数值分析习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

长沙理工大学

第一章绪论

1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.

2.设x的相对误差为2％,求的相对误差.

3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指

出它们是几位有效数字:

4.利用公式求下列各近似值的误差限:

其中均为第3题所给的数.

5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

6.设按递推公式

( n=1,2,…)

计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差?

7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈.

8.当N充分大时,怎样求?

9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而

相对误差却减小.

11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程

稳定吗?

12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

计算,求对数时误差有多大?

14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足

第二章插值法

1.根据定义的范德蒙行列式,令

证明是n次多项式,它的根是,且

.

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数

字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5.设,k=0,1,2,3,求.

6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i)

ii)

7.设且,求证

8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函

数表的步长应取多少?

9.若,求及.

10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).

11.证明.

12.证明

13.证明

14.若有个不同实根,证明

15.证明阶均差有下列性质:

i)若,则;

ii)若,则.

16.,求及.

17.证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.

20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.

21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误

差.

22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.

23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

i)

ii)

25.若,是三次样条函数,证明

i);

ii)若,式中为插值节点,且,则.

26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式).

第三章函数逼近与计算

1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.

(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误

差做比较.

2.求证:

(a)当时,. (b)当时,.

3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.

5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?

6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7.求在上的最佳一次逼近多项式.

8.如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?

9.设,在上求三次最佳逼近多项式.

10.令,求.

11.试证是在上带权的正交多项式.

12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.

13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使

14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.

15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.

16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.

17.求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

18.、,定义

问它们是否构成内积?

19.用许瓦兹不等式估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.

20.选择,使下列积分取得最小值:.

21.设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.

22.在上,求在上的最佳平方逼近.

23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

.

24.将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差

图形,再计算均方误差.

25.把在上展成切比雪夫级数.

29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.

30.编出改进FFT算法的程序框图.

31.现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列的离散频谱

第四章数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所