中考数学专题新概念型问题

2013年中考数学专题：新概念型问题
许町中学蠡缘
一、什么是“新概念”型问题：“新概念”型问题主要指在问题中出现了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号。

要求学生读懂题意以后，结合自己已有的知识和能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、探究、拓展的一种题型。

“新概念”型问题，近年来中考数学试卷中常常出现，所以，在复习过程中，应重视培养学生阅读理解和运用新概念解决问题的能力。

二、解题策略与方法要点。

解“新概念型问题”关键两点：
1、掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法。

2、根据具体问题的情景，认真思考，联系新概念，进行方法上的迁移和拓展。

解“新概念型问题具体方法过程上分三个步骤：
①阅读理解，读懂新概念。

②具例印证、强化认识、。

③联系应用，解决问题或探究拓展
三、下面就毕业班综合训练册中出现的新概念型问题举例探析。

(一) 运算题型中的新概念。

【P25（第7题）】
例1对于非零的两个实数a、b，规定a ⊗b=3a-b
若1 ⊗（x+1）=1,则x=(A)
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解：∵ 1 （x+1）=1∴3－(x+1)=1 2－x=1 x=1 思路分析：根据题中的新概念，按a 、b 两实数间规定的运算，将待解问题化成普通方程，即可求出x 的值。

点评：此题练习实数的运算，属于新概念的题型，涉及到解一元一次方程。

正确进入新概念规定的运算程序是解题的关键。

【P36】例3我们定义| d
c
b a |=ad －bc.
例如| 5432 |=2×5－3×4=10－12=-2若x 、y 均为整数，且满
足1＜|
4
x 1y |＜3,则x+y 的值是±3
思路分析:根据题中的新概念，结合具例，掌握新概念运算规定的程序，将问题迁移到不等式组问题。

解：由定义|
4
x 1y |=4－xy ∵x y 为整数
∴1＜4－xy ＜3 ∴xy=2
那么x,y 分别为1,2或2，1，-1，-2或-2，-1 ∴1＜xy ＜3 ∴x+y=±3
点评：此题考查式运算，属新概念题型，涉及到不等式组整数解的问题。

(二) 开放题型中的新概念
【P105第九题】例：如图方格纸中每个方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，图
中四边形ABCD 就是一个格点四边形。

⑴图中四边形ABCD 面积为S 四边形=2
1×4×3=6
⑵请在所给的方格纸中画一个格点三角形EFG ,使S △EFG =S
四边形
ABCD
思路分析：此题是在方格中按等积的条件画△EFG ，按照题中的新概念的要求，作△EFG 是格点三角形同时使S △EFG =S 四边形ABCD 由（1）知S 四边形ABCD =6，这样符合条件
的△EFG 就有多种不同情形
如此等等。

点评：此题结论开放，考察多种方式作图，属于新概念题型，涉及三角形的面积公式，根据题意△EFG 满足两个条件，一是格点三角形，二是S △EFG =S 四边形ABCD ，符合条件的△EFG 不唯一。

(三)规律题型中的新概念 P13第五题 例观察下列等式：
12 ×231=132 ×21
13 ×341=143×31
23×352=253×32
34×473=374×43
62×286=68×26
以上每个等式中两边数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间是有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。

1、根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”。

52 ×275=572×25
63×396=693×36
2、这类等式左边两位数的十位数字a,个位数字为b,且写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b)并证明。

解：（10a+b）[100b+10 （a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b ]（10b+a）证明：∵左边=（10a+b）（110b+11a）=11( 10a+b)( 10b+a)[] 右边=(110a+11b) (10b+a)=11( 10a+b)( 10b+a)
∴左边=右边即原等式成立。

思路分析：根据新概念“数字对称等式”的特点，观察所列各式，完成（1）中填空，按每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间都具有对称性的规律，拓展到一般式
（10a+b）[100b+10 （a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b ]（10b+a）然后证明结论。

点评：此题是规律型题中的新概念，根据新概念“数字对称等式”的特点，依样画葫芦完成问题的解答，涉及到列代数式及等式的证明。

四、探索题型中的新概念
P96第14题：联想三角形外心的概念，我们可以引入如下概念。

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准外心。

举例：如图1若PA=PB,则点p 为△ABC 的准外心。

应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心p 在高CD 上，且PD=2
1
AB,求∠
APB 的度数。

探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边
BC=5，AB=3，准外心p 在AC 边上，试探究PA 的长。

思路分析：阅读要明确新概念三角形的准外心是到三角形的两个顶点距离相等的点。

2通过具例中的图1，认识若PA=PB,则点p 为△ABC 的准外心。

3联系图2中的等边三角形性质和准外心P 点所具的条件探求∠APB 的度数，可分以下三种情形探索： （1）PB=PC (2)PA=PC (3)PA=PB 解：①若PB=PC 连接PB 则∠PCB=∠PBC ∵CD 为等边三角形ABC 的高 ∴AD=BD ∠PCB=300
∴∠PDB=∠PBC=300
∴PD=
33DB=6
3
AB A
B
C
P （1）
A
B D
D
B
这与已知PD=2
1AB 矛盾∴ PB ≠PC ②若PA=PC,连接PA,同理可得PD ≠PC ③若PA=PB,由PD=2
1AB 可得PD=BD ∴∠APB=900故∠APB=900
如图△ABC 为直角三角形，准外心P 在AC 上
解若PB=PC 连接PB ，设PA=X 由勾股定理AC==223-5=4 PC=PB=4-x
在直角三角形PAB 中，x 2+32=(4-x)2 ∴x=8
7即PA=8
7
（2）若PA=PC,则PA=2(3)若PA=PB 由图可知在PAB
中，不可能。

· PA=2或87
点评：此题探求在新概念“三角形准外心”条件下∠APB 的度数与线和PA 的长，对于不同的三角形分三种情情形探索求解。

涉及到等边三角形性质、直角三角形性质等综合解答。

五、阅读材料题型中的新概念
例（P46第14题）：对于平面直角坐标系中的任意两点P 1(X 1，
Y 1)P 2(X 2，Y 2)我们把|x 1-x 2|+|y 1-y 2|叫做p 1p 2两点间的直角距离，记作d(p 1，p 2)
(1) 已知0为坐标原点，动点P （x ，y ）满足d （O ，P ）=1
D
B
A A
B
P
请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件点p所组成的图形。

（2）设P o(x o,y o)是一定点，Q(X，Y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(p0，Q)d 最小值叫做p0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离。

思路分析：
（1）由“两点间的直角距离”，直接写出满足d(O，P)=1的y与x 的关系式并画图。

（2）由点到直线的直角距离并结合数轴上两点间的距离计算方法即可得到点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离
解：由题意得|x|+|y|=1如图符合条件的点p组成的图是正方形
∵Q点（x，y）在直线y=x+2上∴Q(x,x+2)
∴d(M,Q)=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|
∵可取一切实数，∴|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.
∴点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离为3.
点评：此题是新概念题，通过阅读题中的新概念，联系已知定点和动点坐标完成解题过程，涉及到函数的相关知识。

在复习过程中，就新概念型问题结合所使用的复习材料，做好方法上的指导与示范，有利于提高学生解这一类型问题的能力。

附练习：
P50第12题：
在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形周长和面积相等，则这个点叫和谐点。

例如：图中过点p 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长和面积相等，则点p 是和谐点。

（1） 判断点M(1，2)，N(4，4)是否为和谐点，并
说明理由。

（2） 若和谐点P （a,3）在直线y=-x+b(b 为常数)上，
求a,b 的值。

思路分析：
（1） 由所给“和谐点”的概念，验证点M,N 向坐标轴所作垂线与
坐标轴所围矩形是否满足周长与面积相等，即可判断。

（2） 由和谐点的概念先求a 的值，再结合直线y=-x+b,求b 的值。

解：∵1×2≠2（1+2）∴M （1,2）不是和谐点 4×4=2（4+4）∴N(4,4)是和谐点。

（3） 由题意：∵P （a,3）为和谐点
当a ＞0时，2（a+3）=3a ∴a=6 ∴P(6,3)
∵p 点在直线y=-x+b 上∴b=9 当a ＜0时
x
∵p为和谐点
∴2（-a+3）=-3a
∴a=-6
∴p(-6,3)
点p在直线y=-x+6上
∴b=-3
∴a=6,b=9或a=-6,b=-3
P120第21题：
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线。

1三角形由无数条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。

2如图1所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线。

3如图2四边形ABCD中，AB与BC不平行。

AB≠CD，且S△ABC<S △ACD,
过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由。

3过B作BE∥AC交DC延长线与E,连接AE,则S△ ACE=S△ ABC
∴S△ ADE=S四边形ABCE取DE中点F作垂线AF∴AEF=ADF∴AF就是四边形ABCDD 面积等分线，∴AF是△ADED 面积等分线。

A
B
C D
E
F。