清华大学大物 ppt课件

（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
已知 m 0 .0 k ,1 A g 0 .0 m ,T 8 4 s
t 0 ,x 0 .0m 4 ,v 0 0求（1）t1.0s,x,F
解 A0.0m 82π πs1
T2
t 0 ， x 0 .0m 4
第九章
振动
前言 1、振动是物质的普遍运动形式
2、某物理量在某一值附近作周期性变化— 振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期 往复运动
电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性 变化
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
傅里叶分析
一、简谐运动的 基本特征 1、运动学特征
物理量是时间的简谐函数（余弦或正弦）
运动为简谐运
动.
xA co ts ()
点旋以转o 矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
用旋转矢量图画简谐运动的xt图
2、旋转矢量法的应用
（1）旋转矢量端点在 ox轴上投影点的运
动，形象而直观地展示了简谐运动。
（2）旋转矢量把描述简谐运动的三个物理
量 (A,,t)直观地表示出来
A
A2
x1A1cost
x (A A )cot sπ() 21
x 2A 2cots π ()
小结
（1）相位差 212kπ (k0， 1 ， )
AA1A2
加强
（2）相位差 21(2k1 )π(k0， 1 ， )
AAA
1
2
减弱
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
*2 多个同方向同频率简谐运动的合成
t
t2
t1
x
Aa
A2
b
o
A
v
t
A
tb
x
oA t a A
2
π 3
t π3T1T 2π 6
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1A 1co ts (1) x2A 2cot s2 ()
( t 2 ) (t 1 )
2
1
2
1
0同步
Fma m 2x kx
3、能量特征
l0 k
m
x
A
o
A
FkxEp(x)1 2k2 x
作简谐运动的系统是保守系统：势能为二次方
形式，机械能守恒.
简谐运动能量守恒
E1m2v1k2 x1kA 2
2
2
2
简谐运动势能曲线
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
O x A x
推导
能量守恒
简谐运动方程
E1mv21kx2 常量 22
相位Φ的意义: 表征任意时刻（t）物体 振动状态. 物体经一周期的振动，相位改变 2 .
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。
初相位 t0时 ， (0)
xA co ts () 初始条件
v A sin t () t0xx0 vv0
tan v0 x0
sin v0
cos x0
A
A
对给定振动系统，圆频率、周期T、 频率由系统本身性质决定，振幅A和初相 由初始条件x=x0, v=v0决定.
1、旋转矢量
t 0
o
自Ox轴的 原点
O作一矢量 A ，使 它的模等于振动的
振幅A，并使矢量A
A 在 Oxy平面内绕点
O作逆时针方向的
x 0
x 匀角速转动，其角
x0Acos
速度 与振动频率
相等，这个矢量就
叫做旋转矢量.
A
t t
t
o
x
xAcots()
点旋以转o 矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
x 1 A 1 co 1 t A s 1 c2 o π1 ts xxx
x A co t A sc2 o πts
1
2
22
2
2
2
讨论 A1 A2 ,21 12 的情况
方法一
x x 1 x 2 A 1 c2 π o 1 t A s 2 c2 π o 2 ts
x (2 A 1 c2 o πs 22 1t)c2 o πs 22 1t
x
超前
π反相 为其它 落后
x
x
o
o
o
t
t
t
一维简谐运动
xA co ts
v A si n t
Acost
2
a 2A co t s
y
avor t A x
2A co t s
例1：根据运动状态确定相位 例 1 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，
其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求
讨论 已知 t0,x0,v00求
0Acos π
2
v 0 A si n 0
sin0取 π
x
2A
xAcos(t π)
2
o
A
v
x
o
xt图
Tt
T 2
三、简谐运动的几何表示：旋转矢量
代数表示
复数表示
xA co ts zAiet
图像表示
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
矢量表示
A
t t
t
o
x
xAcots()
1
1
x2A 2cot s2 ()
A2
2 1
0 x2
A1
x1 x
两振动的位相差 21=常数
xA co ts ()
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2 s1)(xx1x2
A
x tanA A 11csio n1 1 s A A2 2scio n 22 s
A2
2
1
A1
0 x2 x1 x
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
（1）相位差 2kπ(k 0 ， 1 ， 2 , ) 21
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
AA1A2 x (A 1 A 2 )cot s)(
212kπ
（2）相位差 (2 k 1 )π (k0 ， 1 , ) 21
x
x
AAA
1
2
A1
2 o
o
2 Tt
振幅部分
合振动频率
振动频率 (12)2
振幅
A2A1co2sπ 2
1t
2
Amax2A1 Amin0
x (2 A 1 c2 o πs 221t)c2 o πs 221t
2π 2
1
T
π
2
T 1
2 1
21
拍频（振幅变化的频率）
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
t 时刻
起始时刻
t
π3
π3
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08
t π π rads1 t 20.667s
3
2
3
例2：根据运动曲线确定相位
例2、已知物体作简谐运动的 图线，试根据图线写出其振动方程
xm
0.04
0.02
x 1A 1cots (1)
x 2A 2cot s2 ()
x nA ncot sn ()
x x 1 x 2 x n
xA co ts ()
A
A3
3
A2
2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动
xAcost
1
0
x 2A 0cot s ()
x A cot s2 ()
0
x 2A 0cot s ()
x 3 A 0cot s2 ()
x N A 0 co t ( s N [ 1 ) ]
xAcots()
sin( N )
A A0 sin(
2 )
2
N 1
2
3 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
例子：一维简谐的机械振动
xA co ts
vdxAsint
dt
ad2x2Aco ts2x
d2t
图示 xt,vt,at等图线 ( 0)
x
o
t
v
o
t
a
o
t
2、动力学特征
a x d d22 xt 2A co ts 2x Fma m 2x kx 线性回复力
x 2x0
k m
振动的成因： 回复力+惯性
角频率为
t 2
四、振动合成 1 两个同方向同频率简谐振动的合成 *2 多个同方向同频率简谐运动的合成
3 两个同方向不同频率简谐运动的合成
**4 两个相互垂直的同频率的简谐运 动的合成
1 两个同方向同频率简谐振动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频
率的简谐振动：
xAco ts ()
1
（3）用旋转矢量 A 与ox轴夹角表示相位，
不仅相位计算方便，而且有助于对相位概 念的理解 （4）旋转矢量为振动合成提供了直观的几 何方法
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1A co t1 s () x2A co ts 2 ()
( t2 ) ( t1 )
代入 xA co ts ()
π
3
v0
Leabharlann Baidu
0
π
3
A
π 3
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08
π
x03.08coπst(π) 23
可求（1）t1.0s,x,F
t1.0s 代入上式得 x0.06m 9
F k x m 2x1.7 010 3N
m0.01kg v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
A
oA1
A2
A3
A4
A5
x
3 0
AAi NA 0
x N A 0 co t ( s N [ 1 ) ]
i
讨 论
(1) 2kπ
(k 0 , 1 , 2 , )
(2) N2k'π
A4 A5
O
( k ' k,k N ' 1 , 2 , )A0A6
A3
A2
A1
x
xAcost
1
d(1mv21kx2)0 dt 2 2
mvdvkxdx0 dt dt
d2x k x 0 dt2 m
二、简谐运动的特征量
xA co ts
1、圆频率
2、振幅 A
3、初相位
k m
E1k2x1m2v1kA 2 22 2
相位
(t)t
x A c o t s A c os
v A sit n A s in
0 0.02
2
0.04
y a
ts v a o b x
b
方法I：旋转矢量法
初相的确定：t 0 时质点位
于 a点向 x轴负方向运动，
则对应的旋转矢量位于 a 位
置，所以初相位 2
3
y a
v a o b x
b
角频率的确定：t 2s时，质点位于 b
点向 x轴正方向，对应的旋转矢量位
于 b位置，可见矢量旋转 ，则