概率论基础教程(第8版)参考答案
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
李贤平-概率论基础-Chap5
1 1 1/ 2 1/ 2
(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
随机序列的产生方法
概率论与数理统计小报告随机序列的产生方法随机数由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。
总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。
由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。
随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。
1.随机数的定义及产生方法1).随机数的定义及性质在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。
由该分布抽取的简单子样称，随机数序列，其中每一个体称为随机数。
单位均匀分布也称为［0，1］上的均匀分布，其分布密度函数为：分布函数为 ：由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，我们用专门的符号ξ表示。
由随机数序列的定义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机数序列。
也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s ，由s 个随机数组成的s 维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s ）在s 维空间的单位立方体Gs 上均匀分布，即对任意的ai ， 如下等式成立： 其中P (·)表示事件·发生的概率。
反之，如果随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s ，由s 个元素所组成的s 维空间上的点（ξn+1，…ξn+s ）在Gs 上均匀分布，则它们是随机数序列。
由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。
2).随机数表为了产生随机数，可以使用随机数表。
随机数表是由0，1，…，9十个数字组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字之间相互独立。
这些数字序列叫作随机数字序列。
如果要得到n 位有效数字的随机数，只需将表中每n 个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上小数点即可。
概率论基础第三章答案
第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p −1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f L ==（2）,,2,1,!)(L ==k k c k f kλ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<−∞=−x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>−a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F 1)(=+∞F 。
8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+−≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y −有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
李贤平-概率论基础答案
<M
的数，哪
k2
次取到>M
的数，这共有
C k1 n
×k2 n−k1
种不同的固定方式，因此
k1
次取到<M
的
数，
k2 次取到>M
的数的可能取法有
C k1 n
×k2 n−k1
(M
− 1) k1
(N
−
M
)k2
种。
设 B 表示事件“把取出的 n 个数从小到大重新排列后第 m 个数等于 M“，则 B 出现就
是 k1 次取到<M 的数， k2 次取到>M 的数的数，0 ≤ k1 ≤ m −1,0 ≤ k2 ≤ n − m ，因此 B 包含
（6） E1 中还有这样的点 ω ：12345，它仅属于 E1 ，而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示（如图）。
8、解：（1）因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
，两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ，在其中令 x=1 即得所欲证。
就不是运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学 生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。
5、解：设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1），
（2），（3）。设 A = {1,2}, B = {1,3}, C = {3}，则 A = {3}, A ∪ B = {1,2,3}, A ∩ B = {1}, A − B = {2},
条件概率与全概率公式(基础)( 教师版 )
解答 设 “第 次抽到 牌”
，
则事件“第 次抽到 牌的概率”可表示为
，
．
精准突破
一、条件概率
1. 条件概率的定义：
一般地，设 ， 为两个随机事件，且
，我们称
条件概率 下，事件 发生的条件概率，简称
．
2. 条件概率的求法：
为在事件 发生的条件
1
（1）利用定义，分别求出
和
，得
（2）借助古典概型概率公式，先求事件 包含的样本点数，即
．
． ，再求事件
，得
二、乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若
，则
上式为概率的乘法公式．
．我们称
3 在 道试题中有 道代数题和 道几何题，每次从中随机抽出 道题，抽出的题不再放回．求： (1)第 次抽到代数题且第 次抽到几何题的概率； (2)在第 次抽到代数题的条件下，第 次抽到几何题的概率．
10
根据题意知 由全概率公式， 得
，
，
．
．
(2) 答案 ．
解答 由贝叶斯公式，
得
．
17 甲、乙丙三人相互做传训练，第 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另 外两个人中的任何一人．求 次传球后球在甲手中的概率．
答案
．
解答 设 “ 次传球后球在甲手中”， 次传球后球在甲手中的概率为 ，
（
之一．
． ）．全概率公式是概率论中最基本的公式
二、贝叶斯公式：
设 ， ， ， 是一组两两互斥的事件，
，则对任意的事件
，
，有
．
，且
，
．
12 某学校有 ， 两家餐厅，王同学第 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第 天去 餐厅，
第一章概率论的基础知识3-45学分
随机事件
二、样本空间
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S（ Ω ） . 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e （ ω ）. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,记为{e} （ {ω} ）.
请给出E1-E7的样本空间
三、随机事件
五、事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、德.摩根(De Morgan)律：
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
交变并，并变交，最后加补
例2
甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
A B C
A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ABC ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ABC ABC A4 : “最多有一人命中目标 ” : A5 : “三人均命中目标” :
i 1
n
4. 积（交）事件:A与B同时发生 AB＝AB发生
4’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
5.差事件：A－B称为A与B的差事件。A－B发生
事件A发生而B不发生
何时A-B=? 何时A-B=A？
6 互不相容（互斥）
7 对立事件 （逆事件）
A B
组合一：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
何书元概率引论答案
何书元概率引论答案何书元概率引论答案【篇一：课程名称：概率论计划学时45】=txt>上课时间：周二3-4节；周四(单周) 1-2节地点：文史201 任课教师：任艳霞（教授）办公室：理科1号楼1381email:基本目的：1、对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。
2、联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。
教材: 何书元，《概率论》, 北京大学出版社2006年参考书1、汪仁官，《概率论引论》，北京大学出版社19942、李贤平，《概率论基础》（第二版），高等教育出版社，19973、钱敏平、叶俊，《随机数学》，高等教育出版社，20044、sheldon ross, a first course in probability (7thedition)教学安排：第一章古典概型与概率空间(10学时)1) 随机事件及古典概型（1.1-1.2节）(2学时)2) 几何概型、概率空间与概率的性质（1.3-1.5节）(2学时)3) 条件概率和乘法公式（1.6节）(2学时)4) 独立性、全概率公式、bayes公式（1.7-1.8节）(3学时)5) 概率模型举例与概率空间续（1.8-1.9节）(1学时)第二章随机变量与概率分布(9学时)1) 一维随机变量定义、离散型随机变量（2.1-2.2节）(2学时)2) 连续型随机变量（2..3节）(2学时)3) 概率分布函数（2.4节）(2学时)4) 随机变量函数的分布（2.5节）(2学时)5) p分位点（2.5节）(1学时)第三章随机向量及其分布(8学时)1) 随机向量及其分布、离散型随机向量及其分布（3.1-3.2节）(2学时)2) 连续型随机向量及其联合密度（3.3节）(2学时)3) 随机向量函数的分布（3.4、3.6节）(2学时)4) 条件分布和条件密度（3.5节）(2学时)第四章数学期望与方差(8学时)1) 数学期望(4.1-4..2节) (3学时)2) 方差（4.3节）(1学时)3) 协方差与相关系数（4.4节）（2学时）4）条件数学期望（2学时）第五章概率极限理论(10学时)1) 概率母函数与特征函数（5.1-5.2节）(2学时)2) 多元正态分布（5.3节）(2学时)3) 大数律(5.4节) (2学时)4）中心极限定理(5.5节)（2学时）5）随机变量收敛性介绍（2学时）【篇二：2011f_master】目）招生简章北京大学数学科学学院金融数学系成立于1997年，目前已形成从本科到硕士和博士的应用数学专业金融数学与精算学方向的较为系统和有品质的培养体系。
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。
P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。
答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。
答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。
答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。
第一章概率论基础知识
P{x1Xx2}P{x1Xx2}P{Xx1} F(x2)F(x1)P{Xx1}
2020/12/26
■分布函数的性质
⑴ 单调不减性：若x1 x2，则 F(x1) F(x2)
⑵ 归一 性：对任意实数x, 0Fx1，且
F ( )lim F (x)0,F( )lim F(x)1 ;
解 由题意可知 RX{0,1,2,3}，则 X 的分布律为
X0
1
2
3
p k p 3 C31(1p)p2 C32(1p)2p (1 p )3
2020/12/26
将 p 1/2带入可得 X 的分布律为
X0
1
2
3
pk 1
3
3
1
8
8
8
8
2020/12/26
2.常用的离散型随机变量
（1） (0—1)分布 定义1 如果随机变量X的分布律为
x
x
⑶ 右连续性：对任意实数 X F (x 0 ) lim F (t) F (x ).
t x
具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分 布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。
2020/12/26
例1 已知 F xA arcx tB a，n求 A，B。
解
FAB0
2
FAB1
A1
F'xfx
2020/12/26
例1 设X 的分布函数为 Fx1e2x, x0
0, x0
求 P X 2 ,P X 3 ,fx .
解 PX2F2 1e4
P X31PX31F3 e 6
fxFx
2e
2
x
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北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第六章概率初步尖子生成长计划7概率中的代数问题
北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第六章概率初步尖子生成长计划7概率中的代数问题一. 教材分析北师大版七年级数学下册第六章“概率初步”是学生初步接触概率论的内容，对于培养学生的逻辑思维能力和概率观念具有重要意义。
本章主要介绍了概率的基本概念、等可能事件的概率、条件概率以及独立事件的概率等。
在这些内容中，代数问题占据了重要的地位，因为概率本身就是一个涉及代数运算的数学分支。
在教材中，代数问题主要出现在条件概率和独立事件的概率部分。
例如，在条件概率的计算中，我们需要利用代数方法来求解给定条件下事件A发生的概率；在独立事件的概率中，我们需要利用代数运算来判断两个事件是否独立。
这些问题对于学生来说具有一定的挑战性，需要他们能够灵活运用代数知识来解决实际问题。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们对概率的概念和代数知识都有一定的了解，但要将这两个领域结合起来解决问题，还需要进行一定的引导和培养。
根据学生的实际情况，我将教学内容进行适当的调整，将重点放在如何引导学生利用已知的代数知识解决概率问题，以及如何培养学生灵活运用知识的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解条件概率和独立事件的概率的概念，掌握计算条件概率和判断两个事件是否独立的方法。
2.过程与方法：培养学生运用代数知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对概率论的兴趣，培养学生积极探究、勇于挑战的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：条件概率和独立事件的概率的计算方法。
2.教学难点：如何引导学生灵活运用代数知识解决概率问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
同时，利用多媒体手段辅助教学，如PPT、网络资源等，以直观、生动的方式展示概率问题，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的概率问题，引发学生对概率代数问题的思考，激发学生的学习兴趣。
第七章概率论基础
ABC 或 ABC ABC BAC 或 AB BC AC CAB ABC ACB BCA
7.1.3
随机事件的概率
一、频率和概率的统计定义 定义2：大量重复试验（观察） Ｎ次，Ａ出现m次，事件A的频率为： m 频率W(A)= N
实例 “抛掷一枚硬币,观察字面,花面出 现的情况”.
分析:
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结 果会出现. 故为随机试验.
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出 现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任 选三件,记录出现正品 与次品的件数”. 3.考察某地区 10 月份的 平均气温.
表7-1
掷币试验
投掷次数N 正面数m
2048 4040 1061 2048
频率
0.5181 0.5069
Pearson
Pearson
12000
24000
6019
12012
0.5016
0.5005
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。 思考：少量的试验（如7次）能否出现同样结果？
例4
字母
表7-2
证： 按概率的古典定义来证明 设试验的可能结果是由N个基本事件总数构 成，其中事件A包含M1个，事件B包含M2个， 由于事件A与B互不相容，所以A包含的基本事件 与B包含的基本事件一定是完全不相同的， M 1M 2 M 1 M 2 P( A包含的基本事件共有 B ) M P( A ) P( B) 则 A+B ＋ M 个，于是得 N N 1 N2
第一章 概率论基础(2)
离散型随机变量的分布函数特点
1. 它的图形是一条右连续的阶梯型曲线
2. 在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳 跃值为pk
几种常见的离散型随机变量的分布
两点分布 (0-1分布)
若随机变量X的概率分布为： P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q
则称X服从参数为p的两点分布.
二项分布
若随机变量X的概率分布为
Pn
(k)
P(X
k)
C
k n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1,, n
其中0< p <1,称X服从参数为n和p的二项分
布，记作 X~B(n,p)
注：在n次重复独立试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则A共发生的次数X~B(n,p).
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先 是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
Cnk
pk
(1
p)nk k e
k!
其中 np
几何分布 在独立试验序列中, 若一次伯努利试验中
某事件A发生的概率为p, 只要事件A不发生, 试 验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验 才停止。设随机变量X为直到事件A发生为止 所需的试验次数, 则X的概率分布为
P( X k ) (1 p)k1 p, (k 1, 2, )
w.
X(w) R
对于试验的每一个基本事件w,都对应着一个实 数X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一 个变量。
随机变量的分类
离散型随机变量 随 机 变 量 连续型随机变量
有限个或可列个 可能值
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满
概率论与数理统计练习册参考答案
概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B 分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。
概率论基础复习题答案
填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= 1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞=1i ip=1 ；Eξ=∑∞=1i ii px 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。
考查第三章 较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则 ϕ的密度函数 ()g y ＝ 1()2g y y πππ=-<<。