清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案

X *是 max Z C* X的最优解，故
C* X * C* X 0 0;
(C* C)(X * X 0 )
C(X 0 X *) C*(X * X 0) 0
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运筹学教程
第一章习题解答
1.11 考虑线性规划问题
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第一章习题解答
1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
st
x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
. 2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
min Z 2x1 2x2 3x3
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
基可行解
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Z 0 3 0 0 3.5 0 3
0 0 1.5 0 8 0 3
0003500
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0.7 0 0 0 2 2.2 2.2 10
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(2)
st
2x1x1 22x2x23xx33
4 x4 2 x4
7 3
x j 0, ( j 1,4)
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第一章习题解答
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
x5 x6
14 2
x1, x2 , x3 , x41, x42 , x6 0
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第一章习题解答
min Z 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
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第一章习题解答
l.5 上题(1)中，若目标函数变为max Z = c可x行1 域+ 的dx每2，个讨顶论点c依,d次的使值目如标何函变数化达，到使最该优问。题
解：得到最终单纯形表如下：
Cj→
cd
0
0
CB 基 b x1 x2
x3
x4
d x2 3/ 0 1 5/14
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
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第一章习题解答
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
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第一章习题解答
l.6 考虑下述线性规划问题：
max Z c1x1 c2 x2
st.aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
x1, x2 0
21上0≤界≤a。式1b22≤中≤5，1,481,试≤≤确bc11定≤≤目132, 标,42≤函≤c数a2≤2最1≤6优,5-值,14≤的≤a下a112≤界2≤3和6, ,
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同样适合 第三版黄皮版
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运筹学教程（第二版） 习题解答
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洪文
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第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。 并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、 无界解还是无可行解。
X
0
对于任何0 a 1, 两点连线上的点X满足：
X aX (1) (1 a) X (2)也是可行解，且
CT X CT aX (1) CT (1 a) X (2)
C T aX (1) aCT X (2) C T X (2)
CT X (2) , 所以X也是最优解。
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-3/4
2
c x1 1 1 0
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j
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00
-2/14 -
10/35
3/14d- 14
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第一章习题解答
当 c/d 在 3/10 到 5/2 之 间 时 最 优 解 为 图 中 的A点；当c/d大于5/2且c大于等于0时最优解 为图中的B点；当c/d小于3/10且d大于0时最优 解为图中的C点；当c/d大于5/2且c小于等于0 时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解为图中 的原点。
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第一章习题解答
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8 3
x1 x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
min Z 5x1 2x2 3x3 2x4
min Z 2x1 3x2
(1)
st
4 .2
x1 x1
6x2 2x2
6 4
x1, x2 0
max Z 3x1 2x2
(2)
st
.32xx11
x2 2 4x2 12
x1, x2 0
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
x1 10x2 5 x1
120 10
5 x2 8
min Z x1 2x2 x3 4x4
st.2x1
x2
x1 x2 x4 3x3 2x4
4 2 5 7
(i) (ii)
x1, x2 , x3, x4 0
模型中α，β为参数，要求：
(1) 组 成 两 个 新 的 约 束 (i)’ ＝ (i)+(ii) ， (ii)’ ＝ (ii)一2(i)，根据(i)’，(ii)’以x1,x2为基变量，列出 初始单纯形表；
x1 0, x2 0, x3无约束
max Z 2x1 2x2 3x31 3x32
st
2 x1
x1 x2
x2 x31 x32 x31 x32 x4
4
6
x1, x2 , x31, x32 , x4 0
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a=3, j=5, k= -1.5
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第一章习题解答
1.9 若X(1)、X(2)均为某线性规划问题的
最优解，证明在这两点连线上的所有点也是
该问题的最优解。 max Z CT X
设X (1)和X (2)满足： AX b
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第一章习题解答
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶
段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—类
解。
max Z 3x1 x2 2x3
x1 x2 x3 6
(1)
st
2x1 2x2
x3 x3 0
2
x j 0（, j 1,,3）
该题是无界解。
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6x2 15x3 x2 x3 5
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x j 0（, j 1,,3）
该题无可行解。
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第一章习题解答
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格，试求括
弧中未知项数目a∼l值。X1 X2 X3 X4 X5
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第一章习题解答
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
max Z x1 4x2
st.43xx1165xx22
8 10
x1, x2 0
最优值（下界）为：6.4
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(1)
st
x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
max Z 3x1 4x2 2x3 5x41 5x42
4x1 x2 2x3 x41 x42 2
st
x1 x2 x3 2x1 3x2
2x41 2x42 x3 x41 x42
该题是唯一最优解：
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17
x1 5 , x2 5 , x3 1, x4 0, Z 5
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第一章习题解答
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
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第一章习题解答
1.10 线性规划问题max Z＝CX,AX＝b， X≥0，设X0为问题的最优解。若目标函数中用 C*代替C后，问题的最优解变为X*，求证
(C*-C)(X*-X0)≥0
X 0是 max Z CX的最优解，故
CX 0 CX * 0;
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第一章习题解答
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 3x1 6x2
st
.21xx1142xx22
12 14
x1, x2 0
最优值（上界）为：21
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5 5 School of Management
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第一章习题解答
min Z 5x1 2x2 3x3 2x4
(2)
st
2x1x1 22x2x23xx33
4 x4 2 x4
7 3wenku.baidu.com
x j 0, ( j 1,4)
x1 0 0 2/5
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基可行解
6 x2 2 x2
6 4
x1, x2 0
无穷多最优解，
x1
1, x2
1,Z 3
3是一个最优解
max Z 3x1 2x2
(2)
st.32xx11
x2 2 4x2 12
x1, x2 0
该问题无解
4
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x2
x3
x4
0.5 2
0
0
1
1
0 11/5 0
Z 5 5 43/5
11
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述
线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基
可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10x1 5x2
(1)
st.35xx11
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
b=2, cC=j4－, dZ=j -2, g=10, h=0,-7f=3, i=5j , e=2,kl=0, (l)
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第一章习题解答
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max Z 4x1 x2
3x1 x2 3
(3)
st
4x1 3x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x j 0（, j 1,,4）
4 x2 2 x2
9 8
x1, x2 0
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第一章习题解答
max Z 2x1 x2
(2)
st.63xx11
5x2 2x2
15 24
x1, x2 0
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max Z 5x1 6x2
(4)
st.22xx11
x2 2 3x2
2
x1, x2 0
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第一章习题解答
min Z 2x1 3x2
(1)
4 st.2
x1 x1
第一章习题解答
max Z x1 x2 6x1 10x2 120 (3) st. 5 x1 10 5 x2 8
唯一最优解，x1 10, x2 6, Z 16
max Z 5x1 6x2
(4)
st.22xx11
x2 3x2
2
2
x1, x2 0
该问题有无界解
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