用频率估计概率教学反思
“用频率估计概率”教学设计和反思
去年，我非常荣幸地参与了由湖南省继教中心组织的湖南省“国培计划（2012）”——中西部项目武陵山片区“送培上门”项目，接到了上一堂题为“用频率估计概率”（湘教版九上）的课这一任务，且规定不能使用多媒体。
以下是我关于这节课的教学设计。
一、教学内容分析用频率估计概率是湘教版九年级上册第5章第1节的内容，是在学生了解了随机现象，知道了概率的含义的基础上进一步学习的内容。
这一节内容，初看起来并不起眼，要求掌握的知识要点不多，但实际上，它能充分体现统计与概率的基本思想：偶然现象中包含着必然的规律，而且用频率估计概率这一思想方法，是不受列举法求概率的条件限制，适用范围更广的一种求概率的方法，在实际生活中应用也非常广泛。
二、学生学情分析学生对随机现象、随机事件的概率有了一些认识后，对某些等可能事件的概率，尤其是“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上这一事件的概率是■”是能够理解的，而且在前面的学习中，学生有抛硬币试验的经验。
在实际生活中，这种等可能事件往往是一种理论上的理想状态，我们接触到的事件很多时候都是非等可能的。
在面对这些非等可能的事件的时候，学生对这些随机事件发生的可能性的大小有直觉的判断、猜测，但要给自己的判断找到有效的理论支撑，学生往往会有困难，容易想到去做试验，但又对自己的试验能否验证自己的猜测没有把握。
这不是因为缺乏经验，而是缺乏对经验的思考，我们教学的目的恰恰就是在学生的经验与解决问题之间建立一种联系。
三、教学目标设计根据前面对教材内容、学生学情的分析，特将本节课的教学目标定为：1.知识与技能目标：学会依据问题特点，用频率估计事件发生的概率。
为学生提供非等可能事件的例子，让学生亲自进行试验，其中包括自主学习、动手实践、合作探究，通过对具体问题的解决，学会用频率估计概率。
2.过程与方法目标：提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会概率的基本思想，感受到频率、概率在问题决策中的重要作用，进一步树立数据的观念。
初中数学教学课例《用频率估计概率》教学设计及总结反思
教学目标
过程与方法：活动与自主探究。
情感态度与价值观：通过试验，整理分析数ห้องสมุดไป่ตู้，培
养学生严谨的科学态度，求实、务实的人生观。
学生在前面一节已经学习了用列举法求概率的方
法，具备了整理、分析数据的能力。其次，这些学生模 学生学习能
仿力强，喜欢动手，思维活跃，但思维往往依赖于直观 力分析
具体的形象和数据。分析数据，得出用频率估计概率的
方法对学生来说可能会有些困难。
教学策略选
实验与探究
择与设计
教学过程
一、创设情境，引入课题： 小明掷一枚质地均匀的硬币 1 次，正面向上的概率
是多少？如果掷 10 次，正面向上会有几次？掷 100 次 呢？是不是会有 50 次正面向上呢？
二、出示学习目标： 会用频率估计事件的概率。 三、实验探究： 1、学生两个人一组，每组掷硬币 50 次，并记录实 验结果，统计正面向上几次？ 2、整理分析数据，完成表格（注：各组在上去统 计数据时，要加上前一组的数据进行整理） 抛掷次数 n，正面向上次数 m，正面向上的频率 nm n 50 100 150 200 250 300 350 400 ……
m
nm 想一想：正面向上的频率有什么规律？随着抛掷次
数的增加，正面向上的频率的变化趋势是什么？
3、利用课件展示一些数学家的实验
4、总结：频率稳定于 0.5,所以，正面向上的概率
是 0.5.
四、说说这节课你有什么感受？学到了什么？
五、布置作业：课后两个人一组，在罚球线上投篮
每组 30 次，记录结果，计算投中的频率，并估计该同
初中数学教学课例《用频率估计概率》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
人教版数学九年级初三上册 用频率估计概率 名师教学教案 教学设计反思
江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学2020届高三数学12月联考试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合(1,3]A =-，{2,3,4}B =则A B 的子集个数为_______________.【答案】4 【解析】 【分析】可根据交集定义和子集个数进行求解 【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，则{}2,3A B =，则AB 的子集个数为224=个故答案为：4【点睛】本题考查集合的交集运算和子集个数的求法，属于基础题 2.双曲线x 2-2y 2=1的渐近线方程为______．【答案】y x = 【解析】由双曲线的方程知1,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±． 考点：双曲线的几何性质．3.函数2()cos 2f x x x =+，若(2)(1)f a f a =-，则实数a 的值为____________.【答案】1-或13【解析】 【分析】根据()f x 表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解【详解】由2()cos 2f x x x =+可判断函数为偶函数，又(2)(1)f a f a =-，故21a a =-或()210a a +-=，解得1a =-或13故答案为：1-或13【点睛】本题考查由偶函数的性质求解参数，属于基础题4.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.5.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型. 6.函数log (1)2a y x =++的图像必过定点_____________. 【答案】()0,2 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则即可求解 【详解】由log a y x =根据平移法则向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到log (1)2a y x =++，log a y x =经过()1,0，则log (1)2a y x =++经过()02,故答案为：()02,【点睛】本题考查对数函数过定点问题，属于基础题7.设A ，F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右顶点和右焦点，1B ，2B 为椭圆C 短轴的两个端点，若点F 恰为12AB B ∆的重心，则椭圆C 的离心率的值为__________. 【答案】13【解析】 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 【详解】如图：由题可知，()()()120,,0,,,0B b B b A a -，(),0F c ，则3a c =，即13c e a ==， 故答案为：13【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题8.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】6.π 【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为222,1,2r rl r l ππ+==，所以圆柱的表面积为6.π 考点：圆柱的侧面积9.设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin()sin sin a c A C b c A C-+=-+，则角A 为___________.【答案】3π 【解析】 【分析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 【详解】222sin sin sin a c B ba cb bc b c A C a c-==⇒-=-⇒-++ 2222cos 3b c a bc bc A A π+-==⇒=故答案为：3π 【点睛】本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力，一般的，在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题10.已知向量,,a b c 满足0a b c ++=且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c ⋅的值为___________. 【答案】45【解析】 【分析】可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值．【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得5 sin5B=，同理可得10 sin10C=，由正弦定理可得2sin135510︒==，即有21025,55c a==，则2102524 ||||cos455525a c c a︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=．故答案为：45．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．11.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a ＝______________．【答案】9 4【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.考点：1.新定义；2.直线与曲线的位置关系12.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为__________.【答案】2021 【解析】 【分析】可采用“1”的代换，将12019||a a +中的“1”代换成||a b +，同时2019b 可代换成()2019||a b b⋅+，再结合基本不等式特征求解 【详解】||1a b +=，()12019||2019||2019||2019||a a a b a b a b a b+++∴+⇔+⋅+，即20191120192201920192019201920192019a a b a a ab a ⎛⎫++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222019b a =时取到等号， 又111220192201920212019201920192019a a +++≥-+++=所以120192019||a a b++的最小值为：2021故答案为：2021【点睛】本题考查基本不等式最值的求解，“1”的代换是关键，属于中档题13.已知数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，若数列{}nb 满足23log ()1n n b a =+，则数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______. 【答案】12[,)2115【解析】 【分析】由任意的m ，n ∈N *，都有n mm a a +=a n ，令m=1，可得113n na a q a +===，可得a n =3n ，求解b n =2n+1，数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++，利用裂项相消求解T n ，即可求解取值范围． 【详解】由题意m ，n ∈N *，都有n mma a +=a n ，令m=1，可得：113n na a q a +===， 可得a n =3n，∵b n =log 3（a n ）2+1， ∴b n =2n+1，那么数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++=11121254n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．那么：T n =c 1+c 2+……c n =14（1137-+1159-+11711-+……112123n n --++112125n n -++） =111113523245n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭=181********154n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭＜， 当n=1时，可得T 1=121， 故得T n 的取值范围为[121，215），故答案为[121，215）．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=____________.【答案】2log 5 【解析】 【分析】由题可知，1x =-必为其中一个解，当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，可联立求解得3,2b c ==-，则当1x >-时，可解得对应的23,x x ，进而得解【详解】由题可知，当1x >-时，函数()f x 单调递增，则关于2()()0f x bf x c --=在()1,-+∞至多两解，故1x =-必为其中一个解，即11x =-，即当11x =-时，2()()0f x bf x c --=，此时由()1f x =可得10b c --=①，又关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，则当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，即420b c --=②，联立①②得3,2b c ==-，则当1x >-时，22()()0()3()20f x bf x c f x f x --=⇔-+=， 解得()2221log (1)x x f =+=，此时21x =，()3232log (1)x x f =+=，此时33x =，则()()()1232113324log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==故答案为：2log 5【点睛】本题考查分段函数分类讨论的思想，运算及推导能力，分析解决问题的能力，函数与方程的转化思想，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin 3sin B C =，||5AB AC -=52AB AC ⋅=. （1）求22b c +的值； （2）求sin()A B -的值.【答案】(1)10 (2) 15- 【解析】 【分析】（1）联立||5AB AC -=52AB AC ⋅=化简即可求得22b c +； （2）由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-可知，需分别求出sin cos sin cos A A B B ，，，，先由余弦定理可得a 的值，再由三边关系求出cos B ，进而推出sin B ，即可求解 【详解】（1）因为5AB AC -=， 所以2225b c AB AC +-⋅=， 又52AB AC ⋅=，所以2210b c +=. （2）因为sin 3sin B C =，由正弦定理，得3b c =， 又2210b c +=，所以3b =，1c =.由（1）552cos 36AB AC A bc ⋅===，sin 6A ==， 2225cos 26b c a A a bc +-==⇒=由余弦定理知222cos 225a cb B ac +-==.从而211sin 1cos 25B B =-=（也可由正弦定理求sin B ） 所以255sin()sin cos cos sin 15A B A B A B --=-=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系，运算能力，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题16.如图，在四棱锥S ABCD -中，已知SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是SC ，AB 的中点.（1）求证：//MN 平面SAD ； （2）求证：SN AC ⊥.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）可作SD 的中点E ，连EM ,EA ，通过中位线定理证明四边形EMNA 是平行四边形，即可得证；（2）要证SN AC ⊥，即证SN ⊥平面ABCD ，即证SN AB ⊥，由题设条件平面SAB ⊥平面ABCD 即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证 【详解】（1）取SD 的中点E ，连EM ,EAM 是中点，//EM CD ∴，且12EM CD =底面ABCD 是矩形，N 为AB 中点//AN CD ∴，且12AN CD =，//,EM AN EM AN ∴=∴四边形EMNA 是平行四边形//MN AE ∴MN ⊄平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD . （2）SA SB =，N 是AB 中点SN AB ∴⊥平面SAB ⊥平面ABCD ， 平面SAB平面ABCD AB =，SN ⊂平面SABSN ∴⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD SN AC ∴⊥【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题 17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点O ，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB＝3π，记∠APQ＝θrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米． （1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】（1）7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）P 与O 的距离为33时，地下电缆管线的总长度最小 【解析】 【分析】（1）首先根据Q 为弧AB 的中点，得到知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝6π，利用正弦定理得到()sin sinsin 66PA OAOP πππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据OA ＝2，得到PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3sin cos 2θθ-+，根据题意确定出7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）对函数求导，令导数等于零，求得3πθ=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝6π， 又∠APO＝πθ-，∠OAP＝6πθ-，由正弦定理，得：()sin sinsin 66PAOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又OA ＝2， 所以，PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝3sin cos 2sin θθθ-+，∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ＝∠OQA＝152612πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭； （2）令()3sin cos 2sin f θθθθ-+=，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭()212cos '0sin f θθθ-==，得：3πθ=， ()f θ在,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭上递减，在7,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 所以，当3πθ=，即OP ＝23时，()f θ有唯一的极小值， 即是最小值：()min fθ＝23，答：当工作坑P 与O 的距离为23时，地下电缆管线的总长度最小． 【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率是3，左右焦点分别为1F ，2F ，过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）当2PB AP =时，求直线l 方程；（3）已知点()0,2Q ，直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .问是否存在实数λ，使得120k k λ+=恒成立？【答案】(1) 2214x y += (2) 1512y x =±+ (3)存在，1λ=【解析】 【分析】（1）由焦点三角形的周长特点可求出a 值，再结合椭圆离心率是32，可求出c ，进而求得椭圆标准方程；（2），设直线方程为1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可联立直线方程和椭圆标准方程，得出两根和与积的表达式，再结合2PB AP =，代换出1x 与k 的关系式； （3）先用必要性探路，找特殊情况，当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，根据题意和斜率定义表示出12k k +，结合（2）中韦达定理即可得证【详解】（1）由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ，所以48a =，所以2a = 又离心率3c a =3c =1b = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当l x ⊥轴，2PB AP ≠ 所以可设1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y则221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2214430k x kx ++-= 所以122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) 因为2PB AP =，所以2102x x -=-，即212x x =-代入(*)化简得122124143214k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩所以22231424114k k k ⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭解得k =所以直线l方程为：12y =+， （3）当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立， 下面证明当1λ=时120k k λ+=恒成立()12121212121212121132222222200kx kx kx x x x y y k k x x x x x x +-+--+--+=+=+=-- 因为()12122233343226402142142k kx x x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫-+=-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得120k k λ+=恒成立.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算能力要求高，属于难题19.设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c ∈R ）. （1）当0c时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论 试题解析：解：（1）由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以()2bg x a x-'=，所以()1g a b '=-. 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()2121203430030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23c a a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立． 因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t tϕ=+-，所以()221110t t t t t ϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<.【答案】(1) 2122a a =- (2) 2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）令1n =即可求解；（2）当2n ≥时，通过作差法可求得163n n a a n ++=+，再书写一项2169n n a a n +++=+，通过两式作差可得26n n a a +-=()2n ≥，分类讨论n 的奇偶，即可求解； （3）可结合放缩法公式22111n n <-，()2111nn n <-，分别对化简后的表达式 22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦进行放缩，再结合裂项公式()()21111212n n n =⋅-+-，()11111n n n n =---的特点即可进一步求解【详解】（1）由条件1n =得12112a a a ++=，2122a a =-.（2）由条件213(1)n n S S n ++=+得，213n n S S n -+=()2n ≥两式相减得163n n a a n ++=+()2n ≥， 故2169n n a a n +++=+，两式再相减得26n n a a +-=()2n ≥，246,,a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； 357,,,a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由（1）得2662n a n a =+-；由条件2n =得1231227a a a a a ++++=，得332a a =+， 从而21632n a n a +=-+，,13(62)(1),2n na n a n a n =⎧∴=⎨+--≥⎩解法2：设()1(1)n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----则263230x x y x y ⎧-==-⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有()13(1)3n n a n a n +-+=-- 2n ∴≥时，()2236(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n n a n a -=+-⋅-2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧∴=⎨+--≥⎩（3）证明：当32a =时，且2n ≥，由（2）可知3(1)nn a n ⎡⎤=+-⎣⎦ ①当1n =时，222111912a =< ②当2n ≥时，216(1)n a n -=-，23(21)n a n =+2222232121111n na a a a -∴++⋯++ 2222222423521111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦11111111361223(1)3612(2)(1)n n n n ⎡⎤⎡⎤<⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯--⎣⎦⎣⎦1111111111111113622313622321n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯+-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112361361n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ 1111112361112n n ⎛⎫=--< ⎪+-⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算能力，分析转化能力有较高要求，属于难题数学Ⅱ 附加题部分（本部分满分40分，时间30分钟）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21.[选修42：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值． 【答案】x ，y 的值分别为0，1． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422ab +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线2sin()()4l m m R πρθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．当圆心C到直线l 的距离为2时，求m 的值。
《用频率作为概率的估计值》教学反思
《用频率作为概率的估计值》的教学反思
《用频率作为概率的估计值》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十五章的内容。
首先确定本节课进一步学习用频率估计概率，根据随机事件有的做起来非常麻烦，并且不可能进行大量实验的特点，教师引导学生学习“模拟实验”。
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，出现的频率值接近于某个常数。
乒乓球的产品质量品级是随机事件，油菜籽的发芽率也是随机事件，观察两个随机事件的统计结果可以估计其频率。
例题讲解过程中，教师引导学生从表格中找出有两个值的数据，求出相应频率，进而估计出概率。
再一次验证：当试验次数很大时，一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近，因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
遗憾的是，学生在估计概率时，结果写了等于号，还有一些学生在保留数据的位次上出现错误。
《用频率估计概率》的教学反思范文
《用频率估计概率》的教学反思《用频率估计概率》的教学反思范文身为一名人民教师，我们需要很强的课堂教学能力，对教学中的新发现可以写在教学反思中，快来参考教学反思是怎么写的吧！以下是小编收集整理的《用频率估计概率》的教学反思范文，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《用频率估计概率》的教学反思1本节课的主旨是希望学生“动”起来，通过不同的情景与话题让学生动口、动脑、动手。
在本节课的实施过程中，自已感受最深的体会有三：1、提供贴近生活的学习素材，是激活学生学习动机的基础。
在问题的设计中，让学生首先亲身经数学问题的现实场景——池塘里有多少鱼？从而看到有价值的数学，促使其用数学观点进行解释与应用，使得整个学习活动更为生动活泼，学生也在这种生动的问题情景中，获得了对数学知识的理解与认同。
2、设计动态平衡的活动方案，是激发学生积极动手的基础。
在活动的设计中，我们考虑的是一种动态平衡，而不是一种盲动和简单的图热闹。
基于此，活动给了学生相同的起点（相同的白棋数目，相同的样本容量，相同的实验次数，相同的实验时间），这有效地协调了各组活动的进度，避免了课堂节奏的失控。
但同时我们也能看到，学生到达的终点却可能是不同的（不同小组的不同结果，不同方案的不同精确度，不同方案的不同可行度，不同成员的不同收获）。
3、组织实力相当的活动小组，是激励学生协作竞争的基础。
对于活动的分组，注意了把握“组内异质，组间同质”的原则，一方面发挥了组内成员相互协作的意识，不同的人可以发挥不同的作用，如基础较差的学生可以进行一些操作活动，基础较好的学生可以进行数据的分析及结果的估计，使不同层次的学生有不同的提高，又不失对数学学习兴趣的'一种持续发展，同时也实现了学生间的一种互动对话及交流。
另一方面激发了组间成员相互竞争的意识，每个成员服务于自己的小团队，如果自己获得了成功，会感觉到为自己的小集体争了光，如果自己团队中的成员有上佳表现，自己也为自己在这个团队中而感到无尚光荣。
《利用频率估计概率》教学反思
《利用频率估计概率》教学反思本节课是在前面对于结果个别有限且每个结果可能性相等的随机事件，去用列举法来解决的基础上人人统计式试验频率的角度去研究一些随机试验中事件的概率，由于此方法不受列举法求概率的两个条件限制，所以本节要强调的是在什么情况下用这种方法，怎么用这种方法求概率也是本节的重点和难点之所在。
插入教学片断，在复习引入阶段首先把提出什么叫概率，用列举法求概率的条件是什么，这两个问题学生略加思考就回答上来，虽然有的同学表述的不够规范，但基本思想相差不大，但是出于为本节课后面要用到以前的频数频率知识点的应用，又提出了“什么叫频率”这样一个问题，学生学这个知识点的时间相隔时间比较长了，所以在回答这个问题时花了一点时间，其实教完本课后感觉在这里没必要提出个这问题，因为后面的统计中有频数m,有总数n,有事件发生的频率,这三者之间的关系一目了然，没必要在复习引入阶段让学生描述什么是频率，如果把这个问题所花费时间去间接的描述为什么不能用列举法去求某些事件发生的概率的原因上来，可能效果要好的多，也为后段的练习腾出了一点时间。
在举的两个不能用列举法概率的例子时，课前设计的时候主要是从后面第二课时的两个例题中的题材，主要考虑是在这里举这两例子可以为第二课时解决这两个问题做些铺垫，把似乎感觉这两个例子用在这里不是特别恰当，不能很好地说明不能用列举法求这两件事的概率的原因，所以在今后的教学中应更多的运用身边的活生生的典型，贴切的例子更有例子教学。
纵观本节教学还存在着很多需要板书的知识点，没有板书，主要原因是本节知识点不列于板书，所需时间较长，怕影响授课时间，其实像这样的问题在课前预习阶段可以把这个知识点设计成填空题形式，提前预设，即巩固了学生的记忆，也让学生更加直现了解本节所需要点掌握的内容，一举两得。
本节的教学节奏慢也是本节里显得有些忽忙结束的原因，导致教学节奏慢与本人教学习惯有一定关系，长期养成的一个习惯，总是担心讲的不够全面，生怕学生没听懂，以致课堂容量显得有点少，没有太多的时间去训练，以后还是争取精讲、多练、有时间练。
《频率与概率》第一课时教学反思
频率与概率第一课时教学反思引言频率与概率是数学中的重要概念，经常被应用于统计学、概率论以及各种实际问题的分析和解决。
本文将对我在《频率与概率》第一课时的教学进行反思，从教学目标、教学过程和教学效果三个方面进行总结和反思，以期在今后的教学中做出改进和提高。
教学目标在第一课时的教学中，我的主要教学目标是引导学生理解频率和概率的关系，掌握频率和概率的计算方法，并能够应用于实际问题的解决。
然而，在教学过程中我发现，学生对于频率和概率的概念理解程度不够，对于计算方法也不够熟练，导致教学效果不尽如人意。
教学过程教学方法选择和设计在教学过程中，我采用了多种教学方法，包括讲授、示范、练习和讨论等。
首先，我通过引入生活中的例子来引起学生的兴趣，并给出频率和概率的定义，让学生理解其背后的概念。
然后，我通过示范和练习，让学生了解频率和概率的计算方法，并帮助他们解决实际问题。
最后，我进行了小组讨论，鼓励学生互相交流和分享自己的思考和理解。
教学资源和辅助工具应用在教学过程中，我使用了多媒体投影仪展示示范和实例，让学生直观地了解计算步骤和思路。
我还为每个学生配备了练习册和计算器，以方便他们进行练习和计算。
此外，我还准备了一些经典例题和作业，以帮助学生巩固所学知识。
教学效果学生反应根据学生的课堂作业和小组讨论，我了解到学生对于频率和概率的理解还不够深入。
他们普遍存在以下问题：•对于频率和概率的定义理解不清楚。
•对于计算频率和概率的方法不熟悉。
•在实际问题的应用上存在困惑和不确定。
教学反思在反思教学过程和学生反应后，我认为以下几个方面需要加以改进和提高：1.教学目标明确性。
在今后的教学中，我需要更明确地定义教学目标，确保学生对于频率和概率的理解程度和应用能力有所提高。
2.教学方法多样化。
除了讲授和练习，我可以引入更多互动性教学方法，如小组合作、实际探究等，以提高学生的学习主动性和参与度。
3.针对问题进行针对性指导。
对于学生对于频率和概率的理解问题，我可以增加更多示例和练习，帮助他们加深对于这两个概念的认识。
2023年用频率估计概率的教学反思整理
让知识带有温度。
2023年用频率估计概率的教学反思整理用频率估量概率的教学反思通过解决较简单的概率问题，使同学体会建模的必要性。
本节课的每一个环节中，我们都是以问题的解决为中心。
学校阶段同学的奇怪心和求知欲特别强，在学习中用频率来估量概率以及建立数学模型的有关学问后，具备了解决问题的条件，面对挑战，同学能通过自主探究，合作沟通等学习方式解决问题，这时应充分挖掘同学的潜力，注意激发同学的爱好，感受解决有关概率的实际问题的重要性。
教学方法上，提高同学动手动脑的`力量，加强集体合作意识，扩大学问面，激发学习数学的爱好，数学教学应当以同学的进展为本，让同学成为学习的仆人，老师是同学学习的组织者，引导者，合。
从同学的生活阅历与学习阅历动身，本节课实行以下方法进行教学：（1）引导——探究爱因斯坦曾经说过“教育应当使供应的东西，让同学作为一种珍贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担”。
教学中创设情境引导同学乐观参与思索，进行自主探究。
（2）活动——参加通过操作，实践活动方式，调动多种器官参加，乐观组织同学利用概率与统计的学问进行合理的推断。
（3）争论——沟通第1页/共2页千里之行，始于足下。
提出问题，课堂争论，沟通反馈，增加同学的主体意识，提高同学运用学问解决问题的力量，在教学过程中重视同学的参加，给同学活动的机会，思索的机会使同学在猎取学问的过程中，开发智力，培育力量。
学习方法指导在合理选择教法的同时，注意同学学法的指导，使同学不仅学会还要会学。
本节课主要指导同学以下学法。
（1）自主探究通过自主学习，体会转化的思想，类比的思想，培育同学良好的学习习惯，熬炼同学的意志品质，进展同学勇于探究，勇于创新的科学精神。
（2）合作沟通借助合作沟通。
解除困惑，使自己的思路更明确，并有机会共享他人的想法，促进同学之间的学习。
【用频率估量概率的教学反思】文档内容到此结束，欢迎大家下载、修改、丰富并分享给更多有需要的人。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第25章25.3 用频率估计概率
25.3 利用频率估计概率一、教学目标【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.【情感态度与价值观】通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】对利用频率估计概率的理解和应用.【教学难点】利用频率估计概率的理解.五、课前准备课件等.六、教学过程（一）导入新课教师问：抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？（出示课件2）学生答：出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况.教师问：它们的概率是多少呢？学生答：都是1.2教师问：在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？（出示课件3）在学完用列举法求随机事件发生的概率这节内容后，小明同学提出一个问题.他抛掷一枚硬币10次，其正面朝上的次数为5次，是否可以说明“正面向上”这一事件发生的概率为0.5？用列举法可以求一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率.（板书课题）（二）探索新知探究一用频率估计概率出示课件5-9：抛硬币实验(1)抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：(2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.学生尝试画图：的直线，你发现了什么？(3)在上图中，用红笔画出表示频率为12的直线，并观察思考.学生画出表示频率为12教师强调：试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？学生答：支持.教师问：抛掷硬币试验有什么特点？学生答：1.可能出现的结果数有限；2.每种可能结果的可能性相等.教师问：如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？学生独立思考，交流.出示课件10-13：图钉落地的试验从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？其中顶帽着地的可能性大吗？(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结果填写下表.(2)根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.学生尝试画图：(3)这个试验说明了什么问题？学生答：在图钉落地试验中，“顶帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数56.5%附近.出示课件14：教师归纳：通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.出示课件15：知识拓展：人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.出示课件16：教师强调：一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的(这里n是实验总次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发频率mn生的次数）会稳定到某个常数P.于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即P（A）=P.练一练：判断正误（出示课件17）⑴连续掷一枚质地均匀硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1.（2）小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近.（3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取1000只灯泡，一定有10只次品.学生思考后口答：⑴错误；⑵正确；⑶错误.出示课件18：例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：（1）填表（精确到0.001）；学生计算后并填表:（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？学生独立思考后口答：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.巩固练习：（出示课件19）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4学生自主思考后口答：D.出示课件20，21：例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”.由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计.某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：(1)计算上表中合格品率的各频率(精确到0.001);(2)估计这种瓷砖的合格品率(精确到0.01);(3)若该厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数.学生计算思考后，师生共同解答.（出示课件22）解：(1)逐项计算，填表如下：稳定在0.962⑵观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥400时，合格品率mn的附近，所以我们可取P=0.96作为该型号瓷砖的合格品率的估计.(3)500000×96%=480000(块)，可以估计该型号合格品数为480000块.出示课件23:教师归纳总结：频率与概率的关系在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与试验无关.巩固练习：（出示课件24）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)；(2)这些频率具有什么样的稳定性？(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1)学生自主思考后独立解答：⑴计算如下：⑵稳定在0.8附近；⑶0.8.（三）课堂练习（出示课件25-34）1.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过92.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼尾,鲢鱼尾.3.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次，这是为什么？4.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率P（白球）= .5.填表：由上表可知：柑橘损坏率是，完好率是.6.某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？7.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.参考答案：1.D解析：由图知试验结果在0.33附近波动，因此概率约等于0.33.取到红球概率为0.6，故A错；骰子向上的面点数是偶数的概率为0.5，故B错；两次都出现反面的概率为0.25，故C错，骰子两次向上的面点数之和是7或超过9的概率≈0.33，故D正确.为132.310；2703.答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.4.⑴0.6；⑵0.6.5.解：填表如下：由上表可知：柑橘损坏率是0.10，完好率是0.90.6.分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为21000020= 2.22(90009⨯≈元/千克），设每千克柑橘的销价为x 元，则应有（x-2.22）×9000=5000，解得x ≈2.8.因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.7.解：先计算每条鱼的平均重量是：（2.5×40+2.2×25+2.8×35）÷（40+25+35）=2.53（千克）；所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000×95%=240350（千克）.（四）课堂小结1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教师应把握教学难度，注意关注学生接受情况.。
用频率估计概率教学反思
用频率估计概率教学反思用频率估计概率是九年级数学上册的内容。
所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的。
以下是店铺为你整理的用频率估计概率教学反思，希望能帮到你。
用频率估计概率教学反思篇一本节课是在学生刚刚学习了用列举法求随机事件的概率之后，结合频率的知识来解决的。
从统计的角度去研究一些随机事件的概率。
本节要强调的是在什么情况下用这种方法，怎么用这种方法求概率也是本节的重点和难点之所在。
在复习引入阶段首先提出什么叫概率，用列举法求概率的条件是什么，这两个问题学生略加思考就回答上来，虽然有的同学表述的不够规范，但基本思想相差不大，但是出于为本节课后面要用到以前的频数、频率知识点的应用，又提出了“什么叫频率”这样一个问题，学生学这个知识点的时间相隔时间比较长了，所以在回答这个问题时花了一点时间，其实教完本课后感觉在这里没必要提出个这问题，因为后面的统计中有频数m,有总数n,有事件发生的频率m\n，这三者之间的关系一目了然，没必要在复习引入阶段让学生描述什么是频率，如果把这个问题所花费时间去间接的描述为什么不能用列举法去求某些事件发生的概率的原因上来，可能效果要好的多，也为后段的练习腾出了一点时间。
在举的两个不能用列举法概率的例子时，课前设计的时候主要是从后面第二课时的两个例题中的题材，主要考虑是在这里举这两个例子可以为第二课时解决这两个问题做些铺垫，我感觉这两个例子用在这里不是特别恰当，不能很好地说明不能用列举法求这两件事的概率的原因，所以在今后的教学中应更多的运用身边的活生生的典型，贴切的例子辅助教学。
纵观本节教学还存在着很多需要板书的知识点而没有板书，主要原因是本节知识点不利于板书，所需时间较长，怕影响授课时间，其实像这样的问题在课前预习阶段可以把这个知识点设计成填空题形式，提前预设，既巩固了学生的记忆，也让学生更加直观了解本节所需要掌握的内容，一举两得。
冀教版九年级数学下册31 用频率估计概率教案与反思
31.3用频率估计概率祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律．2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率．3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．一、情境导入养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？二、合作探究探究点一：频率【类型一】频率的意义某批次的零件质量检查结果表：(1)计算并填写表中优等品的频率；(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率．解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率．解：(1)填表如下：(2)0.8【类型二】频率的稳定性在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________．解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近16 .探究点二：用频率估计概率【类型一】用频率估计概率(2014·贵州黔东南)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( )A．可能有5次正面朝上B．必有5次正面朝上C．掷2次必有1次正面朝上D．不可能10次正面朝上解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面上或有1次反面向上．选项B、C、D不一定正确，选项A正确，故选A.方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．【类型二】推算影响频率变化的因素(2014·贵州贵阳)“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝20，故答案为：200 方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．【类型三】频率估计概率的实际应用为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．解析：设鱼塘中估计有x条鱼，则5∶200＝30∶x，解得：x＝1200，故答案为：1200.方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．三、板书设计教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。
用频率估计概率(第1课时) 教案 说课稿 课件 教学反思
25.3用频率估计概率（第1课时）赛博中学李祥文【教学任务分析】【教学环节安排】【当堂达标自测题】一、填空题１.数 102030 中的 0 出现的频数为＿＿＿＿＿.2.小射手为练习射击，共射击60次，其中36次击中靶子，试估计小射手依次击中靶子的概率为＿＿＿＿＿.3.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼_______尾,鲢鱼_______尾.4.“五一”黄金期间，梁先生驾驶汽车从甲地经乙地到丙地游玩，甲地到乙地有两条公路，乙地到 丙地有三条公路，每一条公路的长度如图25.3.1-1所示，梁先生任选一条从甲地到丙地的路线，这条路正好是最短的路线的概率为图25.3.1-1二、选择题1.在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机能取一个球，取道红球的概率是（ ）A.311B.811C.1114D.3142.某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个.若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ） A. 1001 B.10001 C.100001 D.10000111 3.从A 、B 、C 、D 四人中用抽筌的方式，选取二人打扫卫生，那么能选中A 、B 的概率为（ ）A.14B.112C.12D.16三、解答题如图25.3.1-2,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如果随机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形内.(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？(2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形的面积.图25.3.1-2。
初中数学_用频率估计概率教学设计学情分析教材分析课后反思
“正面向上”频率m/n.思考：1.观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？2.随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？得到：每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们计算的概率是一致的，就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）.4.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.5.归纳：即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率, 记作P（A）= p.思考：①课本142页思考.②频率与概率有什么区别与联系?从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.③阅读课本142页文字，并思考：如何灵活选用利用频率估计概率与利用公式求概率.6.练习:某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示:(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是_____.三、课堂训练完成课本142、145页练习四、小结归纳1.本节学习的概率问题有什么特点？2.利用频率估计概率与利用公式求概率分别适用于什么样的问题？如何灵活选择方法求事件的概率？五、作业设计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习. 学生结合统计表和统计图思考学生类比得出结论教师给出概率的统计定义，学生理解.学生以小组形式讨论频率与概率的区别与联系师生交流总结出如何灵活选用利用频率估计概率与利用公式求概率.学生根据上面探究阅读分析尝试解决问题，明白在结果可能性不相等的情况下要利用频率来估计概率.学生在实际背景下弄清题中的数量关系，逐步理出思路，解决问题.教师组织学生进行练习，学生独立完成，教师巡视指导.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总通过学生亲自动手实践和历史材料展示,体会大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.通过辨析区别与联系加深理解，以便灵活选用通过实际应用理解和巩固利用频率估计概率的方法，培养学生应用意识.应用巩固，掌握方法.使学生能灵活求事件的概率.归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高学情分析学生在小学对事件发生的可能性大小已经有了初步的认识，有了在具体环境中对可能性的体验。
用频率作为概率的估计值
用频率估计概率的教学反思本节课通过实验估计随机事件发生的概率，并引入模拟实验。
备课时注意到与学生的实际生活相联系，先通过课堂实验活动，让学生逐步计算一个随机事件发生的实验频率，并结合统计图使学生认识到频率随试验次数的变化规律，再进一步引导学生使他们能够把频率与概率联系起来，最后归纳出实验频率趋近于理论概率这一规律。
从数学角度而言，统计与概率两个学科互为基础，它们是密不可分的整体。
因为是新教材的内容，学生所体现出来的基础差异不是很明显，所以给教学带来一定的便利条件。
一节课下来收效比较明显，但也因为是新内容，所以在教学的过程中难免会出现一些遗漏和知识的归纳总结不太完善的情况。
这节课的教学反思如下：一、教学流程回顾：1、复习导入通过几道简单的频率、概率练习，使学生能快速回顾频率与概率的基本知识为该堂课的学习做好铺垫。
2、动手操作通过做抛骰子的试验，让学生能亲身感受，并能培养他们收集数据、处理数据的能力。
通过观察折线统计图，使他们初步了解频率与概率的关系。
3、教师点评帮助学生梳理数据和引导学生知道“用频率估计概率”的方法除了可以解决“抛骰子”事件外，还可以应用到其他方面。
4、课堂检测通过练习让学生熟悉用频率估计概率的方法，加深对概率统计定义的理解。
5、课堂总结通过总结，使学生对本节课所学的知识有一个清晰的认识，同时使他们区分开频率和概率两个概念，知道什么情况的时候用频率来估计概率。
6、课后作业通过作业了解教学的效果，以便于及时调整教学。
二、教学过程成功之举1、各环节时间安排与原定计划一致，使课堂上的每分钟都能充分利用。
2、实验数据、结果都非常准确。
16组学生的800次抛骰子数据，其中“单数向上”的累计频数为404次，出现“单数向上”的频率为0.505，与理论概论非常接近，从而增加了说服力。
3、学生学习气氛非常浓厚。
由于这节课的内容与生活联系密切而且难度不大，再加上设计过程中题目和实验都取材于生活，题目难度也是围绕本班的实际情况来设计。
《利用频率估计概率》教学反思
《利用频率估计概率》教学反思本节课是在前面关于结果一般有限且每个结果能够性相等的随机事情，去用罗列法来处置的基础上人人统计式实验频率的角度去研讨一些随机实验中事情的概率，由于此方法不受罗列法求概率的两个条件限制，所以本节要强调的是在什么状况下用这种方法，怎样用这种方法求概率也是本节的重点和难点之所在。
拔出教学片断，在温习引入阶段首先把提出什么叫概率，用罗列法求概率的条件是什么，这两个效果先生略加思索就回答下去，虽然有的同窗表述的不够规范，但基本思想相差不大，但是出于为本节课前面要用到以前的频数频率知识点的运用，又提出了什么叫频率这样一个效果，先生学这个知识点的时间相隔时间比拟长了，所以在回答这个效果时花了一点时间，其实教完本课后觉得在这里没必要提出个这效果，由于前面的统计中有频数m,有总数n,有事情发作的频率 ,这三者之间的关系了如指掌，没必要在温习引入阶段让先生描画什么是频率，假设把这个效果所破费时间去直接的描画为什么不能用罗列法去求某些事情发作的概率的缘由下去，能够效果要好的多，也为后段的练习腾出了一点时间。
在举的两个不能用罗列法概率的例子时，课前设计的时分主要是从前面第二课时的两个例题中的题材，主要思索是在这里举这两例子可以为第二课时处置这两个效果做些铺垫，把似乎觉得这两个例子用在这里不是特别恰当，不能很好地说明不能用罗列法求这两件事的概率的缘由，所以在今后的教学中应更多的运用身边的活生生的典型，贴切的例子更有例子教学。
纵观本节教学还存在着很多需求板书的知识点，没有板书，主要缘由是本节知识点不列于板书，所需时间较长，怕影响授课时间，其实像这样的效果在课前预习阶段可以把这个知识点设计成填空题方式，提早预设，即稳固了先生的记忆，也让先生愈加直现了解本节所需求点掌握的内容，一箭双雕。
本节的教学节拍慢也是本节里显得有些忽忙完毕的缘由，招致教学节拍慢与自己教学习气有一定关系，临时养成的一个习气，总是担忧讲的不够片面，生怕先生没听懂，致使课堂容量显得有点少，没有太多的时间去训练，以后还是争取精讲、多练、有时间练。
《25.3 用频率估计概率》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级上册
《用频率估计概率》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解频率稳定性，并理解概率和频率之间的关系。
2. 学会使用频率估计概率的方法。
3. 培养观察、分析和解决问题的能力。
二、教学重难点：教学重点：理解频率稳定性，掌握用频率估计概率的方法。
教学难点：如何根据实际情况，灵活运用频率估计概率。
三、教学准备：1. 准备教学PPT和相关图表。
2. 准备实验器材，如小球、骰子等。
3. 准备概率应用案例，以便在实际教学中使用。
四、教学过程：（一）导入新课通过一些简单的实例，引导学生体会频率与概率之间的关系，感受概率的意义。
例如：1. 抛一枚均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为0.5，那么连续多次抛掷后，正面朝上的频率是否会一直稳定在0.5左右呢？2. 投掷两枚均匀的骰子，计算朝上一对骰子的点数和为偶数的概率。
每次试验这种事件都会发生吗？它的概率会改变吗？通过这些实例，让学生感受到频率与概率之间的关系，并引出课题。
（二）探索新知通过实验活动，让学生体验如何通过实验来估计概率。
例如：1. 设计一些简单的实验，如摸球、摸卡片、转盘等，让学生自己动手实验，感受实验的次数对估计概率的影响。
2. 讨论如何选择合适的实验方法来估计不同事件的概率。
3. 通过实例让学生了解随机事件发生的频率在多次试验中会有一定的稳定性，可以用来估计某个事件的概率。
4. 探究如何将一个必然事件或不可能事件转化为一个随机事件来估计它的概率。
（三）巩固提高通过一些练习题，让学生应用所学知识解决实际问题，加深对知识的理解。
例如：1. 一些简单的概率计算题。
2. 一些与生活实际相关的概率问题，如彩票中奖率、天气预报的准确率等。
（四）小结作业1. 总结本节课的主要内容，强调频率与概率之间的关系，以及如何通过实验来估计概率。
2. 布置作业，让学生通过作业进一步巩固所学知识，并可以自行设计一些简单的实验来感受概率的意义。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解频率稳定值的概率的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
突然接到通知，说要听我的课，心里很慌张。
这节课要讲的是九年级上册第25章第3节用频率估计概率第1课，虽然带过毕业班，但是本节内容是新增内容，我也是第一次教。
再加上自己对教学内容把握的也不是很好，所以心里很没底。
果不其然，在上课过程中，我有好几次大脑短路的情况，脑子瞬间空白，不知道下一句该讲什么，整堂课上下来心里很不舒服。
等公开课上完了，自己回到办公室一琢磨，才悟到课本内容安排的意图。
课本一开始有一个掷硬币游戏，安排意图是让学生理解用频率估计概率的可行性。
掷一枚硬币正面向上的概率是0.5，这个数值用列举法即可求出，在这里我们通过实验发现正面向上的频率稳定在0.5附近，从而得出：当试验次数足够大时，频率稳定于概率。
所以我们可以用频率去估计概率。
既然用列举法求概率相对简单易行，那我们为什么还要用频率去估计概率呢？这里可以给学生举出抛图钉的实例，在这个实验中，正面向上和反面向上的可能性不相等；再比如想知道姚明罚球的命中率，因为实验中出现的结果不是有限个，所以也无法用列举法求概率。
由这两个例子，让学生理解到学习用频率估计概率的必要性。
学生理解了用频率估计概率的可行性和必要性，接下来就可以进行练习了。
在练习中要给学生讲明我们是用频率估计的概率，所以这个概率只是个近似值，而不是精确值，所以在问题的
答语中，应说明结果大约是多少。
一次经历，一次收获，通过这次不成功的公开课，我有了新的收获，原来的不舒服被如今的喜悦所代替。
头顶上乌云瞬间消失，变得晴空万里。