一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程专题复习

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02

≠=++a c bx ax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132

+=+x x B 02112=-+x

x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m

是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242

++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，

则m 的值为 。

针对练习：

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31

1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622

。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A

1- B 1 C c b - D a -

★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02

※※对于()m a x =+2，()()2

2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：

例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132

=--x

例2、若()()2

221619+=-x x ，则x 的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022=-x

C.x x -=+132

D.092=+x

类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，022

2=++a ax x

典型例题：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=

x B 3=x C 3,2521==x x D 5

2=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 变式1：

()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例3、方程062=-+x x 的解为（ ）

A.2321=-=，x x

B.2321-==，x

x C.3321-==，x x D.2221-==，x x 例4、解方程： ()04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。 变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y

x y x -+的值为 。 针对练习：

★1、下列说法中：

①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++

② )4)(2(862--=-+-x x x x . ③)3)(2(6522--=+-a a b ab a

④ ))()((22y x y x y x y x -++=-

⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-++

+x x 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）

A ．0622=--x x

B ．0622=+-x x

C ．0622=-+y y

D ．0622

=++y y ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）

A 、-1或-2

B 、-1或2

C 、1或-2

D 、1或2

5、方程：212

2=+x x 的解是 。 ★★★6、已知06622=-

-y xy x ，且0>x ，0>y ，求y x y x --362的值。 ★★★7、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的

值为 。

类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222

442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：