苏科八上精选专题《勾股定理》：等腰直角三角形精选题36道

等腰直角三角形精选题36道一．选择题（共14小题）1．如图，ABC ∆中，45C ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD DB DE ==，1AE =，则AC 的长为( )A ．5B ．2C ．3D ．22．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，⋯按照此规律继续下去，则2015S 的值为( )A ．20122()2B ．20132()2C ．20121()2D ．20131()23．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A ．2220m mn n ++=B ．2220m mn n -+=C ．2220m mn n +-=D ．2220m mn n --=4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =．若145C BAC ∠+∠=︒，则EDC ∠的度数为( )A ．17.5︒B ．12.5︒C ．12︒D ．10︒5．如图，直线12//l l ，等腰直角ABC ∆的两个顶点A 、B 分别落在直线1l 、2l 上，90ACB ∠=︒，若115∠=︒，则2∠的度数是( )A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒6．已知直线//m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒7．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130∠=︒，则2∠的度数为( )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒8．如图，两条直线12//l l ，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，顶点A 、B 分别在1l 和2l 上，120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE ∆是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④CDE ∆面积的最大值为8．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．②③④10．如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若130∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．30︒C ．15︒D ．10︒11．如图，直线12//l l ，等腰Rt ABC ∆的直角顶点C 在1l 上，顶点A 在2l 上，若14β∠=︒，则(α∠= )A ．31︒B ．45︒C ．30︒D ．59︒12．将一个有45︒角的三角板的直角顶点C 放在一张宽为5cm 的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得30DBC ∠=︒，则三角板的最大边的长为( )A ．5cmB ．10cmC ．102cmD ．52cm13．如图， 在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，BD AE ⊥于D ，DM AC ⊥交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：①45ADC ∠=︒；②12BD AE =；③AC CE AB +=；④2AB BC MC -=；其中正确的结论有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个14．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为()A．40B．3022++C．202D．10102二．填空题（共14小题）15．已知ABC∆唯一确定，那么BC边长∠=︒，8AB=，要使满足条件的ABC∆，45BAC度x的取值范围为．16．在等腰直角三角形ABC中，90AC=，点P为边BC的三等分点，连接AP，ACB∠=︒，3则AP的长为．17．如图，已知等腰Rt ABC∆的斜边AC为直角边，画第二个∆的直角边长为1，以Rt ABC等腰Rt ACD∆的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt ADE∆，⋯，依此∆，再以Rt ACD类推到第五个等腰Rt AFG∆，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为．18．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为．19．把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若123∠=︒，则2∠= ︒．20．如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，32AB =，将ABC ∆沿AB 方向平移得DEF ∆，若ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，则AD = ．21．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆是以C 为直角顶点的直角三角形，且AC BC =，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(0,4)，则点C 的坐标为 ．22．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE ∆为等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，则BE = ．23．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若153∠=︒，则2∠的度数为 ．24．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A D →2/cm s 的速度向点D 运动，过P 点作//PE BC 交AC 于点E ，过E 点作EF BC ⊥于点F ，设ABP ∆的面积为1S ，四边形PDFE 的面积为2S ，则点P 在运动过程中，12S S +的最大值为 ．25．已知ABC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆ 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推，第20个等腰直角三角形的斜边长是 ．26．如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 ．27．如图，等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是AB 上一点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于F 交BC 于E ，G 在是CF 上一点，过点G 作GH BC ⊥于H ，延长GH 到K 连接KC ，使290K BAE ∠+∠=︒，若:2:3HG HK =，10AD =，则线段CF 的长度为 ．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个．三．解答题（共8小题）29．如图，在ABC==，D为BC的中点．AB ACBAC∆中，90∠=︒，6（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE CF∆≅∆；=，求证：AED CFD（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF∆的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．30．如图，ABC=，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、∆是等腰直角三角形，AB AC⊥．AC边上的点，且DE DF（1）请说明：DE DF=；（2）请说明：222+=；BE CF EF（3）若6∆的面积（直接写结果）．CF=，求DEFBE=，831．ABC∆是等腰直角三角形，点E为线段AC上一点(E点不和A、C两点重合），连接BE 并延长BE，在BE的延长线上找一点D，使AD CD⊥，点F为线段AD上一点(F点不和A、D两点重合），连接CF，交BD于点G（1）如图1，若26AB=，1CD=，F是线段AD的中点，求CF；（2）如图2，若点E 是线段AC 中点，CF BD ⊥，求证：CF DE BE +=．32．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移ABN ∆，使点N 移动到点M ，得到DEM ∆（点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ DP =，求CE 的长．33．如图，在ABC ∆中，AC CB =，90ACB ∠=︒，在AB 上取点F ，过A 作AB 的垂线，使得AD BF =，连接BD 、CD 、CF ，CE 是ACB ∠的角平分线，交BD 于点M ，交AB 于点E ．（1）若6AC =，22AF =，求BD 的长；（2）求证：2CM AF =．34．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以BC 为底作等腰Rt BCD ∆，BD CD =，CD 与AB 交于点F ，且F 为CD 的中点，DE 平分BDC ∠交AB 于点E ．G 为BC 边上一点，连接DG 且DBE CDG ∠=∠．（1）若3AC =，求DE 的长：（2）求证：2DG AF =．35．如图在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直角边作等腰Rt BCD ∆，90CBD ∠=︒，斜边CD 交AB 于点E ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，4BE =，作EH BC ⊥于H ，求线段CE 的长；（2）如图2，作CF AC ⊥，且CF AC =，连接BF ，且E 为AB 中点，求证：2CD BF =．36．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，2AC =．求斜边AB 的长．等腰直角三角形精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，ABC ∆中，45C ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD DB DE ==，1AE =，则AC 的长为( )A 5B ．2C 3D 2【分析】利用AD DB DE ==，求出90AEC ∠=︒，在直角等腰三角形中求出AC 的长．【解答】解：AD DE =，DAE DEA ∴∠=∠，DB DE =，B DEB ∴∠=∠，1180902AEB DEA DEB ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 90AEC ∴∠=︒，45C ∠=︒，1AE =，2AC ∴=故选：D ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系求出AEC ∠是直角．2．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，⋯按照此规律继续下去，则2015S 的值为( )A ．20122(B ．20132(C ．20121()2D ．20131()2【分析】根据题意可知第222，则第3个正方形的边长是22(2⨯，⋯，进而可找出规律，第n 个正方形的边长是12(22n -⨯，那么易求2015S 的值． 【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为2； 22； 第三个正方形的边长为：22(2⨯， ⋯第n 个正方形的边长是12()2n -⨯， 所以2015S 的值是20121()2，故选：C ．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n 个正方形的边长．3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A ．2220m mn n ++=B ．2220m mn n -+=C ．2220m mn n +-=D ．2220m mn n --= 【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得222()m m n m +=-，整理即可求解 【解答】解：如图，222()m m n m +=-， 22222m n mn m =-+， 2220m mn n +-=．故选：C ．【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =．若145C BAC ∠+∠=︒，则EDC ∠的度数为( )A ．17.5︒B ．12.5︒C ．12︒D ．10︒【分析】由AB AC =知B C ∠=∠，据此得2180C BAC ∠+∠=︒，结合145C BAC ∠+∠=︒可知35C ∠=︒，根据90DAE ∠=︒、AD AE =知45AED ∠=︒，利用EDC AED C ∠=∠-∠可得答案． 【解答】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，2180B C BAC C BAC ∴∠+∠+∠=∠+∠=︒，又145C BAC ∠+∠=︒， 35C ∴∠=︒，90DAE ∠=︒，AD AE =， 45AED ∴∠=︒，10EDC AED C ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．5．如图，直线12//l l ，等腰直角ABC ∆的两个顶点A 、B 分别落在直线1l 、2l 上，90ACB ∠=︒，若115∠=︒，则2∠的度数是( )A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45CAB ∠=︒，根据平行线的性质可得23∠=∠，进而可得答案．【解答】解：ABC ∆是等腰直角三角形， 45CAB ∴∠=︒， 12//l l ，23∴∠=∠， 115∠=︒，2451530∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．6．已知直线//m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【分析】先求出1254570AED B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，再根据平行线的性质可知270AED ∠=∠=︒．【解答】解：设AB 与直线n 交于点E ，则1254570AED B ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 又直线//m n ， 270AED ∴∠=∠=︒．故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．7．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130∠=︒，则2∠的度数为()A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒【分析】根据平行线的性质，即可得出130ADC ∠=∠=︒，再根据等腰直角三角形ADE 中，45ADE ∠=︒，即可得到1453015∠=︒-︒=︒．【解答】解：//AB CD ，130ADC ∴∠=∠=︒，又等腰直角三角形ADE 中，45ADE ∠=︒， 1453015∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．如图，两条直线12//l l ，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，顶点A 、B 分别在1l 和2l 上，120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：12//l l ，12CAB ∴∠+∠=∠，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =， 45CAB ∴∠=︒， 2204565∴∠=︒+︒=︒， 故选：C ．【点评】本题考查的是等腰直角三角形，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答是解答此题的关键．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE ∆是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④CDE ∆面积的最大值为8．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．②③④【分析】解答此题的关键是在于判断DFE ∆是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF ，由SAS 定理可得CFE ADF ∆≅∆，从而可证90DFE ∠=︒可得DF EF =，可得①DFE ∆是等腰直角三角形正确；可得2DE DF =，当DF AC ⊥时，DF 最小，DE 取最小值42②错误；再由补割法可证③是正确的；CDE ∆最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去DEF ∆的最小面积，由③可知④是正确的．故①③④正确．【解答】解：①连接CF ． ABC ∆为等腰直角三角形，45FCB A ∴∠=∠=︒，CF AF FB ==， AD CE =， ADF CEF ∴∆≅∆，EF DF ∴=，CFE AFD ∠=∠，90AFD CFD ∠+∠=︒90CFE CFD EFD ∴∠+∠=∠=︒，EDF ∴∆是等腰直角三角形，故本选项正确；②DEF ∆是等腰直角三角形，∴当DE 最小时，DF 也最小，即当DF AC ⊥时，DE 最小，此时142DF BC ==，DE ∴==故本选项错误；③ADF CEF ∆≅∆， CEF ADF S S ∆∆∴=，12DCF CEF DCF ADF ACF ABC CDFE S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=+=+==四边形故本选项正确；④当CED ∆面积最大时，由③知，此时DEF ∆的面积最小，此时，1688CED DEF AFC DEF CEFD S S S S S ∆∆∆∆=-=-=-=四边形， 故本选项正确；综上所述正确的有①③④． 故选：C ．【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法． 10．如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若130∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．30︒C ．15︒D ．10︒【分析】根据//a b ，得到1342180∠+∠+∠+∠=︒，将130∠=︒，345∠=︒，490∠=︒代入即可求出2∠的度数． 【解答】解：如图． //a b ，1342180∴∠+∠+∠+∠=︒， 130∠=︒，345∠=︒，490∠=︒， 215∴∠=︒，故选：C ．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．11．如图，直线12//l l ，等腰Rt ABC ∆的直角顶点C 在1l 上，顶点A 在2l 上，若14β∠=︒，则(α∠= )A ．31︒B ．45︒C ．30︒D ．59︒【分析】首先过点B 作1//BE l ，可得12////BE l l ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【解答】解：过点B 作1//BE l ， 12//l l ， 12////BE l l ∴，CBE α∴∠=∠，14EBA β∠=∠=︒，ABC ∆是等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒，31CBE ABC EBA α∴∠=∠=∠-∠=︒．故选：A ．【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．12．将一个有45︒角的三角板的直角顶点C 放在一张宽为5cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得30DBC ∠=︒，则三角板的最大边的长为( )A ．5cmB ．10cmC ．102cmD ．52cm【分析】根据平行线的性质，可得1∠与2∠的关系，根据30︒的角所对的直角边是斜边的一半，可得BC 与CE 的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得AC 与BC 的关系，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：如图：作BE CE ⊥与E 点，5BE cm =， //DB CE ，2130∴∠=∠=︒， 22510BC BE cm ==⨯=，在等腰直角三角形ABC 中，由勾股定理得22221010102AB BC AC =+=+=， 故选：C ．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，先求出BC 的长，再求出AB 的长．13．如图， 在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，BD AE ⊥于D ，DM AC ⊥交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：①45ADC ∠=︒；②12BD AE =；③AC CE AB +=；④2AB BC MC -=；其中正确的结论有( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【分析】过E 作EQ AB ⊥于Q ，作ACN BCD ∠=∠，交AD 于N ，过D 作DH AB ⊥于H ，根据角平分线性质求出CE EQ =，DM DH =，根据勾股定理求出AC AQ =，AM AH =，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ QE =，即可求出③；根据三角形外角性质求出45CND ∠=︒，证ACN BCD ∆≅∆，推出CD CN =，即可求出②①；证DCM DBH ∆≅∆，得到CM BH =，AM AH =，即可求出④．【解答】解： 过E 作EQ AB ⊥于Q ，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠，CE EQ ∴=，90ACB ∠=︒，AC BC =， 45CBA CAB ∴∠=∠=︒，EQ AB ⊥，90EQA EQB ∴∠=∠=︒，由勾股定理得：AC AQ =，45QEB CBA ∴∠=︒=∠， EQ BQ ∴=，AB AQ BQ AC CE ∴=+=+， ∴③正确；作ACN BCD ∠=∠，交AD 于N ，122.52CAD CAB BAD ∠=∠=︒=∠，9022.567.5ABD ∴∠=︒-︒=︒，67.54522.5DBC CAD ∴∠=︒-︒=︒=∠， DBC CAD ∴∠=∠，AC BC =，ACN DCB ∠=∠， ACN BCD ∴∆≅∆， CN CD ∴=，AN BD =， 90ACN NCE ∠+∠=︒， 90NCB BCD ∴∠+∠=︒， 45CND CDA ∴∠=∠=︒，4522.522.5ACN CAN ∴∠=︒-︒=︒=∠， AN CN ∴=，67.5NCE AEC ∴∠=∠=︒， CN NE ∴=，12CD AN EN AE ∴===， AN BD =，12BD AE ∴=， ∴①正确，②正确；过D 作DH AB ⊥于H ，67.5MCD CAD CDA ∠=∠+∠=︒，9067.5DBA DAB ∠=︒-∠=︒，MCD DBA ∴∠=∠， AE 平分CAB ∠，DM AC ⊥，DH AB ⊥，DM DH ∴=，在DCM ∆和DBH ∆中90M DHB ∠=∠=︒，MCD DBA ∠=∠，DM DH =，DCM DBH ∴∆≅∆，BH CM ∴=，由勾股定理得：AM AH =， ∴22AC AB AC AH BH AC AM CM AM AM AM AM AM+++++====， 2AC AB AM ∴+=，22AC AB AC CM +=+，2AB AC CM -=，AC CB =，2AB CB CM ∴-=，∴④正确 ．故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质， 三角形的内角和定理， 等腰三角形的性质和判定， 直角三角形斜边上中线性质， 全等三角形的性质和判定， 等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握， 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 ．14．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为( )A．40B．3022++C．202D．10102【分析】所求正方形的边长即为AB的长，在等腰Rt ACF∆中，已知了CE、DE、∆、CDECF的长均为10，根据等腰直角三角形的性质，即可求得AC、CD的长，由=++即可得解．AB AC CD BD【解答】解：如图；连接AB，则AB必过C、D；CF=；=，10∆中，AC AFRt ACF则52AC AF==；同理可得52BD=；CD=；Rt CDE==，则102DE CE∆中，10所以202=++=；故选C．AB AC CD BD【点评】理清题意，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）15．已知ABCAB=，要使满足条件的ABC∆唯一确定，那么BC边长BAC∠=︒，8∆，45x．度x的取值范围为42x=或8【分析】过点B作BD AC∆是等腰直角三角形；再延长AD到E点，使⊥于点D，则ABD=，再分别讨论点C的位置即可．DE AD【解答】解：过B点作BD AC∆是等腰三角形；再延长AD到E，使⊥于D点，则ABD=，DE AD①当点C和点D重合时，ABCBC=这个三角形是唯一确定的；∆是等腰直角三角形，42②当点C 和点E 重合时，ABC ∆也是等腰三角形，8BC =，这个三角形也是唯一确定的； ③当点C 在线段AE 的延长线上时，即x 大于BE ，也就是8x >，这时，ABC ∆也是唯一确定的；综上所述，45BAC ∠=︒，8AB =，要使ABC ∆唯一确定，那么BC 的长度x 满足的条件是：42x =或8x ．故答案为：42x =或8x ．【点评】本题主要是考查等腰直角概念，正确理解顶点的位置是解本题的关键16．在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为 13或10 ．【分析】①如图1根据已知条件得到113PB BC ==，根据勾股定理即可得到结论； ②如图2，根据已知条件得到113PC BC ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：①如图1，90ACB ∠=︒，3AC BC ==， 113PB BC ==， 2CP ∴=，2213AP AC PC ∴=+= ②如图2，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，113PC BC ==， 2210AP AC PC ∴=+=综上所述：AP 13101310【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．17．如图，已知等腰Rt ABC ∆的直角边长为1，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推到第五个等腰Rt AFG ∆，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 15.5 ．【分析】根据ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出Rt ABC ∆、Rt ACD ∆、Rt ADE ∆的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可．【解答】解：ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，121111222ABC S -∆∴=⨯⨯==； 22112AC =+，22(2)(2)2AD +⋯，22122122ACD S -∆∴===； 32122222ADE S -∆=⨯⨯==⋯ ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n -．4224AEF S -∆∴==，5228AFG S -∆==，由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为1124815.52++++=．故答案为：15.5．【点评】此题主要考查学生对等腰直角三角形、三角形面积公式和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据ABC∆是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt ABC∆、Rt ACD∆、Rt ADE∆的面积，找出规律．18．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为45︒．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出ABC∠的度数．【解答】解：如图，连接AC．根据勾股定理可以得到：5AC BC==，10AB=，222(5)(5)(10)+=，即222AC BC AB+=，ABC∴∆是等腰直角三角形．45ABC∴∠=︒．故答案为：45︒．【点评】本题考查了勾股定理，判断ABC∆是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．19．把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若123∠=︒，则2∠=68︒．【分析】由等腰直角三角形的性质得出45A C∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出68AGB ∠=︒，再由平行线的性质即可得出2∠的度数．【解答】解：ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，45A C ∴∠=∠=︒，123∠=︒，168AGB C ∴∠=∠+∠=︒，//EF BD ，268AGB ∴∠=∠=︒；故答案为：68．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．20．如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，32AB =，将ABC ∆沿AB 方向平移得DEF ∆，若ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，则AD = 2 ．【分析】依据ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，即可得到2DG BG ==，再根据勾股定理可得222222BD =+，即可得出2AD AB BD =-．【解答】解：由平移可得45BDG A ABC ∠=∠=︒=∠，BDG ∴∆是等腰直角三角形，ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，∴122DG BG ⨯=， 2DG BG ∴==，222222BD ∴=+=32222AD AB BD∴=-=-=，故答案为：2．【点评】本题主要考查了平移的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．21．如图，在平面直角坐标系中，ABC∆是以C为直角顶点的直角三角形，且AC BC=，点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(0,4)，则点C的坐标为5(2-，5)2．【分析】作CE x⊥轴于E，CF y⊥轴于F，证明ECA FCB∆≅∆，得到CE CF=，AE BF=，设AE BF x==，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：作CE x⊥轴于E，CF y⊥轴于F，则90ECF∠=︒，又90ACB∠=︒，ECA FCB∴∠=∠，在ECA∆和FCB∆中，ECA FCBCEA CFBCA CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ECA FCB∴∆≅∆，CE CF∴=，AE BF=，设AE BF x==，则14x x+=-，解得，32x=，52CE CF ∴==， ∴点C 的坐标为5(2-，5)2， 故答案为：5(2-，5)2．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE ∆为等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，则BE = 423- ．【分析】过点EF 作//AC ，交BC 于点F ，证明ADC ∆和DEF ∆全等，得出1DF AC ==，设CD x =，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．【解答】解：过点E 作EF 作//AC ，交BC 于点F ，90BFC C ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，30B ∴∠=︒22AB AC ∴==，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：223CB AB AC =-=ADE ∆是等腰直角三角形，DE DA ∴=，90DAC ADC ∠+∠=︒，90EDF ADC ∠+∠=︒，DAC EDF ∴∠=∠在ADC ∆和DEF ∆中，90DAC EDF C EFD DA DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADC DEF AAS ∴∆≅∆，1DF AC ∴==，设CD x =，所以EF x =，31BF x =-- //EF AC∴EF BF AC BC =即3113x x --=，解得：23x =-． 2423BE x ∴==-，故答案为423-．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，另外利用平行线成比例定理，列方程求线段的长度，也是经常用到的方法．23．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若153∠=︒，则2∠的度数为 98︒ ．【分析】根据邻补角得出3∠，进而利用等腰直角三角形得出4∠，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．【解答】解：如图所示：由题意可得：445∠=︒，153∠=︒，3127∴∠=︒，5360904512798∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，//AB CD ，2598∴∠=∠=︒， 故答案为：98︒【点评】此题考查等腰直角三角形，关键是根据等腰直角三角形得出445∠=︒解答．24．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A D →方向以2/cm s 的速度向点D 运动，过P 点作//PE BC 交AC 于点E ，过E 点作EF BC ⊥于点F ，设ABP ∆的面积为1S ，四边形PDFE 的面积为2S ，则点P 在运动过程中，12S S +的最大值为 72 ．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出1S 和2S ，然后确定最值即可．【解答】解：Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高， 82AD BD CD cm ∴===， 又2AP =， 则111822822S AP BD t t ==⨯=，822PD t =， //PE BC ，APE ADC ∴∆∆∽，∴PE AP DC AD =， 2PE AP t ∴==，2(822)2S PD PE t t ∴==-，2128(822)22(6)72S S t t t t ∴+=+-=--+．12S S ∴+的最大值为72， 故答案为：72．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出1S 和2S 是关键．25．已知ABC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆ 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推，第20个等腰直角三角形的斜边长是 102 ．【分析】先求出第一个到第四个的等腰直角三角形的斜边的长，探究规律后即可解决问题．【解答】2，第二个等腰直角三角形的斜边为22(2)=，第三个等腰直角三角形的斜边为322(2)，第四个等腰直角三角形的斜边为44(2)=，⋯第20个等腰直角三角形的斜边为2010(2)2=．故答案为102．【点评】本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．属于中考常考题型．26．如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 4 ．【分析】根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍结合图形，即可求出直角三角形④的斜边长． 【解答】解：4个三角形均为等腰直角三角形，∴直角三角形④的斜边长122224=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰直角三角形，牢记等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍是解题的关键．27．如图，等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是AB 上一点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于F 交BC 于E ，G 在是CF 上一点，过点G 作GH BC ⊥于H ，延长GH 到K 连接KC ，使290K BAE ∠+∠=︒，若:2:3HG HK =，10AD =，则线段CF 的长度为 910 ．【分析】作高线AM ，根据等腰直角三角形和三线合一得：45BAM CAM ∠=∠=︒，设BAE α∠=，表示各角的度数，证明KG KC =，由:2:3HG HK =，设2HG a =，3HK a =计算KC 、KG 和CH 的长，根据等角三角函数得1tan 2FN EAM AF ∠==，设FN b =，则2AF b =，由勾股定理列方程得：222AD AF DF =+，得222210(2)()3a b =+，解出b 的值可得结论． 【解答】解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，交CD 于点N ，90AMB AMC ∴∠=∠=︒，AB AC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ∴∠=∠=︒，AM BM CM ==，45BAM CAM ∠=∠=︒，设BAE α∠=，则45EAM α∠=︒-，45AEC B BAE α∠=∠+∠=︒+，AE CD ⊥于点F ，90AFD AFC EFC ∴∠=∠=∠=︒，90ACF CAF BAE α∴∠=︒-∠=∠=，45ECF ACB ACF EAM α∴∠=∠-∠=︒-=∠，GH BC ⊥于H ，90CHG CHK ∴∠=∠=︒，9090(45)45CGH ECF αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，90K KCH ∠+∠=︒，290K BAE ∠+∠=︒，22KCH BAE α∴∠=∠=，2(45)45KCG KCH ECF ααα∴∠=∠+∠=+︒-=︒+，CGH KCG ∴∠=∠，KG KC ∴=，:2:3HG HK =，设2HG a =，3HK a =，5KC KG a ∴==，Rt CHK ∴∆中，4CH a =，Rt CHG ∴∆中，1tan 2HG ECF CH ∠==， Rt CMN ∴∆中，1tan 2MN ECF CM ∠==， 1122MN CM AM AN ∴===， 45ECF EAM α∠=∠=︒-，Rt ANF ∴∆中，1tan 2FN EAM AF ∠==， 设FN b =，则2AF b =，MN AN ∴=，2AM CM AN ∴===，Rt CMN ∴∆中，5CN b ，6CF FN CN b ∴=+=，Rt ACF ∴∆中，21tan 63AF b ACF CF b ∠===， ACF DAF α∠=∠=，Rt ADF ∴∆中，1tan 3DF DAF AF ∠==， 1233DF AF b ∴==， 222AD AF DF =+，10AD =，222210(2)()3a b ∴=+， 解得：13102b =，23102b =-（舍去）， 31069102CF ∴=⨯=， 故答案为：910．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长，构造方程解决问题．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 4 个．【分析】根据题意，可以画出相应的图形，从而可以确定点P 的个数，本题得以解决．【解答】解：以点A 为圆心，AB 长为半径交直线BC 于点B 和点1P ，以点B 为圆心，BA 长为半径交直线BC 于点2P 和3P ，点4P 为线段AB 垂直平分线与直线BC 的交点，故符合题意的点P 有4个，故答案为：4．【点评】本题考查等腰直角三角形、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共8小题）29．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE CF =，求证：AED CFD ∆≅∆；（2）当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设DEF ∆的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，进而得到AD BD DC ==，为证明AED CFD ∆≅∆提供了重要的条件；（2）利用9AED ADF CFD ADF ADC AFED S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+==四边形 即可得到y 与x 之间的函数关系式；（3）依题意有：6AF BE x ==-，AD DB =，45ABD DAC ∠=∠=︒得到135DAF DBE ∠=∠=︒，从而得到ADF BDE ∆≅∆，利用全等三角形面积相等得到ADF BDE S S ∆∆=从而得到EDF EAF ADB S S S ∆∆∆=+即可确定两个变量之间的函数关系式．【解答】（1）证明：90BAC ∠=︒ 6AB AC ==，D 为BC 中点45BAD DAC B C ∴∠=∠=∠=∠=︒AD BD DC ∴== （2分）()AE CF AED CFD SAS =∴∆≅∆（2）解：依题意有：FC AE x ==，AED CFD ∆≅∆9AED ADF CFD ADF ADC AFED S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==四边形 ()211963922EDF AEF AFED S S S x x x x ∆∆∴=-=--=-+四边形， ∴21392y x x =-+；（3）解：依题意有：6AF BE x ==-，AD DB =，45ABD DAC ∠=∠=︒135DAF DBE ∴∠=∠=︒ADF BDE ∴∆≅∆ADF BDE S S ∆∆∴=EDF EAF ADB S S S ∆∆∆∴=+211(6)93922x x x x =-+=-+ ∴21392y x x =-+．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．30．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥．（1）请说明：DE DF =；（2）请说明：222BE CF EF +=；（3）若6BE =，8CF =，求DEF ∆的面积（直接写结果）．【分析】（1）连接AD ，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出45B C BAD DAC ∠=∠=∠=∠=︒，AD BD =，求出BDE ADF ∠=∠，根据ASA 证BDE ADF ∆≅∆即可；（2）根据AAS 证ADE CDF ∆≅∆，推出AE CF =，根据勾股定理求出即可；（3）求出EF 长，根据勾股定理求出DE 和DF ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：连接AD ，等腰直角三角形ABC ，45C B ∴∠=∠=︒， D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，AD BD DC ==，AD 平分BAC ∠，45DAC BAD B ∴∠=∠=︒=∠，90ADC ∠=︒，DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，90ADF FDC ∴∠+∠=︒，90FDC BDE ∠+∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中B DAF BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BDE ADF ∴∆≅∆，DE DF ∴=．。