三角函数应用专题

B

C l

D

A

三角函数应用专题

例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。

变式训练1：如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.

变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30．

（1）如果A B ，两楼相距3A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落．在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ （结果保留根号）

例2：图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度

A

楼 B 楼 C

E

G

F H

D

30°

330 m

A

B

C

D E α

︶

F

E P

变式训练1：小明想测量塔BC 的高度．他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为18米，同时测得塔顶B 的仰角为30，求塔BC 的高度．

变式训练2：某高为5.48 m 的建筑物CD 与一铁塔AB 的水平距离BC 为330 m ，一测绘员在建筑物顶点D 测得塔顶A 的仰角a 为30°. 求铁塔AB 高.（精确到0.1 m ）.

变式训练3、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度．

例3：一个半径为20海里的暗礁群中央P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A 处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B ，灯塔在北偏西30°方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？

变式训练1：如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向

上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，

请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：

3≈1.732，2≈1.414）

变式训练2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45︒并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果

≈，≈）

精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7

例4：如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）

A．10m B．103m C．15m D．53m

例5：某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为。

例6：一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）

A．5sin31米B．5cos31米C．5tan31米D．5cot31米

例7：一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2 = 1∶2.5。求：(1) 斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；

(2) 斜坡CD的坡角α（精确到1°）。

变式训练1：某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米。

变式训练2：河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）

A．53米B．10米C．15米D．103米

30°45°

E D

C

B A

变式训练3：一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD ，如图所示，其中背水面为AB ，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE 的长．（精确到0.1米，参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449≈≈≈

巩固检测

1.如图，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 （ ） A. a a cos 米

B.

αcos a

米 C. a a sin 米

D.

α

sin a

米 2.在离地面高6米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60°角，则拉线的长约是________米。（精确到0.01米） 3.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD ，CD ＝3 m, AD ＝6 m. 坝高是3 m ，BC 坡的坡度i ＝1:3, 则坡角∠A ＝__________，坝底宽AB ＝_____________。

4.如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米． 试求旗杆BC 的高度．

5．如图31—3—4，为了测量电视塔AB 的高度，在C 、D 两点测得塔顶A 的仰角分别为30°，45°。已知C 、D 两点在同一水平线上，C 、D 间的距离为60米，测倾器CF 的高为1.5米，求电视塔AB 的高。（精确到0.1米）

6.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P 的西南方向68海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N 处，求这只船航行的速度。

A

B

α

A

B

C D