中考数学第18讲相似三角形(含位似)

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中考复习：相似三角形的性质、图形的位似(共17张PPT)

典型例题评析
（2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC， AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论 (3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE 与 BC 交于点 E，BE： EC=2：3，点 D 在线段 AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断 AB、DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．．
回归课本
1.（2016.重庆市 A 卷）△ABC 与△DEF 的相似比为 1： 4 ，则△ ABC 与△ DEF 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 2．（2016.广西南宁）有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2 等于（） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 ．
巩固训练
1、（2017 毕节）如图，在正方形 ABCDAF=45°，将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落在点 E'处，则下列判断不正确的是（）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF 垂直平分 EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F 是等腰三角形 2. （2017 绥化）如图，△A′B′C′是△ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是 4：9，则 OB′：OB 为（）
随堂检测反馈
1．1.(2015·东莞)若两个相似三角形的周长比为 2∶3，则
它们的面积比是__ 2.(2015·沈阳)如图， △ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的，则 AB︰DE＝__． 3.(2015·酒泉)如图， D、 E 分别是△ABC 的边 AB、 BC 上的点， DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（） A． B． C． D．

《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （把比的前项、后项交换）3.更比性质（交换比例的内项或外项）：a b，（交换内项） cdcd c，（交换外项） db a d b．（同时交换内外项） ca4.合比性质：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1）此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质：如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0），那么知识点三：黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

中考数学专题复习《相似(含位似)》课件

知识点3：相似三角形
概对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形.相似三角形对应边的比叫念作相似比.
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例；性 2.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比质
.
13..平相行似于三三角角形形的一周边长的比直等线于和相其似他比两，边面相积交比，等所于构相成似的比三的角平形方与. 原三角形相似； 2.两组角对应相等的两个三角形相似；判 3.两边对应成比例且两边夹角相等的两个三角形相似；定 4.三边对应成比例的两个三角形相似； 5.两直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或
知识点5：图形的位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，概念对应边互相平行，那么这样的图形叫作位似图形，这个点叫做位
似中心，此时的相似比又称为位似比.
1.位似图形任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； 2.位似图形任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)；性质 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k.
知识点1：比例线段及性质
比例线段
比例 Байду номын сангаас项
比例的性
质
黄金分割：概念【温馨提示】一条线段上有两个黄金分割点
知识点2：平行线分线段成比例
图示
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，简称平基本
行线分线段成比例. 事实
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得推论的对应线段成比例.
作图步骤
(1)确定位似中心; (2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点; (3)描出新图形.

中考数学《相似三角形》知识点及练习题

相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

2.相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

3.相似三角形的判定平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。

两角法：两角分别相等的两个三角形相似。

边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。

4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE=1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B＝∠ACDB.∠ADC＝∠ACBC.AC CD ＝AB BCD.AC AD ＝AB AC5.如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为。

相似三角形ppt课件免费

构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师可以在设计过程中调整建筑物的比例和角度，使其在视觉上更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比例有关的问题，例如通过已知的两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平方，即如果两个三角形相似且相似比为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
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04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角形原理来实现透视效果。通过绘制不同比例的相似三角形，可以在平面上呈现

相似三角形ppt课件

∴DE=FC,∴

=

=

.

又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=

.

探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴

=

=

.

又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴

=
8
8+12
=

35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.

相似三角形的位似定理与位似点

相似三角形的位似定理与位似点相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但可能不同的大小。

在研究相似三角形时，我们需要掌握位似定理和位似点的概念，这些概念有助于我们在解题时进行推理和判断。

一、位似定理位似定理是研究相似三角形时最主要的定理之一，它表明相似三角形的对应角度相等。

具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

我们可以将位似定理表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

通过位似定理，我们可以利用已知信息来推导未知信息。

例如，如果我们知道两个三角形的某些角度相等，我们可以得出它们是相似的结论。

这种关系对于解决实际问题具有很大的帮助。

二、位似点位似点是指在两个相似三角形中，对应边上的点成比例。

也就是说，如果两个三角形的对应边上的点成比例，则它们是相似的。

我们可以将位似点表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有（AB/DE）=（AC/DF）=（BC/EF）。

位似点的概念能够帮助我们求解相似三角形中未知长度的边。

通过观察对应边上的点的比例关系，我们可以利用已知长度来推导出未知长度。

三、应用示例下面，我们通过一个具体的问题来应用位似定理和位似点的概念。

问题：在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 70°。

如果BC边的长度为8 cm，求出AB和AC边的长度。

解答：根据已知条件，我们知道∠B = 50°，∠C = 70°。

现在我们可以利用位似定理来判断三角形△ABC与另一个三角形是否相似。

假设△ABC与△DEF相似，根据位似定理，我们得出∠B = ∠E = 50°，∠C = ∠F = 70°。

根据题目要求，我们已知BC边的长度为8 cm。

现在我们可以利用位似点的概念来求解AB和AC边的长度。

根据位似点，我们可以得到（BC/EF）=（AB/DE）=（AC/DF）。

九年级数学下学期-相似三角形(图形的位似及应用)

位似多边形+应用1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【典型例题】【例1】下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B.21C.31 D.不知A B 的长度，无法判断【例2】如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是，△ABC 的周长是（结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．【变式1】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式2】在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式3】如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．用相似三角形解决问题要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点四、相似三角形的应用1.测量高度要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

相似三角形的应用与位似-九年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

相似三角形的应用与位似知识点一：相似三角形的应用：1.利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比和“在同一时刻物高与影长的比”的原理解决。

②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。

2.利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。

②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。

3.借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。

【类型一：利用相似求高度】1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．2．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF）3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【类型二：利用相似求高度】4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC ＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．如图，为了估算池塘的宽度AB，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且MN∥AB．经测量MN＝38m，CM＝21m，AM＝63m，求池塘AB 的宽度．6．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝30米，DC＝10米，EC＝11米，求河宽AB．【类型三：利用相似求其它】7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度EF＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？8．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．9．如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？小颖解得此题的答案为415，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？10．为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的Rt △ABC 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在Rt △ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．七年级为矩形AFPE部分，八九年级为△PEC和△BPF两部分．（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；（2）已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．（3）在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形AFPE部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．知识点一：位似：1.位似的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。

相似三角形完整版PPT课件

通过已知条件推导出新的相似关系，逐步构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析，寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论之间的关系，找到证明相似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以应用于等比数列的求和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。

2024年河北省中考数学一轮复习考点突破课件：相似三角形(含位似)

（2）AE=_______．
第六节相似三角形（含位似）
突
破
子题衍生 △ACE 与△BDE 的周长比为 __2_∶__3__；△BDE 与△ACE 的面积比为
重 ___9_∶__4__. 难
题
型
第六节相似三角形（含位似）
突
破
仿真再练一［2023·石家庄 47 中模拟］如下图，在 Rt△ABC 中，
第六节相似三角形（含位似）
■考点二相似三角形（多边形）的性质与判定（8 年 5 考）
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三
相角形对应边的比叫做相似比.
似
三
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相
角
交，所截得的三角形与原三角形⑨__相__似__.
形 2. ⑩___两__ 角对应相等的两个三角形相似.
相似三角形（含位似）
对接版本人教九下第二十七章 P23～59. 冀教九上第二十五章 P57～102. 北师九上第四章 P76～123.
第六节相似三角形（含位似）
■考点一比例线段的相关概念
线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.
比例线段：在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与
突
破
5 如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下
重的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
难
题
型
第六节相似三角形（含位似）
突
破
仿真再练二已知 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点 A 作一条直线，使其将
重 △ABC 分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（

相似三角形的应用及位似(讲义及答案).

相似三角形的应用及位似（讲义）➢课前预习一、读一读，想一想太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600 年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？➢知识点睛1.测量旗杆高度的方法：①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）2.影子上墙：、、是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC3.位似：①如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在直线都经过，且有，那么这样的两个多边形叫做，叫做．k 就是这两个相似多边形的相似比．②位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系；利用位似，可以将一个图形．③在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是，它们的相似比为．➢精讲精练1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺2.如图，若标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD 的水平距离DF=2 m，则旗杆的高度AB= ．3.如图，把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 m，观察者目高CD=1.6 m，则树的高度AB= ．4.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD 的中点，南门K 位于ED的中点，出东门15 步的A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点D 在直线AC 上）？请你计算KC 的长为步．6.周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E 与点C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥ AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．7.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16 米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5 米，FG=1.65 米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度．8.数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2 米，落在地面上的影长为2.4 米，则树高为．9.小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成30°角，且此时测得1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为（）A．9 米B．28 米C．(7 +3) 米D．(14 + 2 3) 米10.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6 m，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m，则塔高AB 为（）A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m1.如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，则缩小后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？12.如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，若以点C 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为．13. 在平面直角坐标系中，点 P (m ，n )是线段 AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（） A ．(2m ，2n )B ．(2m ，2n )或(-2m ，-2n )C ．( 1 m ， 1 n )D ．( 1 m ， 1 n )或( - 1 m ，- 1 n )2 22 2 2 214. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C (-1，-2)，D (-2，-1)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 CD 扩大为原来的 2 倍，得到线段 AB ，则线段 AB 的中点 E 的坐标为．【参考答案】➢课前预习一、由于太阳光是平行线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了两个等腰直角三角形．➢知识点睛一、相似三角形的实际应用2.推墙法；抬高地面法；砍树法3.①P，P′；同一点O；OP′=k·OP（k≠0）；位似多边形；点O；位似中心②放大或缩小③原点；|k|➢精讲精练1. B2. 13.5 m3. 5.6 m4. 120 m5. 2 000 36.河宽AB 为17 m．7.“望月阁”的高AB 的长度为99 米．8. 4.2 米9. D10.A11. A1(3，-1)，B1(5，3)，C1(3，-1)或A2(-3，1)，B2( -5，2 2 2 2 2 2-3)，C2( -3，1) 2 212. (4，6)或(0，-2)13. B14. (3，3)。

第五节相似三角形(含位似) 【九年级中考数学复习】

第2题图
A. 7
B. 7.5
C. 8
D. 8.5
命题点 2 相似三角形的性质及判定（均是在证明过程中涉及）
基础训练
3. (2019重庆A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，
CD＝2，则AB的长是( C )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条
(不与端点重合)，连接AD，DE，若∠ADE＝45°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AB＝4 2，BD＝1，求AE的长．
第7题图
【思维教练】(1)要证△ABD∽△DCE，由等腰直角三角形的性质可得一组角相
等且均为45°，由∠ADE＝45°，结合一线三等角模型可得另一组角相等，即
可得证；(2)要求AE的长，可通过求CE的长求解．由AB、AC的长可得BC的长，
线段成比例 . 平行线分线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或
两边的延长线）所得的对应线段成比例 )
返回思维导图
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例 . 相似三角形的性质 2.相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例 .
3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方)
2.相似三角形对应线段成比例
3.相似三角形的周长比
等于相似比，面积
1.相似多边形对
相似
比等于相似比的平方
应角相等，对应边相似多边三角形相似三角一般三角形
的比等于相似比形的性质（含位似）形的判定直角三角形
2.相似多边形的周
有平行截线--用
长比等于相似比，面

初中数学-相似三角形及位似

解:△BCP1∽△ BCP6
C
证明:∵∠C=90°,AC=8,BC=6
AB AC2 BC2 82 62 10
在△BCP1和△BCP6中 ∵∠B= ∠B BC2=36,
A P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 B
BP1·BP6=9×4=36 ∴BC2= BP1·BP6
BP6 BC BC BP1
3.相似三角形的性质: (1).相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,周长的比都等于相似比. (2).相似三角形的面积比等于相似比的平方.
(三).位似图形
两个相似多边形,如果对应顶点的连线相交于一点,这
样的相似叫位似.交点叫位似中心.
D1
D1
D
A
A1
A1
D
A
O O
B
C
B1
B
C
B1
CF CE BF AE
CF DH BF DB
∵BD DA
CF DH BF DA
∵ DH CE DA EA
CF CE BF AE
注:解此题运用了平行线中8字型,A字型中的比例，此题还有四种证法
6.如图,在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,将 AB十等分,P1, P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9为分点,分别连结C与各分点,请你在图中找出一对相似三角形,并说明理由.
注：解此题运用了梯形中位线性质，梯形问题转化为三角形问题的方法,记住两个结论。
4.如图在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,M,N分别
是AB,AC边的中点，F,E是BC边上的点,且EF=5cm,
则阴影部分的面积为 30cm2

相似三角形ppt初中数学PPT课件

在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。

相似三角形PPT课件

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利用相似三角形的性质，通过已知三角形的面积和相似比求解未知三角形的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角形和未知三角形分别对应相似三角形的对应边和对应高，从而求解未知三角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角形的性质求解其体积。例如，对于两个相似的棱锥，其体积之比等于其对应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度等问题。

【中考数学考点复习】第五节相似三角形(含位似)课件

似
2．位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点
性质 3．位似图形对应边平行(或共线)且成比例
4．位似图形对应角相等
5．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，类似比为k，那
么位似图形对应点的坐标比为__k_或__－__k__
第五节类似三角形(含位似)
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比例的性质
1．已知a6＝b5＝4c，且 a＋b－2c＝6，则 a 的值为
DE∥BC，找∠ADE＝ ∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C
解题 ∠B或∠AED＝∠C
思路
结论 △ADE∽△ABC
射影定理型
△AED∽△ABC 射影定理型：△ACD∽△CBD∽△ABC， CD2＝AD·BD
第五节类似三角形(含位似)
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4. 如图，在▱ ABCD中，点E在边AD上，且AE＝ED，连接BE并延长交
上的动点，以 O 为圆心作半径为 1 的圆，若该圆与△ABC 重叠部分的面
积为π，则 OC 的最小值为
．
第 6 题图
第五节类似三角形(含位似)
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【思维教练】利用勾股定理可得AB的长，根据⊙O的面积及⊙O与 △ABC重叠部分的面积可判断出此圆全部在△ABC内，当⊙O与BC相切时，OC取最小值，利用相似三角形的判定及性质，即可求出OC的最小值.
结论
△AOB∽△DOC
△AOB∽△COD
3.燕尾型：即AB与CD不平行，且 4.三平行型：即AB∥EF∥CD 有公共角∠E，找∠A＝∠C或解题 ∠ABF＝∠CDF 思路
△ABF∽△CDF，结论
△ADE∽△CBE
△AFB∽△CFD， △CEF∽△CBA， △BEF∽△BCD
第五节类似三角形(含位似)

2021年九年级中考数学一轮复习18 相似三角形(含位似)

18 相似三角形(含位似)基础巩固1．(2020·毕节)已知a b ＝25，则a ＋b b 的值为( )A.25B ．35C ．75D ．232．(人教九下P36练习2改编)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则下列说法中错误的是( )第2题图A ．△ACD ∽△CBDB ．△ACD ∽△ABC C ．△BCD ∽△ABC D ．△BCD ∽△BAC3．已知△ABC ∽△A ′B ′C ，AB ＝8，A ′B ′＝6，则△ABC 与△A ′B ′C 的周长之比为( )A.916 B ．34C ．43D ．1694．(创新题)(2020·金昌)生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为2米，则a 约为( )第4题图A ．1.24米B ．1.38米C ．1.42米D ．1.62米5．(2020·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )第5题图A.AE EC ＝EF CD B ．EF CD ＝EG ABC.AF FD ＝BG GCD ．CG BC ＝AF AD6．(2020·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点为O (0,0)，A (4,3)，B (3,0)．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似之比为13的位似图形△OCD ，则点C 的坐标为( )第6题图A ．(－1，－1)B ．(－43，－1)C ．(－1，－43)D ．(－2，－1)7．(2020·铜仁)已知△FHB ∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，则EA 的长为( )A ．3B ．2C ．4D ．58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E 在BC 边上，DF ⊥AE ，垂足为F .若DF ＝6，则线段EF 的长为( )第8题图A ．2B ．3C ．4D ．59．(2020·潍坊)如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE ＝12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F .若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为( )第9题图A ．21B ．28C ．34D ．4210．(2020·昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC )，使得△ADE ∽△ABC (同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有( )第10题图A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个11．(2020·永州)如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE EB ＝23，四边形BCFE 的面积为21，则△ABC 的面积是( )第11题图A.913 B ．25 C ．35D ．6312．(2020·云南)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则△DEO 与△BCD 的面积的比等于( )第12题图A.12 B ．14C ．16D ．1813．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝13，BC＝12，则DE的长是( )第13题图A．3B．4C．5D．614．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，写出图中的相似三角形________.第14题图15．(2020·盐城)如图，BC∥DE，且BC<DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则AEAC的值为_____.第15题图16．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形DEFG，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为______.第16题图17．(数学文化)(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E.如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为___米．第17题图18．(2020·上海)已知，如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .第18题图(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF . 能力提升1．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .若AF ＝2FD ，则BEEG 的值为( )第1题图A.12 B ．13C ．23D ．342．(2020·黔东南)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2, BC ＝2，E 为CD 的中点，连接AE ，BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝ .第2题图3．(2020·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB .(1)求证：△BDE ∽△EFC .第3题图(2)设AF FC ＝12.①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．中考预测1．已知两个相似三角形的相似比为4∶9，则这两个三角形的对应高的比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．16∶81D ．9∶42．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F .若BF ＝10，则AB 的长为( )第2题图A ．12B ．10C ．8D ．53．如图，已知AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，BC ＝4，AB ＝3，CD ＝9，则△BED 的面积是( )第3题图A.13 B ．49C ．43D ．924．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F .若BF ＝10，则AB 的长为( )第4题图A ．12B ．10C ．8D ．55．如图，已知AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，BC ＝4，AB ＝3，CD ＝9，则△BED 的面积是( )第5题图A.13 B ．49C ．43D ．926．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B .(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．第6题图18 相似三角形(含位似)基础巩固1．(2020·毕节)已知a b ＝25，则a ＋b b 的值为( C )A.25B ．35C ．75D ．232．(人教九下P36练习2改编)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则下列说法中错误的是( C )第2题图A ．△ACD ∽△CBDB ．△ACD ∽△ABC C ．△BCD ∽△ABC D ．△BCD ∽△BAC3．已知△ABC ∽△A ′B ′C ，AB ＝8，A ′B ′＝6，则△ABC 与△A ′B ′C 的周长之比为( C )A.916 B ．34C ．43D ．1694．(创新题)(2020·金昌)生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为2米，则a 约为( A )第4题图A ．1.24米B ．1.38米C ．1.42米D ．1.62米5．(2020·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( C )第5题图A.AE EC ＝EF CD B ．EF CD ＝EG AB C.AF FD ＝BG GCD ．CG BC ＝AF AD6．(2020·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点为O (0,0)，A (4,3)，B (3,0)．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似之比为13的位似图形△OCD ，则点C 的坐标为( B )第6题图A ．(－1，－1)B ．(－43，－1)C ．(－1，－43)D ．(－2，－1)7．(2020·铜仁)已知△FHB ∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，则EA 的长为( A )A ．3B ．2C ．4D ．58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E 在BC 边上，DF ⊥AE ，垂足为F .若DF ＝6，则线段EF 的长为( B )第8题图A ．2B ．3C ．4D ．59．(2020·潍坊)如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE ＝12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F .若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为( C )第9题图A ．21B ．28C ．34D ．4210．(2020·昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC )，使得△ADE ∽△ABC (同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有( C )第10题图A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个11．(2020·永州)如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE EB ＝23，四边形BCFE 的面积为21，则△ABC 的面积是( B )第11题图A.913 B ．25 C ．35D ．6312．(2020·云南)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则△DEO 与△BCD 的面积的比等于( B )第12题图A.12 B ．14C ．16D ．1813．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( B )第13题图A．3B．4C．5D．614．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，写出图中的相似三角形△ACD∽△CBD∽△ABC.第14题图15．(2020·盐城)如图，BC∥DE，且BC<DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则AEAC的值为2.第15题图16．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形DEFG，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为.第16题图17．(数学文化)(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E.如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．第17题图18．(2020·上海)已知，如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.第18题图(1)求证：△BEC∽△BCH；(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF＝∠BCE.∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H.∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.(2)∵BE2＝AB·AE，∴BEAB＝AEEB.∵AG∥BC，∴AEBE＝AGBC，∴BEAB＝AGBC.∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF.能力提升1．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则BEEG的值为( C )第1题图A.12 B ．13C ．23D ．342．(2020·黔东南)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2, BC ＝2，E 为CD 的中点，连接AE ，BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝.第2题图3．(2020·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB .(1)求证：△BDE ∽△EFC .第3题图(2)设AF FC ＝12.①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积． (1)证明：∵DE ∥AC ， ∴∠DEB ＝∠FCE . ∵EF ∥AB ， ∴∠DBE ＝∠FEC ， ∴△BDE ∽△EFC . (2)解：①∵EF ∥AB ， ∴BE EC ＝AF FC ＝12.∵EC ＝BC －BE ＝12－BE ， ∴BE 12－BE ＝12，解得BE ＝4. ②∵AF FC ＝12，∴FC AC ＝23， ∵EF ∥AB ， ∴△EFC ∽△BAC ， ∴S △EFC S △ABC ＝(FC AC)2＝(23)2＝49，∴S △ABC ＝94S △EFC ＝94×20＝45.中考预测1．已知两个相似三角形的相似比为4∶9，则这两个三角形的对应高的比为( B ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．16∶81D ．9∶42．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F .若BF ＝10，则AB 的长为( C )第2题图A ．12B ．10C ．8D ．53．如图，已知AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，BC ＝4，AB ＝3，CD ＝9，则△BED 的面积是( D )第3题图A.13 B ．49C ．43D ．924．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F .若BF ＝10，则AB 的长为( C )第4题图A ．12B ．10C ．8D ．55．如图，已知AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，BC ＝4，AB ＝3，CD ＝9，则△BED 的面积是( D )第5题图A.13 B ．49C ．43D ．926．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B .(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．第6题图(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠ADF ＝∠CED ，∠B ＋∠C ＝180°. ∵∠AFE ＋∠AFD ＝180°，且∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC .(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFDC，即63DE＝438，∴DE＝12.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD.在Rt△ADE中，∵∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝63，∴AE＝DE2－AD2＝122－(63)2＝6.。

第18节相似三角形-中考数学一轮知识复习课件

4．(位似图形)在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0).以原点 O 为位似中心，
相似比为13 ，把线段 AB 缩短，则点 A 的对应点 A'的坐标为__(_2_，_1_)_或_(_－__2，__－__1)__．
知识清单
线段的比和比例线段 1．线段的比：两条线段__长_度___的比叫做两条线段的比．注意：求两条线段的比，要求长度单位相同；线段的比与选用的长度单位无关． 2．对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比__等__于__另外两条线段的比，就说这四条线段是成比例线段．
＝6－6－32x －38 x2＝－38 x2＋32 x.
当 x≥2 时，S 随 x 增大而减少．
与 AC 交于点 G，则相似三角形共有( C )
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
针对训练 6．(2019·凉山州改编)如图，∠ABD＝∠BCD＝ 90°，DB 平分∠ADC，过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于点 M.连接 CM 交 DB 于点 N.求证：BD2＝AD·CD.
证明：∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB. 且∠ABD＝∠BCD＝90°. ∴△ABD∽△BCD. ∴ABDD ＝BCDD . ∴BD2＝AD·CD.
4．(2020·宁夏)在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4， 1)，C(1，1).
(1)画出△ABC 关于 x 轴成轴对称的△A1B1C1； (2)画出△ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1∶2 的△A2B2C2.
解：(1)(2)如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
(2)若AADC ＝37 ，求FAGF 的值．