广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题文
广东省汕头市金山中学高三数学第一学期期中试题 文(无答案)
2014-2015学年度汕头金山中学第一学期高三期中考试数学（文）一.选择题 (本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,}M a d =，{,,}N a c e =，则()U N C M =I （ ） A.{,}c e B.{,}a c C.{,}d e D.{,}a e2.命题“2,||0x R x x ∀∈+≥”的否定是( )A.2,||0x R x x ∀∈+<B.2,||0x R x x ∀∈+≤C.2000,||0x R x x ∃∈+<D.2000,||0x R x x ∃∈+≥3.设函数()ln f x x x =，则（ ）A.1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C.1x e =为()f x 的极大值点D.1x e =为()f x 的极小值点 4.若tan 0α>，则( )A.sin 0α>B.cos 0α>C.sin 20α>D.cos20α>5.设函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A.(,2)-∞B.13(,]8-∞C.(0,2)D.13[,2)86.已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是( ) A.d ac = B.a cd = C.c ad = D.d a c =+7.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为( )A.(1,)-+∞B.(,1)-∞-C.(2,)+∞D.(,2)-∞- 8.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan(2)4y x π=-中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.②③9.已知函数2()4f x x =-，()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数，当0x >时，2()log g x x =，则函数()()y f x g x =⋅的大致图象为（ ）A FE D CBA B C D10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[,][,]b a a b --U ，其中0a b <<，且()f x 在区间[,]a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在区间[,]b a --上的最大值与最小值的和是( )A.59或B.93--或C.59-或D.95-或二.填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分．) （一）必做题（11-13题） 11.函数32log 1x y x +=-的定义域为 .12.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．13.如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈，()(1)f x f x >-，则正实数a 的取值范围为 ．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ ．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a <；命题:q 实数x 满足260x x --≤，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知函数()sin()3f x A x π=+，x R ∈，且532()122f π=． （1）求A 的值；（2）若()()3f f θθ--=，)2,0(πθ∈，求()6f πθ-．18.（本小题满分14分）20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．（1a （2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数； （3）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人中仅有一人成绩在[60,70)中的概率.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积3V =，求A 到平面PBC 的距离．20．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，点*(,)()n n a b n N ∈在函数()2xf x =的图象上．（1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2*{}()n n a b n N ∈的前n 项和n S .21．（本小题满分14分）已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数． （2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．（3）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞，使得2000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．高三期中考试数学（文）选择题答案ACDCB BAABC。
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题 文
汕头市金山中学2016-2017学年度第一学期期中考试高三文科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ]3,1[- B {}|34x x x 或≤≥ C ．)1,2[--D ． )4,2[-2． “b a <<0”是“ba 11>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.数列}a {n 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则 =8S （ ）A. 18B. 36C. 54D.72 4. 已知2log 2,)31(,352.02.1===-c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<b<aB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a5．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)(（b 是常数），则=-)1(f （ ） A. 1 B. 1- C.3 D.3-6. 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若2123PF PF =，则12F PF ∠为（ ）A ．90B ．60C ．45D ． 307. 如果不等式0--)(2>=c x ax x f 的解集为)1,2-(，那么函数(-)y f x =的大致图象是( )8.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则a 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．109．已知函数错误！未找到引用源。
广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期中考试文科数学参考答案
即 .
(2)由（1）不妨设M（ ）， ，（ ），
，
，
当 时， ，
所以△MON面积的最大值为 .
23．选修4-5：不等式选讲
（10分）
详解：（1）∵ ，
当 时，有 ，解得 ，即 ；
当 时， 恒成立，即 ；
当 时，有 ，解得 ，即 .
综上，解集为 .
（2）由 恒成立得 恒成立，
（2）当 时， ，
所以 ．
令 ，解得 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
故 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．
从而函数 在区间 内恰有两个零点，当且仅当
即 解得 ．
所以实数 的取值范围是 ．
（3）当 ， 时， ．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是 ，
（2）由数据，求得
，由公式得 ，
，
所以 关于 的线性回归方程这
（3）当 时，
同样地，当 时，
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠
21、（12分）
解：（1）因为 ， ，
所以 ， .
因为曲线 与 在它们的交点 处有相同切线,
所以 ,且 。
即 ,且 ,
解得
广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期中考试
文科数学参考答案
一．选择题（共12小题，每题5分）
答案1.D2.A3C4C5D6D7B8B9B10C11B12A
二.填空题
13．答 14．答9 15．答-216．答
广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题文
如果你喜欢这份文档，欢迎下载，另祝您成绩进步，学习愉快！广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题 文一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U I 等于（ ）A. ]3,1[- B. {}|34x x x 或≤≥ C. )1,2[-- D. )4,2[-⒉已知命题2:,240P x R x x ∀∈-+≤，则P ⌝为 （ ）A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A. 32<≤m B.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,2]-∞-B. [42,)+∞C.(,1][42,)-∞-+∞UD.(,2][4,)-∞-+∞U⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增⒍函数xx x 2)(y 3-=图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（ ）A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（ ）A.2-B. 1-C. 1D.2 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有 两个动点E ，F ，且22EF =，则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE ⊥ B. 三棱锥ABF E -的体积为定值C. //EF ABCD 平面D.异面直线,AE BF 所成的角为定值 10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面 的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( ) A.B. 2C.D.11. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A.83 B. 1 C. 89 D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b的值为 14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示， 若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf 16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .EBADCP三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC A A sin cos sin cos +的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ， AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥,求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f xx ++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
金山中学高三数学上册期中试题
金山中学高三数学上册期中试题
大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的金山中学高三数学上册期中试题，希望对大家有协助。
一.选择题(本大题共10小题，每题5分，总分值50分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.)
1.设选集，集合，，那么 ( )
A. B. C. D.
2.命题的否认是()
A. B.
C. D.
3.设函数，那么( )
A. 为的极大值点
B. 为的极小值点
C. 为的极大值点
D. 为的极小值点
4.假定，那么()
A. B. C. D.
5.设函数是上的单调递减函数，那么实数的取值范围为()
A. B. C. D.
6. ，，，，那么以上等式一定成立的是()
A. B. C. D.
7.函数的定义域为，，对恣意，，那么的解集为( )
A. B. C. D.
8.在函数① ，② ，③ ，④ 中，最小正周期为的一切函数为()
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.②③
要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的金山中学高三数学上册期中试题，希望大家喜欢。
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x||x|<2}，B={x|x2−4x+3>0}，则A∩(∁U B)等于()A. {x|1≤x<3}B. {x|−2≤x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|−2<x≤3}2.若复数z−i=1+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. 53.已知命题p：∃x0∈R，x0−2<lgx0；命题q：∀x∈(0,1)，x+1x>2，则()A. “p∨q”是假命题B. “p∧q”是真命题C. “p∧(¬q)”是真命题D. “p∨(¬q)”是假命题4.下列函数中是奇函数且有零点的是()A. f(x)=x−|x|B. f(x)=x−1+xC. f(x)=1x+tanx D.5.若函数f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≥f(π3)，则函数f(x)的单调递增区间是()A. [2kπ−π6,2kπ+π3](k∈Z) B. [2kπ+π3,2kπ+5π6](k∈Z)C. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) D. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)6.若x，2x+2，3x+3是某个等比数列的连续三项，则x=()A. −4B. −1C. 1或4D. −1或−47.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A. 190B. 191C. 192D. 1938.若函数f(x)=−x2+2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (1,3)C. [1,3]D. [0,4]9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x−9都相切，则a等于()A. −1或−2564B. −1或214C. −74或−2564D. −74或710.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为()海里．A. 12√3B. 12√2C. 100√3D. 100√211.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为90°，则|2a⃗+b⃗ |等于()A. 2√3B. 2√2C. √7D. 212.f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，且f(−3)=0，f(x)g(x)<0的解集为()A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(0,3)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=1,(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗·b⃗ =___________________14.已知等差数列{a n}的前n项S n有最大值，且a7a8<−1，则当Sn<0时n的最小值为______．15.设集合A={x|2x+3>1}，B={x|x+a≥0}，若A⊆B，则实数a的最小值是________．16.不等式x2−3x<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π2．(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S7=127，且a8是16a2和14a5的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当a2>0时，令b n=a n2+log2a n，求数列{b n}的前n项和．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．(1)求证：PD⊥平面PBC；(2)求三棱锥A−EBC的体积．20.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：(Ⅰ)根据4月7日、15日、21日这三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(Ⅰ)所得的线性回归方程是否可靠？ 注：回归直线方程是y ^=bx +a ，其中b =i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n a =y −bx21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−3|−m|x|．(1)若m=−2，求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥1在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由A中不等式解得：−2<x<2，即A={x|−2<x<2}，由B中不等式变形得：(x−1)(x−3)>0，解得：x<1或x>3，即B={x|x<1或x>3}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，则A∩(∁U B)={x|1≤x<2}，故选：C．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题考查复数模的计算，考查复数的运算，属于基础题．求出复数z，继而可得结果．解：∵z−i=1+i，∴z=1+2i，故|z|=√1+4=√5．故选：C．3.答案：B解析：解：当x=1时，x−2=1−2=−1，lg1=0，满足x0−2<lgx0，即命题p是真命题，当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1取等号，∵x∈(0,1)，∴x+1x>2，成立，即q为真命题，则“p∧q”是真命题，其余为假命题，故选：B．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查否命题真假关系的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．4.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性以及函数零点存在性定理，属于基础题．解：对于A.f(1)=0，f(−1)=−2，故f(x)不是奇函数；对于B.f(x)=x−1+x=x2+1x不存在零点；对于C.f(x)=+tanx，定义域为{x|x≠0且，k∈Z}，关于原点对称，，则f(x)是奇函数，且有零点；对于D.f(x)=sin(x+)=cosx，f(x)为偶函数，不是奇函数．故选C．5.答案：D解析：本题利用三角函数的图像性质进行作答，取一个符合条件的ϕ=−7π6进行计算，属于一般难度题。
广东省汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试文科数学试题及答案详解(14页)
广东省汕头市金山中学2020届高三第一学期期中考试文科数学试题文科数学一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集，集合，，那么集合等于（ ）A. ]3,1[- B.C. )1,2[--D. )4,2[-⒉已知命题，则为 （ ）A. B. C. D. ⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A. 32<≤m B.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,-∞B. )+∞C.(,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增U =R {}|23A x x =-≤≤{}|14B x x x =<->或)(B C A U {}|34x x x 或≤≥2:,240P x R x x ∀∈-+≤P ⌝2,240x R x x ∀∈-+≥2000,240x R x x ∃∈-+>2,240x R x x ∀∉-+≤2000,240x R x x ∃∉-+>⒍函数x x x 2)(y 3-=图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（ ）A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（ ）A.2-B. 1-C. 1D.2 9．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E ，F ，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B. 三棱锥ABF E -的体积为定值 C. D.异面直线所成的角为定值10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面1111ABCD A B C D -11BD EF =AC BE ⊥//EF ABCD 平面,AEBF的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( ) A. B. 2 C. D.11. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A.83 B. 1 C. 89 D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（ ） A. 3B. 5C. 7D. 9二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示， 若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC AA sin cos sin cos +的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元. （1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥, 求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f x x ++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
汕头市金山中学2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案
) 4
（
）
1
A．
5
1
B．
4
1
C．
3
D． 1 2
7．已知三棱锥
P
ABC
中，APB
2 3
，PA
PB
3 ，AC 5 ，BC 4 ，且平面 PAB
平面 ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．16
B． 24
C． 28
D． 32
8．对于函数 y f x 与 y g x ，若存在 x0 ，使 f x0 g x0 ，则称 M x0, f x0 ，
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点 P 运动到 BC1 中点时，直线 A1P 与平面 A1B1C1 所成的角的正切值为
5 5
B．无论点 P 在 BC1 上怎么运动，都有 A1P OB1
C．当点 P
运动到
BC1 中点时，才有
A1P
与 OB1 相交于一点，记为 Q ，且
PQ QA1
1 3
D．无论点 P 在 BC1 上怎么运动，直线 A1P 与 AB 所成角都不可能是 30° 第 II 卷(非选择题共 90 分）
a a 2019 2020
1，
a2019 a2020
1 1
0
，下列结论正确的是(
)
A． S2019 S2020
B． a a 2019 2021 1 0
C． T2020 是数列 Tn 中的最大值
D．数列Tn 无最大值
12．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB BC ，AB BC BB1 ， O 为 A1C 的中点.点 P 是 BC1
18．(本小题满分 12 分）
已知递增等比数列an 满足： a1 a4 18,a2 a3 32 ，数列bn 的前 n 项和为 Sn ，且
广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中数学试题(含答案)
广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中数学试题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合204x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,4,8B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,4,8B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}0,1,2,42．已知直线a ，b 和平面α满足a α⊂，则“b a ⊥”是“b α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．165．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，并且当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则()2log 10f 的值为（ ） A ．25-B ．25C ．35 D ．356．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．14C ．13D ．127．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，PA PB =5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．28πC ．24πD ．32π8．对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．(),1-∞- C ．()()0,11,+∞ D ．()(),11,0-∞--二、多选题9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点(,0)16π-对称B ．关于点(,0)16π对称C ．关于直线16x π=-对称D ．关于直线4πx =-对称 10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin2sin2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 11．（多选题）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A B C B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．41()(1)x x x--的展开式中3x 的系数为_____________.14．在Rt ABC 中,4AB =,2AC =,P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点,O 为BC 边的中点,则AP AO ⋅的值为__________.15．已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.四、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度.18．已知递增等比数列{}n a 满足：1418a a +=，2332a a ⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且212n S n =32n +，记()()111221n nn n n n a c a b a b +++++-=-⋅-. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .19．为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]2,4的有8人．（I ）求直方图中a 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]10,12的人数； （II ）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k ，求k 的分布列和数学期望． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,ABCD AD AB AB ⊥∥,2,1CD AD DC AP AB ====．点E 为棱PC 的中点．（1）证明：PD ⊥面ABE ；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值．21． 已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ：b ：0)，点(,)a Q b b 在椭圆上，O为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ：M ：N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．22．已知函数()22ln f x x ax x =++ （a 为常数）．（1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且1232x x -≤，求()()12f x f x -的最大值．参考答案1．B 【分析】先求出集合A ，然后再求交集运算. 【详解】 由204x x +≤-，解得24x -≤<，所以集合[)2,4A =- 又{}0,1,2,4,8B =，所以{}0,1,2A B = 故选：B 2．B 【分析】根据充分必要条件的定义，结合线面垂直关系判断． 【详解】b α⊥，a α⊂，则b a ⊥，必要性成立，如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1A B BC ⊥，但1A B 与平面ABCD 不垂直，充分性不成立，应为必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查线面垂直关系的判断．掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12iz a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +故选：A 4．A 【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70， 其中是质数的有：7、61，故所求事件的概率为2163P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 5．C 【分析】由(2)(2)f x f x +=-，得出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再结合对数的运算法则和函数的奇偶性()228log 10(log )5f f =-，代入函数()21x f x =-，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，化简可得()(4)f x f x =+， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 由对数的运算性质可得2log 10(3,4)∈，可得()()2225log 10log 104(log )8f f f =-=，且25log (1,0)8∈-，因为()f x 为R 上的奇函数，且当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，可得28log 52225583(log )(log )(log )(21)8855f f f =--=-=--=-，即()23log 105f =-.故选：C. 【点睛】根据函数的奇偶性和周期性解答的三类问题及方法：1、求函数值：将待求值利用函数的奇偶性和周期性，转化为已知区间上的函数值，代入解析式求解；2、求解析式：将待求区间上的自变量转化为已知区间上，再利用奇偶性求出或充分利用奇偶性和周期性构造关于()f x 的方程（组），从而求得函数的解析式；3、求函数解析式中的参数：利用待定系数法求解，结合()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值. 6．B 【分析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得1sin cos 4θθ=，再利用降幂公式及二倍角公式将2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭整理为12sin cos 2θθ-，代入相应值即可得解.【详解】1tan 4tan θθ+=，sin cos 4cos sin θθθθ∴+=，即22sin cos 4sin cos θθθθ+=，1sin cos 4θθ=，2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos 222πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1sin 22θ-=11212sin cos 14224θθ-⨯-===. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，属于中档题. 7．B 【分析】首先根据题意得到CB ⊥平面PAB ，再将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，求其外接球半径，计算表面积即可. 【详解】在PAB △中，由余弦定理得3AB ==， 又222AC AB BC =+，所以ABC 为直角三角形，CB AB ⊥. 又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ， 所以CB ⊥平面PAB .将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，如图所示：1O ，2O 分别为上下底面外接圆的圆心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，且为1O ，2O 的中点.所以1122OO BC ==. 设PAB △的外接圆半径为r，则322πsin3r ==r = 设几何体的外接球半径为R，则22227R =+=， 所求外接球的表面积2428==ππS R . 故选：B 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，将三棱锥放入直三棱柱中为解题的关键，属于中档题. 8．A 【分析】由题意可得函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点，结合导数可画出两函数的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解. 【详解】由题意函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点， 令()ln xh x x=，则()21ln x h x x -'=，∴当()0,x e ∈时，()0h x '>， ()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<， ()h x 单调递减； 又()1y m x =--恒过点()1,0，当 1x >时，()0h x >， 在同一坐标系中作出函数()1y m x =--、()ln xh x x=的图象，如图，由图象可知，若函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点，则 0m <， 当直线()1y m x =--为函数ln xy x=图象的切线时，由 ()11h '=可得1m -=, ∴01m <-<即()1,0m ∈-.故选：A. 9．BC 【分析】先根据已知求出()sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再令4,4x k k Z ππ-=∈,即得函数图象的对称中心，令4,42x k k Z πππ-=+∈，即得函数图象的对称轴方程.【详解】因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，所以函数的周期为2π，24Tπω∴==，()sin(4)f x x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到函数3sin 416y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又||,24ππϕϕ<∴=-，()sin 44f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令4,4x k k Z ππ-=∈，解得,416k x k Z ππ=+∈， 0k =时，16x π=，所以()f x 的图象关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故B 正确. 令,16416k k Z πππ-=+∈，得12k =-不满足，故A 不正确. 令4,42x k k Z πππ-=+∈，所以函数的对称轴方程为3,416k x k Z ππ=+∈. 令3,4416k k Z πππ-=+∈，得74k =-不满足，故D 不正确. 当1k =-时，对称轴方程为,16x π=-所以C 正确.故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象性质求解析式，再考查其对称性，解答本题的关键是根据三角函数的图象性质求出函数解析式，然后利用整体思想令4,4x k k Z ππ-=∈得出对称中心，令4,42x k k Z πππ-=+∈得出函数的对称轴方程，属于中档题.10．ACD 【分析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D. 【详解】 对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确； 对于B ，若A B >，当120A =，30B =时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确； 对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ， 由0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直， 所以ABC 为等腰三角形 又12AB AC ABAC⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确； 故选：ACD 11．AB 【分析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且，进而可得结果. 【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确； 2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB 12．ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C：直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠=：112EP BB =，1AE =：1tan PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ：111A B BC ⊥，又1111A B B C B =：1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=：1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在：11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线：Q 为中位线的交点 ：根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为30>=︒ ：11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小 13．5 【分析】将代数式变形为()()()44411111x x x x x x x =⎛⎫-- ⎪⎝⎭---，写出展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，代入通项即可得解. 【详解】()()()44411111x x x x x x x =-⎛⎫--- ⎝⎭-⎪， 展开式通项为()()44111rrr rr r T xC x C x ++==⋅-⋅-⋅， ()()411411k k k k k kC x T C x x+-=⋅--⋅-=⋅-令1313r k +=⎧⎨-=⎩，可得24r k =⎧⎨=⎩，因此，展开式中3x 的系数为24445C C -=. 故答案为：5. 14．6 【分析】由已知条件，先线性表示向量AP AO ，，再由向量的数量积的运算律运算可得答案. 【详解】由已知可知：0AB AC ⋅=，1()2AO AB AC =+，1121()3333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以()22222111111142633236236AP AO AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：6. 【点睛】本题考查向量的线性表示，向量的数量积运算，属于中档题.15．2 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 结合1x y +=可知原式311x y =++， 且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-.即2231x y x y +++最小值为2+ 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16 【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+：结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1：可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=： 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠：代入可得1222F F PF =：所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ：即2c a m = 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=：等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e = 因为双曲线中1e >所以e =【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法：计算量复杂，属于难题．17．（1）6（2）AM =【分析】(1)根据2cos 3A =可得sin A =再根据2B A =与二倍角公式求解得sin B =再利用正弦定理求解a 即可.(2)先求解得1cos 9B =-,再求解得22cos 27C =,再在ACM △中,由余弦定理求解AM 即可.【详解】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =,得sin A ==所以2sin sin 22sin cos 23B A A A ====由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin 6sin b A a B ==. （2）2221cos cos 22cos 12139B A A ⎛⎫==-=⨯-=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,()22cos cos sin sin cos cos 27C A B A B A B =-+=-=在ACM △中,由余弦定理得：2223052cos 9AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=所以,AM =【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.18．（1）2nn a =；1n b n =+；（2）21123+---n n .【分析】（1）根据1418a a +=， 2314a a a a =⋅⋅，利用等比数列通项公式的基本运算求解n a ，根据212n S n =32n +，利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n b .（2）由（1）得到n c ()()12112223n n n n ++=--+-+，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）2314a a a a =⋅⋅，14,a a ∴是方程218320x x -+=的两根，又41a a >， 所以12a =，416a = 3418a q a ∴==， 2q ∴=112n n n a a q -∴=⋅=当2n ≥时，()()22111112223213n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎢⎥⎣⎦， 又1n =时，112b S ==符合， 所以1n b n =+ （2）()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-⋅-()()112212223n n n n n +++-=⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦ ()()12112223n n n n ++=--+-+，所以()()233412111111232424252223n n n T n n ++=-+-++------+-+()22112323+=---+n n 21123n n +=---【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法： (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 19．（I ）3；（II ）127. 【详解】试题分析：：I：由直方图能求出a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间1012]（，的人数；：II：由已知得ξ的所有可能取值为0123，，，，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（I ） 由直方图知，()0.150.1250.10.087521a ++++⨯=，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人， 所以甲班的学生人数为8400.2=，所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]10,12的人数为400.03753⨯=（人）． （II ）乙班学习时间在区间(]10,12的人数为400.0524⨯⨯=（人）． 由⑴知甲班学习时间在区间(]10,12的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0，1，2，3．()0434471035C C P k C ===：()13344712135C C P k C ===： ()22344718235C C P k C ===：()3134474335C C P k C ===： 所以随机变量k 的分布列为：112184120123353535357Ek =⨯+⨯+⨯+⨯=： 20．（1）证明见解析．（2 【分析】（1）依题意，以点A 为原点，以AB AD AP 、、为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE ⊥PD ．由AB ⊥面PAD 证得AB ⊥PD ，进而即可得证；（2）设,01CF CP λλ=≤≤，由BF AC ⊥，求出113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出平面ABF 的法向量和平面ABD 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB D --的余弦值． 【详解】解：依题意，以点A 为原点，以AB AD AP 、、为轴建立空间直角坐标系如图， 可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P 由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ， （1）向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-故0BE PD ⋅=，BE PD ∴⊥，又AB ⊥面PAD ，PD ⊂面PAD ．所以AB ⊥PD ． 又因为AB面ABE ，BE ⊂面ABE ，ABBE B =，所以PD ⊥面ABE（2）()()()()1,2,0,2,2,2,2,2,0,1,0,0BC CP AC AB ==--== 由点F 在棱PC 上，设,01CF CP λλ=≤≤故(12,22,2)BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=-- 由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅= 因此()()2122220λλ-+-=，34λ∴= 即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设1(,,)n x y z =为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =-为平面FAB 的一个法向量， 取平面ABD 的法向量2(0,0,1)n =，则1212121cos ,||||10n n n n n n ⋅〈〉===⋅所以二面角F AB D --【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离． 21．（1）22184x y +=；（2）【详解】试题分析：（1）由椭圆的离心率得出a 、c 的关系，再由a 、b 、c 的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C 的方程，求出b 、a 的值，写出椭圆C 的方程；（2）讨论直线PN 的斜率k 不存在和斜率k 存在时，根据·S d PN =，结合韦达定理，分别计算四边形OPMN 的面积S ，即可得出四边形OPMN 的面积为定值.试题解析：(1)因为椭圆22221x y a b +=(0a b >>)，所以22222212c a b e a a -===，得222a b =，①，又点,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以22241b a a b +=，②，联立①、②得28a =，且24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. (2)当直线PN 的斜率k 不存在时，PN的方程为x =x =PN =1122S PN OM =⋅=⨯= 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 的方程为y kx m ＝＋(0m ≠)，()11,P x y ，()22,N x y ；将PN 的方程代入C 整理得222(12)4280k x kmx m +++-=，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k -⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由OM OP ON =+，得2242,1212kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，将M 点坐标代入椭圆C 方程得2212m k =+，又点O 到直线PN的距离为d =12PN x =-，1212·S d PN m x x x ==--==OPMN 的面积S为定值22．(Ⅰ) [)4,-+∞ ；(Ⅱ) 154ln24-． 【分析】（1）根据()0f x '≥在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可．（2）由（1）得极值点12,x x 满足2220x ax ++=，且()f x 在()12,x x 上是减函数，去掉绝对值后可得()()()()1212f x f x f x f x -=-，分别求出()()12f x f x ，后进行化简可得()()2212222212ln f x f x x x x -=--，然后利用换元法可求得所求的最大值． 【详解】（1）∵()22ln f x x ax x =++，()0,x ∈+∞，∴()22222x ax f x x a x x='++=++．设()222g x x ax =++，()0,x ∈+∞，∵()f x 是定义域上的单调函数，函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，∴()0f x '≥在定义域上恒成立，即()2220g x x ax =++≥在()0,+∞上恒成立．又二次函数图象的对称轴为4ax =-，且图象过定点()0,2， ∴04a -≤，或204160a a ⎧->⎪⎨⎪=-≤⎩，解得4a ≥-.∴实数a 的取值范围为[)4,-+∞．（2）由（1）知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足2220x ax ++=， ∴12121,2ax x x x ⋅=+=-． 不妨设1201x x <<<，则()f x 在()12,x x 上是减函数，故()()12f x f x >， ∴()()()()1212f x f x f x f x -=- ()221112222ln 2ln x ax x x ax x =++-++ ()221121222lnx x x a x x x =-+-+ ()()221121212222ln x x x x x x x x =--+-+ 2212122ln x x x x =-+ 22222212ln x x x =--． 令22t x =，则1t >， 又1222132x x x x -=-≤，即2222320x x --≤，解得212x <≤， 故2214x <≤，∴14t <≤．设()12ln (14)h t t t t t =--<≤，则()()22211210t h t t t t -=+-=≥'， ∴()h t 在(]1,4上为增函数．∴()()151542ln44ln244h t h ≤=-=-， 即()()12154ln24f x f x -≤-． 所以()()12f x f x -的最大值为154ln24-． 【点睛】解答本题时注意两点：（1）函数单调递增（减）等价于导函数大于（小于）等于零在给定区间上恒成立，解题时不要忘了等于零．（2）证明含有两个变量的不等式时，可考虑通过代换的方法将不等式转为只含有一个变量的不等式进行证明，证明不等式时通过构造函数并求出函数的最值来证是常用的方法．。
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. {}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-【答案】C 【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题． 已知全集,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. 23m ≤<B.1522m ≤≤ C. 13m ≤< D.522m ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是x m =， 由已知可知13m <<，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（ ）A. (,-∞B. )+∞C. (,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02xf x =≥()124x xf f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得：4x ≥，当0x <时，()20f x x =>，()()2212x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，解得：x ≥（舍）或x ≤，综上可知：4x ≥或x ≤故选：D【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围. 5.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减 B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xy x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象. 7.若cos2sin5,αα+=-则tan()πα-=（）A. 2- B. 12- C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】首先用辅助角公式化简()cos2sin55αααϕ+=-=-tan2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tanπα-. 【详解】()cos2sin55αααϕ+=-=-且25sinϕ=5cosϕ=，tan2ϕ=()cos1αϕ∴-=-，2,k k Zαϕππ-=+∈2kαϕππ∴=++，tan tan 2αϕ∴==，()tan tan 2παα∴-=-=- .故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若实数,x y 满足不等式330{23010x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A 时，从而得到m 值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9， 显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x y x y +=⎧⎨--=⎩解得45x y =⎧⎨=⎩即点A （4，5）直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1． 故答案为1．9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. 三棱锥E ABF -的体积为定值C. //EF 平面ABCDD. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】A.因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BDDD D =，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，正确； B.1111233212E ABF A BEF BEF V V S AB EF BB AB --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥E ABF -的体积为定值，正确；C.因为//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，正确；D.如上图，当点E 在11B D 的中点时，点F 与1B 重合，O 是BD 的中点，1//OE BB ，AO EO ⊥，此时AE 与BF 所成的角是AEO ∠，6cos 362OE AEO AE ∠===.如上图，当点E 和1D 重合时，点F 是11B D 的中点，O 是BD 的中点，如图1AD O ∠是AE 与BF 所成的角，12AD =2AO =，116122OD =+=，1612342cos 26222AD O +-∴∠==⨯⨯,这两种情况下异面直线,AE BF 所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，在离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6【答案】D 【解析】【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠==，2tan BD BCD CD x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x-∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.11.已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A. 38B. 1C.98D.158【答案】D 【解析】 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得3304a a -+-=，解得158a =.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4πx =-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是 ( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．【详解】∵()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标 ∴4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈. 又∵2T πω=，0ω>∴()21k k N ω*=+∈又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调 ∴24122Tππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T πω=∴8ω≤当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=-，此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=，此时()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=. 故选B ．【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可. 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为________ 【答案】12-; 【解析】 【分析】 先求2yx 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯=-，解得ab的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率ak b=， 2yx ，2y x '=，当1x =，2y '=，由题意可知，21ab⨯=-， 12a b ∴=-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________【答案】[-; 【解析】 【分析】首先化简函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的定义域求值域.【详解】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值域是2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴的值域是1,2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示， 若6()(0)52f παα=<<，则()6f πα+=_______433+; 【解析】 【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由图象可知，2A =，2233T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T π=,22ππω∴= ，1ω∴=，当23x π=时，函数取得最大值， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 26k πφπ=-+ ，2πφ<6πφ∴=-，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ ，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭那么2sin 6f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34122552=⨯+⨯⨯==故答案为：45+ 【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 16.已知 01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22-. 【解析】 【分析】首先不等式等价于31112x ax -≤-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112x ax -≤-≤， 当(]0,1x ∈时，32222x a x x x-≥=-，且2112a x x ≤+ 即2max 22a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭设()22g x x x=-，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，1212a a ∴≥-⇒≥-，设()2112h x x x=+ ，(]0,1x ∈()322110x h x x x x-'=-=< ，()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()312h =，32a ∴≤，当0x =时恒成立， 综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长． 【答案】(1)54【解析】 【分析】（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形cos cos sin sin sin sin sin A C BA C A C+=，代入求值； （2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +.【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=35＞045由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，∴cos cos +sin sin A CA C=cos sin sin cos sin()=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4B ； (2)△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•45=2由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×35，∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21，的周长为【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩(2) 3350 【解析】 【分析】（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离． 【答案】(1)证明见解析；457【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=12AB ， 又CD∥AB，CD=12AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE， 又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ， 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ．⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =3×22=3， Rt△PAB 中，PB=2，AE=125 在矩形CDEF 中，CD=2，37 在△ADE 中，57，AD=2，222cos 235AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅219sin 1cos 35AED AED ∴∠=-∠=∴△ADE 的面积119sin 2ADE S AE ED AED ∆=⋅⋅∠=设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得13313×192d ， 解得457 ∴点P 到平面ADE 457【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12k m =-或56k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =，又因1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ①因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxf x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2- 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简()()()21xxf x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围. 【详解】解：(1)/()[2(1)]2xxxxf x e e a e e a =-++⋅+222(1)2x x e a e a =-++2(1)()x x e e a =--①当0a ≤时，0x e a ->，则当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.若01a <<，则：当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0f a a a a a =-++<此时，()f x 不可能有两个零点.③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =此时，()f x 仅有一个零点.④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减； 在(0,)+∞单调递增.min ()(0)12f x f a ∴==--()f x 有两个零点， (0)0f ∴<解得12a >- ∴102a -<<而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2a b a +<，则222()[(1)](1)2[(1)]0bb f b e a a ab e a =-+-++>-+≥故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点综上，a 的取值范围是1(,0).2-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值． 【答案】(1) 直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.【详解】解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-=（2）直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，代入圆C 的标准方程 得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+=，cos 2α=± 因为0απ≤<，所以4πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++， 所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立； 因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++≤++， 所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题文一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A. ]3,1[- B. {}|34x x x 或≤≥ C. )1,2[-- D. )4,2[-⒉已知命题2:,240P x R x x ∀∈-+≤，则P ⌝为 （ ）A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A. 32<≤m B.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,2]-∞-B. [42,)+∞C.(,1][42,)-∞-+∞D.(,2][4,)-∞-+∞⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增⒍函数xx x 2)(y 3-=图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（ ）A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（ ）A.2-B. 1-C. 1D.2 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有 两个动点E ，F ，且22EF =，则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE ⊥ B. 三棱锥ABF E -的体积为定值 C. //EF ABCD 平面 D.异面直线,AE BF 所成的角为定值 10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面 的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( ) A.B. 2C.D.11. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ）A. 83B. 1C. 89D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b的值为 14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示， 若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf 16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．（本小题满分12分）EBADCP已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC A A sin cos sin cos +的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ， AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥,求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f xx++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．选修44-：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点(0,3)P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N 两点，若||||2PM PN -=，求直线l 的倾斜角α的值．23．选修54-：不等式选讲（本小题满分10分）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x a x x b c =-+++． （1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥．2017级高三第一学期期中考试文科数学参考答案ABCDB BACDD DB13. 21-; 14. ]2,1[-; 15.5334+; 16. []23,21-. 17．解：⑴△ABC 中，∵cosB=＞0，∴sinB==， ┄┄┄1分由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，┄┄3分∴+== ┄┄┄┄4分==┄┄┄┄5分===； ┄┄┄┄6分⑵△ABC 的面积为S △ABC =acsinB=b 2•=2，∴b=；由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×， ┄┄┄┄8分 ∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21， ┄┄┄┄10分 ∴a+c=；∴△ABC 的周长为a+b+c=+． ┄┄┄┄12分18. 解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； ┄┄┄┄2分当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-.┄┄┄┄4分 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩. ┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. ┄┄┄┄8分 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9.┄┄┄┄10分则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=. ┄┄┄┄12分19.证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，∵E 是PB 中点，∴EF ∥AB ，EF=AB ， ┄┄┄┄1分 又CD ∥AB ，CD=AB ， ∴CD ∥EF ，CD=EF∴四边形CDEF 为平行四边形， ┄┄┄┄2分 ∴DF ∥CE ， ┄┄┄┄3分 又△PAD 为正三角形， ∴PA ⊥DF ，从而PA ⊥CE ， ┄┄┄┄4分F EBADCP又PA ⊥CD ，CD ∩CE=C ， ∴PA ⊥平面CDE ， ┄┄┄┄5分 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面CDE ． ┄┄┄┄6分 ⑵∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ， ∴CD ⊥AD ，又PA ⊥CD ，PA ∩AD=A ， ∴CD ⊥平面PAD ，又（1）知，CD ∥EF ，∴EF ⊥平面PAD ， ┄┄┄┄7分 ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =×22=， ┄┄┄┄8分 在Rt △PAB 中，PB=2，AE=PB=，在矩形CDEF 中，CD=2，CE=DF=，∴DE=， ┄┄┄┄9分在△ADE 中，AE=，DE=，AD=2，3542cos 222=⋅-+=∠ED AE AD ED AE AED3519cos 1sin 2=∠-=∠∴AED AED∴△ADE 的面积219sin 21=∠⋅⋅=∆AED ED AE S ADE ， ┄┄┄┄10分 设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得 ××2=×d ，解得d=∴点P 到平面ADE 的距离为┄┄┄┄12分20. 解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =， ┄┄┄┄1分又因1AOB S ∆=，即112ab =， ┄┄┄┄2分所以222()4b b=，即21b =，24a =， ┄┄┄┄3分所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ┄┄┄┄4分（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ┄┄┄┄5分 ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ① ┄┄┄┄6分 因为QA PA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即0),2(),2(2211=-⋅-y x y x 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，┄┄┄┄7分又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ② ┄┄┄┄8分把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-， ┄┄┄┄10分所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去），综上所述直线l 过定点6(,0)5. ┄┄┄┄12分 21.解：⑴a e e a e e x f xxxx2)]1(2[)(/+⋅++-= a e a ex x2)1(222++-= …………1分))(1(2a e e xx --= ①当0≤a 时，0>-a e x，则当0<x 时，0)(/<x f ，故)(x f 在)0,(-∞单调递减；当0>x 时，0)(/>x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增。