高考典型例习题：等效重力场

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运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动

一、等效法

将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）

概念的全面类比

? 为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相

? 等效重力场 ? 等效重力加速度? 等效“最低点”? 等效“最高点”? 等效重力势能（1例1

运场力两力作用对与细线单摆模等点时所

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对

应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得

出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置

时，小球速度恰好为零。

针对训练：

1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重

欢迎共阅 力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，

确的是

A ．小球所受电场力的大小为mg tan θ

B ．小球到B 点的速度最大

C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零

D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大 答案：AB

2、用长为l 的细线悬挂一质量为m ，带电荷量为+Q 的小球，将其置于水平方向向右且大小为E 的

匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且OA l =的位置A 处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。

，则

g 'mg 3

这里的α

cos 'g

g =

可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。

图3

（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A 点由静止开始摆至B 点的速度为零。根据重力场中

单摆摆动的特点，可知αϕ2=。

（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为g

L g L T α

π

πcos 2'2==，从A →B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。 即g

L T t α

π

cos 2==

。 4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运

A 且从

B 到

C 从C 到

D 5、如图L ，

然后（（

解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB 弧的中点

且电场力qE 水平向左、重力mg 竖直向下，合力的方向由O 指向AB 弧中点，即O 点左向下45° 则qE=mg ，E=U/d 得q=mgd/U

⑵从上一问分析可知小球将在AB 弧中点达到最大速度V m ，由B 静止运动到AB 弧中点的过程，根据动能定理得

+

-

21

2

m mV

(1则V m

⑶小球圆周运动的等效最高点为O 点右向上45°距离为L 处

，设在B 点时具有竖直向下的速度为V B ，由动能定理得

211

22

B mV -

=()2L L +

解得B V =

6、（12

+q 的小

（1（2a ； （3B 无初

解析：

（1Eq F ==?（2（3）根据动能定理有：

0212

-=

-mv Eql mgl ·············4分

解得：22gl

v =

·················2分

（2）类平抛运动

例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？

解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt 2，带电后，应根据极板电性不同分两种情况讨论

（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a ）

微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t ，竖直方向受

重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md)t 2，要使 微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. （2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b ） 分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g)t 2，要使微粒不再射出电场，则

解得U>3mgd/q.O 点的

g m '，

“重

解得：3

3100gR v =

针对训练：

1、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 0至少应为多大？ 解析：

静止时对球受力分析如右图

且F=mgtg370=4

3

mg,

B + (a)