2021届湖南省长沙市雅礼中学高三第一次月考文科数学试卷

2021年湖南省长沙市雅礼中学高三第一次月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()A {|lg 2}x y x ==-，集合{}22B x x =-≤≤，则A B ⋂=（ ）. A ．{|2}x x ≥-B ．{|22}x x -≤<C ．{}22x x -<<D ．{}2x x <2．设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：()x A B ∈，条件q ：()x A B ∈，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．i 是虚数单位，复数5225ii-=+（ ） A ．i - B ．i C ．21202929i -- D ．4102121i -+4．已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（ ）A ．12B ．1CD 5．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞内是增函数的为（ ） A ．sin y x =，x R ∈ B ．ln ||y x =，x R ∈，且0x ≠ C ．1y x=-，x R ∈ D ．31y x =+，x R ∈6．如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）A ．K <32?B ．K <63?C ．K <64?D ．K <70?7．已知1sin 23α=,则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．13- B ．13C ．23-D ．238．已知(0,)4πα∈，1log sin a αα=，sin b αα=，cos c αα=，则（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >> 9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．5003πcm 3B ．8663πcm 3C ．13723πcm 3D ．10003πcm 310．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 C ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,3]--D ．将函数2sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位得到函数()f x 的图象 11．当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．[)6,-+∞ D ．[]6,2--12．如图，已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，12||8F F =，P 是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点A ，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若||2PQ =，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3．2 D ．3二、填空题13．在锐角ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b c ，且2asinB =√3b ，则A =__________．14．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则点P 到正方体各顶点的距离都大于1的概率为 ．15．已知实数x ，y 满足220,220,130,x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则z xy =的最大值为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：其中所有正确结论的序号是：_____．①对m Z ∀∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存在n Z ∈，使得()219nf +=；④函数()f x 在区间(),a b 单调递减的充分条件是“存在k Z ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆”．三、解答题17．已知数列{}n a 各项均为正，且11a =，110n n n n a a a a +++-=（*n N ∈）． （1）设1n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 18．（本小题满分12分）某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：（Ⅰ）求上表中的m 、n 的值，并补全右图所示的的频率直方图；（Ⅱ）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20），[20,30）的居民中各随机选取1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．19．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠60DAB =︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ABCDE -，且10PB =．（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求四棱锥P BFED -的体积．20．已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3，椭圆C 2：x 2m2+y 2n 2=1(m >n >0)的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12．（1）求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；（2）已知直线l ：y =kx −4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．21．设函数2()(1)ln f x x a x =-+，a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y +-=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：211()ln 242f x >-． 22．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,232x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24sin30ρθρθ+-=．（1）求曲线C的直角坐标方程；AB．（2）设直线l与曲线C方程相交于A，B两点，求||参考答案1．B 【解析】集合{}A |2x x =< , {}B |22x x =-≤≤ 所以A B {|22}x x ⋂=-≤< ，故选B. 2．C 【解析】试题分析：若()x AB ∈，则x 不一定属于()A B ；而若()x A B ∈，则()x A B ∈，所以p 是q 的必要不充分条件，故应选C ． 考点：1、充分条件；2、必要条件． 3．A【解析】试题分析：根据复数除法的运算法则可得()()()()522552252525i i i i i i i ---==-++-,故选A.考点：复数的四则运算. 4．D 【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以1220m ⨯-=，所以1m =，所以(2,1)b =，由向量的模的定义知，2||21b =+=D ． 考点：1、平面向量的数量积的坐标运算． 5．C 【解析】试题分析：对于选项A ，函数sin y x =为奇函数，但是sin y x =在区间(0,)+∞内不是单调递增的，不符合题意；对于选项B ，函数ln ||y x =满足：()ln ||ln ()f x x x f x -=-==，所以函数ln ||y x =是偶函数，所以不符合题意；对于选项C ，函数1y x=-满足：11()()f x f x x x -=-==--，所以函数1y x=-是奇函数，且在区间(0,)+∞内是增函数，符合题意；对于选项D ，函数31y x =+满足：33()()11f x x x -=-+=-+，所以函数31y x =+是非奇非偶函数，不符合题意，故应选C ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性． 6．D 【解析】试题分析:当S =1,k =2时，第一次执行循环体：S =1×2=2,K =4；第二次执行循环体：S =1×2×4,K =8；第三次执行循环体：S =1×2×4×8,K =16；第四次执行循环体：S =1×2×4×8×16,K =32；第五次执行循环体：S =1×2×4×8×16×32,K =64；第六次执行循环体：S =1×2×4×8×16×32×64,K =128；所以应填K <70?，故应选D ．考点：1、程序框图与算法． 7．D 【解析】因为cos()sin )4πααα-=+，所以211112cos ()(12cos sin )(1sin 2)(1)422233παααα-=+=+=+=，应选答案D ．8．D 【解析】试题分析：因为(0,)4πα∈，所以sin (0,1)α∈，cos (0,1)α∈，且sin cos αα<，所以11sin α>，所以1log log 10sin a ααα=<=，而由指数函数的单调性可知，sin cos 0b c αααα=>=>，所以b c a >>，故应选D ．考点：1、指数函数；2、对数函数． 9．A 【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意2BE =，4AE CE ==，设DE x =，故2AD x =+，因为222AD AE DE =+，解得3x =，故该球的半径5AD =，所以3450033V R ππ==.【学科网考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能力. 10．C ． 【解析】试题分析：由函数图像可知，2A =，所以43124T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，即2ω=，所以函数()2sin(2)f x x ϕ=+． 将点(,2)12π代入其解析式即可得到：2sin()26πϕ+=，又因为||2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+． 对于选项A ，因为22()2sin[2()]2sin()0333f ππππ-=⨯-+=-=，所以()f x 的图象不关于直线23x π=-对称，即选项A 不正确；对于选项B ，因为55()2sin[2()]2sin()2121232f ππππ-=⨯-+=-=-，所以()f x 的图象不关于点5(,0)12π-对称，即选项B 不正确；对于选项C ，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22[,]333x πππ+∈-，所以()2sin(2)[3f x x π=+∈-，若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则由三角函数的图像及其性质知，(2,m ∈-，选项C 正确；对于选项D ，因为将函数2sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位得到函数解析式为：2sin[2()]2sin(2)666y x x πππ=+-=+，即选项D 是不正确的，故应选C ． 考点：1、由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式；2、三角函数的图像及其性质． 11．A 【解析】试题分析：因为当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，所以当20x -≤<时，不等式2343x xax--≤恒成立，即23min43x xax⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，20x∀-≤<．令2343()x xf xx--=，20x-≤<，所以2'4489(1)(9)()x x x xf xx x-++-+-==，令'()0f x=可得1x=-，所以()f x在[2,1)--单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以min143()(1)21f x f+-=-==--，所以2a≤-，故应选A．考点：1、导数在研究函数的最值中的应用．【思路点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题和利用导数在研究函数的最值中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先将问题“当20x-≤<时，不等式32430ax x x-++≥恒成立”转化为“23min43x xax⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，20x∀-≤<”，然后构造函数2343()x xf xx--=，20x-≤<，再运用导数求出其函数的最小值，进而可得出实数a的取值范围．12．C【解析】试题分析：如下图所示，设12,AF AF与1APF∆的内切圆相切于,N M，则1112,,,AN AM PM PQ NF QF AF AF====，所以1122NF AF AN AF AM MF=-=-=，所以12QF MF=，所以121212()()PF PF QF PQ MF PM QF PQ MF PM-=+--=+-+24PQ PM PQ=+==，所以24a=，即2a=，由1282F F c==可得4c=，所以该双曲线的离心率2cea==，故应选C．考点：1、双曲线的简单几何性质．【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质、三角形内切圆的性质和切线长定理，考查了学生的作图能力及识图能力，属中档题． 其一般解题思路为：首先作出草图，便于分析问题，然后运用切线长定理可得出12QF MF =，进而得出12PF PF -的值，由双曲线的定义可得出a 的值，再由12||8F F =可求出c 的值，进而可求出双曲线的离心率． 13．π3【解析】由已知，得2sinAsinB ＝√3sinB ，且B ∈(0,π2)， ∴sinB≠0，∴sinA ＝√32，且A ∈(0,π2)，∴A ＝π3.14．4181π-． 【解析】试题分析：由题意知，点P 到正方体各顶点的距离都等于1的点的集合为以正方体的各顶点为球心，半径为的球，而正方体的体积为：3327V ==，所以由几何概型的概率计算公式可得：34143112781P ππ⨯=-=-，故应填4181π-．考点：1、几何概型． 15．1694． 【解析】试题分析：首先画出实数x ，y 所满足的可行域如下图所示，然后设t x y =+，则y x t =-+，由图像可知，max t 是线段BC 上所有的点，而由基本不等式可知22x y z xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，即z xy =的最大值在线段BC 的中点处取得即1313(,)22，所以max 1313169224z =⨯=，故应填1694．考点：1、一元二次不等组所表示的平面区域；2、基本不等式的应用．【思路点睛】本题考查了一元二次不等式所表示的平面区域、简单的线性规划和基本不等式的应用，考查了学生综合知识能力和逻辑推理能力，属中高档题．其解题的一般思路为：首先根据一元二次不等式组准确画出其所表示的平面区域，然后将所求的目标函数z xy =运用基本不等式转化为：22x y z xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即求出t x y =+的最大值，即问题转化为简单的线性规划问题． 16．①②④． 【解析】试题分析：对于①，令2x =，则(2)220f =-=，当m Z ∈时，1221(2)2(2)2(2)2(2)0m m m m f f f f ---=====，即①正确；对于②，因为当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，所以(]1,2x ∀∈，()(2)0f x f ≥=，又因为(0,)x ∀∈+∞，都有(2)2()f x f x =，所以(0,)x ∀∈+∞，()(2)0f x f ≥=，即②正确；对于③，因为1(21)221n n n f ++=--，假设存在n 使得(21)9nf +=，即存在12,x x ，使得122210x x -=，又因为2x 变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在满足条件的值，即③不正确；对于④，根据②知，当1(2,2)kk x +⊆时，1()2k f x x +=-为减函数，所以函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减的充分条件是存在k Z ∈，使得1(,)(2,2)kk a b +⊆，即④正确．故应填①②④．考点：1、函数的图像；2、函数的基本性质；充分条件．【方法点睛】本题考查了抽象函数及其应用问题、函数的图像、函数的基本性质和充分条件等知识点，综合考查学生综合应用能力和逻辑思维能力，属中高档题．此类题的特征是根据题意中所给的函数相关性质灵活、恰当地进行赋值，以达到求值或者证明命题的目的． 其解题的突破口是利用赋值法合理地赋值，以达到证明等式等相关问题． 17．（1）因为110n n n n a a a a +++-=（*n N ∈），故11n n n a a a +=+，11a =，1n nb a =， 所以1111111n n n n n n n a b b a a a a +++-=-=-=，又1111b a ==，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差数列；（2）n S =1nn +． 【解析】试题分析：（1）首先由已知数列递推式可求得，11n n n a a a +=+，然后令1n nb a =，于是将其代入可计算出11n n b b +-=，最后由等差数列的定义即可得出证明；（2）由（1）及等差数列的通项公式可得n b n =，进 而得出1nn a =，于是运用裂项求和即可求出所求的结论． 试题解析：（1）因为110n n n n a a a a +++-=（*n N ∈），故11n n n a a a +=+，11a =，1n nb a =， 所以1111111n n n n n n n a b b a a a a +++-=-=-=，又1111b a ==，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差数列．（2）由（1）知，n b n =，所以1n n a =，即1n a n =，所以1111(1)1n n a c n n n n n ===-+++，所以12n n S c c c =+++…11111(1)()()2231nn =-+-++-+ (1111)nn n =-=++． 考点：1、等差数列；2、裂项求和法．【思路点睛】本题主要考查由数列递推公式求数列的通项公式和裂项求和求数列的前n 项和，渗透着化归与转化的数学思想，属中档题．其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能将已知的数列的递推关系式进行适当地变形，并运用整体思想将其进行转化，进而得出我们所熟悉的等差或等比数列；其二是对常见的裂项求和不熟练，以致于思维受阻． 18．（1）m =4，n =6；（2）P =1024=512．试题分析：（Ⅰ）频率分布直方图中小矩形的面积即为相应组的频率，从图可知，年龄在[10,20）的频数为m =0.08×50=4，年龄在[20,30）的频数为n =0.12×50=6．年龄在[30,40）的频率为1450=0.28，年龄在[40,50）的频率为1250=0.24.频率除以组距便得小矩形的高，由此可补全频率分布直方图．（Ⅱ）记年龄在区间[10,20）的居民为a 1，A 2，A 3，A 4（其中居民a 1不知道使用方法）；年龄在区间[20,30）的居民为b 1，b 2，B 3，B 4，B 5，B 6（其中居民b 1，b 2不知道使用方法）．列举出选取的两人的所有可能结果（基本事件），数出其中仅有一人不知道灭火器的使用方法的基本事件，二者相除即得选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．试题解析：（Ⅰ）年龄在[10,20）的频数为4．年龄在[20,30）的频数为6． 频率直方图如图所示：6分（Ⅱ）记年龄在区间[10,20）的居民为a 1，A 2，A 3，A 4（其中居民a 1不知道使用方法）；年龄在区间[20,30）的居民为b 1，b 2，B 3，B 4，B 5，B 6（其中居民b 1，b 2不知道使用方法）．选取的两人的情形有：（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，B 3），（a 1，B 4），（a 1，B 5），（a 1，B 6），（A 2，b 1），（A 2，b 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（A 2，B 5），（A 2，B 6），（A 3，b 1），（A 3，b 2），（A 3，B 3），（A 3，B 4），（A 3，B 5），（A 3，B 6），（A 4，b 1），（A 4，b 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），（A 4，B 5），（A 4，B 6），共24个基本事件，其中仅有一人不知道灭火器的使用方法的基本事件有10个， 所以选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率P =1024=512． 12分考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.19．（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴//BD EF ．∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴EF AC ⊥，∴EF AO ⊥，EF PO ⊥．∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AOPO O =，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ．（2）3V =．试题分析：（1）由三角形的中位线定理可证//BD EF ，再由菱形的对角线互相垂直证得BD ⊥AC ，于是可得到EF AO ⊥，再由已知可得EF PO ⊥，然后利用线面垂直的判定定理即可得出所证的结果；（2）设AO BD H ⋂=，连接BO ，结合已知可得HO PO ==通过解直角三角形求得PO ⊥平面BFED ，然后求出梯形BFED 底面积，代入棱锥的体积公式即可得出所求的答案．试题解析：（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴//BD EF ．∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴EF AC ⊥，∴EF AO ⊥，EF PO ⊥．∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ．（2）设AOBD H =，连接BO ，∵∠60DAB =︒，∴△ABD 为等边三角形，∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==在Rt △BHO 中，BO 在△PBO 中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥．∵PO ⊥EF ，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ．∵梯形BFED 的面积1()2S EF BD HO =+⋅=∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=．考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积．【易错点睛】本题主要考查空间线面关系、简单几何体的体积等知识，渗透着数形结合、化归与转化的数学思想方法以及考查学生空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属中档题．其解题过程中容易出现以下几处错误：其一是不能灵活地运用线线垂直与线面垂直的相互转化证明，以致于证明思路受阻；其二是不能挖掘题意所隐含的线面关系（垂直或平行），进而导致空间几何体的体积难以计算．20．（1）抛物线C 1的方程为：y 2=8x ；椭圆C 2的方程为x 216+y 212=1；（2）−2√33<k <−12或12<k <2√33． 【解析】试题分析：（1）抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3，即得到1+p2=3，解得p =4，求出抛物线C 1，再依据椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12，可以求得m =4，n =2√3，得到椭圆C 2的方程；（2）原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，将直线y =kx −4与椭圆联立消去y ，得到关于x 的一元二次方程，再由韦达定理可以得到关于k 的不等式，求解出即可；试题解析：（1）由题意可知1+p2=3，解得p =4，所以抛物线C 1的方程为：y 2=8x ． ∴抛物线C 1的焦点F(2,0)，∵椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，∴椭圆C 2半焦距c =2，m 2−n 2=c 2=4．∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m =12，解得m =4，n =2√3，∴椭圆C 2的方程为x 216+y 212=1． （2）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{y =kx −4,x 216+y 212=1,得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0，∴x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k 2+3，由Δ>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0， 解得k >12或k <−12．①由于原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，因此OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2) =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4) =(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0，解得−2√33<k <2√33．②由①②解得实数k 的范围是−2√33<k <−12或12<k <2√33． 考点：直线与抛物线的位置关系；【答案】（1）2a =；（2）当0a ≤时，函数()f x 在1(0,2+单调递减，在1()2++∞单调递增；当102a <<时，函数()f x 在1(0,2，)+∞单调递增，在单调递减．（3）当函数()f x 有两个极值点时，102a <<，01<<，故此时21(,1)2x =，且2()0g x =，即22222a x x =-+，所以2222()(1)ln f x x a x =-+222222(1)(22)ln x x x x =-+-+，设22()(1)(22)ln h x x x x x =-+-+，其中1(,1)2x ∈，则'()(42)ln h x x x =-+，由于1(,1)2x ∈时，'()0h x >，故()h x 在1(,1)2是增函数，故111()()ln 2242h x h >=-，所以211()ln 242f x >-．【解析】试题分析：（1）首先求出函数()f x 的定义域，然后求出函数()f x 的导函数'()f x ，再由导数的几何意义以及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y +-=垂直可得a 的值；（2）首先求出函数()f x 的导函数222'()x x a f x x-+=，于是令2()22g x x x a =-+，则分两种情况讨论：①当0∆≤时，②当0∆>时，分别得出函数的单调区间即可得出所求的结果；（3）由（2)知，当函数()f x 有两个极值点时，102a <<，01<<，于是构造函数22()(1)(22)ln h x x x x x =-+-+，其中1(,1)2x ∈，运用导数直接可得出()h x 在1(,1)2是增函数，进而得出111()()ln 2242h x h >=-，从而得出所证的结果． 试题解析：（1）（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222'()x x a f x x-+=，∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y +-=垂直，∴'(1)2f a ==．（2）由于222'()x x a f x x-+=，所以令2()22g x x x a =-+，则48a ∆=-．①当0∆≤，即12a ≥时，()0g x ≥，从而'()0f x ≥，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0∆>，即12a <时，()0g x =的两个根为1x =，212x =>，1≥，即0a ≤时，10x ≤，当102a <<时，10x >．故当0a ≤时，函数()f x 在1(0,2单调递减，在1()2++∞单调递增；当102a <<时，函数()f x 在1(0,2，1()2++∞单调递增，在11(22-+单调递减．（3）当函数()f x 有两个极值点时，102a <<，01<<，故此时21(,1)2x =，且2()0g x =，即22222a x x =-+， 所以2222()(1)ln f x x a x =-+222222(1)(22)ln x x x x =-+-+，设22()(1)(22)ln h x x x x x =-+-+，其中1(,1)2x ∈，则'()(42)ln h x x x =-+， 由于1(,1)2x ∈时，'()0h x >，故()h x 在1(,1)2是增函数，故111()()ln 2242h x h >=-， 所以211()ln 242f x >-． 考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数的单调性中的应用；3、导数在证明不等式中的应用．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】试题分析：（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程2cos 24sin 30ρθρθ+-=，化为2222cos sin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-= 考点：1、极坐标与直角坐标的相互转化；2、直线的参数方程的几何意义．。