晶向指数和晶面指数
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
第二章 晶向指数和晶面指数333
一组平行晶面的晶面间距d 列关系： 斜方晶系
hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下
d hkl
1 h k l a b c
2 2 2
四方晶系
d hkl
1 h2 k 2 l a2 c
2
立方晶系
d hkl
a h2 k 2 l 2
hu1 kv1 lw1 0 hu2 kv2 lw2 0
v1 w1 w1 v1 u1 v1
故:
h： k ： l v w ： v v ： u v 2 2 2 2 2 2
h : k : l (v1w2 v2 w1 ) : (w1u2 w2u1 ) : (u1v2 u2v1)
[0001], [1010], [1210], [0111]
4、求(1)由晶面(121)与[100]所决定的晶带轴指数
和(100)与(010)所决定的晶带轴指数.
(2) 由晶向[001]与[111]所决定的晶面指数 和[010]与[100]所决定的晶面指数.
5、已知室温下α-Fe的点阵常数为0.286nm， 分别求（100）、（110）、（123）的晶面间距。
[110] [1120]
● 不同晶轴中晶向指数和晶面指数转换
六方晶系按三轴晶系和四轴晶系所得的 晶面指数和晶向指数可相互转换
晶面指数: (hkil) →(hkl)
晶向指数: [uvtw] → [UVW] U=u-t，V=v-t，W=w
(i=-(k+l)
u=1/3(2U-V)，v=1/3(2V-U)，t=-(u+v)，w=W
4 i
(1 1 00)
(1 1 02)
( 2110 ) (10 1 2)
晶向指数和晶面指数
B格子的格点可看成是分列在一系列 平行、等距的直线系上，这些直线系称 为晶列。
一个无穷大的B格子，可有无穷多种 晶列。
晶向指数：从该晶列通过轴矢坐标系原 点的直线上任取一格点，把该格点指数 化为互质整数，称为晶向指数，表示为 [h,k,l]。
3.晶面指数（密勒指数）
B格子的格点还可看成是分列在一系列 平行、等距的平面系上，这些平面系称为 晶面系（晶面族）。
一个无穷大的B格子，可有无穷多方向 不同的晶面系。
晶面表示方法： （1）找出晶面系中任一晶面在轴矢上的 截距；
（2）截距取倒数；
• （3）化为互质整数，表示为（h,k,l）。 • （h,k,l）可表示一个晶面系，也可表示
某一个晶面。
• 注意：化互质整数时，所乘的因子的正、
负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶 向。 • 例1：在立方晶系中，〈100〉代表
[100],[010],[001]三个等效晶向。
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以不 化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距
为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。(参见FD动画）
V，W，然后通过解析求出四指数u,v,t,w,
由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：
u a1 + v a2 + t a3 + w c
= U a1 + V a2 + W c
(1)
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
晶面指数和晶向指数的关系
晶面指数和晶向指数的关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊晶面指数和晶向指数这对“晶界”里的奇妙组合。
你可以把晶面指数想象成晶界里的街道门牌号，而晶向指数呢，就像是在这些街道上行走的方向箭头。
晶面指数啊，就像是一个超级严格的规划师给晶面定的身份标识。
它就好比是给每个晶面贴上了一个独特的标签，这个标签还特别有个性，用一组数字来表示。
这组数字就像是晶面的密码，要是你能解开这个密码，就能在晶体的世界里畅行无阻，就像拥有了一把神秘的水晶钥匙。
而晶向指数呢，那可是相当有活力。
它像是一个调皮的小精灵在晶体内到处乱窜的轨迹标记。
如果晶面指数是一座座大厦的地址，那晶向指数就是在这些大厦之间穿梭的快递小哥的送货路线。
有时候啊，晶面指数和晶向指数就像一对欢喜冤家。
晶面指数总是安安静静地待在那里，像是一个稳重的老学究，而晶向指数就像个精力过剩的小毛孩，总是跑来跑去。
可是呢，它们又有着千丝万缕的联系。
你看啊，晶向指数有时候就像是晶面指数的小跟班。
晶面指数决定了舞台的位置，晶向指数就在这个舞台上表演着各种方向的舞蹈。
它们的关系就像导演和演员，晶面指数是那个指挥大局的导演，告诉晶向指数：“嘿，小老弟，你就在我设定的这个框架里发挥你的方向感吧。
”要是把晶体比作一个巨大的迷宫，晶面指数就是迷宫里各个区域的划分标识，晶向指数就是在这些区域里找路的冒险者留下的路线标记。
晶面指数可能会傲娇地说：“没有我，你都不知道自己在迷宫的哪一块呢！”晶向指数也会不甘示弱：“哼，没有我的方向指引，你知道路该怎么走吗？”再夸张点说，晶面指数就像是天空中固定的星座位置，晶向指数则是流星划过的轨迹。
星座位置稳定不变，给天空划分了区域，而流星轨迹则在星座之间穿梭，给天空带来了动态的美感。
这晶面指数和晶向指数在晶体的世界里就是这么独特又有趣的存在。
它们相互依存，共同构建了晶体这个神秘又奇妙的微观世界。
就像两个性格迥异却又配合默契的小伙伴，在微观的舞台上演绎着属于它们的精彩故事。
晶向晶面指数
晶向指数：[uvw] 即为AB晶向的晶向指数。
如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。
[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。
因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>表示对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质完全相同，用<100>表示对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质并不相同。
图1-19{100}，{111}，{110} 晶面族在立方系中：{100}=（100）、（010）、（001）；{110}=（110）（101）（011）（10）（01）（01）；{111}=（111）、（11）、（11）、（11）。
{123}=（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；（23）、（32）、（31）、（13）、（12）、（21）；（13）、（12）、（21）、（23）、（32）、（31）；（12）、（13）、（23）、（21）、（31）、（32）。
共24组晶面晶面指数用来分别表示原子的排列构成的许多不同方位的晶面。
如（111）在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl] 垂直于（hkl）。
例如：[100] 垂直于（100），[110] 垂直于（110），[111] 垂直于（111），等等。
但是，此关系不适用于其它晶系。
左边图，a1、a2、c为晶轴，而a1与a2间的夹角为120度。
六方晶系六个柱面的晶面指数为（100）、（010）、（10）、（00）、（00）、（10）这六个面是同类型晶面，但其晶面指数中的数字却相同。
六方晶系的晶面指数和晶向指数(与“指数”相关共10张)
[UVW]=
[ u v t w ]计算 化简可得 =
在平面上表示一个点只用两个坐标，则
u+v+t=0 t=-(u+v)
(2)
a1+a2+a3=0
（3）
任一晶向中为 ua1+va2+ta3+wC （4）
六方晶系的晶向指数
（3）式代入(4)，得到晶向的四轴指数
OR=ua1+va2-t(a1+a2)+wC
=(u-t)a1+(v-t)a2+wC
（5）
六方晶系的晶向指数
六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶面指数 取a1、a2、C为晶轴,a1、a2夹角120º，
C⊥a1，C⊥a2
b晶面的晶面指数：（100）
C晶面的晶面指数：
晶面指数上不能明确表示等 同晶面
六方晶系的晶面指数
采用a1、a2、a3及C四 个晶轴 a1、a2、a3之间的 夹角均为120º
晶根轴i= 据不面- (立会指h+体超数k)几过以或何 三（h，个h+在，kki+l三可）i=维证表0 空明示间中独立的坐标 O设即晶六即任六在 采任在=任取1i取六O根在用晶即根取晶任晶任=,(RR∞u晶用面个用一方平用一平一aa个据平四面用据a面一面一--==,111(t-向 三 指 柱 三 晶 晶 面a晶 面 晶 晶 立 面 轴 指 三 立 指 晶 指 晶h)uu、、、1a1+aa,1∞指轴数面轴向系上 向上向面体上坐数轴体数向数向、aaak11+)222,++数坐上的坐中的表 中表中可几表标上坐几以中确中(a、、、或vvv2aa-在标不指标为晶示 为示为归何示，不标何（为定为、CCCt22)ha--为为为三，能数，面一 一并，一能，，方h+atuuutOuu2((kk3aaaaaaa晶晶晶+轴则明可则指个 个为在个明则在法Ri+l及1111111）wi=+++++轴轴轴坐确确数点 点三点确三与=OOO++CC(表vvvvv0aauRRR,,,标表定和只 只维只表维三aaaaa四22aaa-===示t22222))111)晶系示为晶用用空用示空轴++个UUU+++++a、、、wwttttt1aaa面等向两 两间两等间系aaaaa晶[+CCaaa111U33333(222+++族同指个 个中个同中一轴+++++vV夹夹夹VVV（wwwww-W晶数坐 坐独坐晶独致taaaa)CCCCC角角角a22251]面标 标立标面立2+++）、111+WWW（（（（（， ，的，的222wa000CCC444442则 则坐则坐Cººº，，，）））））、标标（（（（CCCa轴轴3⊥⊥⊥1115之））））不不aaa间111会会， ， ，的超超CCC夹过过⊥⊥⊥角三三aaa222均个个为，，1可可20证证º明明
晶向指数与晶面指数
晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1图2当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
晶向指数与晶面指数
晶向指数与晶面指数在晶体物质中，原子在三维空间中作有规律的排列。
因此在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。
晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，构成了晶体的各向异性。
这对分析有关晶体的生长、变形、相变以及性能等方面的问题时都是非常重要的。
因此研究晶体中不同晶向晶面上原子的分布状态是十分必要的。
为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密勒（Miller）指数。
一、晶向指数晶向指数是按以下几个步骤确定的：1．以晶胞的某一阵点为原点，三个基矢为坐标轴，并以点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度；2．过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB（见图1），这一直线必定会通过某些阵点；3．在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的坐标值； 4．将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，[uvw] 即为AB晶向的晶向指数。
如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。
图2给出了正交点阵中几个晶向的晶向指数。
显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致的晶向。
若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们的晶向指数的数字相同，而符号相反。
如[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。
图1. 晶向指数的确定 图 2.正交点阵中几个晶向的晶向指数晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>表示。
例如，对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质是完全相同的，用符号<100>表示。
如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序，所表示的晶向可能不是等同 的。
例如，对于正交晶系 [100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质并不相同。
晶体学基本(晶向指数与晶面指数)
1.4晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向(连接点阵中任意结点列的直线方向)。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面(在点阵中由结点构成的平面)。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为 (如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等) 都和晶面、晶向有密切的关系。
所以,为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒( Miller )指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数［uvw］的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a, b, c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a, b , c,坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa, yb , zc)。
⑶将xa, yb , zc化成最小的简单整数比u , v, w,且u ： v ： w = xa ： yb ： zc。
(4)将u , v, w三数置于方括号内就得到晶向指数［uvw］。
图1晶向指数的确定方法图2不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x i, y i ,z i)和Q(x2,y2, Z2),然后将(X1-X2), (y i-y2), (Z1-Z2)三个数化成最小的简单整数u, v,w,并使之满足u ： v ： w=( X1-X2)：(y i-y2)：(z i-Z2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[0 10]与[010]。
材料科学基础-22晶向晶面指数.
( h1k1l1 ) 、 ( h2k 2l2 ) 求
晶带轴 [ uvw ]
（5）晶面间距
2.1.2晶向指数和晶面指数
（1）晶向指数的确定 某阵点为原点，以晶轴建立右旋坐标系， 点阵常数为三坐标轴单位长度 定出欲求晶向的两点坐标，末坐标减初坐 标 化成互质整数，以 [ uvw ] 表示，负号在 数字上方 一个晶向指数代表一组相互平行的晶向 晶向指数相同符号相反，晶向相互平行
晶面族
（3）六方晶系的晶面指数和晶向指数
线的
晶面构成一个晶带
晶带轴
立方晶系，晶面
( hkl ) 以 [ uvw ] 为晶带
轴 ( 晶向 [ hkl ] 与 [ uvw ] 垂直 ) ，故 hu
+ kv + lw =0
两个不平行晶面
晶向族
（2）晶面指数的确定 建立坐标系，原点位于待定晶面之外 定出待定晶面到三轴的截距（平行于某轴 时截距无穷大），取截距的倒数 化成互质整数，以 ( hkl ) 表示，负号在数 字上方 晶面指数相同，符号相反，晶面相互平行 对立方晶系，具有相同指数的晶向与晶面 垂直，如 [010]⊥(010)
晶向指数和晶面指数
晶向指数和晶面指数为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
1.晶向指数晶向指数的确定步骤如下：1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。
3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。
4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。
2.晶面指数晶面指数标定步骤如下：1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；3)取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
3. 六方晶系指数六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直，如图2.13所示。
但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性，为了更好地表达其对称性，根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l)四个指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述（见图2.14），晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
材料科学基础第一章晶面和晶向指数
• 顶点到面心方向<112>：
[112]、[112]、[1 1 2]、[1 12] [121]、[12 1]、[121]、[1 21] [211]、[21 1]、[2 1 1]、[211]
§1-6 六方晶系的晶面和晶向指数
一、晶面指数
c
E
D
F A
C B
E’ F’
A’ a
D’
C’ b
B’
首先用三指数来表示六方晶胞 的六个侧面：
Total: 12
{123} (123) (1 23) (123) (123) (132) (1 32) (132) (132) (231) (231) (231) (23 1) (213) (213) (2 1 3) (213) (312) (312) (3 1 2) (312) (321) (321) (321) (32 1) Total: 4×3！=24
如何定义面密度和面堆积密度？
面密度
晶面上原子数 晶面面积
(010)
1 (0.334nm)2
8.961014
atoms/cm2
面堆积密度
晶面上原子所占面积 晶面面积
(010)
1 ( r2 )
(2r)2
0.79
（020）面？
由于（020）面上没有原子，所以（020）面的面 密度和面堆积密度都是0。
(3). c 轴：[0001]
六方晶系的晶向的确定方法：
Fc E
• 另外一些特殊的晶向：
D
B
可以由简单的晶向求出，如：
AB AC CB [1100] [0001] [1101] a3
O
C a2
[2110] a1
A [1010] [1120 ]
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在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有 类似的指数，给研究带来不方便。 解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标 轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变， a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有 类似的指数。 例如：{1010}=(1010),(1100),(0110) {1120}=(1120),(1210),(2110)
指标的不唯一性
在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时， 会出现新的问题：指标不唯一。 例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110]. 解决方法：加限制条件：前三个指标之和 为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1 轴的指标应选[2110].
晶向四指数的解析求法：
(1) (2) (3)
金刚石、闪锌矿结构的图示法
• 该图为金刚石惯用元胞 在{100}面上的投影,图 中“0”,“1/2”表示一个 fcc的原子. • “1/4”,“3/4”表示另一个 fcc的原子; • “•”表示共价键上的电子.
• 注意：化互质整数时，所乘的因子的正、
负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶 向。 • 例1：在立方晶系中，〈100〉代表
[100],[010],[001]三个等效晶向。
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以 不化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距 为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。
说明
六角晶系的四指数表示 以上三指数表示晶向、晶面原则上适用 于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点： 晶体具有等效的晶面、晶向不具有 类似的指数。 例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学 上应是等价的，但其密勒指数却分别为 (100)和(110)。夹角为600的密排方向是等 价的，但其方向指数却为[100]和[110].
§1.5 晶向指数和晶面指数
1.格点指点的坐标为： n1a,n2b,n3c,表示为[(n1,n2,n3)]. 若n为负值，则在其上部打一横杠表示， 例如， n1＝－2,n2＝1,n3＝－3,表示 为[(n1,n2,n3)].
2.晶向指数：
B格子的格点可看成是分列在一系列 平行、等距的直线系上，这些直线系称 为晶列。 一个无穷大的B格子，可有无穷多种 晶列。 晶向指数：从该晶列通过轴矢坐标系原 点的直线上任取一格点，把该格点指数 化为互质整数，称为晶向指数，表示为 [h,k,l]。
先求出待求晶向在三轴系a1 , a2 , c下的指数U， V，W，然后通过解析求出四指数u,v,t,w, 由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故： u a1 + v a2 + t a3 + w c
= U a1 + V a2 + W c 又有： a1 + a2 =－ a3 又由等价性条件： u + v = － t 解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
3.晶面指数（密勒指数）
B格子的格点还可看成是分列在一系列 平行、等距的平面系上，这些平面系称为 晶面系（晶面族）。 一个无穷大的B格子，可有无穷多方向 不同的晶面系。 晶面表示方法： （1）找出晶面系中任一晶面在轴矢上的 截距；
（2）截距取倒数； • （3）化为互质整数，表示为（h,k,l）。 • （h,k,l）可表示一个晶面系，也可表示 某一个晶面。