数学问题杂谈 (16)
数学问题杂谈 (12)
数学是精简实用、平实近人的。 数学是精简实用、平实近人的。 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（不 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（ 是删难就简）、以简驭繁（ ）、以简驭繁 是删难就简）、以简驭繁（以数学的核心概 念和基本思想，如数及其运算、函数、 念和基本思想，如数及其运算、函数、空间 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 算法等，作为主体) 算法等，作为主体)。 特别注意与学生思维发展水平相适应( 特别注意与学生思维发展水平相适应(例如统 计与概率内容的安排) 计与概率内容的安排)。
3.加强“思想性” 3.加强“思想性” 加强
以数学的概念、公式、法则、定义、 以数学的概念、公式、法则、定义、定理等组 骨架” 以数学的思考方法、 成“骨架”，以数学的思考方法、寻求一般性 模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等作 为灵魂 利用“先行组织者” 利用“先行组织者”概述要研究的问题及研究 方法 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 强调数学本质，保证科学性； 强调数学本质，保证科学性；强调数学形式下 的思考和推理训练（以推理课为例） 的思考和推理训练（以推理课为例） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思）
综合与分科 分科结构和综合结构各有利弊， 分科结构和综合结构各有利弊，并不存在 哪一个更好的问题。 哪一个更好的问题。重要的还是如何加强 联系。就当前的教材编写实践看，因为没 联系。就当前的教材编写实践看， 有足够的体现联系的素材和问题， 有足够的体现联系的素材和问题，综合结 构因为造成知识链的断裂（ 构因为造成知识链的断裂（讲一章代数后 接着安排几何，再接着要安排统计）， ），所 接着安排几何，再接着要安排统计），所 以弊大于利。应当说， 以弊大于利。应当说，综合结构比分科结 构更难组织，需要更多的时间来实验、 构更难组织，需要更多的时间来实验、探 索。 小学数学宜于用综合结构。 小学数学宜于用综合结构。
数学问题杂谈 (15)
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课后小结 • • • 一个数学思想 转化的思想 两个重点模型 函数与数列 三个基本能力 阅读理解能力
抽象建模能力 解决问题能力
• 四个解题步骤
审题→建模 求解 还原 审题 建模→求解 →还原 建模
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调整前t小费用为 y = (0.12 × 20 + 0.12 × 60)t = 9.6t Q 9.6t > 7.2t ∴ 令11.2t − 240 = 9.6t解得t = 150(小时)
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沙尘暴问题
• 环境问题严重危害群众的身心健康，也直接影 环境问题严重危害群众的身心健康， 响着北京举办2008年奥运会的成败。2000年北 年奥运会的成败。 响着北京举办 年奥运会的成败 年北 方地区发生的多起沙尘暴， 方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙 漠化引起的。据调查，北京市郊某县1994年底 漠化引起的。据调查，北京市郊某县 年底 有一定面积（单位亩）的沙漠，以后每年被沙 有一定面积（单位亩）的沙漠， 漠化的土地面积相同，该县1995年起在沙漠上 漠化的土地面积相同，该县 年起在沙漠上 植树改造沙漠为森林， 植树改造沙漠为森林，以后每年都比上一年多 植相同面积的树木改造沙漠。据统计， 植相同面积的树木改造沙漠。据统计，沙漠总 面积及每年植树面积如图， 面积及每年植树面积如图，问到哪一年年底可 以将所有的沙漠改造完？ 以将所有的沙漠改造完？
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上网费问题
• 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网 上因特网的费用由两部分组成： 以前，上海地区通过“上海热线” 费。以前，上海地区通过“上海热线”上因特 网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费 分钟， 网的费用为电话费 元 分钟 上网费0.12元/ 元 分钟。根据信息产业部调整因特网资费的要求， 分钟。根据信息产业部调整因特网资费的要求， 日起， 自1999年3月1日起，上海上因特网的费用调整 年 月 日起 为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过 小 分钟， 为电话费 元 分钟 上网费每月不超过60小 小时计算， 小时部分， 元 时，以4元/小时计算，超过 小时部分，以8元/ 元 小时计算 超过60小时部分 小时计算。 小时计算。
苏科版初一数学《有理数》教学中的16个问题
苏科版初一数学《有理数》教学中的16个问题运算符号的由来表示计算方法的符号叫做运算符号，如四则计算中的“＋”、“—”、“×”、“÷”等．加号“＋”是加法符号，表示相加．减号“—”是减法符号，表示相减．“＋”与“—”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的．在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认．乘号“×”是乘法符号，表示相乘．1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“×”表示相乘．乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过来．另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的．除号“÷”是除法符号，表示相除．用这个符号表示除法，首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中．几年以后，该书被译成英文，才逐渐被人们认识和接受．（选自《跨世纪知识城——谈数学》）集合集合是一个无法定义、只能描摹的原始概念．集合论的创始人康托尔（Georg Cantor，1845-1918）指出：“集合是一些确定的、不同的对象的总体，这些对象人们能意识到，而且能判断一个给定的对象是否属于这个总体．”这些对象称为集合的元素．由全体自然数、整数、有理数、实数等所构成的集合就分别称为自然数集（非负整数集）、整数集、有理数集、实数集等．海拔高度以平均海平面为标准的高度称为海拔高度．海拔的起点叫做海拔零点或水准零点．1956年起我国的海拔零点统一为青岛零点．欧洲将荷兰的阿姆斯特丹附近海面定为海拔零点，美国将伯克兰附近海面定为海拔零点．寻求全球统一的海拔零点是海洋大地测量的重要任务．1975年我国对世界最高峰——珠穆朗玛峰的高程进行了精确测定，当年7月23日，中国政府授权新华社向全球宣布：我国测绘工作者精确测得世界最高峰——珠穆朗玛峰的海拔高程为8848.13m．2005年5月我国再次对珠穆朗玛峰的高程进行测量，2005年10月9日经国务院批准并授权，由国家测绘局公布：珠穆朗玛峰峰顶岩石面海拔高程为8844.43m．艾丁湖位于我国新疆吐鲁番市东南30km的吐鲁番盆地最低洼处．1978年，国家测绘总局测得艾丁湖底的海拔高程为－154.566m．1981年测绘总局公布了这一测量成果，并建议用－155m作为我国陆上最低点的标高．1992年旅游部门在那里建立了一块永久性纪念碑．是无理数的证明若x2＝2，则x不是有理数．因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数pq（p、q是整数，p与q互质）的形式，于是2= x2= p2q2即p2＝2q2，由于2q2是偶数，所以p也是偶数，不妨设p＝2a，可得4a2＝2q2，即q2＝2a2，而2a2是偶数，所以q应是偶数，这样p、q都是偶数了，它们的公约数是2，与p、q互质矛盾．可见，x不是有理数，而是无理数．人们通常将它记为（江苏教育出版社《初中生数学学习》、《小议无理数与它的特性》周士藩2003年第6期）液体温度计液体温度计的主要部分是一根内径很细的玻璃管，其下端是一个玻璃泡，在玻璃管和玻璃泡里盛适量液体，通过液体的热胀冷缩反映温度变化．根据液体的不同，液体温度计通常分为水银温度计、酒精温度计、甲苯温度计和煤油温度计等．这些液体及其特性如下：幻方“幻方”也称纵横图、魔方、魔阵，是一个相当古老的数学问题．将1，2，3，…，2n个连续整数，填入方格中，使纵横各行及对角线上的数字和等于常数，便构成一个“幻方”．公元前2200年的我国商周时代的《易经》上说：为奖励大禹治水的功绩，一只神龟浮出洛河，把图①所示的“洛书”献给大禹．图②所示的一个三行三列的数字方阵，称为“三阶幻方”．我国古代又称“三阶幻方”为“九宫”．《易经》上又说：一匹龙马跃出黄河，把一张图③所示的“河图”赠给大禹．显然，“河图”的数学信息的含量更大．“神龟洛书，龙马河图”是4000多年前中华民族的创造，也是组合数学的最早成果，值得我们自豪，可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论．经过世界各国一代代数学家与数学爱好者的努力，幻方及其所蕴含的各种神奇性质逐步得到揭示．如今，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群论、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用．1977年，“四阶幻方”作为人类的特殊语言被“美国旅行者”1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息．气温气象学上把表示空气冷热程度的物理量称为空气温度，简称气温，国际上标准气温度量单位为摄氏度（℃）．天气预报中的气温，是在植有草皮的观测场离地面1.5m高的百叶箱里温度计的气温，由于有良好的通风并避免阳光直射，所以得到的温度具有较好的代表性．在夏日炎炎的午后，在交通繁忙的水泥路面，在空无遮挡的阳台等地测得的气温要比百叶箱气温高得多．死海西亚著名大盐湖，位于约旦同巴勒斯坦之间的西亚裂谷中．南北长80km，东西宽4.8～17.7km，面积1049km．湖面低于地中海海面392m，平均深300m，最深395m，是世界陆地最低处．由于湖水含盐量在25％以上，动、植物都难以在水中及湖边生存，所以水里没有鱼虾和植物．水面上看不到水鸟，岸边只有白花花的鹅卵石，一片死气沉沉的凄凉景象．但死海中的水却有治病的奇效，在死海中游泳后，身上被太阳晒出的白粉中含有钾盐和硫磺，能治风湿病、关节炎和哮喘病，因此每年都有不少游客慕名来此“治病”．有趣的是，由于水的含盐量高，浮力大，人在水中就像木头漂浮在水面，只要保持身体平衡，就能自由自在地戏水而不会沉没．富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻．贪财好利是他们的共同特点．一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来．精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱．”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我一分．”“难道你第二天还要给我一万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的一万，要给我二分．第三天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你……”“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍．”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁．”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了．但是你给我的钱也一分也不能少！”嘿，还当真呢！吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”“不签协议算什么打赌？”精明的富翁说：“咱们还要找几个公证人呢！”吝啬的富翁真是喜出望外，于是他们签了协议，找来了几个公证人．协议上写道：甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍．双方持续时间为30天，就这样，把手续办好了．吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔．不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱．第二天，对方仍然如约送来了一万元．他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱．对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！”当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱．但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万．可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌．对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议．到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了．你说，这是为什么呢？原来吝啬的富翁在一个月内共得到300000元，而他需要付给对方的钱，总数是：234530+++++++＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋ (536870912)12222221073741823(分)＝10737418.23(元)．即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分．（选自《奇妙数学大世界》）棋盘上的粮食中国、印度、埃及和巴比伦是世界四大文明古国．传说，古印度有一个人发明了一种游戏棋，棋盘共64格，玩起来十分新奇、有趣．他把这种棋献给了国王，国王玩得十分开心，便下令赏赐献棋人．臣下问献棋人想要什么．献棋人说：“我只需要粮食，要求大王给点粮食便心满意足了．”问他需要多少粮食，他说只要求在棋盘的第一个格子里放一粒米，在第二个格子放两粒米，第三个格子里放四粒米……总之，后面格子里的米都比它前一格增大一倍，把64格都放满了就行．国王一听，满口答应．大臣们也都认为：这点米，算得了什么，便领献棋人去领米．岂料，到后来把所有仓库里的存米都付出了，还是不够．你知道这是为什么吗？米粒数根据制棋人的要求．可列式为：2345631222222+++++++＝18446744073709551615(粒)．如果造一个仓库来存放这些米，仓库应是多大呢？有人算过，若仓库高4米，宽10米，那么长应是地球到太阳距离的2倍．这样的长方体仓库在地球上是容不下的，当然这只是个假设．传说，当时计算米粒数宫廷里就整整算了三天！这是中学数学中“等比级数求和”问题．在当时只是凭手工硬乘出来的．国库中当然不可能有那么多的粮食．（选自《奇妙数学大世界》）乘方和幂民间流传着这样一个古老的问题：路上走着七位老人，每位老人有七根拐棍，每根拐棍有七个树杈，每个树杈上挂着七只口袋，每只口袋里装着七个布包，每个布包里装着七只麻雀．请你帮我算一算，共有多少只麻雀？这个题目不难算，共有麻雀7×7×7×7×7×7＝117649(只)．这是一个求相同因数连乘积的运算，人们嫌相同因数个数多，写起来麻烦，便发明了一种方法，把它写成：7×7×7×7×7×7＝76．这种写法很方便，例如100个7连乘，如果用乘法写，要写100个7，太麻烦了．用这种方法写，只要写成7100就可以了．一般说来，n 个a 连乘，可以写成n n a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=个．像这样求相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂．在数学课上，老师有时把a n 读作“a 的n 次方”；有时又读作“a 的n 次幂”．同样一个符号a n ，为什么会有两种不同的读法呢？这是因为乘方和幂，既是两个不同的概念，又是两个有关联的名词．乘方是一种特殊的乘法运算，从运算的角度考虑，就可以把a n 读成a 的n 次方；而幂是乘方运算的结果，那就只能读作a 的n 次幂．有趣的是，符号(a m )n ，还要读成“a 的m 次幂的n 次方”．虽然a n的读法有两种，但是数学运算是方法，运算的答案是结果，方法和结果终究是两回事，它们是不能混淆的．在初中数学中，学过的代数方法有加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种．加法运算的结果叫做“和”，减法运算的结果叫做“差”，乘法运算的结果叫做“积”，除法运算的结果叫做“商”，乘方运算的结果叫做“幂”，开方运算的结果叫做“方根”．科学记数法把一个数记成10na⨯的形式，其中a满足1≤∣a∣＜10，n是正整数，像这样的记数法叫做科学记数法．例：5⨯．0.076048=7.60481061400 6.1410=⨯，-2记数法的历史我们追溯到五千年到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已从母系社会过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要．比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号．在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文，即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人．在商周的青铜器上也刻有一些大的数字，以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位．而在古罗马，最大的记数单位只有“千”．他们用M表示一千，“三千”则写成“MMM”，“一万”就得写成“MMMMMMMMMM”．真不敢想象，如果他们需要记一千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？总之，人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的，传说以前一些私塾先生告诉他的学生道：“最大的数叫‘猴子翻跟斗’”．这位私塾先生可能认为孙悟空一个跟斗翻过去的路程是最最远的，不能再远了，所以完全可以用“猴子翻跟斗”来表示最大的数．在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”．是呀，恒河中的沙子你数得清吗！然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是阿基米德．他写了一篇论文，叫做《计沙法》，在这篇文章中，他提出的记数方法，同现代数学中表示大数的方法很类似．他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍．阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆＝188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离．阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子．然后开始计算这些沙子的数目．最后他写道：“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一千万个第八阶单位”.如果要把这个沙子的数目写出来,就是10，000，000×（100，000，000）7或者就得在1后边写上63个0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000．这个数，我们现在可以把它写得简单一些：即写成1×1063．而这种简单的写法，据说是印度某个不知名的数学家发明的．现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：32，000，000就可记为3．2×107，而0．0000032则可记为3．2×10－6．这种用在1与10间的一个数乘以10的若干次幂的记数方法就是“科学记数法”．这种记数法既方便，又准确，又简洁，还便于进行计算，所以得到了广泛的使用．其他记数法记数法（Numeration System of Number）是指记录或标志数目的方法，主要指数字符号的表现形态和记数工具的使用．在文字产生以前，人类已形成数的概念、数目用实物记录，如石子、竹片、贝壳等，有时也用人类天生的计算工具手指和脚趾，“屈指可数”反映出这种记数法．后来使用了结绳和契刻，随着记载数目的增大出现了进位制，由于各地区各民族所处的自然环境与社会环境都不相同，因此产生出各种不同的记数方法．除整数记数法外，许多地区还有各自的分数记载方法，例如古埃及的单位分数表示法；巴比伦地区的60进位分数表示法；古希腊的字母分数表示法；古罗马的算盘分数表示法；中国古代和印度古代的分数表达式等．中国约在13世纪出现10进分数（小数）表达式，中亚细亚数学家卡西是中国以外第一个系统应用这种小数的人．十进制是最常用的一种记数法，就正整数而言，就是以十为基数，逢十进一位，逢百进二位，逢千进三位等等，从而把一个正整数从右到左分成个位数、十位数、百位数、千位数等等．如4325＝4×103＋3×102＋2×101＋5×100．二进制也是广泛应用的一种记数法，十进制是逢十进位，二进制是逢二进位．如：（101011）2＝1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝43．拉面记录1988年，我国拉面高手在一次烹饪大赛上，拉出了14扣，共16 000多根细面，获得“拉面大王”的称号．在1998年3月的一次表演中，“拉面大王”用1kg面粉轻松拉出18扣，共262 144根细细的面丝，累计长度达到508 559.36m，并因此成为世界“最细的拉面”第一人．2000年，他用1kg面粉拉出20扣，细面总数1 048 576根，累计长度达到2 352 897.28m，相当于珠穆朗玛峰的高度的266倍，可绕地球赤道58圈．面条细如蛛丝，一根针眼中可穿过18根，第3次创出新的吉尼斯纪录．2000年11月，他的儿子以21扣、细面总数2 097 152根取代父亲，成为当时世界“最细的拉面”第一人．对折报纸为什么那么大的一张报纸对折起来竟那么困难？不妨将对折次数、报纸厚度、报纸面积的变化记录如下：可见，在对折过程中报纸的面积随着报纸厚度的成倍增加而成倍减小，所以对折到第9次时，报纸已又小又厚，再加上纸本身的拉力，要想对折成功而不撕裂报纸，其困难程度比把256张大报纸对折还要困难得多．运算、运算顺序及运算律1．运算数字运算，就是从给定的数字出发，施行确定的步骤以获得确定的结果．例如：给定两个数3和5，中间放个加号，得8，这就是一种运算——加法；给定两个数3和5，中间放个乘号，得15，这就是另一种运算——乘法．运算的种类很多，但基本的算术运算只有两种——加法和乘法．减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算．除了数以外，运算也可以施于其他对象．例如，两个力作用于同一物体，可以说两个力相加，这是向量之间的加法运算；把一个三角形按比例放大，再绕它的外心旋转90︒，可以说是放大与旋转相乘，这是几何变换之间的乘法运算．通常，可结合又可交换的运算叫做加法；可结合但不一定可交换的运算叫做乘法．2．运算顺序常用的运算分三级．加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方和开方是三级运算．如果一个算式里有不同级别的运算，那么先进行三级运算，再进行二级运算，最后进行一级运算．这样规定的好处是可以少用括号，否则3×5＋6÷2，就要写成（3×5）＋（6÷2）．如果一个算式里只有同一级别的运算，那么按自左而右的顺序进行．例如3－2＋1要先算3－2，不能先算2＋1．3．运算律两种基本算术运算服从5条基本运算律，即加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．如果甲种运算比乙种运算高一级，那么甲种运算对乙种运算有分配律．例如，乘除法对加减法有分配律，乘方、开方对乘除法有分配律．差两级运算不具有分配律，例如，乘方和开方对加减法没有分配律，不能把()2a b +写成22a b +．。
数学问题杂谈 (34)
• 遇到不會的數學問題時，我會 先想以前是否有解過類似的題 目。 • 我做完一題數學題時，會檢查 一下答案是否合理。 • 我學會一種解題方法後，會找 其他類似的題目做做看，以了 解自己是否真正學會了。
• 我在做數學題時，會先了解題 目的意義再想辦法解答。 • 解數學題時，我會先判斷題目 的類型再決定用什麼方法來解 答。
• 老師和同學所說明過的數學題 目，我會以自己的想法再做做 看。 • 我在做數學習題時，會應用學 過的數學知識。
• 我會把過去所學到的數學知識 和現在所學的連貫起來。 • 我會把學校裡所學的數學知識 和學校以外所學的數學知識連會運 用方法將數字分解或組合以方便 計算或思考。 • 我做數學題遇到困難時，會試著 畫圖或其他方法來分析題目。
• 上數學課時，如果我可以了解 老師和同學講的內容，我才會 認真聽講。 • 在做數學問題時，我比較會記 得我認真思考過的題目。
• 組織訊息
• 上數學課時，老師和同學所講的 內容常讓我想起過去學過的有關 的知識。 • 我在做數學問題時，會在腦海中 分析和組織學過的關連知識。
• 當我在做數學時，我會回想老 師和同學所提過的類似的例子。 • 我常將數學課時老師和同學所 講的內容關連起來以方便學習。 • 我會將最近學到的數學作一番 整理。
•問題真的很困難,我就放棄 因為 •甲生:越逃避就越困難（不是） •乙生：困難的題目我會的就不 會放 棄（不確定）
• 數學在生活中是有用的 因為 •甲生:例如買東西時是用的到的 （是） •乙生：要算＋-×÷比較方便（是）
• 我比較喜歡自己做數學 （比較不喜歡和同學一起做） 因為 •甲生:比較安靜（是） •乙生：我喜歡自己一個人做 （不是）
• 數學學習後設認知量表
• 非常符合 • 有點符合 • 有點不符合 • 非常不符合
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析2012级数学与应用数学 郭聪聪一． 问题提出在超市购物时往往会有大包装商品与小包装商品便宜的现象.比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位质量的价格比是1.2:1.本文用比例方法构造模型解释这个现象.1.分析商品价格C 与商品质量ω的关系.价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，生产成本与质量ω成正比，包装成本与表面积成正比，还有与ω无关的因素.2.给出单位质量价格c 与ω的关系，画出它的简图，说明ω越大c 越小，但是随着ω的增加c 减小的程度变小，并解释其实际意义.二． 模型假设1.生产成本1P 与质量ω的关系为：11k P ω=.2.包装成本2P 与表面积S 的关系为: 22P =k S .3.包装体形状一定时，有233S=k ω. 三． 模型求解记与3P ω无关的成本为, 123C P P P =++,即231234k +k k +k C ωω=123,4k ,k ,k k 0为大于的常数,于是单位质量C 与ω的关系为： 1--131234c k +k k +k ωω=函数简图如下：四．模型分析易见c是 的减函数说明大包装比小包装的商品便宜.同时曲线是下凸的，意味着随着质量的增大，单价下降的速度是减小的，说明也不应选择太大的包装.教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
文件――页面设置――版式――页眉和页脚――首页不同。
2. 问：请问word 中怎样让每一章用不同的页眉？怎么我现在只能用一个页眉，一改就全部改了？答：在插入分隔符里，选插入分节符，可以选连续的那个，然后下一页改页眉前，按一下“同前”钮，再做的改动就不影响前面的了。
简言之，分节符使得它们独立了。
这个工具栏上的“同前”按钮就显示在工具栏上，不过是图标的形式，把光标移到上面就显示出”同前“两个字来。
小学数学杂谈--因数与倍数-
小学数学杂谈----因数与倍数1.因数和倍数如果整数A能被整数B整除，A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数，（在自然数的范围内）。
如：6÷3＝2 6是3和2的倍数：2和3是6的因数必须注意：①、被除数、除数、商都必须是整数如10÷4=2.5 4就不能说是10的因数，也不能说10是4的倍数②、不能把一个数单独的叫做倍数或因数；只能说谁是谁的倍数或因数，如：6÷3=2，不能说6是倍数，2是因数，只能说6是3的倍数，3是6的因数。
③、什么是自然数：自然数是用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数，0也是自然数，最小的自然数是0，自然数的个数是无限的。
2.整除的特征⑴能被2或5整除的数的特征能被整数2正常的数：个位上的数是0、2、4、6、8. 能被5整除的数：个位上的数是0或5.个位上的数是0的数，既能被2整除又能被5整除。
⑵能3或9整除的数的特征一个数各个数位上的数字的和能被3整除这个数就能被3整除。
1一个数各个数位上的数字的和能被9整除这个数就能被整除。
如：9231各个数位上的数字的和是9+2+3+1=15,能被3整除所以9231能被3整除72702各个数位上数字和是：7+2+7+0+2=18能被9整除所以72702能被9整除⑶能被4或25整除的数的特征一个数末两位能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
末两位数是0的，即整百数，既能被4整除，又能被25整除。
如：1928、17500能被4整除925、7700能被25整除其中17500和7700既能被4整除又能被25整除⑷能被8或125整除的数的特征一个数的末三位能被8或125整除那么这个数就能被8或125整除。
末三位数是0的，即整千数，既能被8整除，又能被125整除。
如：8712、7000能被8整除；1625、35000能被125整除，其中7000和35000既能被8整除又能被125整除⑸能被7,11,13整除的数的特征一个数字末三位上的数字所组成的数字与末三位以前的数字所组成的数字之差能被7,11,13整除，那么这个数就能被7,11,13整除2如：246288，由于288－246=42.42能被7整除所以246288能被7整除。
数学问题杂谈 (23)
令人担扰的一些现象
• 教师与学生仍然十分辛苦，所取得的成绩与所 教师与学生仍然十分辛苦， 付出的辛劳不成正比。 付出的辛劳不成正比。 • 课堂教学出现有其形，无其神的现象 课堂教学出现有其形，无其神的现象——表面 表面 热热闹闹， 热热闹闹，实质效率不高 • 高难度、大题量的操作性、重复性训练 高难度、大题量的操作性、
• 合作方式规范：除了知识方面的合作，还有人 合作方式规范：除了知识方面的合作， 际关系与行为规范方面的要求，包括分工、 际关系与行为规范方面的要求，包括分工、倾 争论、归纳、总结等要求。 听、争论、归纳、总结等要求。
• 合作时机恰当 合作时机恰当——是传递接受教学的一 是传递接受教学的一 种补充， 种补充，
• 马斯洛的“需要”理论 马斯洛的“需要”
– 人人都有对生理、安全、归属、尊重、自我实现的 人人都有对生理、安全、归属、尊重、 需要。 需要。
• 群体动力理论
– 在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、不同知 在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、 识结构、不同思维方式的成员可以互相启发， 识结构、不同思维方式的成员可以互相启发，互相 补充，在交流的撞击中，产生新的认识， 补充，在交流的撞击中，产生新的认识，上升到新 的水平。 的水平。
• 适宜性：情境问题、例、习题等的难易程度符 适宜性：情境问题、 合学生的认知水平
二、关于教与学的方式
• 新课程的理念之一 新课程的理念之一——提倡积极主动的 提倡积极主动的 学习方式 • 积极主动的学习方式的内涵
– 自主学习 – 合作学习 – 探究学习
教学实践中的偏差
• 合作学习：重形式，轻实质 合作学习：重形式，
自主学习的特征
• 对为什么学习、能否学习、学习什么、如何学习有 对为什么学习、能否学习、学习什么、 强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。 强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。 • 自我监控 自我监控——针对自己的学习过程所进行的一种观 针对自己的学习过程所进行的一种观 审视与评价； 察、审视与评价； • 自我指导 ——采取使学习行为趋向学习结果的行为 ， 自我指导——采取使学习行为趋向学习结果的行为 采取使学习行为趋向学习结果的行为， 包括制定学习计划、选择适当的学习方法、 包括制定学习计划 、选择适当的学习方法、组织学 习环境等 • 自我强化 自我强化——根据自己的学习能力、 学习任务的要 根据自己的学习能力、 根据自己的学习能力 积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。 求，积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。 • 自主学习是学习的一种内在品质，贯穿于学习的每 自主学习是学习的一种内在品质， 一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。 一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。
数学课堂教学杂谈
数学课堂教学杂谈摘要:新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。
教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。
关键词:激发兴趣培养探索能力辅导学生感受生活变式练习创新能力新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。
教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。
笔者从近几年的课改教学经历中,深感新课改的重要作用,尝试到素质教育得到的实效。
现谈几点认识。
一、激发学生学习兴趣是搞活课堂教学的关键1、巧设导语,激发兴趣俗话说:“好的开头是成功的一半。
”一个新颖的导语可以活跃课堂气氛,激发学生的学习兴趣。
在讲一元一次方程应用时,我引用这样一段导语:“有一位山区的农民担着空筐,手拉刚会走路的儿子去地里干活。
半路上,儿子走不动了,他就把儿子放在一个框里,另一个框里放几块石头挑起来走,这样逗得他儿子直乐,”我问大家他儿子了什么?他为什么要在另一个框里放石头?这样一来,学生的兴趣一下子被调动起来,争着发言:“他儿子坐着晃悠悠的,很美。
”“我也这样坐过,真舒服。
”“放石头是让两个框里的重量相等。
”“扁担就像方程里的一个等号。
”等等。
从而引出课题——“再探实际问题与一元一次方程。
”2、创设情境,激发兴趣兴趣能激发学生的思维活动,而思维的进一步深化又往往从疑问开始。
课堂上巧妙地推出一系列恰到好处的问题,能诱导学生很快地投入到思维状态之中。
初一的学生对性质定理和判定定理容易混淆。
我采用现实生活中的常见的动物“猫”来启发大家。
当问猫都有哪些习性时,学生的注意力和想象力都集中起来了,通过议论大家把会逮老鼠看做是猫的特性,它酷似一个定理的性质,把“会逮老鼠的动物才是猫”作为对猫这种动物的判定,又恰如是一个定理的判定,这样加深了对定理性质和判定的区分和理解,又引导学生对数学其他问题的探讨。
二、注意培养学生探索能力1、明确探索目的,让学生带着问题去探索由于初中学生年龄尚小,好奇心强,思维能力有限,不能自主地去发现问题、研究问题。
数学问题杂谈 (41)
民一中学
罗良勤
1 、数学问题情境教学能够反映数学与生 活的联系
问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背 景，此背景必须和学生的生活经验和数学经验 相关，因此数学问题情境教学能够充分反映数 学与生活的联系。 在学生原有知识和经验的基础上，有意识地 让学生陷入新的困境，引起认知冲突，唤起学 生对新知识学习的欲望。
数学问题情境创设的注意点
1 问题情境的创设要注意呈现方式的选择性 2 问题情境的创设要有明确性 3 问题情境的创设要形成系列化
教学中有必要创设那么多的问题情境吗
新课程将“问题情境——数学模型——解释、 应用和拓展”作为内容呈现的一个形式，目的 是关注数学与现实的联系，另一方面，将这种 形式作为教科书体例的一个相对固定的形式， 试图以教科书为载体促使教师改进固有的教学 喧宾夺主型 2、牵强附会型 3、调控无力型 4、拐弯抹角型
什么才是好的数学问题情境
我们在关注数学问题情境趣味性、现实性的同 时，更要关注数学性。 “数学问题情境”， 首先情境中要有“问题”，即数学问题，如果 情境中没有数学问题，那这样的情境即使再有 趣，再现实，也称不上是好的问题情境；其次， 问题情境要凸现数学知识的本质属性，要能够 从情境中有效地引出数学知识，因此，一个好 的数学问题情境应是趣味性、现实性和数学性 三方面的统一。
2 数学问题情境教学能够体现数学化的过 程
数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应 用数学知识的活动。数学活动不是一般的活动， 而是让学生经历数学化过程的活动，数学化是 指学生者从自己的数学现实出发，经过自己的 思考得出有关数学结论的过程
3 数学问题情境教学能够增强学生数学应 用的意识
16高考数学知识点总结
16高考数学知识点总结16高考数学知识点总结一同角三角函数的基本关系式倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1商的关系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系：sin^2()+cos^2()=11+tan^2()=sec^2()1+cot^2()=csc^2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。
由此，可得商数关系式。
(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
16高考数学知识点总结二两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2=2sincoscos2=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()tan2=2tan/[1-tan^2()]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin^2(/2)=(1-cos)/2cos^2(/2)=(1+cos)/2tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)另也有tan(/2)=(1-cos)/sin=sin/(1+cos)万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]cos=[1-tan^2(/2)]/[1+tan^2(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]万能公式推导附推导：sin2=2sincos=2sincos/(cos^2()+sin^2())......*，(因为cos^2()+sin^2()=1)再把*分式上下同除cos^2()，可得sin2=2tan/(1+tan^2())然后用/2代替即可。
数学问题杂谈 (20)
仙降镇中心小学 陈秀道
游戏规则： 双方轮流按顺序从1开始报数，每人最
多只能报2个数，谁抢到6，谁就是赢家。
试验要求：
1、同桌合作，一人掷硬币20次，另一人 记录正面朝上和反面朝上的次数。 2、试验结束后，前后桌合作，统计共掷 硬币40次正面朝上的次数。 3、小组长用计算器计算正面朝上的次数 除以40的商（结果保留三位小数），
组 总次 正面朝 比较 组别 别 数 上次数 值 1组 40 8组 2组 40 9组
3组 4组 5组 40 40 40 10组 11组 12组
总次 正面朝 比较 数 上次数 值 40 40
40 40 40
6组
7组
40
40
13组
总计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
历史上数学家所做的试验数据
实验者 蒲丰 德 摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 投掷次数 正面朝上 次数 4040 2048 4092 10000 12000 24000 80640 2048 4979 6019 12012 39699 比较值 0.507 0.501 0.498 0.502 0.501 0.492
福利彩票中特等奖的 1 可能性只有 。
10000000
9 明天下雨的可能性是 10
。
我种下了100粒种子，他 们都能成活吗？
概率小史 概率主要研究不确定现象，他起源于博弈问题。 15-16世纪意大利数学家们曾讨论过“如果两人赌博 提前结束，该如何分配赌金”等问题，比如，两个人 做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1 分，先得到10分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因 故中途结束，此时甲得了8分，乙得了7分，那么他 们该如何分配这个蛋糕？ 为了回答类似述问题， 人们对不确定现象做了 大量研的究，如前面已经例举了历史上一些数学家 所做的掷硬币试验的数据。 对不确定现象的研究， 最终促生了概率论的产生。它字产生之日起，就与 人们的实际生活有着密切的联系，并且解决了科技 发展中的许多问题，正因为如此，这门学科有着很 强的生命了和广阔的发展前景。
常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑
常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑数学作为一门基础学科，在我们的学习生活中扮演着重要的角色。
然而，常常有一些数学问题和疑惑困扰着我们。
本文将解答一些常见的数学问题和疑惑，帮助读者更好地理解数学知识。
一、为什么除以0是没有意义的？在数学中，当我们进行除法运算时，我们将一个数除以另一个数得到一个商。
然而，当我们试图用0去除一个数时，结果就会变得模糊不清。
为什么呢？假设我们有一个数a，我们想要用0去除它，即a ÷ 0。
我们可以假设存在一个数x，使得0 * x =a。
但是，这个假设不成立，因为0与任何数相乘得到的结果都是0。
因此，我们无法找到一个确切的数x来满足等式0 * x =a。
这也就是为什么除以0是没有意义的。
数学上，我们称这种情况为“除以0的结果为无穷大”。
二、为什么分母不能为0？在分式中，分母表示我们将某个数分成多少份。
然而，当我们把一个数分成0份时，这个概念就变得没有意义了。
假设我们有一个分数a/b，其中b表示分母。
如果b等于0，那么我们试图将a分成0份。
但是，仔细思考一下，我们会发现没有任何一种情况下我们能够把一个数分成0份。
因此，分母为0是没有意义的，数学上称之为“分母不能为0”。
三、为什么负数乘以负数得到正数？在初学数学的时候，我们知道两个正数相乘得到正数，两个负数相乘得到负数。
但是为什么负数乘以负数得到正数呢？假设我们有两个负数a和b，我们知道它们的乘积为ab。
现在，我们来考虑一个简单的例子，-2乘以-3，即-2 * -3。
根据之前的规律，我们知道这个结果应该是一个正数。
我们可以通过纸上计算来理解这个现象。
我们知道-2表示向左移动两个单位，而-3表示向左移动三个单位。
那么，我们把-2 * -3理解为“向左移动两个单位再向左移动三个单位”，这就相当于向左移动5个单位。
而向左移动5个单位，实际上就是向右移动5个单位，也就是正数5。
因此，负数乘以负数得到正数是根据数学定义和规律得出的。
杂谈“折叠”题
杂谈“折叠”题作者：朱校华来源：《家长·下》2018年第07期一、折叠概述对于中考数学试题而言，一道“折叠”题既可以检测学生的“四基”，又能检测学生的动手操作能力，逻辑思维能力丰富的想象能力自然不必多说，所以命题者乐此不疲。
所謂“折叠”题，主要是指通过类似折纸模式将一个矩形或其他几何图形通过一定条件下的折叠，借助于数学理论想方设法最终得以解决的一类数学问题。
折叠操作一般情况下就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使其与原图中的另一部分图形重合或者部分重叠。
折叠的实质就是图形的一种轴对称变换。
换一句话说：“折”是一种过程;“叠”是一个结果。
折叠既然突出了轴对称的应用，那么解决问题时自然离不开轴对称的性质。
二、折叠属性凡是“折叠”题，均有如下三大共同属性：折叠具有可操作性;折叠前后暗含全等性;折叠一般拥有特殊性。
折叠离不开这三大属性，并且在解决“折叠”题时，要密切关注这三大属性，可以这么讲：没有这三大属性，解题必然无从下手。
其中的“全等性”用得最多。
三、折叠源头初中数学教科书中，最早出现的折叠题源自“将一个正方体侧面展开” 11幅图，反之就是将11个侧面展开图（平面图形）重新折叠构成正方体。
当我们学完“轴对称之等腰三角形”知识后，研究等腰三角形性质“等边对等角”与“三线合一”时，就开始使用“折叠”操作了：将一个等腰三角形沿着底边上的中线所在的直线折叠，不难发现折叠前后的两个三角形不仅是直角三角形，而且相互全等。
刚好前些天复习完三角形的四条重要线段之后，我出了一道题：如何将一个锐角△ABC纸片，用折叠法作出其：（1）角平分线AD;（2）高AE;（3）中线AF;（4）中位线MN。
要求：请简要写出折叠操作过程;并在给出的四幅备用题图中画出相应有用的线（注意：AD、AE、AF、MN用实线，其余折痕用虚线，必要的重叠点有必要标清晰）。
当温习到矩形、菱形与正方形相关知识时，其中矩形的折叠就是重点之一。
数学问题杂谈 (1)
3
x
3
大-小 小 4长方形 长方形 4梯形 梯形 4正方形 正方形
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米? 分析： 分析：用x表示中间空白正方形 表示中间空白正方形 本题的等量关系是 的边长， 的边长，
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米?
23 + 20 − x = 2(17 + x)
希尔伯特说： 希尔伯特说 ： “ 当我听别 人讲解某些数学问题时， 人讲解某些数学问题时 ， 常觉 得很难理解， 甚至不可能理解。 得很难理解 ， 甚至不可能理解 。 这时便想， 这时便想 ， 是否可以将问题化 简些呢﹖ 往往， 简些呢 ﹖ 往往 ， 在终于弄清楚 之后， 实际上， 之后 ， 实际上 ， 它只是一个更 简单的问题。 简单的问题。”
3 x+3 x+3
x
3
4 × 3( x + 3) = 0.75 × 0.75 × 192
对小学数学新教材知识点16个问题的解析
(推荐学习)对小学数学新教材知识点16个问题的解析摘要：随着课程改革的持续深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。
对处于微观知识层面的一些现实性“诘问”，诸如“最小的一位数是0还是1？”、“为什么0也是自然数？”、“最大的分数单位是多少？”、“计算出勤率可不能够不乘100%？”……等等，看似“细节”的问题，却是彰显数学教学“科学性”“严谨性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。
1．最小的一位数是0还是1？这个问题在很长一段时间存有争论。
先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。
所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位数。
２．为什么0也是自然数?课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统理解。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。
2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。
这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
2.1“0”作为自然数的“好处”。
魔法数学16个数学未解之谜
数学之谜魔法数学16个数学未解之谜数学，这个看似简单却深奥无比的学科，拥有许多尚未解开的谜团。
以下就是其中的16个最著名的数学未解之谜。
1.哥德巴赫猜想2.哥德巴赫猜想是一个古老的数学问题，猜想任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。
尽管这个问题看似简单，但至今仍未得到解决。
3.费马大定理4.费马大定理是数学史上的一个著名问题，由法国数学家费马提出。
这个问题涉及到解析几何和代数，虽然数学家们已经证明了费马大定理在某些情况下成立，但至今仍未找到一般的证明方法。
5.四色问题6.四色问题是一个经典的几何问题，涉及到地图的染色。
一个著名的猜想是：任何地图都可以用四种颜色染色，使得任何两个相邻的区域都有不同的颜色。
这个问题在1976年被证明，但至今仍有许多未解之谜。
7.素数规律8.素数是只有1和自身能够整除的正整数。
素数分布的规律一直是一个未解之谜，尽管有一些猜测和猜想，但至今仍未得到证实。
9.庞加莱猜想10.庞加莱猜想是关于拓扑学的一个著名问题，由法国数学家庞加莱提出。
这个猜想涉及到三维空间中的形状和结构，是一个尚未解决的数学问题。
11.黎曼猜想12.黎曼猜想是数学史上的一个著名问题，涉及到复分析中的一种函数。
这个猜想至今仍未得到解决，尽管数学家们已经证明了一些相关的结果。
13.欧拉函数之谜14.欧拉函数是一种数论函数，用于描述一个正整数和它的因子之间的数量关系。
欧拉函数的性质和规律一直是数学家们研究的重点，但至今仍有许多未解之谜。
15.卡塔兰猜想16.卡塔兰猜想是数学史上的一个著名问题，涉及到两个自然数相乘时，它们的因子个数之间的关系。
这个猜想至今仍未得到解决。
17.波利亚猜想18.波利亚猜想是关于图论的一个著名问题，涉及到平面图中的哈密顿路径和回路。
这个猜想至今仍未得到解决，尽管数学家们已经证明了一些相关的结果。
19.高斯墓碑上的秘密20.高斯是德国著名的数学家和物理学家，被誉为现代数学之父。
据传高斯墓碑上刻有一道谜题，至今仍未被解开。
你需要深刻理解的140个数学问题
你需要深刻理解的140个数学问题1.有理数的分类方法是哪两种？2.相反数、倒数及绝对值的概念。
3.比较大小的常用方法有哪些？4.你知道的运算律有哪些？5.科学记数法与有效数字是如何规定的？6.有效数字与精确度的区别？7.平方根、算术平方根与开平方的区别？8.立方根与平方根的区别是什么？9.实数与有理数的区别是什么？10.实数的两种分类方法是什么？11.平方根的隐含条件是什么？12.常见的三种无理数是什么？13.整式是什么样子的？14.单项式及多项式的概念是什么？15.单项式系数与次数是如何规定的？16.多项式项、常数项及次数是如何规定的？17.同类项的概念是什么？18.整式的加减的意义是什么？19.同底数幂的乘除法如何运算？20.幂的乘方如何运算？21.积的乘方如何运算？22.整式的乘法你会吗？如何运算呢？23.平方差与完全平方公式是什么？24.因式分解的定义是什么？25.因式分解的方法有哪些？26.分式之所以是分式的关键是什么？27.分式的基本性质你还记得吗？28.分式约分与通分的根据是什么？29.分式如何约分？30.分式如何通分？31.分式的乘除与乘方如何运算？32.分式加减的一般步骤是什么？33.负整数指数幂是怎么回事？34.分式方程的概念是什么？35.如何解分式方程？它的核心思想是什么？36.分式方程求解时需要注意什么？37.为什么会出现增根？38.什么是二次根式？39.二次根式的乘除法如何进行？40.最简二次根式的概念是什么？41.二次根式的加减的实质是什么？42.同类二次根式与同类项的区别是什么？43.二次根式的隐含条件是什么？44.方程的两大主题是什么？45.解方程遵循的第一要则是什么？46.二元一次方程的概念是什么？它的一般形式是什么？47.如何解二元一次方程组呢？48.代入消元法及加减消元法都遵循着怎么样的求解方程的思想呢？49.你认为三元一次方程组如何求解呢？50.一元二次方程定义与一般形式是什么？51.一元二次方程求解的灵魂是什么？52.我们大致有四种求解一元二次方程的方法，你知道吗？53.知道一元二次方程的两大应用问题吗？54.不等式与等式是数学世界里的两大问题，不等式的基本性质是哪三个呢？55.一元一次不等式与一元一次不等式组的联系是什么呢？56.如何确定一元一次不等式组最后的取值范围呢？57.关于平面直角坐标系你能说出哪些相关的概念呢？58.各个象限内的坐标有什么区别呢？59.用坐标可以表示地理位置也可以表示平移，你能说说如何做吗？60.函数是描述什么的呢？61.一次函数的一般形式及图像是什么？解析式与图像有哪些关联？62.正比例函数是什么样的？63.用函数观点看方程与不等式，怎么看？64.如何确定函数自变量的取值范围？65.反比例函数的一般形式及图像是什么？66.反比例函数的几何意义是什么？这也是它的实质。
数学问题杂谈 (8)
y 一比较发现 z x
第三，解答之后的检验 “这个问题是否可以推广呢”。实 际上，这道题的方法是可以推广的。 比如当以后我们看到形如 z x 2 y 2 这样的目标函数时我们也知道怎么 做了。因为这个目标函数表示的是 圆的半径，圆心在原点
（二）波利亚（G.Polya）的 解题框架
已知条件
空隙 缩小
缩小
指导 策略
背景命题
操作
推理规则
根据奥苏贝尔的模式，问题解 决经历了四个阶段：
1、呈现问题情境命题
奥苏贝尔认为问题是由有意义 的言语命题构成的，其中包含了目 标和已知条件。
2、明确问题目标和已知条件 学生将问题情境与自己的认知 结构联系起来，从而理解所面临 问题的性质与条件。这样既明确 了问题的初始状态，又明确了解 题的目标。
3、知识迁移因素 能否拥有可迁移的知识和技能迷 失否能激活与当前问题有关的图式 ，是否能将当前问题与头脑中已形 成的模式匹配等，会对解决数学问 题产生直接影响。
4、解题策略因素 （1）解题者是否掌握了必须的 解题策略。这是有效解决问题的 前提。 （2）解题者能否根据问题的情 形有效地选择解题策略是解决问 题的关键。
第五，在数学学习心理学中， 问题解决是一系列有目的指向的 认知操作过程，是以思考为内涵、 以问题为目标定向的心理活动过 程。这是把数学问题解决理解为 一种操作过程或心理过程。
数学问题解决是指综合地、创 造性地运用各种数学知识去解决 那种并非单纯练习题式的问题， 包括实际问题和源于数学内部的 问题。Leabharlann （三）数学问题解决的认知模式
通过以上分析，结合现代认知心 理学对问题解决的研究，我们可以 将问题解决的认知模式概括为
理解问题 选择算子 执行方案 回顾
数学问题杂谈 (39)
问题与数学问题
－谈解决问题中的数学问题
台州市教育局教研室 王瑞达
一、什么是问题
• 把问题界定为给定的信息和目标之间有某 些障碍需要加以克服的情景
二、什么是数学问题
• 可以这样说，研究数量关系和空间位置的 相关问题 • 数学问题具有的特征 特殊性、障碍性、激励性、题）
1、一个具体的数学问题具有一定的模式 2、在新教材中的呈现方式 主要是:图景式或图文对话式 数学文字语言表达式 3、新教材这种呈现方式的意图何在 ⑴培养学生数学问题意识 ⑵培养学生数学问题建模能力 ⑶寓思考方法，培养学生思维能力 ⑷培养学生获取信息和处理信息的能力
四、教学中的问题和对策
1、存在问题： ⑴数学问句式 ⑵数学问题建模不到位 ⑶数学问题经历缺失