课时跟踪检测(四十八) 圆的方程(普通高中)

人教A版高中数学必修二新课标高考一轮复习训练手册文科第四十八课时圆的方程

课时作业(四十八) [第48讲圆的方程][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝52．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( )A ．3B ．5C ．－3D ．－53．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝04．[2011·厦门质检] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________．能力提升5．[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－36．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．11．[2011·江西九校联考] 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．12．在平面区域⎩⎨⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．13．[2011·牡丹江一中期末] 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．难点突破16．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0课时作业(四十八)【基础热身】1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m 2＝1，得m ＝－2.【能力提升】5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－5.故选B.10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|1＋3＝2.11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.【难点突破】 16．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)．(2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。

课时跟踪检测(四十八) 圆的方程(普通高中) (1)

课时跟踪检测（四十八）圆的方程(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.2．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．(2018·成都高新区月考)已知圆C 经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则该圆的面积是( )A ．5πB ．13πC ．17πD ．25π解析：选D 法一：设圆心为(a ，a ＋1)，半径为r (r >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y－a －1)2＝r 2，又圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－a )2＝r 2，(2－a )2＋(－3－a )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r ＝5，故该圆的面积是25π. 法二：由题意可知圆心C 在AB 的中垂线y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故圆心C 为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝5，圆的面积是25π.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．(2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝28．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．(2018·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π46．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，圆心到直线l的距离d＝|3m－0|m2＋1＝2，解得m＝±255.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝5 3.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴53<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中53<x≤3，其轨迹为一段圆弧．C级——重难题目自主选做1．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m ＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.2．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.。

高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(四十七) 圆的方程 Word版含解析

课时跟踪检测（四十七）圆的方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快．点()与圆＋＝的位置关系是(填“点在圆内”“点在圆上”“点在圆外”)．解析：把点()代入圆的方程左边等于，所以点在圆上．答案：点在圆上．已知点(－，－)，(，－)，则以线段为直径的圆的方程是．解析：因为圆心为线段的中点(，－)，半径为＝＝，所以所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．圆(＋)＋＝关于原点()对称的圆的方程为．解析：(，)关于原点()的对称点为(－，－)，则(－＋)＋(－)＝，即(－)＋＝.答案：(－)＋＝．圆＋－＋＋＝的圆心到直线－＝的距离为．解析：已知圆的圆心是(，－)，到直线－＝的距离是＝＝.答案：．已知圆与直线＝及－－＝都相切，圆心在直线＝－上，则圆的方程为．解析：由题意知－＝和－－＝之间的距离为＝，所以＝；又因为＝－与－＝，－－＝均垂直，所以由＝－和－＝联立得交点坐标为()，由＝－和－－＝联立得交点坐标为(，－)，所以圆心坐标为(，－)，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝二保高考，全练题型做到高考达标．圆：＋－＋＋＝的面积等于．解析：圆化为标准方程为(－)＋(＋)＝，知半径＝＝，则圆的面积＝π＝π.答案：π．以点(，－)为圆心且与直线－＋＝相切的圆的方程为．解析：∵圆心(，－)到直线－＋＝的距离＝＝，∴圆的半径为，即圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．(·苏州中学检测)已知直线：＋＋＝，若曲线＋＋－＋＝上存在两点，关于直线对称，则的值为．解析：因为曲线＋＋－＋＝是圆(＋)＋(－)＝，若圆(＋)＋(－)＝上存在两点，关于直线对称，则直线：＋＋＝过圆心(－)，所以－＋＋＝，解得＝－.答案：－．(·济南模拟)已知圆：(＋)＋(－)＝，圆与圆关于直线－－＝对称，则圆的方程为．解析：设圆的圆心坐标(－)关于直线－－＝的对称点为(，)，依题意得(\\((－＋)＝－，,(－)－(＋)－＝，))解得(\\(＝，＝－，))所以圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．若圆(－)＋(＋)＝上有且只有两个点到直线－＝的距离等于，则半径的取值范围是．解析：易求圆心(，－)到直线－＝的距离为.令＝，可知圆上只有一点到已知直线的距离为；令＝，可知圆上有三点到已知直线的距离为，所以半径取值范围在()之间符合题意．答案：()．在平面直角坐标系中，以点()为圆心且与直线－－－＝(∈)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．解析：因为直线－－－＝恒过定点(，－)，所以圆心()到直线－－－＝的最大距离为＝＝，所以半径最大时的半径＝，所以半径最大的圆的标准方程为(－)＋＝.答案：(－)＋＝．直线－－＝与－－＝的交点在圆＋＝的外部，则的取值范围是．解析：由(\\(－－＝，－－＝))得(\\(＝－，＝－.))∴(－)＋(－)＞，即＞，解得＞或＜－.答案：∪．设是圆(－)＋(＋)＝上的动点，是直线＝－上的动点，则的最小值为．解析：如图所示，圆心(，－)与定直线＝－的最短距离为＝－(－)＝，又圆的半径为，故所求最短距离为－＝.答案：．已知以点为圆心的圆经过点(－，)和()，线段的垂直平分线交圆于点和，且＝.()求直线的方程；()求圆的方程．解：()由题意知，直线的斜率＝，中点坐标为()．则直线的方程为－＝－(－)，即＋－＝.()设圆心(，)，则由点在上得＋－＝.①又∵直径＝，∴＝，∴(＋)＋＝.②由①②解得(\\(＝－，＝))或(\\(＝，＝－.))。

2019版高考数学理一轮课时达标48圆的方程含解析精品

课时达标第48讲[解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( A ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析设对称圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，圆心(1,2)关于直线y ＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2 ＝1，故选A ．2．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析设圆心坐标为(0, a )，则(1－ 0)2＋(2－a )2＝1， ∴a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线相切的圆的方程为( C )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －1162＝125B ．x 2＋(y －1)2＝1625C ．(x －1)2＋y 2＝925D ．(x －2)2＋y 2＝3625解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线x 216－y 29＝1的渐近线为y ＝±34x ，即3x ±4y＝0.由已知，得圆的半径长等于点F 到直线3x ±4y ＝0的距离，即r ＝|3×1|32＋42＝35，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝925.4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( A )A ．3－2B ．3＋ 2C ．3－22 D ．3－22解析圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322，则点C 到直线AB 的最短距离为322－1.又因为|AB |＝22，所以△ABC 面积的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( B ) A ．5 B ．10 C ．9D ．5＋2 5解析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x －2y ＝b ，则x －2y 可看作直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值，此时|1＋4－b |5＝ 5.∴b ＝10或b ＝0，∴x －2y 的最大值是10.6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，右焦点F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝8的位置关系为( C )A ．点P 在圆外B ．点P 在圆上C ．点P 在圆内D ．不确定解析 ∵e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，∴⎝⎛⎭⎫b a 2＝1，∴b a＝1，∴a ＝b ，c ＝2a ，∴方程ax 2－bx －c ＝0 可化为x 2－x －2＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－ 2.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1＋22<8，∴点P 在圆内，故选C ．二、填空题7．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1__.解析依题意设圆心为(a,2a －3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a |＝|2a －3|，解得a ＝1或a ＝3，即r ＝1或3，故圆的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.8．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆C 的方程是__x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0__.解析设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1,0)，由点A ，C 关于直线x ＋y －1＝0对称，得⎩⎨⎧ba ＋1×(－1)＝－1，a －12＋b2－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0.9．若过点P (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是 (－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32 . 解析圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，因为过点P (a ，a )能作圆的两条切线，所以点P 在圆的外部，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，3－2a >0，解得a <－3或1<a <32.故a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32. 三、解答题10．(2018·广东湛江模拟)已知△ABC 的顶点坐标分别为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 的中点．(1)求AB 边所在直线的方程； (2)求以线段AM 为直径的圆的方程．解析 (1)因为A (－1,5)，B (－2，－1)，所以由两点式得AB 的方程为y －5－1－5＝x －(－1)－2－(－1)，整理得6x －y ＋11＝0.(2)因为M 是BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－2＋42，－1＋32，即M (1,1)，所以|AM |＝(－1－1)2＋(5－1)2＝25，所以圆的半径为 5. 所以AM 的中点为⎝⎛⎭⎫－1＋12，5＋12，即中点为(0,3)，所以以线段AM 为直径的圆的方程为x 2＋(y －3)2＝5.11．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E . 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.12．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解析 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5. 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，而|MC |2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|BC |22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.所以P (x 1，y 1)在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，即此两圆有公共点，所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221]．。

新课标高考一轮复习训练手册文科第四十八课时圆的方程必修2

课时作业(四十八) [第48讲圆的方程][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝52．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( )A ．3B ．5C ．－3D ．－53．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝04．[2011·厦门质检] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________．能力提升5．[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－36．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．11．[2011·江西九校联考] 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．12．在平面区域⎩⎨⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．13．[2011·牡丹江一中期末] 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．难点突破16．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0课时作业(四十八)【基础热身】1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m 2＝1，得m ＝－2.【能力提升】5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－5.故选B.10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|1＋3＝2.11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.【难点突破】 16．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)．(2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十八)圆的方程理(重点高中).doc

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十八）圆的方程理（重点高中）A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b2a≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________．解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210，所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为－2＋－2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4min ＝－1，所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，ba＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y 2＝16，x ＋2＋y －2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。

2020年高中数学一轮复习课时练46 圆的方程(理科)(人教A版)

课时练46 圆的方程1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0)和B (1,0)的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=√5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√53.(2019福建宁德模拟,6)已知点M (3,1)在圆C :x 2+y 2-2x+4y+2k+4=0外,则k 的取值范围为( ) A.(-6,12)B.(-∞,-6)∪(12,+∞) C.(6,+∞)D.(-∞,12)4.(2019河南林州一中模拟,5)已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2C.6√2D.4√25.(2019安徽天长模拟,8)如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( ) A.[√2,2] B.[√2,2√2] C.[1,√2]D.[1,2√2] 6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C 1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C 2关于原点对称,则圆C 2的方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-1)2+(y+2)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .8.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2图象上的任意一点,点Q 坐标为(2a ,a-3)(a ∈R ),则|PQ|的最小值为 .9.已知等腰三角形ABC ,其中顶点A 的坐标为(0,0),底边的一个端点B 的坐标为(1,1),则另一个端点C 的轨迹方程为 .10.已知圆M 与y 轴相切,圆心在直线y=12x 上,并且在x 轴上截得的弦长为2√3,则圆M 的标准方程为 .11.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.-12,12 C.[-√2,√2]D.-√22,√2212.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,32),若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.14.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.15.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1a+1+1b的最小值为.参考答案课时练46圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-k2,-1),半径为r=√4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2k,若M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2k,且1-2k>0,即13>1-2k且k<12,即-6<k<12,故选A.4.A圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2,故选A.5.B(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为√2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤√2a≤4⇒√2≤a≤2√2,故选B.6.D由题意可得圆C1的圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2a ,y =a -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√1+(-2)=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1). 所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12a -b =0,|a |=r ,b 2+3=r 2,解得{a =2,b =1,r =2或{a =-2,b =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A 如图所示,设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ,则点P 在圆O 上,且MP 与圆O 相切,而点M 在直线y=1上运动,圆上存在点N 使∠OMN=45°, 则∠OMN ≤∠OMP=∠OMA ,∴∠OMA ≥45°,∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM=45°时,x 0=±1.∴结合图象知,当∠AOM ≤45°时,-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1]. 12.3 由A (4,0),B (0,32),OP=1,则P 点轨迹为x 2+y 2=1,设M (x ,y ),则P (2x-4,2y )⇒(2x-4)2+(2y )2=1⇒(x-2)2+y 2=14,M 的轨迹为圆心为D (2,0),半径为12的圆,故BM的最大值为|BD|+12=52+12=3.13.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2√2.又|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2>2√2,所以点Q 在圆C 外,所以|MQ|max =4√2+2√2=6√2, |MQ|min =4√2-2√2=2√2.(2)由题意可知n -3m+2表示直线MQ 的斜率, 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0,则n -3m+2=k. 因为直线MQ 与圆C 有交点, 所以√1+k≤2√2,所以2-√3≤k ≤2+√3,所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.14.解 (1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√3+4=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2, 所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2, 所以k 1=yx+3,k 2=yx -3, 则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2-18≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].15.①②④ 当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为√2的1圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的1圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的1圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图象可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1 a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=14×1+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b≥2√ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1 b ≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.。

2021年高考数学总复习第9章第3节圆的方程课时跟踪检测理(含解析)新人教版

2021年高考数学总复习第9章第3节圆的方程课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．若a ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23，故符合条件的a 只有一个，即a ＝0，所以原方程只能表示一个圆．故选B.2．(xx·济南模拟)已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．23D ．2解析：选B 据题意可知圆心⎝⎛⎭⎫1，－m2在直线2x ＋y ＝0上，代入可得m ＝4，故圆方程即为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，所以圆的半径为3.故选B.3．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选A 设圆心为C (m,0)(m ＞0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.4．若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 圆的方程即为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，得a ＜2.由圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，知圆心在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，所以a －b ＜4.故选A.5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，从而可知圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.6．已知从点(－2,1)发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )A ．3x －2y －1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x －3y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：选C 由题意可知，反射光线经过圆心(1,1)，点(－2,1)关于x 轴的对称点(－2，－1)在反射光线的反向延长线上，所以反射光线所在的直线方程为y ＋11＋1＝x ＋21＋2，即2x －3y＋1＝0，故选C.7．(xx·南京模拟)如果三角形三个顶点为O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，那么它的内切圆方程是________．解析：(x ＋3)2＋(y －3)2＝9 易知△AOB 是直角三角形，所以其内切圆半径r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝8＋15－172＝3.又圆心坐标为(－3,3)，故所求内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.8．(xx·重庆三校联考)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．解析：(x －1)2＋(y ＋1)2＝9 设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＝9，故所求轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.9．(xx·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为________．解析：5－2 因为点Q (2a ，a －3)在直线x －2y －6＝0上运动，圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离是|1－6|5＝5，圆的半径为2，所以线段PQ 长度的最小值为5－2.10．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：[2－3，2＋3] 圆方程即为(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以圆心为(2,2)，半径为3 2.若此圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则满足|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，整理得a 2＋4ab ＋b 2≤0，即(a b )2＋4·a b ＋1≤0，解得－2－3≤ab ≤－2＋ 3.而直线l 的斜率为k ＝－ab，所以2－3≤－ab≤2＋3，故所求范围为[2－3，2＋3].11．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)， F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 12．(xx·太原模拟)已知圆A ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值； (2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．解：(1)圆A 的方程即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为A (1,1)，半径为r ＝2. 由题意知直线l 经过圆心A (1,1)，所以a ＋b －4＝0，得b ＝4－a . 原点O 到直线l 的距离d ＝4a 2＋b 2.因为a 2＋b 2＝a 2＋(4－a )2＝2(a －2)2＋8，所以当a ＝2时，a 2＋b 2取得最小值8. 所以d 的最大值为48＝ 2.(2)由题意知圆B 与圆A 的相交弦为圆A 的一条直径，它经过圆心A . 设圆B 的圆心为B (a,2a )，半径为R .如图所示，在圆B 中，由垂径定理并结合图形可得R 2＝22＋|AB |2＝4＋(a －1)2＋(2a －1)2＝5⎝⎛⎭⎫a －352＋215. 所以当a ＝35时，R 2取得最小值215.故所求圆B 的方程为⎝⎛⎭⎫x －352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝215.1．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8D.212解析：选B 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112.故选B.2．圆心在曲线y ＝3x (x ＞0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．解析：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9 设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，3a (a ＞0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋1≥35×(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，圆的半径为3.故所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9. 3．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4.则圆C 的方程为________．解析：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 如图，由题意可设圆心A (a ，a )，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.4．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可．即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，因此四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.38116 94E4 铤26953 6949 楉40795 9F5B 齛\ 39986 9C32 鰲&22934 5996 妖S32226 7DE2 緢35352 8A18 記(。

高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课时作业含解析新人教A版必修20823326

高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课时作业含解析新人教A 版必修20823326A 级基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( A )A ．12，－4 B ．－12，4C ．12，4 D ．－12，－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C (2，－3)，且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆C 经过原点，所以F ＝0，又圆心为(2，－3)，所以D ＝－4，E ＝6.因此，所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外，则实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆，则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0，解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外，则12＋22－a －2×2＋2＞0，解得a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1，易知圆心C (－2,6)，半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C ′：(x －a )2＋(y －b )2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C ′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)，半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2. 6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，，由①－③，得a ＝1，代入②，得(1－b )2＝r 2，结合①，得b ＝0，所以r 2＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三记A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，连接AB ，由圆过点A (0,0)，B (2,0)，知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1,1)，BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0，整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

课时跟踪检测(四十七) 圆的方程

数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
9．解析：圆 C 的标准方程为(x－m)2＋(y－ m)2＝m2＋m－2，依
m2＋m－2>0，题意有 m≤ m2＋m－2，得 m≥ 2.
m≥0.
答案：[ 2，＋∞)
10．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到
l
的距离
d＝
3
2
，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为
|2＋2－14| 2
＋3
ห้องสมุดไป่ตู้
2 ＝8
2
，最小距离为 |2＋2－14| 2
－3
2 ＝2
2 ，故最大距
离与最小距离的和为10 2.
答案：C
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
3．解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为 0<a<1 ，所以 (0 ＋ a)2 ＋ (0 ＋ 1)2 － 2a ＝ (a － 1)2>0 ，即 0＋a2＋0＋12> 2a，所以原点在圆外．答案：B
4．解析：圆 C1，C2 的图象如图所示．
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
设 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN| 的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4. 作 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2，－3)，连接 C1′C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|，则 |PM|＋|PN|的最小值为 5 2－4，故选 A. 答案：A

2020年高中数学第二章解析几何初步22.2圆的一般方程课时跟踪检测北师大版必修2

2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0. 12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3. 答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2 解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上． ∴a 4＋12－1＝0，a ＝2. 答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1) 解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5 解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332. (2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4，由条件知，圆的半径是3，所以3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2). 所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932. 12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F . 所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|PA ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB | 所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|PA |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|PA |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。

2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课时作业含解析新人教A版必修220190904172

4.1.1 圆的标准方程[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )A.13πB．213πC．2π D．23π解析：由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π，故选B.答案：B2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的标准方程为( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13解析：由已知得半径r＝22＋－2＝13，又圆心坐标为(2，－3)，故圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.答案：B3．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于( )A．π B．2πC．4π D．8π解析：由圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4，知半径r＝4＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.答案：C4．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定解析：把P(m,5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24.所以点P在圆外，故选A.答案：A5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：利用平面几何知识得r ＝－2＋－3－2＝13，所以圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝＋2＋－3－2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝257．已知点P (a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25的内部，那么实数a 的取值范围是________．解析：由a 2＋(a ＋1)2<25，可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3. 答案：(－4,3)8．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________．解析：因为圆心在x 轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2. 又因为A (5,2)，B (－1,4)在圆上．所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4＝r 2，－1－a2＋16＝r 2，解得a ＝1，r 2＝20.所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝20. 答案：(x －1)2＋y 2＝20三、解答题(每小题10分，共20分)9．求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和点(3，－2)的圆的标准方程．解析：解法一设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10.所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 解法二设A (5,2)，B (3，－2)．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线l 上， ∵k AB ＝2－－5－3＝2，∴k l ＝－12，又线段AB 的中点为(4,0)，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，设所求圆的圆心为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以半径r ＝－2＋－2＝10，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 解法三因为圆心在直线2x －y －3＝0上，所以设圆心坐标为(a,2a －3)，因为圆过点(5,2)，(3，－2)，所以a －2＋a －3－2＝a －2＋a －3＋2，解得a ＝2.所以圆心为(2,1)，半径r ＝－2＋－2＝10，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 10．已知两点A (4,9)，B (6,3)， (1)求以AB 为直径的圆的方程；(2)试判断点M (6,9)，N (3,3)，Q (5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外．解析：(1)设圆心为C (a ，b )，半径为r (r >0)，则由C 为线段AB 的中点得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.又由两点间的距离公式得r ＝|AC |＝－2＋－2＝10.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. (2)分别计算点到圆心C 的距离： |MC |＝－2＋－2＝10； |NC |＝－2＋－2＝13>10； |QC |＝－2＋－2＝3<10.因此，点M 在圆上，点Q 在圆内，点N 在圆外．[能力提升](20分钟，40分)11．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，(－2,0)关于原点的对称点为(2,0)，所以所求圆的圆心为(2,0)，易知所求圆的半径r ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：A12．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －2＋y －2的最大值为________________．解析：因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，因此x －2＋y －2表示点(1,1)与该圆上任一点的距离．易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4的外部，结合图可得x －2＋y －2的最大值为－2＋＋2＋2＝26＋2.答案：26＋213．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：如图，由题设知|AC |＝r ＝5， |AB |＝8，∴|OA |＝4. 在Rt△AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|OA |2＝52－42＝3.设点C 的坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25. 14．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解析：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)解法一直线AB 的斜率k ＝4－－－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法二设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋－2－b 2＝R 2－1－a 2＋－b 2＝R22a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.。

人教版高中数学必修二 4.1.1 圆的标准方程学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1圆的标准方程学案【学习目标】1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．掌握点与圆的位置关系．(易错点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆的标准方程阅读教材P118～P119第1行的内容，完成下列问题．1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.[思考辨析学练结合]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()[解析](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3.[答案](1)√(2)×(3)×知识点2 点与圆的位置关系阅读教材P119“例1”及“探究”部分，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：[已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外[解析]圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝(3－2)2＋(2－3)2＝2＜r，∴点P在圆内．[答案] C【合作探究析疑解难】考点1 直接法求圆的标准方程[典例1] (1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[点拨](1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．[解答](1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.[答案](1)A(2)A1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25[解析]因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.[答案] C考点2 待定系数法求圆的标准方程[典例2] 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．[分析]解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解答]法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2.∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为： y ＋4＝－2x ，即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.即圆心为(－1，－2)，圆的半径为 r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2．求圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程． [解] 法一设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．则⎩⎨⎧b ＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝ 5.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 法二因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为y ＝－12(x －4)，令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标为C (4,0)，所以r ＝|CA |＝(5－4)2＋(2－0)2＝ 5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 考点3 与圆有关的最值问题探究1 若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[分析] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.探究2 若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[分析] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.[典例3] 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值．[分析]x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而(x＋1)2＋(y＋1)2表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解答]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此(x＋1)2＋(y＋1)2表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝(0＋1)2＋(－4＋1)2＝10，所以(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值为|AC|＋r＝10＋2，最小值为|AC|－r＝10－2.[思路总结]1．本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．2．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[跟踪练习]3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图4-1-1[解]设P(x，y)，则d＝|P A|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.【学习检测巩固提高】1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是()A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝10[解析]设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10．[答案] A2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2[解析]配方得(x－1)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为C(1,4)．由条件知|a＋4－1|a2＋1＝1.解之得a＝－43.[答案] A3．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________. [解析]圆C的圆心为(－1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y－2＝x ＋1，即x－y＋3＝0.[答案]x－y＋3＝04．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是.[解析]将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25 2.[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝252 5．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．[解析] (1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10. (2)解法一：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎨⎧ x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝2. 即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5. ∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法二：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎨⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2(－1－a )2＋(4－b )2＝r 22a －b －4＝0，⎩⎨⎧a ＝3b ＝2r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程课时检测一、选择题1．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定[解析] ∵m 2＋25＞24，∴点P 在圆外． [答案] A2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3,2)在圆内． [答案] C3．以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为54的圆的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝2516 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －1)2＝54 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝2516 [解析] 由圆的几何要素知A 正确． [答案] A4．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，4[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2. [答案] A5．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1[解析] ∵点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，∴将－x ，－y 代入⊙C 的方程得(－x ＋2)2＋(－y －1)2＝1. 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. [答案] A6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0[解析] ∵点P (2，－1)为弦AB 的中点，又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)，∴弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝0－(－1)1－2＝－1， ∴直线AB 的斜率k ′＝1，故直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. [答案] A7．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定[解析] 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32的坐标代入圆的方程可知(12)2＋(32)2＝1>12.∴点在圆外． [答案] C8．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)[解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则(2a )2＋a 2＜5，解得－1＜a ＜1. [答案] B9．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( D )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. [答案] D10．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9B ．8C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M 到直线的最短距离为5－3＝2.[答案] D二、填空题 11．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．[解析] 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.[答案] x 2＋(y －1)2＝112．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 .[解析] 由⎩⎨⎧ x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝2. ∴圆心坐标为(2,2)，半径r ＝22＋22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝813．已知圆C 经过A (5,1)、B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 .[解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程得⎩⎨⎧ (5－a )2＋12＝r 2(1－a )2＋32＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.[答案] (x －2)2＋y 2＝1014．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为 .[解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.[答案]x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20三、解答题15．已知圆C的半径为17，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C 的标准方程．[解]∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝17，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.16．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．[解析](1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a>0，可得a＝10.(2)由两点间距离公式可得|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3<a<13.即a的取值范围是(3，13)．17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．求AD边所在直线的方程.[解析]因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.18．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-+=+22)2()3(132042r b a a b b a ，化简得⎩⎨⎧ 4a ＋b ＝0b ＝a －5(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝－4r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．。

课时跟踪检测(四十八) 圆的方程(重点高中)

课时跟踪检测（四十八）圆的方程(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝8B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b 的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b 2a≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题：①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________．解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，圆心到直线l的距离d＝|3m－0|m2＋1＝2，解得m＝±255.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝5 3.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴53<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中53<x≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m ＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1，所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝8，b a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。

课时跟踪检测(四十八) 圆的方程(普通高中)

人教A版高中数学必修二新课标高考一轮复习训练手册文科第四十八课时圆的方程