专题 比例式的证明方法
专题5.1相似---比例式或乘积式的证明技巧-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
课堂小结
相似三角形的五大证明技巧
我们学习了
①三点定型法；
②等长代换法；
③等比代换法；
④等积代换法.
比例线段的证明,离不
开“平行线模型”(K型、
A型、X型等),也离不开6
种“相似模型”。
本节课我们学习了
相似三角形的5大
证明技巧中的哪3
种？
“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样
使用工具,取决于我们如何思考问题.合理
∵∠3=∠2,∠1=∠C ∴∠1=∠2
∵∠F是△FBD与△FDA的公共角
∴△FBD∽△FDA
∴AB·AF=AC·DF.
DF BD
∴ AF = AF
AB DF
∴ AC = AF
A
1
B
F
2
E
3
D
C
等积代换法
针对训练
技巧5-4
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC和AC边上,点G是BE上一点,
且∠BAD=∠BGD=∠C.连接AG.
∴△BAF∽△BEA.
F
∴∠BAC=∠BDA=90º.
AB BE
∴ BF = BA .
∵∠ABD=∠CBA
B
D
C
.∴△ABD∽△CBA.
∴AB2=BF·BE.
等积代换法
AB BC
∴ BD = AB .
∴AB2=BD·BC
.
∵∠BAC=90º,AF⊥BE.
∴∠BAC=∠AFB=90º.
∵∠FBA=∠ABE.
技巧4-2
【例2-1】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD
求证：AC·BE=CE·AD.
C
几个重要比例式的证明与应用举例
z
10
：
．
8
m
，
x
l
：∞
2
=
求斜面 的总长
，
证 明 ： 由公 式 ；
÷知
：
x
相等时
，
；与
￡
成反
解 为
．
以 T
=
3
x 2
m
s
为时间问隔
一
设 物体下 滑 的总 时 间
x l ：z 2
=
比
，
n
T
m
．
由题 意
x 2
：
．
对场分布的影响，从而将求解实际的边值 问题 产 生 了新 的 快 速 多 极 边 界 元 法 ，为 求 解 只 知 转换为 求解无 界空 间的 问题 ． 为 了说 明镜像 电 道部 分边 界 条 件 的 复 杂 电场 提 供 了 一 种 新 的
荷取代边界条件 的有效性 ，我们举个更为简单 数 值 方法 ． 的点 电荷问题．
“转 换 法 ” 在 静 电场 问 题 中 的应 用
第４ 期
其 基本 原理是 ：用放 置在所 求 场域 之外 的假 想
一
边 界 元 法是 在 有 限 元 法 之 后 发 展 起 来 的
电荷 （ 镜像电荷 ）等效的替代导 体表面 （ 或 种较精确 有效 的工程数 值分 析方法．近几 介质分界面）上 的感应 电荷 （ 或极 化 电荷 ） 年 ，将快速 多极算 法和传统 边界元 法相结合
有限元法可以解决含有复杂的介质和导体
结构的静电场问题 ，但如何处理开放边界却一
由位移公式 ＝ － ｆ证 明． ｔ ｎ
二
直是人们所关注的且未得 到很好解决 的课题 ， 例 ２ 一物体由静止 开始做 匀 加速 直线 运动 ，历 若采用有限元——解析结合解法就可以很好地 时 ８ ，前 ２ ｓ ｓ内的位移为 ４ ｍ，求该物体 的总位 移．
专题 比例式的证明方法
专题比例式的证明方法
专题：比例式的证明方法
一、三点定型法
1.在四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交
BC于F，证明：XXX。
2.在直角三角形ABC中，∠BAC=90度，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E，证明：
AM=MD×ME。
3.在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的
平分线BE交AC于E，交AD于F，证明：XXX。
二、等线段代换法
4.在四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，XXX
于F，∠XXX∠D，证明：AC×BE=CE×AD。
5.在等腰三角形ABC中，AD是中线，P是AD上一点，
过C作CF//AB，延长BP交AC于E，交CF于F，证明：
BP=PE×PF。
6.在四边形ABCD中，E是BC的中点，且
∠AED=∠B=∠C=60度，过点E作EM⊥AD于M，（1）证明：AB×DE=BE×AE；（2）求EM的值。
三、找中间比
7.在直角三角形ABC中，已知∠A=90度，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F，证明：AB×AF=AC×DF。
四、等积代换法
无明显问题的段落，不需改写）。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)XXX∠XXX，∴△AEB∽△CEB，∴AE/AC＝EB/EC.又∵△ADB∽△ACB，∴AD/AC＝DB/BC.∴AE/AD＝EB/DB，∴AE/AC＝EB/EC＝EB/(EB+DB)。
ACADAE＝AC·EB/(EB+DB)＝AC·EB/AB.又∵△ABE∽△CDE，∴EB/DE＝AB/CD，∴EB＝AB·DE/CD.∴AE＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·EB)＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·AB·DE/CD)＝AC·AB·DE/(AB+DB)＝AC·DE/AD.又∵△ADE∽△ACB，∴DE/AC＝AD/AB，∴DE＝AC·AD/AB.∴AE＝AC·DE/AD＝AC·AC·AD/(AB·AD)＝AC2/AB，∴AE/AC＝AC/AB＝AC/AD。
AE/AC＝AD/AC，即AE/AC＝AE/AD-∵AC=AD，∴AE/AC＝AE/AE-DE，∴AE/AC＝DE/AE，∴AE2＝AC·DE，∴AE/AC＝DE/AE＝AE2/AC·AE＝AE/AD，即AE＝AC·AD/AB＝AC2/AB。
XXX，∴＝.1.由于文章中没有明显的格式错误，直接删除明显有问题的段落。
2.将原文中的符号改为中文，重新表述如下：已知在三角形ABE和ACB中，∠BAE=∠CAB，因此△ABE∽△ACB。
根据相似三角形的性质，可以得到AE/AB=AC/AE，所以AE²=AB×AC。
又因为AB=AD，所以AE²=AD×AC。
因此，DE²=AE²-BE²=AD×AC-BE²=BE×CE。
相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似立体模型总结2 (比例式、等积式的常见证明方法)本文总结了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法。
比例式的常见证明方法1. 比例式的宽度证明要证明两个相似立体模型的宽度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的宽度分别为$a$和$b$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{a}{b}$。
2. 比例式的高度证明要证明两个相似立体模型的高度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的高度分别为$h$和$k$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{h}{k}$。
3. 比例式的长度证明要证明两个相似立体模型的长度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的长度分别为$l$和$m$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{l}{m}$。
等积式的常见证明方法1. 等积式的底面积证明要证明两个相似立体模型的底面积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的底面积分别为$A$和$B$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的高度之比为$\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$。
2. 等积式的体积证明要证明两个相似立体模型的体积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的体积分别为$V_1$和$V_2$。
- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的边长之比的立方为$\left(\frac{{V_1}}{{V_2}}\right)^{\frac{1}{3}}$。
结论以上介绍了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法，可根据具体情况选择合适的方法进行证明。
证明线段成比例的方法与技巧
证明线段成比例的方法与技巧安徽李师证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种．1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．证明：略．号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的△H BE∽△FCG使本题获证．证明：略．这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．代换是解决本题的关键．证明：略．这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用．3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．证明：略．。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
15.比例式、等积式的常见证明方法
语文
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附赠 中高考状元学 习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
采青 春 风
高考总分： 692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分 毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院
北京市文科状元
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。‚何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。‛ 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 ‚她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。‛吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。‚她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区
∴
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
DF BD AF AD AB DF ∴ AC AF
∴
AB BD AC AD
∴AB· AF＝AC· DF.
方法总结 证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
C
∴∠B＝∠1
比例式等积式证明的常用方法
比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。
其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。
在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。
一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。
我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。
例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。
二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。
对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。
例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。
证明线段成比例问题的常用方法
证明线段成比例问题的常用方法（1）方法一、三点定形法利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。
反过来想，由三个不同的字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出是哪两个三角形相似。
【例1】如图，CD 、BE 是△ABC 的两条高，求证： ①AC AE AB AD ⋅=⋅ ②∠AED ＝∠ABC ③FE FB FC FD ⋅=⋅分析：①欲证AC AE AB AD ⋅=⋅即证ABACAE AD =I ．横看法：II ．竖找法：F ⑩DE ABC~AEB ∆⇒∆ADC ⇒∆AEBADC⇒∆ADE ⇒∆∆ACB ~ADE⇒∆⇒∆ADE试验：（射影定理）如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 求证： ①AB AD AC ⋅=2②BA BD BC ⋅=2③DB DA CD ⋅=2请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？ 1、已知：如图，△ABC 中，EF ∥BC ，AD 交EF 于G.求证： CDFGBD EG =；2、R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2DCBAGABCF EDBCDEMNDCBADCBA证明线段成比例问题的常用方法（2）方法二、等量代换法当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括： 1.等比代换； 2.等线段代换； 3.等积代换．【例1】]已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ．求证：BFFEFG BF =。
归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用．【例2】R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等ABCDEMN腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．【例3】R t △ABC 中，∠BAC =90°， D 为AC 上一点，AE ⊥BD ①若DCB DEC ∠=∠，求证：D 为AC 的中点；②若AF ⊥BC 于F ，连EF ，求证：△BEF ∽△BCD归纳：此例为等积代换的典型例题，这种代换方法往往需要含有射影定理和另外一对相似三角形同时出现．【练习】△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ，E 为DA 上任意一点，CM ∥AB 交BE 于M ，BM 交AC 于F . 求证：EM EF BE ⋅=2ABCDEFABCDEABCEFM证明线段成比例问题的常用方法（3）方法三、辅助平行线法利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线截比定理和平行相似定理来实现．【例1】如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，延长CB 到E ，使BE =AD ，ED 交AB 于F ．求证：ACBCEF DF．【例2】已知在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上的中点，AD 与BE 交于P ． （1）如图1，当BD ＝CD 时，PBPE＝ ；（2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．DFABCEABC PE图1D图2ABC D PEFE DCB AFEDCB A【例3】如图，已知等腰Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 边上一动点，BC ＝nDC ，CE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ． （1）若n ＝3，则=DE CE ，=DEAE（2）若n ＝2，求证：AF ＝2FC ；（3）当n ＝ ，F 为AC 的中点（直接填出结果，不要求证明）【练习】△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AC 上一点，AD 、BE 交于F 。
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD， ∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60° ＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CAFGG为A等F边. 三角形．
∴PD·PC＝PE·PBP. F
PD .
PC PA
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
PE PA . PF PB
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
技巧3 等比代换法证比例式 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
AD AF .
证明：∵求E证F：∥CADB， AD
∴ AF AE .
第四章 图形的相似
平行线分线段成比例
第2课时
利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行
线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成 比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用 平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例 式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思 想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．
123.15.比例式、等积式的常见证明方法
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
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专题：比例式的证明方法
一、三点定型法
1、如图，ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD
=.
2、如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E ，求证：2
AM MD ME =⋅.
3、如图，在Rt ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，B ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于
F ，求证：BF AB BE BC
=.
二、等线段代换法
4、如图，ABCD 中，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠，求证：AC BE CE AD ⋅=⋅.
5、如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2
BP PE PF =⋅.
6、如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且60AED B C ∠=∠=∠=︒，过点E 作EM ⊥AD 于M ，（1）求证：AB DE BE AE ⋅=⋅；（2）求EM BC
的值.
三、找中间比
7、如图，在△ABC 中，已知90A ∠=︒时，AD ⊥BC 于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ，求证：AB AF AC DF ⋅=⋅.
四、等积代换法（运用射影定理找中间积）
8、如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，EH ⊥BC 于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ，求证：2
HE HG MH =⋅.
9、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE AC AF AB
=.
10、如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 中点，AE ⊥BD ，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠.。