流体力学泵与风机 蔡增基 第五版 下 答案

1.描绘出下列流速场 解：流线方程： y x u dy u dx = （a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=43直线族（b ）4=x u ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=283抛物线族（c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=232抛物线族（e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243椭圆族（f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22双曲线族（g ）y u x 4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22同心圆（h ）4=x u ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=22抛物线族（j ）x u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（k ）xy u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（l ）r c u r =，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y += 220y x cx r x r c u x +=-=，220y x cy r y r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =直线族（m ）0=r u ，r c u =θ，220y x cy r y r c u x +-=-=，220y x cx r x r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =+22同心圆2.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。

如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？解：无旋流有：x u y u y x ∂∂=∂∂（或rr u u r ∂∂=∂∂θθ） （a ），（f ），（h ），（j ），（l ），（m ）为无旋流动，其余的为有旋流动对有旋流动，旋转角速度：)(21yu x u x y ∂∂-∂∂=ω （b ）23=ω （c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）27-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω3.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。

解：势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ流函数⎰-=dx u dy u y x ψ（a ）⎰+=+=y x dy dx 3434ϕy x dx dy 4334+-=-=⎰ψ（积分；路径可以选择）（d ）积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,x y dx ydy dx ydy 3234342-=-=-=⎰⎰⎰ψ（e ）⎰⎰⎰⎰-+=-+=yy x x xdy dx y xdy ydx 0034340ϕ 取),(00y x 为)0,0(则积分路线可选其中0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,2223234x y xdx ydy +=--=⎰⎰ψ（g ）积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy x x x dx y x x ==→,0:,0,2222)4(4x y dx x ydy +=--=⎰ψ（L ）积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0, ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=+-+=++=+++=+==+=+==-=⎰⎰222222222222222)(1arctan ln 2ln sin sin cos x y c dx y x cy dy y x cx y x c x c dy y x cy dx y x cx y x cy r y r c con u u u y x cx r x r c u u u r y r x ψϕθθθθθθ流函数势函数其中均可以用上图作为积分路径图4.流速场为rc u u a r ==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达式。

解：ψd dQ = ⎰⎰-=dr u rd u r θθψ⎰-=-=r c dr rc a ln )(ψ ∴211212ln)ln (ln r r c r c r c Q =---=-=ψψ ⎰-=-=2)(222r rdr b ωωψ∴)(22221212r r Q -=-=ωψψ5.流速场的流函数是323y y x -=ψ。

它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。

证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。

绘流线2=ψ。

解：xy x 6=∂∂ψ y x622=∂∂ψ 2233y x y-=∂∂ψ y y 622-=∂∂ψ ∴+∂∂22x ψ022=∂∂y ψ 是无旋流 2233y x y u x -=∂∂=ψ xy xu y 6-=∂∂-=ψ ∴222223)(3r y x u u u y x =+=+= 即任一点的流速只取决于它对原点的距离流线2=ψ即2332=-y y x用描点法：2)3(22=-y x y23,21,1±==±==x y x y （图略）6.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。

要改变物体的宽度，需要变动哪些量。

以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？解：需要水平流速0v ，半无限物体的迎来流方向的截面A ，由这两个参数可得流量A v Q 0=。

改变物体宽度，就改变了流量。

当水平流速变化时，ψ也变化 xy arctg Q y v πψ20+= 7.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度m l 2=，指定宽度m b 5.0=，设计朗金椭圆的轮廓线。

解：需要水平流速0v ，一对强度相等的源和汇的位置a ±以及流量Q 。

)(20ax y arctg a x y arctg Q y v --++=πψ驻点在2,0l x y ±==处，由5.0,2==b l 得椭圆轮廓方程：1)25.0(1222=+y x 即：11622=+y x8.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知m R 2=，求流函数和势函数。

解：需要流速0v ，柱体半径R θψsin )(20rR r v -= ∵2=R ∴θψsin )4(0rr v -= θϕcos )(20rR r v += ∵2=R ∴θϕcos )(20rR r v += 9.等强度的两源流，位于距原点为a 的x 轴上，求流函数。

并确定驻点位置。

如果此流速场和流函数为vy =ψ的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。

解：叠加前)(2a x y arctg a x y arctg Q -++=πψ ))()((22222a x y a x a x y a x Q y u x -+-++++=∂∂=πψ ))()((22222a x y y a x y y Q x u y -++++=∂∂-=πψ 当0=x )(22a y Qy u y +=π 0=x u 0=y )11(2ax a x Q u x -++=π 0=y u ∴驻点位置)0,0( 叠加后)(2ax y arctg a x y arctg Q vy -+++=πψ 流速为零的条件：0)(2)(20=-+++=∂∂==a x Q a x Q v y u y x ππψ解得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±-=22)2(21v a Q Q v x ππ 即驻点坐标：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--0,)2(2122v a Q Q v ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-0,)2(2122v a Q Q v ππ 10.强度同为s m /602的源流和汇流位于x 轴，各距原点为m a 3=。

计算坐标原点的流速。

计算通过)4,0(点的流线的流函数值，并求该点流速。

解：)(2ax y arctg a x y arctg Q --+=πψ s m a x a x y a x a x y Q y u a Q y x /37.61111112223,60,0=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂====πψ 0=y u)4,0(的流函数：34)3434(2arctg Q arctg arctg Q ππψ=--= s m a x a x y a x a x y Q y u a y x Q x /25180)1)(111)(11(2223,4,0,60ππψ=-++-+++=∂∂===== 0=y u11.为了在)5,0(点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？ 解：202R v M π=将5,100==R v 代入得：π500=MrM πθψ2sin -= 将5,1sin ,500====R r M θπ代入得：50-=ψ 12.强度为s m /2.02的源流和强度为s m /12的环流均位于坐标原点，求流函数和势函数，求)5.0,1(m m 的速度分量。

解：r Q ln 22πΓπθψ+=，θπΓπϕ2ln 2+=r Q ，rQ u r π2= 将225.01,2.0+==r Q 代入得：s m u r /0284.0=ru πΓθ2-= 将225.01,1+==r Γ代入得：s m u /142.0-=θ1.弦长为3m 的飞机机翼以300km/h 的速度，在温度为20℃，压强为1at （n ）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。

(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？解：雷诺准数相等（a ）=υnn L v υmm L v=m v n v mn L L =300⨯20=6000km/h 不可能达到此速度，所以要改变实验条件（b ） ∵等温c P =ρ，μ不变，μμρυpvl vl vl →==Re 得n m v v =m n L L m n P P =300⨯20⨯301=200km/h （c ）由气υn n L v =水υmm L v 得m n n m L L v v 水气υυ==300⨯20×7.15007.1=384km/h 2.长1.5m ，宽0.3m 的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s 时，阻力为14N ，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s ，绝对压强101.4kN/m 2，温度15℃的空气气流中形成动力相似条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等：222111υυL v L v =⇒水υλl 3=υ18⇒l λ=0.4 且v l λλλυ=m L =lnL λ=4051..=3.75m （长） m L =l n L λ=4.03.0=0.75m （宽） F mF λ=14=226.12.998)2.15007.1(2222==ρυρλλλλλl v 解得：N F m 92.3=3.当水温为20℃.平均速度为4.5m/s 时，直径为0.3m 水平管线某段的压强降为68.95kN/m 2，如果用比例为6的模型管线，以空气作为工作流体，当平均速度为30m/s 时，要求在相应段 产生55.2kN/m 2的压强降。