们可以使用正弦函数来计算两个道路之间的夹角，或者计算两条边的夹角。
2. 三角函数还可以用于测量空间中的高度差。
例如，在建筑工程中，我们可以使用正切函数来计算一个斜坡的坡度，或者计算一个建筑物的高度。
二、物理中的三角函数应用1. 在力学中，三角函数被广泛用于描述物体的运动。
例如，我们可以使用正弦和余弦函数来描述物体的振动、波动和摆动。
2. 三角函数还可以用于计算力的分解。
例如，在斜面上运动的物体，我们可以使用正弦和余弦函数来计算物体受到的正向和垂直于斜面的力。
三、工程中的三角函数应用1. 建筑工程中，三角函数被广泛用于计算屋顶的坡度、墙壁的倾斜度等。
通过应用正切函数，可以得到斜坡的角度，从而确保施工的安全和稳定。
2. 在电子工程中，三角函数被用于描述电流、电压和功率之间的关系。
通过正弦函数可以描述交流电的波形，而余弦函数可以描述直流电的波形。
四、三角函数在现实生活中的重要性1. 三角函数在导航和地理定位中起着重要作用。
通过三角函数，我们可以计算出两个位置之间的距离和方向，为我们提供准确的导航。
2. 三角函数还可以用于计算天体运动、地震测量等领域。
通过应用三角函数，科学家们可以计算出星体之间的距离，以及地震的震级和震中位置。
综上所述，三角函数在几何、物理和工程等领域中都有着重要的应用。
它们帮助我们解决实际问题，解释自然现象，并为现实生活提供了诸多便利。
我们应当深入学习和理解三角函数的原理和应用，以推动科学技术的发展，促进社会的进步。
三角函数的应用场景
三角函数的应用场景
三角函数在多个领域都有广泛的应用，以下是一些主要的应用场景：
1.工程学：在建筑工程、桥梁工程、道路工程等领域，三角
函数被广泛应用于计算角度、长度和高度等参数。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、结构的稳定性和材料的应力等。
2.物理学：三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在
研究力学问题时，三角函数可以帮助解决力与力之间的转换，并列出平衡方程。
此外，三角函数还可以用于计算物体运动的速度、加速度和位移等参数。
3.导航和航空：在航海和航空领域，三角函数被用于计算船
舶或飞机的位置、航向和速度。
例如，航海员可以使用三角函数来计算经度和纬度，从而确定船舶的位置。
飞行员也可以使用三角函数来计算飞行航线和导航点。
4.地理测量：地理学家和测量员可以使用三角函数来测量地
球表面上的距离、海拔高度和地形特征。
例如，通过测量角度和距离，可以计算出地形的高度和坡度等参数。
5.信号处理：在信号处理领域，三角函数被用于分析和处理
波形信号。
例如，在音频处理中，可以使用三角函数来表示音频信号的振幅和相位等参数，从而进行音频合成、滤波和降噪等操作。
总之，三角函数作为一种基本的数学工具，在多个领域都有广泛的应用。
通过学习和掌握三角函数的定义、性质和应用场景，可以更好地理解和解决各种实际问题。
三角函数的运用
三角函数的运用
三角函数在各种领域有着广泛的运用：
1. 数学中：三角函数可以用来求解各种平面和空间的三角形的面积、
角的余弦、正弦、正切，还可以运用来求圆的圆周和圆心角。
2. 物理学中：三角函数在物理中可以用来描述某种波动性的物理现象，如旋绕振荡器发出的振荡波中，频谱是三角函数的特殊形式。
3. 电子工程中：三角函数主要用来描述振荡电路中的振荡信号，以及
滤波电路中的滤波信号的形式。
4. 地理学中：三角函数可以用来计算地球表面上两点之间的距离、大
地坐标之间的转换以及地图坐标到空间直角坐标的转换等。
5. 建筑工程中：三角函数可以用来计算建筑物结构的张力分布、建筑
物梁、拱形结构的屈曲和抗压能力。
6. 力学中：三角函数可以用来描述曲线上物体的路径和物体在受力后
的运动轨迹。
7. 音乐学中：三角波可以用来描述一个乐器持续的声音，甚至可以在
合成器发出的特定音色中找到三角函数的运用。
8. 宇航学中：三角函数用于太阳系计算，可以求出飞行器太阳伴侣飞行的轨迹，并预测飞行器将会在哪些位置上，以及何时会遇到太阳和地球的影响。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中重要的一部分，有广泛的应用领域。
它们不仅在几何学和三角学中起着重要作用，还在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的一些常见应用。
一、三角函数在几何学中的应用1. 三角函数与直角三角形在几何学中，三角函数与直角三角形密切相关。
例如，正弦和余弦函数可以用于求解直角三角形中的边长和角度。
正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。
通过使用这些函数，我们可以根据已知的边长或角度来计算其他未知的边长或角度，从而解决各种几何问题。
2. 三角函数与图形的描述三角函数也可以用于描述图形的形状。
例如，正弦函数可以绘制出波浪形状的图形，余弦函数可以绘制出等幅振荡的图形。
通过调整三角函数的振幅、周期和相位等参数，我们可以得到各种形状多样的图形，并用于图像处理、计算机图形学等领域。
二、三角函数在物理学中的应用1. 三角函数与周期性运动在物理学中，许多运动都具有周期性，如摆动、振动、电磁波等。
这些周期性运动可以用三角函数来描述。
正弦函数和余弦函数是最常用的函数，可以描述出周期性运动的变化规律。
通过对周期、频率和振幅的调整，可以准确描述出各种类型的周期性运动。
2. 三角函数与波动现象在波动现象中，三角函数也有广泛的应用。
例如，声波、光波等可以用正弦函数来描述其波动特性。
三角函数的周期性特点使得它成为研究波动现象的有力工具。
在声学、光学等领域，三角函数的应用非常广泛。
三、三角函数在工程学中的应用1. 三角函数与力学问题在工程学中，力学问题是常见的。
三角函数可以应用于分析和解决力学问题。
例如，通过分析力的分解和合成，可以利用三角函数来求解物体受力的大小和方向。
三角函数的运用使得工程师能够更好地理解和解决各种力学问题。
2. 三角函数与导航系统导航系统是现代工程中常见的应用之一。
在导航系统中，三角函数的应用广泛存在。
通过使用三角函数，我们可以确定导航中的位置和方向。
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B
C l
D
A
三角函数应用专题
例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。
变式训练1：如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.
变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30．
（1）如果A B ，两楼相距3A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落．在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ （结果保留根号）
例2：图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度
A
楼 B 楼 C
E
G
F H
D
30°
330 m
A
B
C
D E α
︶
F
E P
变式训练1：小明想测量塔BC 的高度．他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为18米，同时测得塔顶B 的仰角为30，求塔BC 的高度．
变式训练2：某高为5.48 m 的建筑物CD 与一铁塔AB 的水平距离BC 为330 m ，一测绘员在建筑物顶点D 测得塔顶A 的仰角a 为30°. 求铁塔AB 高.（精确到0.1 m ）.
变式训练3、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度．
例3：一个半径为20海里的暗礁群中央P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A 处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B ，灯塔在北偏西30°方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？
变式训练1：如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向
上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，
请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：
3≈1.732，2≈1.414）
变式训练2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45︒并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果
≈，≈）
精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7
例4：如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）
A．10m B．103m C．15m D．53m
例5：某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为。
例6：一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）
A．5sin31米B．5cos31米C．5tan31米D．5cot31米
例7：一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2 = 1∶2.5。
求：(1) 斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；
(2) 斜坡CD的坡角α（精确到1°）。
变式训练1：某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米。
变式训练2：河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）
A．53米B．10米C．15米D．103米
30°45°
E D
C
B A
变式训练3：一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD ，如图所示，其中背水面为AB ，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE 的长．（精确到0.1米，参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449≈≈≈
巩固检测
1.如图，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 （ ） A. a a cos 米
B.
αcos a
米 C. a a sin 米
D.
α
sin a
米 2.在离地面高6米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60°角，则拉线的长约是________米。
（精确到0.01米） 3.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD ，CD ＝3 m, AD ＝6 m. 坝高是3 m ，BC 坡的坡度i ＝1:3, 则坡角∠A ＝__________，坝底宽AB ＝_____________。
4.如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米． 试求旗杆BC 的高度．
5．如图31—3—4，为了测量电视塔AB 的高度，在C 、D 两点测得塔顶A 的仰角分别为30°，45°。
已知C 、D 两点在同一水平线上，C 、D 间的距离为60米，测倾器CF 的高为1.5米，求电视塔AB 的高。
（精确到0.1米）
6.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P 的西南方向68海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N 处，求这只船航行的速度。
A
B
α
A
B
C D。