电磁感应现象中的动力学问题

电磁感应第六节 （动力学问题）2019.10.24
【学习目标】
1．掌握电磁感应中动力学问题的分析方法
2．掌握电磁感应中的能量转化与守恒问题，并能用来处理力电综合问题
电磁感应中的动力学问题
【例题】如图所示，光滑金属直轨道MN 和PQ 固定在同一水平面内，MN 、PQ 平行且足够长，两轨道间的宽度L ＝0.50 m ，轨道左端接一阻值R ＝0.50 Ω的电阻．轨道处于磁感应强度B ＝0.40 T ，方向竖直向下的匀强磁场中．质量m ＝0.50 kg 的导体棒ab 垂直于轨道放置。

在沿着轨道方向向右的力F 作用下，导体棒由静止开始运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直。

不计轨道和导体棒的电阻，不计空气阻力。

若力F 的大小保持不变，且F ＝1.0 N ，求：
(1)导体棒能达到最大速度大小v m ；
(2)导体棒的速度v ＝5.0 m/s 时，导体棒的加速度大小a ；
(3)若导体棒与导轨间的动摩擦因数为0.1，则导体棒能达到最大速度大小v m ；
(4)导体棒达到最大速度v m 时，撤出拉力，导体棒还能前进的距离。

【小结】1．电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)电路分析：导体棒相当于电源，感应电动势E ＝BLv ，电流I ＝E R ＋r。

(2)受力分析：导体棒中的感应电流在磁场中受
安培力F 安＝BIL ，I ＝BLv R ＋r ，F 安＝B 2L 2v R ＋r。

(3)动力学分析：安培力是变力，导体棒在导轨
上做变加速运动，临界条件是安培力和其他力达
到平衡，这时导体棒开始匀速运动。

2．解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是
“先电后力”，具体思路如下：
【练习题组】
1．如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图像中，正确描述上述过程的是()
2．如图，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab 是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，
若从S闭合开始计时，且已知金属杆接
入电路的电阻为R，则金属杆ab的速度
v随时间t变化的图像可能是图中的()
3．如图所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落．如果线圈中受到的
磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为()
A．a1＞a2＞a3＞a4B．a1＝a2＝a3＝a4
C．a1＝a3＞a2＞a4D．a1＝a3＞a2＝a4
4．如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻
R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量
为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆
的速度会趋近于一个最大速度v m，则()
A．如果B增大，v m将变大B．如果α增大，v m将变大
C．如果R变小，v m将变大D．如果m变小，v m将变大
5．如图所示，有两根足够长、不计电阻、相距L的平行光滑金属导轨cd、ef与水平面成θ角固定放置，底端接一阻值为R的电阻，在轨道平面内有磁感应强度为B的匀强磁场、方向垂直轨道平面斜向上．现有一平行于ce、垂直于导轨、质量为m、电阻不计的金属杆ab，在沿轨道平面向上的恒
定拉力F作用下，从底端ce由静止沿导轨向上运动，当ab杆速度达到稳
定后，撤去拉力F，最后ab杆又沿轨道匀速回到ce端．已知ab杆向上和
向下运动的最大速度相等．求：拉力F和杆ab最后回到ce端的速度v。

6．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．
(1)在加速下滑过程中，当ab杆的速度为v时，求此时ab杆中的电流及
其加速度的大小．(2)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
7．如图9所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直．一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释
放．导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。

整个运动过程
中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻．求：
(1)磁感应强度的大小B；(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；
(3)流经电流表电流的最大值I m.
8．(2016·全国卷Ⅱ)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l 的金属杆置于导轨上。

t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。

t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区
域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。

杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始
终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。

重力加速度大小为g。

求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。

9．(2016·全国卷Ⅰ)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连。

两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。

右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上。

已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g。

已知金属棒ab匀速下滑。

求：(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小。

10．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L＝1 m，电阻R＝0.4 Ω，导轨上停放一质量m＝0.25 kg 、电阻r＝0.1 Ω的金属杆，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B＝0.25 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，现用一外力F沿水平方向
拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表的示数U随
时间t变化的关系如图乙所示。

(1)求金属杆运动的加速度；
(2)求第5 s末外力F的瞬时功率。

电磁感应第六节 （动力学问题）答案
【例题】 解：(1)导体棒达到最大速度v m 时受力平衡，有
F ＝F 安m ，
此时F 安m ＝B 2L 2v m R
， 解得v m ＝12.5 m/s.
(2)导体棒的速度v ＝5.0 m/s 时，
感应电动势E ＝BLv ＝1.0 V ，
导体棒上通过的感应电流大小I ＝E R
＝2.0 A ， 导体棒受到的安培力F 安＝BIL ＝0.4 N ，
根据牛顿第二定律，
有F －F 安＝ma ，
解得a ＝1.2 m/s 2.
【练习题组】
1．解析：导线框进入磁场的过程中，线框受到向左的安培力作用，根据E ＝BLv 、I ＝E R
、F ＝BIL 得F ＝B 2L 2v R
，随着v 的减小，安培力F 减小，导线框做加速度逐渐减小的减速运动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，根据F ＝B 2L 2v R
，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，所以选项D 正确．答案 D
2．ACD 解析 S 闭合时，若B 2L 2v R >mg ，先减速再匀速，D 项有可能；若B 2L 2v R
＝mg ，匀速，A 项有可能；若B 2L 2v R <mg ，先加速再匀速，C 项有可能；由于v 变化，B 2L 2v R
－mg ＝ma 中a 不恒定，故B 项不可能．
3．解析：线圈自由下落时，加速度为a 1＝g .线圈完全在磁场中时，磁通量不变，不产生感应电流，线圈不受安培力作用，只受重力，加速度为a 3＝g .线圈进入和穿出磁场过程中，切割磁感线产生感应电流，将受到向上的安培力，根据牛顿第二定律得知，a 2＜g ，a 4＜g .线圈完全在磁场中时做匀加速运动，到达4处时的速度大于2处的速度，则线圈在4处所受的安培力大于在2处所受的安培力，又知，磁场力总小于重力，则a 2＞a 4，故a 1＝a 3＞a 2＞a 4.所以本题选C 。

答案 C
4．解析：选B 金属杆从轨道上由静止滑下，经足够长时间后，速度达最大值v m ，此后
金属杆做匀速运动。

杆受重力、轨道的支持力和安培力如图所示。

安培力F ＝BLv m R
LB ，对金属杆列平衡方程式：mg sin α＝B 2L 2v m R ，则v m ＝mg sin α·R B 2L 2。

由此式可知，B 增大，v m 减小；α增大，v m 增大；R 变小，v m 变小；m 变小，v m 变小。

因此A 、C 、D 错误，B 正确。

5．解析：当ab 杆沿导轨上滑达到最大速度v 时，其受力如图所示：
由平衡条件可知：F －F B ＝mg sin θ①
又F B ＝BIL ②
而I ＝BLv R ③
联立①②③式得：F －B 2L 2v R －mg sin θ＝0④
同理可得，ab 杆沿导轨下滑达到最大速度时：
mg sin θ－B 2L 2
v R ＝0⑤
联立④⑤两式解得：F ＝2mg sin θ，v ＝mgR sin θ
B 2L 2
6．解析：(1) 当ab 杆速度为v 时，感应电动势E ＝BLv ，此时
电路中电流I ＝E R ＝BLv R
ab 杆受到安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2v R
根据牛顿第二定律，有
ma ＝mg sin θ－F 安＝mg sin θ－B 2L 2v R
a ＝g sin θ－B 2L 2
v mR .
(3)当a ＝0时，ab 杆有最大速度v m ＝mgR
sin θB 2L 2.
7．解析：(1)电流稳定后，导体棒做匀速运动，则有
BIL ＝mg
解得：B ＝mg IL
(2)感应电动势E ＝BLv
感应电流I ＝E R
解得v ＝I 2R mg
(3)由题意分析知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为v m
根据机械能守恒有12mv 2m ＝mgh
感应电动势的最大值E m ＝BLv m
感应电流最大值I m ＝E
m R
解得I m ＝mg 2gh IR
.
8．解：(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a ，由牛顿第二
定律得
ma ＝F －μmg ①
设金属杆到达磁场左边界时的速度为v ，由运动学公式有
v ＝at 0②
当金属杆以速度v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为
E ＝Blv ③
联立①②③式可得
E ＝Blt 0⎝⎛⎭⎫
F m －μg 。

④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I ，根据欧姆定律
I ＝E R
⑤ 式中R 为电阻的阻值。

金属杆所受的安培力为
f ＝BlI ⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得
F －μmg －f ＝0⑦
联立④⑤⑥⑦式得
R ＝B 2l 2t 0m。

⑧ 9．解析：(1)设导线的张力的大小为T ，右斜面对ab 棒的支持力的大小为N 1，作用在ab 棒上的安培力的大小为F ，左斜面对cd 棒的支持力大小为N 2。

对于ab 棒，由力的平衡条件得
2mg sin θ＝μN 1＋T ＋F ①
N 1＝2mg cos θ②
对于cd 棒，同理有
mg sin θ＋μN 2＝T ③
N 2＝mg cos θ④
联立①②③④式得
F ＝mg (sin θ－3μcos θ)。

⑤
(2)由安培力公式得
F ＝BIL ⑥
这里I 是回路abdca 中的感应电流。

ab 棒上的感应电动势为
ε＝BLv ⑦
式中，v 是ab 棒下滑速度的大小。

由欧姆定律得
I ＝εR
⑧ 联立⑤⑥⑦⑧式得
v ＝(sin θ－3μcos θ)mgR B 2L 2。

⑨ (2)(sin θ－3μcos θ)mgR B 2L 2 10． 解析：(1)U ＝ε·R R ＋r ＝BLvR R ＋r
，U ∝v ，因U 随时间均匀变化，故v 也随时间均匀变化，金属杆做匀加速直线运动。

k ＝ΔU Δt ＝Δv Δt ·BLR R ＋r ＝a ·BLR R ＋r
解得：a ＝k R ＋r BLR ＝0.4×0.4＋0.10.25×1×0.4
m/s 2＝2 m/s 2。

(2)F ＝F 安＋ma ＝BIL ＋ma ＝B 2L 2at R ＋r
＋ma ＝0.25t ＋0.5 P ＝Fv ＝(0.25t ＋0.5)at ＝17.5 W 。