第八章方法函数
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用第五节 隐函数的求导公式8-5

例1验证 x +y =1 在点(0,1) 的某邻域内唯一确定单值 可导、且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f (x) ,并求其一阶 和二阶导数在 x=0 的值.
2 2 F ( x , y ) x y 1 令 解 则 Fx 2 x, Fy 2 y , F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0, 依 TH1 知, x2+y2=1 在点 (0,1) 某邻域内唯一确定单值可 导、且 x 0 时 y 1 的 y f ( x ) ; dy dy Fx x 0, , dx x 0 dx Fy y
8/16
二、方程组的情形
TH2:设Fi ( x1 , , x n ; y1 , , ym ) ( i 1 , ,m )在
x 直接法 2 x 2zz (*) zx ; x 4z x 0 直接法 2 z 再对* 式两边关于 x 求导,得 2 2 2 1 zx ( 2 z ) x 2zxx 0 , zxx . 1 zx zx zzxx 3 2 z (2 z )
.
对 z f ( x y z, xyz) 两边微分,得 dz f1 d ( x y z ) f 2 d ( xyz) 形式不变 f1 (dx dy dz) f 2 (dx yz x dy z xy dz) f1 yz f 2 f1 xz f 2 dz dx dy 1 f1 xy f 2 1 f 1 xy f 2 z f1 f 2 yz ; 全微分与偏导数 x 1 f1 xy f 2 x y 同理,得 , . y z
x x 0 f1 ( 1) f 2 z( y x) y y x f1 xzf 2 ; y f1 yzf 2 y 1 f 1 xyf 2 同理,得 . z f 1 xzf 2
C语言程序设计第8章 函数简明教程PPT课件

8.1 函数的概念与定义
程序运行情况如下: Enter a and b:10 20
The max is 20
计算机科学与技术学院—— C语言程序设计
8.1 函数的概念与定义
(2)函数名类似于其它的标识符,其命名规则也与其它 标识符相同。 (3)形式参数列表(formal parameter list)用来描述 函数所需要的参数个数及其类型,它的基本形式为: (类型名1 参数名1, 类型名2 参数名2, …, 类型名n 参 数名n) 如上例中的(int x, int y)。函数的参数是函数与它的主 调函数之间发生数据交换的一个通道,即被调函数通过参 数的方式建立起它与主调函数之间所需的信息交换的一种 途径。如果函数没有形式参数,则在定义时括号内可以为 空,但最好写上void。
计算机科学与技术学院—— C语言程序设计
8.1 函数的概念与定义
函数Max()的返回值由函数体中的return语句获得。 函数也可以没有返回值类型,此时,我们最好把没有返 回值类型的函数定义成void类型,这时,函数体中的 return语句可以不写,也可以只写上return语句: return; 。
C程序的这种组成结构,反映了一种结构化程序设计的思想。 一个程序可以分解为多个模块,每个模块可以实现一定的功能。 如果一个模块过于复杂,就可以进行再分解,直到分解出来的 模块足够简单,可以方便实现为止。这种结构化的程序设计思 想,体现出一种“分而治之”(devided and conquer)的哲 学理念,也是我们日常处理事情的一种典型方法。
程序设计者,只在库函数不能满足需要的时候,才需要自己 来创建所需要的函数(自定义函数)。读者学完本章之后, 就应该能自定义一些自己所需要的函数并能正确使用它们, 当然也要学会正确使用系统提供的大量的标准库函数。有 关库函数的详细情况和使用方法可以参考附录和其它相关 资料。
《C程序设计》(第三版)第8章 函数(嵌套及递归调用)

递归算法必须有结束递归条件,否则会产生死机现象! 递归算法必须有结束递归条件,否则会产生死机现象!
11
2.递归函数的执行过程
【例】编一递归函数求n!。 编一递归函数求 。
思路:以求 的阶乘为例 的阶乘为例: 思路:以求4的阶乘为例 4!=4*3!,3!=3*2!,2!=2*1!,1!=1,0!=1。 , , , , 。 递归结束条件: 递归结束条件:当n=1或n=0时,n!=1。 或 时 。 递归公式: 递归公式:
2
(4)函数fun的功能是计算x2-2x+6,主函数中将调用fun函数计算: (4)函数 函数fun的功能是计算 2x+6,主函数中将调用fun函数计算 的功能是计算x 函数计算: y1=(x+8)2-2(x+8)+6 y2=sin2x-2sinx+6 请填空。 请填空。 #include<math.h> fun(double x) double ; main() { double x,y1,y2; scanf(“%lf”,&x); x+8 y1=fun( ); sin(x) ); y2=fun( printf(“y1=%lf,y2=%lf\ printf(“y1=%lf,y2=%lf\n”,y1,y2); } double fun(double x) { return (x*x-2*x+6); } (x*x3
第八章惩罚函数法1

f ( X * ) = 1.0
现用外点罚函数法解这个约束优化问题.构造增广目标函数 ∂F 由此解 = 0, ∂x1 Mk ∂F * = 0得X ( M k ) = 0, 1 + Mk ∂x 2
T
给定一个罚因子 M k,即可求得极小点X * ( M k ),可以看出X * ( M k ) 1] 不是可行点,且有 lim X * ( M k ) = X * = [0, T
k
3 21 x x x 例如,当M k = 0时, M k = ;当M k = 时, M k = ;当 M k = 时, M k = 2 11 1 +2 Mk → 2, 里的x * = 就是例 的极小点. 若令M k → +∞时,则x M k = 这 1 +1 Mk
三、外点罚函数法有关说明
= 0, 当X ∈ D时, α ( X ) > 0, 当X ∈ D时.
0, 当g i ( X ) ≥ 0时, u ( g i ( X )) = i = 1,, , 2⋯ l 1, 当g i ( X ) < 0时,
M k > 0是 一个 逐 渐 增 大 的 参 数, * ,使目标函数 f ( X )取得最小值. ))为 (8.1)的 此时称 ( X * , f ( X * ))为问题(8.1)的最优解。
由处理约束条件的办法不同,约束优化方法也可分为 直接法和间接法两大类.
间接法的基本思想是将约束优化问题首先转换为 一系列的无约束优化问题,然后利用无约束优化方法 来求解,逐渐逼近约束问题的最优解.这些算法一般 比较复杂,但由于它们可以采用计算效率高、稳定性 好的无约束优化方法,故可用于求解高维的优化问 题.
M k 趋于无穷大时, ( X , M )的极小点就是原问题的最优 趋于无穷大时, F k
函数的定义与性质

8.2 函数的复合与反函数
推论2:设f:A→B, g:B→C, 则fg:A→C, 且 x∈A都有fg(x)=g(f(x))
证明:由性质1,fg是函数,由性质2易证 dom(fg)=A, ran(fg)C 由性质3,fg(x)=g(f(x))
28
8.2 函数的复合与反函数
定理:设函数f:A→B, g:B→C 则:
fff={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 2
=IA
3
g 1
1
22
33
f 1
1
22
33
26
8.2 函数的复合与反函数
例:A上的三个函数 f(a)=3-a, g(a)=2a+1, h(a)=a/3
我们有:
❖(fg)(a)=g(f(a))=g(3-a) =2(3-a)+1=7-2a
❖(gf)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2a ❖h(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3
b2
c
2
f(d)=1
c2
d1
d
3
8
8.1 函数的定义与性质
皮亚诺后继函数
❖f: N→N, f(n)=n+1
投影函数
❖X和Y是非空集合,f: X×Y→X, f(x,y)=x
9
8.1 函数的定义与性质
A到B的函数集合BA (B上A)
❖ BA ={f | f: A → B}
例:设A={1, 2, 3}, B={a,b},求BA 解:BA={f0,f1,…,f7}
32
8.2 函数的复合与反函数
给定函数F,F-1不一定是函数 例:A={a,b,c},B={1,2,3}
C语言程序设计 第3版 第8章 函数

s=a+b;
return s;
}
main()
//主函数
{
int s;
s=sum();
printf("s=%d\n",s);
}
运行结果
2 3↙ s=5
C语言程序设计
2.函数的定义
无返回值无参数 无返回值有参数
有返回值无参数 有返回值有参数
一般形式:
类型标识符 函数名(形式参数表列) {
函数体; return 表达式; }
调用方式
函数调用的一般形式:
函数名(实际参数表) 实际参数表中的参数可以是常数、变量或表达式,各实参之间用逗号分隔。
调用方式:
(1)函数表达式:函数作为表达式中的一项出现在表达式中,这种方式要求函数有返回值。 例如:s=sum(x,y);把sum的返回值赋予变量s。
(2)函数语句:函数调用的一般形式加上分号即构成函数语句,这种方式不要求函数有返回值。 例如:sum(x,y);以函数语句的方式调用函数。
void sum(int a,int b) //自定义函数
{
int s;
s=a+b;
ห้องสมุดไป่ตู้
printf("s=%d\n",s);
} main()
//主函数
{
int x=2,y=3;
sum(x,y);
}
运行结果
s=5
C语言程序设计
2.函数的定义
无返回值无参数 无返回值有参数
有返回值无参数 有返回值有参数
一般形式:
类型标识符 函数名( ) {
函数体; return 表达式; }
注意说明:
(1)函数的类型实际上是函数返回值的类型。
第八章 副程式及函数 Subroutine Function讲解

副程式中還可以同時傳入多個參數,來看下一 個範例(EX0805):
PROGRAM EX0805 IMPLICIT NONE INTEGER A
REAL
B
CHARACTER C DATA A,B,C / 5, 5.0, 'A' / CALL SHOWVAR( A, B, C ) STOP
END
SUBROUTINE SHOWVAR( A, B, C ) IMPLICIT NONE INTEGER A REAL B
所以我們只要傳入速度和角度,就可以得到投擲距離。
SUBROUTINE ANGLE_TO_RAD( ANGLE, RAD ) 這個副程式有二個浮點數的參數,功能是把角度值轉換成弧度。 ANGLE 輸入的角度
RAD 副程式會計算出角度所對應的弧度值,而以這個 變數傳回呼叫處。
主程式的運作: PROGRAM EX0806 IMPLICIT NONE
五號選手:以40角度,每秒22公尺的速度擲出手榴彈。
若忽略空氣阻力以及身高等等的因素,請寫一個程式來計 算選手們的投彈距離。(也就是計算自由投射運動的拋物線 距離)
PROGRAM EX0806 IMPLICIT NONE INTEGER PLAYERS PARAMETER(PLAYERS=5) REAL REAL REAL ANGLE SPEED DISTANCE
CALL MESSAGE()
STOP END
CALL MESSAGE( ) 呼叫一個名字叫 MESSAGE的副程式來使 用
主程式和副程式最大的 不同在於:主程式部份的 程式碼在程式的一開始就 自動會去執行;而副程式 需要呼叫之後,才會執行 屬於自己的程式碼
SUBROUTINE MESSAGE() IMPLICIT NONE
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用

其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程:z=f(x,y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1:设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数,且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,
则方程F(x,y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 :设函数z=f(x,y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存,增在当量,则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x),,量如y)果在x 时点lxi,m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数,函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
离散数学_第8章_函数

例
对于给定的,3}), B={0,1}{1,2,3} (2)A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3)A=Z, B=N (4)A=[π/2,3π/2], B=[−1,1]
解(1)A={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. B={f0 ,f1 ,…,f 7 }, 其中 f 0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1 ={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f 2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3 ={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f 4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5 ={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f 6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7 ={<1,1>,<2,1>,<3,1>}. 令 f:A→B, f(∅)=f0 , f({1})=f1 , f({2})=f2 , f({3})=f 3, f({1,2})=f 4, f({1,3})=f5 , f({2,3})=f 6, f({1,2,3})=f 7
(6)A=B=R×R,f (<x,y>)=<x+y,x-y> 令L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},计算 f(L)。
第八章 函数1函数概述

第八章函数8、1 函数概述1、C语言的函数:C语言的函数是子程序的总称,包括函数和过程。
(有返回值、无返回值,教材中称为:有返回值函数,无返回值函数)。
C语言函数可以分为库函数、用户自定义函数。
库函数由系统提供,程序员只需要使用(调用),用户自定义函数需要程序员自己编制。
2、C语言的程序由函数组成,函数是C语言程序的基本单位。
前面章节介绍的所有程序都是由一个主函数main组成的。
程序的所有操作都在主函数中完成。
事实上,C语言程序可以包含一个main函数,也可以包含一个main函数和若干个其它函数。
C语言程序的结构如图所示。
在每个程序中,主函数main是必须的,它是所有程序的执行起点,main函数只调用其它函数,不能为其它函数调用。
如果不考虑函数的功能和逻辑,其它函数没有主从关系,可以相互调用。
所有函数都可以调用库函数。
程序的总体功能通过函数的调用来实现。
3、使用函数的意义(补充)有些同学提出,我只用一个main函数就可以编程,为什么这么复杂,还要将程序分解到函数,还要掌握这么多概念,太麻烦了?我们说对于小程序可以这样做,但是对于一个有一定规模的程序这样做就不合适了。
使用函数的几个原因:(1)使用函数可以控制任务的规模一般应用程序都具有较大的规模。
例如:一个齿轮误差分析软件系统的源程序行数要数千行。
一个传动链计算机辅助设计系统的源程序行数5万多行。
使用函数可以将程序划分为若干功能相对独立的模块,这些模块还可以再划分为更小的模块,直到各个模块达到程序员所能够控制的规模。
然后程序员再进行各个模块的编制。
因为各个模块功能相对独立,步骤有限,所以流程容易控制,程序容易编制,修改。
一般一个模块的规模控制在源程序60行以内(但是也不必教条化)。
(2)使用函数可以控制变量的作用范围变量在整个模块范围内全局有效,如果将一个程序全部写在main()函数内,大家可以想象,变量可以在main函数内任何位置不加控制地被修改。
c语言第八章 函数

教学进程
8.2
函数的调用
【练习题 】
用函数实现求两个实数的和。
#include <stdio.h> void main() /*主调函数*/ { float add(float x, float y); /*函数声明*/ float a,b,c; printf("Please enter a and b:"); scanf("%f,%f",&a,&b); c=add(a,b); 因函数声明与函数首 printf("sum is %f\n",c); 部一致,故把函数声 } 明称为函数原型。 float add(float x,float y) /*被调函数首部*/ { float z; z=x+y; 用函数原型来声明函数,能减少 return(z); 编写程序时可能出现的错误。 }
教学进程
8.2.3 函数的调用
定义函数时,函数名后括号中的变量称为形式参数,即形参。 定义函数时,函数名后括号中的变量称为形式参数,即形参。 在主函数中调用函数时,函数名后括号中的表达式称为实际 参数,简称实参。
【例 】 输入两个整数,要求用一个函数求出其中的大者,并 在主函数中输出此数。
教学进程
a
b
c
d
e
f
教学进程
运行结果: 【例】 函数调用的简单例子。
**************** How do you do! ****************
/*主调函数*/ /*主调函数* #include <stdio.h> void main() { void printstar(); printstar(); void print_message(); print_message(); printstar(); print_message(); printstar(); }
数学高一第八章知识点总结

数学高一第八章知识点总结第八章的内容主要包括函数的概念、函数的图象、函数的性质、函数的运算、一次函数及其应用、二次函数及其应用、幂函数及其应用、指数函数及其应用、对数函数及其应用等。
一、函数的概念1. 函数的定义: 如果对于每一个x,都有且只有一个y与之对应,那么y是x的一个函数。
2. 自变量与因变量: 函数中,自变量是x,因变量是y。
3. 定义域和值域: 函数的所有自变量的取值范围称为定义域,函数的所有因变量的取值范围称为值域。
4. 基本初等函数: 常数函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
二、函数的图象1. 函数的图象: 函数的图象是由函数的各对应自变量和因变量组成的点的集合。
2. 基本初等函数的图象: 常数函数的图象是一条水平线;一次函数的图象是一条直线;二次函数的图象是抛物线;幂函数的图象是抛物线的一部分;指数函数的图象是一条不经过原点的曲线;对数函数的图象是挨着y轴的一段曲线。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数: 如果对于所有x∈定义域,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数;如果对于所有x∈定义域,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数。
2. 周期函数: 如果存在一个正数T,使得对于所有x∈定义域,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)是周期函数。
3. 单调性: 如果对于任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)是单调递增的;如果对于任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)是单调递减的。
4. 奇偶性与周期性: 一次函数是一次函数是奇函数或者偶函数,二次函数是偶函数;幂函数是奇函数或者偶函数;指数函数是奇函数;对数函数是奇函数;正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数;正切函数、余切函数、正割函数、余割函数是周期函数。
四、函数的运算1. 函数加减法: (f+g)(x)=f(x)+g(x),(f-g)(x)=f(x)-g(x)。
高等数学_第八章_多元微分_第五节_隐函数求导

Fx F v Gx Gv
课本P34课本P34-P35 P34
Fy F v GyGv
F Fx u Gu Gx F u Gu
参见二元 线性方程 组的求解 公式
Fy Gy
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例4. 设 x = e
u+v
, y =e
u+v
u−v
, z = uv , 求
u−v
解 现在 z = uv , 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程 由方程
z
z
F′⋅ 1 1 z
∂z =− y ∂y ′ F′⋅ (− x ) + F2 ⋅ (− 2 ) 1 2
z z
F′ ⋅ 1 2 z
′ z F2 = ′ x F′ + y F2 1
故
Fx ∂z ∂z ∂z z dz = dx + dy = =− (F′dx + F′dy) 1 2 ∂x ∂y x F′ + y F′ ∂x Fz 1 2
再对 x 求导
2+
∂z 2 1+ ( ) ∂x
∂2z −4 2 = 0 ∂x
上页
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返回
结束
解二 利用隐函数求导公式 设 则
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4z
Fx = 2x,
Fz = 2z − 4
∴
x x Fx ∂z = =− =− z −2 2− z ∂x Fz
两边对 x 求偏导
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微分法. 解二 微分法 对方程
两边求微分: 两边求微分
x y F′⋅ d( ) + F′ ⋅ d( ) = 0 2 1 z z zdx − xdz zdy − ydz F′⋅ ( ) + F′ ⋅( ) =0 1 2 z2 z2 ′ xF′+ yF2 F′dx +F′ dy 1 2 整理得 dz = 1 2 z z z dz = (F′dx + F′dy) 解得 1 2 x F′ + y F′ 1 2
高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则

事实上,这个函数就是 y = 1 x 2 , ( 1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x dy = = , = 0, dx Fy y dx x = 0
y x 2 d y y xy′ = = y2 dx2 y2
x y = 1 dx x=0
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 4z, 解 令
Fx z x 则 Fx = 2x , Fz = 2 z 4, = = , Fz x 2 z
x z (2 z ) + x 2 (2 z ) + x z 2 z x = = 2 2 x 2 (2 z ) (2 z )
Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐 函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
z Fx = Fz x
隐函数的求导公式
Fy z = y Fz
求导公式推导:
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
Fx z = , x Fz
两边分别对 x 和 y 求导,得
z = 0, Fx + Fz x
z = 0, Fy + Fz y
Fy z = , y Fz
2z 例 3 设 x 2 + y 2 + z 2 4 z = 0,求 2 . x
应用数学第八章第八章第一节 二元函数-PPT精选文档
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第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
z z f x , y ,x , y D M= 一元函数的自变量只有一个,其定义域是一个或几个区间. 二元函数有两个自变量,其定义域通常为平面区域.
由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性(如果一块部分 平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线段连接起来, 这样的部分平面称为具有连通性)的部分平面,称为平面区域, 简称区域.二元函数的定义域通常为平面区域.
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
1.二元函数的定义 引例1 矩形面积 s 与长 x,宽 y 有下列依赖关系
s = xy (x> 0, y > 0)
其中长 x和宽 y是两个独立的变量,在它们变化范围内,当 x ,y 的值取定后,矩形面积 s有一个确定的值与之对应. 引例 2 一定量的理想气体的压强 p,体积 v 和绝对温度 t之 间具有关系
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
rt p v
其中 r 为常数.这里,当 v,t 在集合{(v,t) v>0,t>t0} 内任取一对值(v,t)时,p 的对应值就随之确定. 引例3 在医学上,研究机体对某种药物的反应时,某种反 2 2 x ( a x ) t e1 应w 与药量 x (单位)和时间 t (小时)之间的关系为 w
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
围成区域的曲线称为区域的边界. 包括边界在内的区域称为闭域. 不包括边界在内的区域称为开域. 如果区域延伸到无穷远处,则称为无界区域,否则称为 有界区域.
高数第八章第1节
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x2 + y2 = 1
O
x
−2
O
2
x
−3
x y 而z = arcsin + arcsin 的定义域是包括边界的 2 3 矩形区域 : {( x , y ) | −2 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3}
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arcsin( 3 − x − y ) 的定义域. 例1 求 f ( x , y ) = 的定义域. 2 x− y
内点、外点、边界点、聚点,开集、闭集、 内点、外点、边界点、聚点,开集、闭集、区 域等概念也可定义. 域等概念也可定义.
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二、多元函数概念
引例: 引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
r
h
• 三角形面积的海伦公式
b
a c
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1.二元函数的定义 1.二元函数的定义
定义1 设D是R 2的一个非空子集, 称映射 f :D→ R 为定义在D上的二元函数,记为 z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D 或 为因变量.
。
P 0
U(P ,δ ) = ( x, y) x − x0 < δ , y − y0 < δ 0
{
}
5
(2)区域
设E 是 平 面 上的 一 个 点 集 ,P ∈ E . 如 果 存 在点 P 的 某 一 邻域 U ( P ) ⊂ E , 则称 P 为 E 的内点.
E
•P
E 的内点属于 E .
如果存在点P 的某一邻域 U ( P ), 使得 U(P) ∩ E = Φ , 则 称 P 为 E 的 外点 .
E 的外点必定不属于 E .
E
•P
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如 果点 P 的任 一个 邻域 内 既有 属于 E 的 点 , 也有不属于E的点,则称 P 为 E 的边界点.
第八章单变量函数的寻优方法
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α λμ β αλ
13
8.2牛顿法
牛顿法(切线法)的基本思想是: 在极小点附近用二阶泰勒(Taylor) 多项式近似目标函数,进而求出极小 值点的估计值。
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一、牛顿法(Newton)基本原理
15
用qk(λ)作为ф(λ)的近似,当ф″(λk) > 0时, 其驻点为极小点:
q′k(λ)= ф′(λk) +ф″(λk)(λ- λk )=0
矛盾(条件);
于是结论成立。 2 °的证明类似(略)。
注:上述定理为缩短区间的算法提供了理论根据。
10
2、黄金分割法(0.618 法)
通过上述定理,选二点λ<μ ,比较ф (λ) 与ф (μ ),可去掉[α ,λ]或
者[μ ,β].考虑条件:
1°对称: λ- α= β- μ
……①
(使“坏”的情况去掉,区间长度不小于“好”的情况)
整理② : μ =α +t(β -α )
λ = α +t(μ -α )
结合①式:t2+t-1=0
故 t≈0.618
t 1 5(舍去负)值
注意 上式有 t2=1-t , 故有 2
μ =α +t(β -α )
λ = α + (1-t)(β -α )
(算法框图见下页)
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黄金分割法(0.618 法)(算法)
α λ μβ
αλ μ
β
9
Proof. 1°反证:设
λ* ∈[α,β]为极小点,γ∈[α,λ]及γ﹤λ﹤λ*,使ф (γ)<ф (μ )<ф (λ),
若λ* ∈[λ ,β],由定义ф (γ)>ф (λ),矛盾(假设); 若λ* ∈[α ,λ),由定义及μ >λ ≥λ*, ф(μ )>ф (λ),
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int temp = x; x = y; y = temp;
// 交换
System.out.println("交换后:x="+x+" y="+ y);
}
public static void main(String[] args) {
int a = 23, b = 10; System.out.println("调用前:a="+a+" b="+b);
sum( ); // 调用无参数“方法” } }
Demo
【例8-5】求两个无符号整数的最大公约数: Prog1.java
解题:用a,b同时对i求余(i为小于等于二者中较小数的整数), 如果结果不同时为0,则将i-1,继续求余数。直到出现一个能同 时被a,b整除的数,该数为最大公约数。
public static int GCD(int a, int b) {
关于“方法”
❖ Java的方法
▪ 在其他语言中,多半被叫做“子程序”、“函数”
❖ Java“方法”的规则
▪ 先声明,后使用 ▪ 只能在类(Class)中声明
❖ Java“方法” 声明的格式:
[修饰符] 类型标识符 方法名 [(参数表)] { 变量声明 语句 }
方法声明
[修饰符] 类型标识符 方法名 [(参数表)] { 变量声明 语句 }
方 s=x*x;
法 体
return s;
}
变量声明
语句
返回语句
方法调用
❖ 定义了方法后,要使用“方法” 方法调用(Call)
▪ 有返回值的“方法”可作为表达式或表达式的一部分来调用 例如: y=square(20)+20; System.out.print(square(20));
▪ 无返回值的“方法”以独立语句的方式调用,其形式: 方法名([实际参数表]);
?问题:如果形参变了,实参变吗?
答案:基本类型和基本类型变量被当作参数传递给方法时,是值 传递。在方法实体中,无法给原变量重新赋值,也无法改变它 的值。即实参不变。
参数按数值传的例子
❖【例8-7】 Chap45Swap.java
public class Chap45Swap {
static void swap(int x, int y) { System.out.println("交换前:x="+x+" y="+y);
return g; }
8.3 参数传递
❖ 参数传递规则
▪ 调用带形参的“方法”时,必须提供实参 ▪ 实参 形参,称为参数传递 ▪ 被调用的“方法” 用实参执行方法体
8.3 参数传递
❖ 在Java中,对于基本数据类型,参数按值传递
▪ 参数以值的方式进行传递,即调用时将实参的值传递给“方 法”的形参。基本类型作为参数传递时,是传递值的拷贝, 无论你怎么改变这个拷贝,原值是不会改变的。
4. 参数表指调用方法时,应该传递的参数个数及其数据类型
① 方法申明时的参数称为形式参数 ② 调用方法时的参数称为实际参数
5. 方法声明不能嵌套:不能在方法中再声明其它的方法。( 可以调用)
【例8-1】计算平方的方法
修饰类型符
方法名
参数
static int square(int x)
{
int s;
❖ 方法调用时的参数称为实际参数(实参)
▪ 实参可以是常量、变量或表达式 ▪ 实参的个数、顺序、类型和形参要一一对应
❖ 调用的执行过程:实参传递给形参执行方法体
【例8-2】
public class SquareC{
static int square(int x){ int s; s=x*x; return s;
}
无参方法
❖ 有些“方法”没有输入参数,例【8-4】: class SumC {
static void sum( ) {// 无参、无返回值“方法” int i=3,j=6; int s = i + j; System.out.println(s);
} public static void main(String[] args) {
说明:
1. 修饰符可以是:public、private、 protected等
2. 类型标识符指方法执行完成后返回值的数据类型
① 若方法没有返回值,用void关键字说明 ② 若方法有返回值,方法体中至少有一条return语句,形式:
Return (表达式) //表达式的值即方法的返回值
3. 方法名 采用用户定义的标识符,不与 Java关键字重名
class AreaC { static void area(int a , int b) { int s; s = a * b; System.out.println(s); // 直接输出,没有返回值 } public static void main(String[] args){ int x = 5,y=3; area(x, y); // 调用方法area }
int g = 0; int min = a;
if (a > b)
min = b;
for (int i = min; i > 0; i--) {
if (a % i == 0 && b % i == 0) {
break; }
}
return g; }
g = i;
Demo
【例8-6】判别一个数是否为素数。 Prog2.java
// 计算平方的方法
}
public static void main(String[] args){
int n = 5; int result = square(n); // 调用“方法” System.out.println(result); }
}
参数传递
实际参数 n
形式参数 x
例【8-3】 以独立语句方式调用方法
解题:用该数a对i求余(i为小于a的平方根的整数),如果结果 不为0,则将i-1,继续求余数。如果出现一个能被a整除的数, 该数不是素数。
public static boolean Prime(int q) {boolean g=true; if (q == 0 || q == 1 || q<0) g=false; else if (q == 2) g=true; else { for (int i = (int)(Math.sqrt(q)+1); i > 1; i--) { if (q % i == 0) { g = false;break; } } }