(完整word版)2019年北京市海淀区高三年级一模数学(理)试题及答案

合集下载

北京市海淀区2019年高三一模考试理科数学试题讲评

本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．
1
试卷整体情况
19:02:15
1
试题特点：
• 重视基础，突出主干
讲评要点：
• 基础性、常规性试题，能熟练求准确，无盲点；
• 联系实际，重视应用
• 适度创新，提升素养 • 诊评并重，指导复习
法1.利用诱导公式：特殊值法，利用特殊角的三角函数值 π π 法2.sin( 利用诱导公式，先化简后判断正负 ) cos 0 ， cos( )= -sin <0 ， 2 2 法3.判断终边位置，利用三角函数定义
sin( π ) sin ， cos( π ) cos 0
19:02:15
y
E D
F
C
B A
G
H
O
x
1
核心概念凸显数学学科的特征
核心概念涵盖数学素养的内容
核心概念体现数学思想的要素核心概念细化数学课程的目标
（6）已知复数 z a i （其中 a R ），则下面结论正确的是（A） z
a i
（B） |z| 1 （D）在复平面上， z 对应的点可能在第三象限
• 综合性、能力性试题，懂来龙解去脉，思路广； • 应用性、创新性试题，深阅读勇尝试，找机会。
19:02:15
1
（2）若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是
π π （A）sin( ) （B）cos( )（C）sin( π ) （D）cos( π ) 2 2
19:02:17 1
x 0, (13) 设关于 x, y 的不等式组 y 0, 表示的平面区域为 . 记区域上的 y kx 1

海淀区2019届高三期中数学(理)试题及答案(官方word版)

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） 2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ=，则a 的取值范围为A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,3]-∞D. [3,)+∞2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是A. 2()f x x x =-B. 21()f x x =Ｃ. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11edx x=⎰ A. 1- B. 0 C. 1 D.e4.在等差数列{}n a 中，1=1a ,652a a =，则公差d 的值为 A. 13- B.13C. 14-D. 14 5.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35-，则n ta θ= A. 43- B. 43 C. 34- D. 34 6.已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n =+，则“21a a ”是“数列{}n a 单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a b c ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是 A. a b B. b c C. c a D. 不能确定的8.函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为A. 5B. 63C.7D.8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京海淀区2019高三上年末考试试题--数学(理)word版

北京海淀区2019高三上年末考试试题--数学（理）word版数学〔理〕2018.01【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕复数52i=+ ( ) 〔A 〕2i - 〔B 〕21i 55+ 〔C 〕105i - 〔D 〕105i 33- 〔2〕如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF〔A 〕1123AB AD -〔B 〕1142AB AD +〔C 〕1132AB DA +〔D 〕1223AB AD -〔3〕假设数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，那么数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 〔4〕平面α，β，直线l ，假设αβ^，l αβ=，那么〔A 〕垂直于平面β的平面一定平行于平面α 〔B 〕垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α 〔C 〕垂直于平面β的平面一定平行于直线l 〔D 〕垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直〔5〕函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如下图，那么(0)f = 〔〕〔A 〕12-〔B〕2- 〔C 〕1- 〔D〕-〔6〕执行如下图的程序框图，输出的i 值为开始i=1,s=0 s=s+2 i -1ii= i +1〔〕〔A 〕5 〔B 〕6 〔C 〕7 〔D 〕8〔A 〕()f x 既不是奇函数也不是偶函数〔B 〕()f x 在[,0]π-上恰有一个零点〔C 〕()f x 是周期函数〔D 〕()f x 在(,2π5π)6上是增函数〔8〕点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是〔〕〔A 〕圆〔B 〕椭圆〔C 〕双曲线的一支〔D 〕直线【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上.〔9〕51)的展开式中2x 的系数是.〔用数字作答〕〔10〕假设实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+-?ïïï--?íïï+-?ïïî那么2z x y =+的最大值为.〔11〕抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为.〔12〕甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温〔单位：C °〕用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.22(1)2x y -+=，过点〔13〕圆C ：(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，那么直线l 的方程为.〔14〕正三棱柱'''ABC A B C -的正〔主〕视图和侧〔左〕视图如下图.设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度〔x 可以取到任意一个实数〕，对应的俯视图的面积为()S x ，那么函数()S x 的最大值为；最小正周期为.8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin B =. 〔Ⅰ〕求cos A 及sin C 的值；甲城市乙城市 9 08 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图〔Ⅱ〕假设2b =，求ABC ∆的面积. (16)〔本小题总分值13分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. 〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. (17)〔本小题总分值14分〕在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ??，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .〔Ⅰ〕求证：AB ^平面PBC ；〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面BCP 所成二面角〔小于90°〕的大小；〔Ⅲ〕在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？假设存在，求PMPB的值；假设不存在，请说明理由. (18)〔本小题总分值13分〕函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)〔本小题总分值14分〕焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.〔ⅰ〕假设直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;〔ⅱ〕假设直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. (20)〔本小题总分值14分〕集合{1,2,3,,}(*)M n n =?N ，假设集合12{,,,}(*)m A a a a M m=臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+〔其中12,{1,0,1}λλ?〕，那么称集合A 为集合M 的一个m 元基底.〔Ⅰ〕分别判断以下集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；PABC D②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.〔Ⅱ〕假设集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +?；〔Ⅲ〕假设集合A 为集合{1,2,3,,19}M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准2018、01一. 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 题号〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答案 A D B D C ABD二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 〔9〕5〔10〕7〔11〕54〔12〕乙，乙〔13〕1)y x =+或1)y x =-+〔14〕8；3π注：〔13〕题正确答出一种情况给3分，全对给5分；〔12〕、〔14〕题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-.………………………………………2分因为sin B =，所以11cos 1233A =-?.………………………………………3分由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =.………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=.………………………………………8分〔Ⅱ〕因为sin sin b aB A=，2b =，………………………………………10分3=.所以3a =.………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==.………………………………………13分 (16)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，那么()23!15!10P A ⨯==.………………………………………4分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分〔Ⅱ〕随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3.………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===.………………………………………10分因为01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望为1.………………………………………13分 (17)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为90ABC ??，所以AB BC ⊥.………………………………………1分因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以AB ^平面PBC .………………………………………3分〔Ⅱ〕解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =，所以PO BC ⊥.因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ，所以PO ^平面ABCD .………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -、不妨设2BC =.由直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =-，(2,1,0)DA =. 设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，那么2, y z =-=-所以(1,2,=--m .………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==m n m n m n . 所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角〔小于90°〕的大小为4π. ………………………………………9分〔Ⅲ〕解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =.理由如下：………………………………………10分取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 那么MN ∥PA ，12AN AB =. 因为2AB CD =，所以AN CD =. 因为AB ∥CD ，NMPABCD所以四边形ANCD 是平行四边形. 所以CN ∥AD . 因为, MNCN N PA AD A ==，所以平面MNC ∥平面PAD .………………………………………13分因为CM Ì平面MNC ，所以CM ∥平面PAD .………………………………………14分 (18)〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.………………………………………2分当1a =时,(1)e f =,'(1)4e f =.………………………………………4分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-.………………………………………5分〔Ⅱ〕令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =.………………………………………6分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分因为函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-.………………………………………11分所以要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-.……………………………………13分 (19)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =.………………………………………2分所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……………………………………3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . 〔ⅰ〕当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---〔不妨设点A 在x 轴上方〕.………………………………………5分那么直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为1AQ BQ k k ⋅=-，所以AQ BQ ^. 所以2AQB π∠=.………………………………………6分〔ⅱ〕当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分因为1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++.所以QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.………………………………………11分假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，那么QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，那么QM AB ^.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++，所以点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k=+=+. 所以222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k +??++++ 222601320(520)k k +=?+. 所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是11213,21203,30213=-??????，41212,51213,61313=??????.………………………………………3分〔Ⅱ〕不妨设12m a a a <<<，那么形如10i j a a ??(1)ij m ＃?的正整数共有m 个；形如11i i a a ??(1)i m ＃的正整数共有m 个；形如11ij a a ??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个；形如(1)1i j a a -??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n =含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m m m m C C n +++?，即(1)m m n +?.………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知(1)19m m +?，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，那么410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，那么由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，那么16a =或5.易知{6,7,9,10}A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19}M =的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5.………………………………………14分。

2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习(一模)数学(理)试题(解析版)

2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，且，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用子集概念即可作出判断.【详解】∵∴，即故选：A【点睛】本题考查子集的概念，属于基础题.2．若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选：D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.4．已知，则下列各式中一定成立（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.【详解】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时，，对于A，不成立，所以错误；对于B、也错；对于C，是减函数，所以，也错；对于D，因为，所以，，正确，故选D【点睛】本题考查不等式的性质，指数函数的单调性及均值不等式，考查反例法，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论．【详解】解：第1步：S＝2，x＝4，m＝2；第2步：S＝8，x＝6，m＝；第3步：S＝48，x＝8，m＝，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．已知复数，则下面结论正确的是（）A．B．C．一定不是纯虚数D．在复平面上，对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】利用共轭复数概念，模的计算，及几何意义即可作出判断.【详解】的共轭复数为：，所以A错误；，所以B正确；当时，是纯虚数，所以C错误；对应的点为（，1），因为纵坐标y＝1，所以，不可能在第三象限，D也错误.故选B.【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．7．椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．8．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）层化学化学层层生物层生物层A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.二、解答题9．已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化简f（x）为A sin（ωx+φ）+b的形式，根据最大值列出方程解出a；（2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出【详解】（1）因为,所以函数的最大值为 ,所以,所以 .（2）因为的单调递增区间为，, 令 ,所以，函数的单调递增区间为，.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题.10．据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）；（3）.【解析】(1)根据表格即可得到结果；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果；(3)的取值为0,1,2，分别求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望．【详解】(1) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.(2) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则.（3）新封山育林面积超过五万公顷有个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆，所以的取值为所以，，.随机变量的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查古典概型概率公式，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.11．如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】(1)方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1)取中点为,连结,由且,又点为中点，所以 ,又因为分别为,中点,所以 ,所以,所以共面于平面 ,因为,分别为中点, 所以,平面,平面,所以平面 .方法二：在直三棱柱中，平面又因为,以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得,.所以,,设平面的法向量为，则，即,令，得,于是 ,又因为,所以 ,又因为平面，所以平面 .（2）方法一：在直棱柱中，平面,因为，所以,又因为，且,所以平面 ,平面，所以,又，四边形为正方形,所以 ,又，所以,又，且,所以平面 ,又平面,所以平面平面 .方法二：设平面的法向量为，,，即 ,令，得,于是 ,,即，所以平面平面.（3）设直线与平面所成角为，则,设，则 ,,所以 ,解得或（舍）,所以点存在，即的中点，.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.12．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【解析】(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数．【详解】（1）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（2）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以在上递减，在递增；所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以在上递减，在递增；所以时，函数取得极小值，问题得证.（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．13．已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1），；（2）平行.【解析】(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标；(2)方法一：设直线的方程为，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断.方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论.【详解】(1)抛物线的准线方程为，焦点坐标为 ,所以有，解得 ,所以抛物线方程为，焦点坐标为 .(2)直线 ,方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，,所以， ,,显然，直线的方程为 ,令，则，则,因为，所以 ,直线的方程为，令，则，则① 当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则② 当时，，，则综上所述，方法二：直线(i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(ii) 设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述， .【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关系，属于中档题．14．首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为.【解析】(1)由递推关系得到的所有可能值；(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3)由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）的值可以取 .（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列，根据条件，，所以当对成立，下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列中存在同时为非负数，因为，若则有，与条件矛盾，若则有，与条件矛盾，所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，此时对成立，所以当时，，即，所以，，所以，即，其中，即，其中，又，，所以是以，公差为的等差数列，所以 .（3）记，由（2）的证明知，不能都为非负数，当，则，根据，得到，所以，当，则，根据，得到，所以，所以，总有成立，当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，当为偶数时，，当为奇数时，，考虑数列：，，可以验证，所给的数列满足条件，且,所以的最大值为，当为偶数时，，考虑数列：，，-，， ,可以验证，所给的数列满足条件，且，所以的最大值为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题.三、填空题15．已知成等比数列，且，则____．【答案】4【解析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以，＝4故答案为：4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.16．在中，，则_______；_________.【答案】6【解析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以，＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．17．已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .【答案】（答案不唯一）【解析】设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，结合，可得x的范围，进而可得结果.【详解】解：设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，＋＝（1＋x，－2＋y），由，得：，把y＝－2x代入，得：，化简，得：，解得：，取x＝－1，得y＝2，所以，＝（－1,2）（答案不唯一）故答案为：＝（－1,2）（答案不唯一）【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.18．在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.【答案】【解析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值.【详解】解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：，直线化为直角坐标方程为：，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0），所以，，解得：＝－1.故答案为：－1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.19．设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．【答案】2【解析】(1)当时,作出可行域，数形结合即可得到结果，（2）恒过定点（0，1），对k分类讨论，数形结合即可得到结果.【详解】（1）当时，不等式组为，表示的平面区域如下图1，区域上的点B与点距离的最小，最小值为｜AB｜＝2，所以， 2（2）恒过定点（0，1），（i）当k＞0时，如图1，，符合题意（ii）当k＝0时，如图2，，符合题意（iii）当k＜0时，如图3，，解得：，综上可知的取值范围是.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.20．已知函数，，其中.若，使得成立，则____．【答案】【解析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果. 【详解】解：依题意，得：，化简，得：，因为.，所以，，即，所以，，因为，且，因为，有成立，所以，，所以，所以，，所以，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京市海淀区2018--2019年高三4月一模数学理

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)2019.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合A 二{x N|x _6}, B ={x R|x2_3x 0}，则API B =A. {3,4,5}B. {4,5,6}C. {x|3：：：x^6}D. {x |3 E x ：：： 6}2.在极坐标系中，曲线n=4cos r围成的图形面积为B. 4 D . 163.某程序的框图如图所示，执行该程序, 若输入的x值为5，则输出的y值为A. -2B. -1C.1D. 24.不等式组x -1,x • y -4乞0,表示面积为kx -y _ 0的直角三角形区域，贝U k的值为A. -2B.-1C. 0D.5.若向量a, b 满足| a〔b〔a b〔 =1，则a b的值为A. -12 B. C.D.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1, 2, 3的小球, 每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，3的取法有A.12 种 B. 15 种 C. 17 种 D.197.抛物线=4x的焦点为IPF |F ,点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(-1,0)，则十工；的最丨PA|小值是B. D.8.设h,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4, 5, 6的直线.给出下列三个结论:① A • h (i =1,2,3)，使得「AA2A3是直角三角形;② A Ti (i =1,2,3)，使得A1A2A3是等边三角形;③三条直线上存在四点A(i =1,2,3,4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是A.①B. ①②C.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数a+b i( a,b^ R )对应的点恰好在实轴上，则b= _____10.等差数列厲｝中，a3+a4 =9,a2a5 =18,则a^ = _____________ 11.如图，AP与L O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C .若.ACB =90，BC =3,CP =4，则弦DB的长为 _______ .1 ,12.在L ABC中，右a = 4,b = 2, cos A ，贝V c = ____ ,sin C =_____42* _a x 兰013.已知函数f (x) = < 2' -'有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_________/ —3ax +a, x >0n14.已知函数f (x)二sin —x，任取L R，定义集合：2A 二｛y | y r f(X)，点P(t, f(t)) , Q(x, f (x))满足| PQ , 2｝.设Mt,mt分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h(t)=Mt-mt.则(1) ______________________ 函数h(t)的最大值是;(2) ______________________________ 函数h(t)的单调递增区间为.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题满分13分)已知函数f (x) = 2「( . 3sin x -cosx)2.(I)求f (n)的值和f (x)的最小正周期；4①③ D. ②③O、, -JT IT(n)求函数f(x)在区间［―,］上的最大值和最小值6 316.(本小题满分13分)在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(II )若等级A, B, C, D E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.(i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望17.(本小题满分14分)在四棱锥P -ABCD中，PA_平面ABCD，ABC是正三角形, AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA = AB =4，- CDA =120：点N在线段PB上，且PN二2 .(I)求证：BD _PC ;D(H)求证：MN //平面PDC ;(川)求二面角A —PC -B的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数f(x) =1 n x • ax2• bx (其中a,b为常数且a厂0)在x=1处取得极值.(I)当a =1时，求f(x)的单调区间；(II)若f (x)在0,e 1上的最大值为1，求a的值.19.(本小题满分14分)2 2已知圆M : (x -、.2)2• y2=r2( r 0).若椭圆C :笃•爲=1( a b 0)的右顶点为圆M a b的圆心，离心率为—.2(I)求椭圆C的方程；(II )若存在直线I : y =kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H 两点，点G 在线段AB上，且AG = BH，求圆M半径r的取值范围.20.(本小题满分13分)设为平面直角坐标系上的两点，其中X A,y A,X B,y B，Z .令x =冷- X A，y二y B -y A，若x + ■ y=3 ,且|.汶| |勺产0，则称点B为点A的“相关点”，记作:B= (A).已知P o(x°, y°) (X o,y°E Z)为平面上一个定点，平面上点列{R}满足：P ，且点P的坐标为(X” yj，其中i =1,2,3,…,n.(I)请问：点P o 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上, 写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； (n)求证：若F 0与P n 重合，n —定为偶数;n(川)若F 0(1,0)，且y n =100，记T 八x ，求T 的最大值.i _0海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案及评分标准 2019 . 4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 .、选择题(本大题共 8小题,每小题5分,共40分)二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分) 80分)15.(本小题满分13分)9. 0 10 . 1411.24 512. 3, 3 15 1613 .4：： a 乞1 914 . 2, (2k -1,2k),k Z三、解答题 (本大题共6小题，共解：(I)因为f (x) =2 -( 3sinx-cosx)2=2 - (3sin 2 x cos 2 x - 2.3sin x cosx) =2-(1 2sin 2 x - 一 3sin2 x)...... 2分=1 -2sin 2 x . 3sin2 x= cos2x . 3sin2 x ...................... 4 分仁严泅24 ”如牛、、3QQ所以f （x ）的周期为丁十寸nn 2 n — n - n 5 n时，如匕亏，(2x+n )引wk所以当x--二时，函数取得最小值.. 11分6 6当X 二才时，函数取得最大值 f （才）=2 .................. 13分 16.解：（I ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有10人，所以该考场有10 “0.25 =40人 ............. 1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为 40 （1 一0.375-0.375-0.15-0.025） = 40 0.075 = 3 ..................... 3 分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1 汇（40 乂0.2） +2 江（40乂0.1） +3工（40^0.375）+4汇（40乂0.25）+ 5乂（40^0.075）29 —2.9 40.......... 7分（川）设两人成绩之和为 '，则•的值可以为16, 17, 18, 19, 20 ............... 8分n=2sin(2x n )6分所以（ii ）当 x [-扌,n17.证明：（I ）因为=ABC 是正三角形，M 是AC 中点，所以 BM _ AC ,即 BD _ AC ........................ 1 分又因为PA _平面ABCD , BD 平面ABCD , PA _ BD ............................ 2分又PAp|AC 二A ，所以BD _平面PAC ........................ 3分又PC 平面PAC ，所以BD _ PC ............................ 4分（n ）在正三角形 ABC 中,BM =2.3 ...................... 5 分在 ACD 中，因为 M 为AC 中点，DM _ AC ，所以AD =CD CDA =120；，所以 DM = ◎，所以 BM : MD 二 3:1 ........................ 6 分3在等腰直角三角形 PAB 中，PA 二AB =4 , PB =4-.2 ,所以 BN : NP =3:1 , BN : NP =BM : MD ，所以 MN //PD ............................. 8分又MN 二平面PDC , PD 平面PDC ，所以MN //平面PDC ................................. 9分P( =16) =^6-C 10 15 45，P( "7)C io 1245p ( =18)= C 6C 2C 2 C iT C 1o13 45，P( "9)誓C 1045P( =20)=C 22 C 120丄 45 1512 13 4 1 所以 E 詁 1617 18 1920 -454545 45 45 86 5所以的数学期望为86 .................513分(川)因为.BAD =/BAC . CAD =90；,所以AB _ AD ，分别以AB, AD, AP 为x 轴,y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系, 所以 B(4,0,0), C(2,2 J3,0), D(0,4^,0),P(0,0,4)3由（n ）可知,PC = (2,2 ,3, M)，PB=(4,0, Y)设平面PBC 的一个法向量为 n =（x,y,z ）,118.解：(I )因为 f (x) = In x ax 2 bx,所以 f (x) 2ax b ........................................... 2 分x因为函数f (x) = In x ■ ax 2 bx 在x =1处取得极值f (1) =1 2a b =0 ....................... 3分 2x 2 _3x +1当 a =1 时，b = -3 , f (x)二一3^J ,xf '(x), f (x)随x 的变化情况如下表：DB =（4-空3 0）为平面PAC 的法向量310分n PC 则]n PB =0=0，即 2x 2、3y - 4x -4z = 0令z =3,则平面PBC 的一个法向量为设二面角A - PC - B 的大小为二，n =(3,J3,3) ............-I T nt ◎ n DB 则 cos 日=4 |™l =12分所以二面角 A -PC -B 余弦值为丄7714分zy1所以f(x)的单调递增区间为(0,丄)，(1,+ ：：)单调递减区间为(丄,1) ................... 6分2(II)因为f (x)/ax2一2(a 1)x 1 =(2ax-1)(x-1)x x1令Jx2=2a ......................... 7分1因为f(x)在x =1处取得极值，所以x2x1=12a1当0时，f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,e］上单调递减2a所以f(x)在区间0,e上的最大值为f(1)，令f(1)=1，解得a = -2 ................................. 9分当a 0 , x2=丄02 2a1 1 1当1时，f (x)在(0,)上单调递增，(一,1)上单调递减，(1,e)上单调递增2a 2a 2a所以最大值1可能在x二丄或x二e处取得2ad 11 111而忑円临％)2—(2a吃小肓篇亠021所以f (e)二lne+ ae2 - (2a 1)e = 1，解得a ................ 11 分e-21 1 1当1 e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减，(—,e)上单调递增2a 2a 2a所以最大值1可能在x = 1或x二e处取得而f(1) = ln1 a -(2a 1) ： 0所以f (e)二Ine+ae2 _(2a 1)e = 1，1 1解得a ，与1 ：： x2e矛盾........... 12分e-2 2a1当X2 e时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，2a所以最大值1可能在x =1处取得，而f⑴=In1 - a-(2a • 1) ：：： 0 ,矛盾综上所述，a —或a =—2. .......... 13分e—21 9 .(本小题满分14分)解：(I)设椭圆的焦距为2c ,因为a =爲2 , - 2，所以c = 1，所以b =1.a 22所以椭圆C: 7 y2=1............................. 4分(II )设A ( % , y1 ), B( X2, y2)y = kx由直线l与椭圆C交于两点A，B，则％2角2-2丸所以(1 2k2)x2 -2 =0，则％ X2 =0, X1X22 ...........1 2k2......所以|AB J(1+k 2)亠「迂豆 ............................. 7分\ 1+2k 2 Y 1 +2k 2LV 2k点M ( J2, 0)到直线I 的距离d — L2k 2 2(1 k 2) 2(3k 4 3k 2 1) k 4 、 .........1 k2 1 2k 2 一 2k 4 3k 2 1 一(2k 4 3k 2 1)当k =0时,综上, 20.解：（I ）因为 L X + =y=3（=x, = y 为非零整数）故x =1,卜y =2或x =2, .\x =1，所以点P 0的相关点有8个 .................... 2分又因为（：x ）2 （：y ）2 =5，即（为一冷）2 （屮-y °）2 = 5 所以这些可能值对应的点在以F 0为圆心， 5为半径的圆上 ............ 4分(n)依题意 F n (x n ,y n )与 P °(x 0,y 0)重合显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线 y = kx 就是y 轴，矛盾,所以要使AG = BH ，只要AB = GH 8(1 k 2)2 2k 2、所以 / =4(r 2)1 2k 1 k当k = 0时,又显然1 d c )c2(1+ _)=3 1324222k 4 k 21 2(1—)2所以 2 ：T < 3r 2=2(1 112分14分则2k 1 k 2HGA11分则X n =(X n -XnJ (X.-1 -人^)…(X? - Xj (人- x0)X。

2019年北京市海淀区一模理科数学试题分析

2019年北京市海淀区一模理科数学试题分析2019年海淀区高三数学（理科）一模考试已经结束了，整体来看，本次考试的涉及范围全面，难易程度合理，符合北京高考的出题思路和方式。

既考查了学生对于基础知识、基础运算和基本技能的掌握，又考察了学生对于高中知识的整体把握和运用。

试卷延续北京高考大纲要求的8+6+6的试卷结构，8道选择，6道填空，6道大题的形式，分值分布为40、30、80。

试卷涵盖的重点章节包括：函数、三角函数、数列、立体几何、平面解析几何、不等式、向量、导数和程序框图、统计与概率。

针对于每一档题型分析如下：（1）基础题：1-6，9-12，15，16，17题都属于基础题型，分别考察了集合、三角函数、等差等比数列、不等式、程序框图、复数、解三角形、向量、极坐标等相关知识。

需要学生掌握郑姐独家总结的集合的“数轴解题法”，三角函数的“倍角公式-辅助角公式-回归原始函数的流程解题法”，解三角形的“正弦余弦选择口诀”，等差等比的六大万能公式以及向量解决立体几何的“5-4-3-1法”等，再结合平时的练习，技能保证基础分全部拿下。

（2）中档题：7，13，18，19题都属于中档题型，相对于基础题来说，中档题的计算会繁复一些，所考察的知识点也会更深入。

例如第七题考察的是圆锥曲线中椭圆和双曲线的相关知识，利用椭圆中的已知条件：和椭圆的离心率和双曲线的离心率之积为1，可以得到双曲线中的关系，再利用双曲线中的恒等关系和的关系，从而得到双曲线的渐近线的倾斜角，当然，这些都需要学生的烂熟的掌握椭圆和双曲线的相关知识；而13题考察的是线性规划的知识，这需要学生有数形结合的能力，画出图像辅助做题就会简单许多；18题考察的是导数的相关知识，第二问证明函数的最小值的存在问题。

需要学生烂熟的掌握导函数的相关性质和知识点以及做题技巧；19题属于圆锥曲线和直线相交的大题，第一问则需要学生烂熟的掌握抛物线的基本性质和相关知识，第二问则需要学生掌握“圆锥曲线和直线相交的万能得分法”就可以做到不会也能得十分。

北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题(含答案)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ，且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为；（Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ）法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

深度解析北京海淀高考一模数学试卷

深度解析北京海淀2019年高考一模数学试卷解析人：新东方优能中学名师，主讲高考数学。

原省级示范高中数学教师，原太原新东方全科主管，《学习周报》特约编辑，高考数学阅卷人。

具有丰富的教学经验、深厚的数学功底、风趣幽默的教学方式授课。

创造性的“题型分类教学”，打破题海战术，将高中数学拆分为百个典型问题，注重方法的讲解，举一反三。

2019年的海淀一模刚刚结束，这份试卷质量很高，题目总体难度不小，其中很多题目是情理之外，意料之中的好题。

对于高三学生的复习，查漏补缺起到了很好的作用。

一、第一感觉拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,试题的起点低，入手容易，最重要的是试题非常的亲切，可以说和学生在平时练习的题目还是比较接近的，在关注考试选拔功能的同时，更关注发展功能，考查出学生会什么，让所有学生尽可能多表现出数学学习的成果；但是有几个题目设计比较巧妙，试题给笔者留下了较深的印象。

二、亮点分析（以理科试卷为例）：此题考查排列组合，虽然难度不大，但是充满了智慧，此题可以直接分类解答，但是采用“间接法”解答更妙，可以先数总数，减去甲在首位的，则立刻出答案D。

这与2019年北京高考数学的用“1,2”排四位数包含“1,2”的有几种很相似，也是数出总数，减去都是“1”和都是“2”的两种，一步出答案。

历年考题，无论是京内还是京外，都青睐考察“间接”不无联系，间接的思想不管是在排列组合还是概率中都有较多的考察，概率中最典型的提问就是“至多至少”，本质上这就是间接法，考查思维非常巧妙。

此题本身难度不小，利用数形结合思想可以得出结论，但是从小题小做的角度，采用“特值排除法”更妙，带入a=0满足条件很容易排除掉B，D两个选项，再令a=-3，也满足条件则排除C选项。

在新东方的课堂上讲解过很多这样的例子，考试结束后很多学生反馈虽然题目很难，但是还是很顺利的解答了此题。

其实2019年海淀的一模中选择8也是类似的题目，同学们可以尝试一下，题目如下：(2019海淀一模理8)已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线L交圆于C、D两点，交抛物线于A、B两点，且满足的直线只有三条的必要条件是A．B．C．D．（答案D）这道选择的压轴题目思路非常巧妙，整体和北京2009年的选择8非常相似，表面看是计算45°角的个数，但是本质是计算出B点与其他各7个顶点连线与AC'的夹角，除B点外，7个顶点连线中，第一组BA，BC，BB'。

2019海淀区高三年级第一学期期末理科

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为（A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ）（5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是（A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象（D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25 （B ）49 （C ）75 （D ）99第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习(一模)数学(理科)试题(含参考答案)

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，且，则可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用子集概念即可作出判断.【详解】∵∴，即故选：A【点睛】本题考查子集的概念，属于基础题.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正确故选：D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．3.已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.4.已知，则下列各式中一定成立（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质与指数函数性质即可作出判断.【详解】x，y的符号不确定，当x＝2，y＝－1时，，对于A，不成立，所以错误；对于B、也错；对于C，是减函数，所以，也错；对于D，因为，所以，，正确，故选D【点睛】本题考查不等式的性质，指数函数的单调性及均值不等式，考查反例法，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论．【详解】解：第1步：S＝2，x＝4，m＝2；第2步：S＝8，x＝6，m＝；第3步：S＝48，x＝8，m＝，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知复数，则下面结论正确的是（）A. B.C. 一定不是纯虚数D. 在复平面上，对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数概念，模的计算，及几何意义即可作出判断.【详解】的共轭复数为：，所以A错误；，所以B正确；当时，是纯虚数，所以C错误；对应的点为（，1），因为纵坐标y＝1，所以，不可能在第三象限，D也错误.故选B.【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）层地理层层生物层层物理层物理层A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知成等比数列，且，则____．【答案】4【解析】【分析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以，＝4故答案为：4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.10.在中，，则_______；_________.【答案】(1). 6(2).【解析】【分析】利用余弦定理可得c值，由平方关系得到，借助可得结果.【详解】解：由余弦定理，得：＝36，所以，c＝6，由得：，所以，＝【点睛】本题考查余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．11.已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，结合，可得x的范围，进而可得结果.【详解】解：设＝（x，y），由∥得：y＝－2x，＋＝（1＋x，－2＋y），由，得：，把y＝－2x代入，得：，化简，得：，解得：，取x＝－1，得y＝2，所以，＝（－1,2）（答案不唯一）故答案为：＝（－1,2）（答案不唯一）【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.12.在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.【答案】【解析】【分析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值.【详解】解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：，直线化为直角坐标方程为：，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0），所以，，解得：＝－1.故答案为：－1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.13.设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】(1)当时,作出可行域，数形结合即可得到结果，（2）恒过定点（0，1），对k分类讨论，数形结合即可得到结果.【详解】（1）当时，不等式组为，表示的平面区域如下图1，区域上的点B与点距离的最小，最小值为｜AB｜＝2，所以， 2（2）恒过定点（0，1），（i）当k＞0时，如图1，，符合题意（ii）当k＝0时，如图2，，符合题意（iii）当k＜0时，如图3，，解得：，综上可知的取值范围是.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.已知函数，，其中.若，使得成立，则____．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.【详解】解：依题意，得：，化简，得：，因为.，所以，，即，所以，，因为，且，因为，有成立，所以，，所以，所以，，所以，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程15.已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简f（x）为A sin（ωx+φ）+b的形式，根据最大值列出方程解出a；（2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出【详解】（1）因为,所以函数的最大值为 ,所以,所以 .（2）因为的单调递增区间为，,令 ,所以，函数的单调递增区间为，.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值及单调性，属于基础题.16.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根据表格即可得到结果；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果；(3)的取值为0,1,2，分别求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望．【详解】(1) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.(2) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过，则.（3）新封山育林面积超过五万公顷有个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有个地区：内蒙、河北、重庆，所以的取值为所以，，.随机变量的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查古典概型概率公式，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.17.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】(1)方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1)取中点为,连结,由且,又点为中点，所以 ,又因为分别为,中点,所以 ,所以,所以共面于平面 ,因为,分别为中点, 所以,平面,平面,所以平面 .方法二：在直三棱柱中，平面又因为,以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得,.所以,,设平面的法向量为，则，即,令，得,于是 ,又因为,所以 ,又因为平面，所以平面 .（2）方法一：在直棱柱中，平面,因为，所以,又因为，且,所以平面 ,平面，所以,又，四边形为正方形,所以 ,又，所以,又，且,所以平面 ,又平面,所以平面平面 .方法二：设平面的法向量为，,，即 ,令，得,于是 ,,即，所以平面平面.（3）设直线与平面所成角为，则,设，则 ,,所以 ,解得或（舍）,所以点存在，即的中点，.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【解析】【分析】(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数．【详解】（1）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（2）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以在上递减，在递增；所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以在上递减，在递增；所以时，函数取得极小值，问题得证.（3）当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点.【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．19.已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1），；（2）平行.【解析】【分析】(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标；(2)方法一：设直线的方程为，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断.方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论.【详解】(1)抛物线的准线方程为，焦点坐标为 ,所以有，解得 ,所以抛物线方程为，焦点坐标为 .(2)直线 ,方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，,所以， ,,显然，直线的方程为 ,令，则，则,因为，所以 ,直线的方程为，令，则，则① 当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则② 当时，，，则综上所述，方法二：直线(i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(ii) 设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述， .【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，直线的斜率和直线的位置关系，属于中档题．20.首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为. 【解析】【分析】(1)由递推关系得到的所有可能值；(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3)由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）的值可以取 .（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列，根据条件，，所以当对成立，下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列中存在同时为非负数，因为，若则有，与条件矛盾，若则有，与条件矛盾，所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，此时对成立，所以当时，，即，所以，，所以，即，其中，即，其中，又，，所以是以，公差为的等差数列，所以 .（3）记，由（2）的证明知，不能都为非负数，当，则，根据，得到，所以，当，则，根据，得到，所以，所以，总有成立，当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，当为偶数时，，当为奇数时，，考虑数列：，，可以验证，所给的数列满足条件，且,所以的最大值为，当为偶数时，，考虑数列：，，-，， ,可以验证，所给的数列满足条件，且，所以的最大值为.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题.。