浅谈数学在计算机中的应用

浅谈数学在计算机中的应用

【序言】

本人对计算机有着浓厚兴趣，深刻体会到了数学这一自然科学的“王后”，在计算机中的广泛应用。本文将以实例与大家共同探讨。

【数学在编程中的应用】

首先我们来看一个使用数学方法可以大大提高效率的例子。

实例一：给定一个自然数a，判断它是不是质数。

普通的想法：若a是合数，那么必然有一个因数不大于a1/2，建立一个a1/2以内的质数表，逐一检索。显然，这样速度太慢！

下面介绍一种基于费马小定理的Miller-Rabin测试算法：

首先是引理：费马小定理，相信大家都有耳闻，这里我也不嫌累赘，仍旧列出。

若n是质数，(a,n)=1，则an-1mod n =1。

同样，若我们选取若干个a，都满足以上等式的话，几乎可以肯定n是素数。（尽管不能完全确认，但在实际操作中是可行的）

下面给出算法：

Function Miller-Rabin(n:longint):Boolean;

Begin

For I:=1 to s do

Begin

a:=random(n-2)+2;

If modular_exp(a,n-1,n)<>1 then return false;

End;

Return true;

End;

事实上，数学在计算机当中最为重要的还是递推关系的应用：许多看似棘手的题目，在有了这一层的关系后便显得柳暗花明了。

实例二：Hannoi塔问题

Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，

要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

（1）一次只能移一个圆盘；

（2）圆盘只能在三个柱上存放；

（3）在移动过程中，不允许大盘压小盘。

问将这n个盘子从a柱移到c柱上，总计需要移动多少个盘次？

解：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b

柱上去；然后将大盘子从a柱移到c柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共计3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面

的n-1个盘移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h(n-1)+1+h(n-1)个盘次。所以：hn=2h(n-

1)+1 （边界条件：h1=1）

这个问题其实只是数学题目的简单变形。下面再来看一个应用更加灵活的例子：

实例三：方格取数

在一个n*m的方格中，m为奇数，放置有n*m个数，

方格中间的下方有一人，此人可按照正前方相临的五个方向(方格)前进但不能越出方格。人每走过一个方格必须取此方格中的数。要求找到一条从底到顶的路径，

使其数相加之和为最大。输出和的最大值。

解：这题在本质上类似于递推，是从一个点可以到达的点计算可以到达一个点的所有可能点，然后从中发掘它们的关系。我们用坐标（x,y）唯一确定一个点，其中

（m,n）表示图的右上角，而人的出发点是([m/2],0)，受人前进方向的限制，能直接到达点(x,y)的点只有(x+2,y-1),(x+1,y-1),(x,y-1),(x-1,y-1),(x-2,y-1)。

到达(x,y)的路径中和最大的路径必然要从到(x+2,y-1),(x+1,y-1),(x,y-1),(x-1,y-1),(x-2,y-1)的几条路径中产生，既然要求最优方案，当然要挑一条和最大的

路径，关系式如下：F(x,y)=Max{F(x+2,y-1),F(x+1,y-1),F(x,y-1),F(x-1,y-1),F(x-2,y-1)}+Num(x,y)，其中Num(x,y)表示(x,y)点上的数字。（边界条件为：F

([m/2],0)=0,F(x,0)=-0(1<=x<=m且x<>[m/2])）。

这种问题，涉及到最值，采用的递推手法被称为"动态规划"。简称DP。

程序设计中可采用多种数学方法，恰如其分的数学方法可以大大减少程序运行的时间和所需空间，起到优化程序的作用。遇到一道题目时,如进制运算,多项式运算

等,应不急于马上用递归,回溯等搜索算法,特别是测试数据的范围很大的时候。不妨先用笔算,从中发现一些规律.但是也不是每一道题都可以用数学方法完成,数学

方法只能用于一些求总数,最值之类的题目上。

下面便是经典应用之一：

实例四：砝码设计

设有一个天平,可以用来称重.

任务一:设计n个砝码的重量,用他们能称出尽可能多的整数重量.例如,n=2,设计2个砝码的重量分别为1和3, 可称重为1,2,3,4的连续重量.

任务二:在给出n个砝码能称出最大重量范围的一重量x,试给出称出x的方案.

在上例中:

给出x=2称出的方案为2+1:3

x=4称出的方案为4:1+3

x=1称出的方案为1:1

输入:n,x(n为砝码个数,x是在称出最大重量范围内的重量)

输出:砝码方案,称出x的方案.

输入样例1:2,2 输入样例2:2,4

输出样例1:1,3 输出样例2:1,3

由题意可知此题不适合搜索。由任务一可知:n=2时砝码重量最优解为1、3。我们可以试n=3,n=4...的情况，不难发现本题是一个“平衡三进制”的应用，砝码的重

量均为3的1至n次方,由于理论推导涉及到累加等数学知识,我们着重看任务二。

任务二要求输出用砝码称出重为x的重量,实际上就是用3的0至n-1次方的和差来表示x,如样例中的2=3-1,4=1+3等,不难发现,当x除以3余1时,必然x要表示为

x=a1+a2...+1,余2时x=a1+a2...-1,余0时不用1的砝码.因此取x除以3的余数,可以确定砝码1用不用和用在天平的哪一边.同理,判断3的砝码位置时,可先将x先除以3

四舍五入,再除以3取余判断.能用3的1至n次方的和差来表示x后,屏幕输出再用一个数组来处理就行了。