重庆中考数学第18题专题1几何部分
2018重庆中考几何专题1学生版.docx
25.在AABC中，以AB为斜边，作直角AABD,使点D落在AABC内，ZADB=90°.H A图1 图2 图3(1) 如图1,若AB=AC, ZBAD=30°, AD二6馅，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM,求线段PM的长；(2) 如图2,若AB=AC,把AABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到AACE,连接ED 并延长交BC于点P,求证：BP=CP且ZADE=75°.25.在厶ABC屮，AB=AC,点D,点E在边BC上不同的两点,(1)如图1,若ZBAC=90°, CDf/耳求BC 的 2；(2)如图2,若ZBAC=90°, ZEAD=45°,求证：DCr/^BE；25. (1)如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的屮点，点E、F分别在AB、AC 边上，且ZEDF二90。
，连接AD、EF,当BO5典，FO2时，求EF的长度；(2)如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且ZEDF=90°； M 为EF 的中点，连接CM,当DF//AB 时，证明：3ED二2MC；图225.在Z\ABC中，AB二AC,点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF,使菱形CDEF 与点A在BC的同侧，连结BE,点G是BE的中点，连结AG、DG.(1)如图①，当ZBAOZDCF二90°时，已知AC二3血，CD二2,求AG的氏度；(2)如图②，当ZBAC二ZDCF二60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；25.如图，四边形ABCD为矩形，连接AC, AD=2CD,点E在AD边上.(1)如图1,若ZECD=30° , CE二4,求Z\AEC 的面积；・(2)如图2,延长BA至点F使得AF二2CD,连接FE并延长交CD于点G,过点D作DH丄EGEDGC25.己知四边形ABCD为菱形，连接BD,点E为菱形ABCD外任一点.图1 图2 图3(1)如图(1),若ZA二45° , AB=V6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE, AD交于点F, •求DE的长.(2)如图(2),若2ZAEB=180° - ZBED, ZABE二60°,求证：BOBE+DE已知在LABC中，乙4^0=45°,过:点C作CD丄A5干点D, ZACD=^BDE,过点占作恥丄交加干点E.⑴如图4若眈=3私=，求40的长；2⑵如图2,过点C作少丄干点化点G是巧C中点，求证：ZC^G=45°；己知在中，ZABC=45\过点C作CD丄40于点D, AACD=^BDE t过点尸作庞丄4万交DE千点E.⑴如图1,若BG=3,BE =求人C的长;(2如图2,过点c作铮丄a于点兀点G是召C中点，求证：FC = j2FG+DF;2•如国，P为正方形ABCDi^BC M-点.BG1AP于点&在朋的延£线上取点臥使AG= GE,连^BS, CE.(1)如国1，咅正方形的逍辰为㊇、P"•求0G的£度：(2)如因2・当P点为方C的中点时，求证：CE』BG ：AN(3)如图3, ZCBE的平分线交直E干N点，连接DN,请直接写出河‘的値。
2019中考数学高频考点剖析专题18平面几何之等腰(边)三角形问题—原卷
备考2019中考数学高频考点剖析专题十八平面几何之等腰（边）三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。
结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨：（1）等腰三角形性质与判定；（2）等边三角形性质与判定；（3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题．考点剖析☆典型例题例1（2018?湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A．20° B．35° C．40°D．70°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．例2（2018?广安？8分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．【解答】解：（1）如图（1）所示：（2）如图（2）所示：（3）如图（3）所示；（4）如图（4）所示．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．例4（2017?乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴，同理．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB 延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．考点过关☆专项突破类型一等腰三角形性质与判定1.（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B． C． D．22. （2018·四川省攀枝花·３分）如图，等腰直角三角形的顶点 A.C分别在直线 A.b上，若a∥b，∠1=30°，则∠２的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°3. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC 与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确4. （2018?山东枣庄?3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5. （2018?江苏扬州？3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?MEA．①②③ B．① C．①② D．②③6. （2018?山东淄博?4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．7. （2018四川省泸州市3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．8.（2018?山东淄博?9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．类型二等边三角形性质与判定1. （2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E 作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．92．（2018?天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．3．（2018?黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n= ．4.（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．5.（浙江衢州）问题背景如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c 满足的等量关系．类型三等腰（边）三角形的其他问题的综合考查1．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④2．（2016·湖北武汉·３分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2016·湖北荆门·３分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或114. （2016·黑龙江齐齐哈尔·３分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．5. 在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）（1）求证：∠BAD=∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）6. 如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．（1）求证：△CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．7. （2016·山东省菏泽市·３分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．8. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．。
重庆中考数学第18题专题1(几何部分)汇编
重庆中考数学第18题专题1（几何部分）1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。
7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为.9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。
2021重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析) (1)(1)
2021 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点 C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．例3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为．练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH．点E 在运动过程中，HF 的最小值为．AGE DH例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．例7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9 .例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB＝2，AB AC ，∠D＝60°，点P、Q 分别是AC和BC 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点M、点N 分别在BD、BC 上，则CM+MN 的最小值为．例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是．例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE 面积的最大值为.例4、（2019 秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE 的面积的最大值为．5例5、（2018 秋•西安期末）如图，△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点，以CD 为边在AD 的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE 面积的最大值为．例6、（2013 春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为射线BC 上一动点，以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．当点D 在线段BC 上时，若BC＝2，CF 交DE 于点P，连接AP，则△ACP 的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E 是AB 边上一点，且AE＝4，点F 是EC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积最小时，BF 的长度为．2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是解：取线段AC 的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD 和△ECG 中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时CD＝．练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是2﹣．解：如图，在AC 上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD 是等腰直角△ABC 的对称轴BC，∵CD＝CG，又∵CE 旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF 和△GCE 中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，EN 2 +NB2(8 -x)2 +x22(x - 4)2 ) + 32∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2 ﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2 ＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E 作EM⊥CD 于M，过点E 作EN⊥CB 于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，∴BE ===，∴当x = 4 时，BE 的值最小，最小值为．练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．解：如图，过点F 作FM⊥AB 于M，过点G 作GH⊥AD 于H，GN⊥AB 于N，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN 是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG ，∴EG ＝EF ，∠GEF ＝90°，∴∠NEG +∠FEM ＝90°，且∠NGE +∠NEG ＝90°，∴∠FEM ＝∠NGE ，且∠N ＝∠FME ＝90°，EF ＝EG ，∴△EGN ≌△EFM （AAS ）∴NE ＝MF ＝2，EM ＝NG ，设 AE ＝CF ＝a ，∴EM ＝2﹣2a ＝NG ＝AH ，AN ＝2﹣a ＝GH ，∴HD ＝AD ﹣AH ＝2﹣（2﹣2a ）＝2a ， ∵GD ＝∴当 时，GD 有最小值，例 3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，以 CE 为边，在 CE 的右侧构造正方形 CEFG ，连结 AF ，则 AF的最小值为 3．解：过 F 作 FH ⊥ED ，∵正方形 CEFG ，∴EF ＝EC ，∠FEC ＝∠FED +∠DEC ＝90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FED +∠EFH ＝90°，∴∠DEC ＝∠EFH ，且 EF ＝EC ，∠FHE ＝∠EDC ＝90°，∴△EFH ≌△EDC （AAS ），∴EH ＝DC ＝2，FH ＝ED ， ＝＝∴当 AE ＝1 时，AF 的最小值为 3练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形 ABCD 中，AB ＝4，点 E 为边 AD 上一动点，连接 CE ，以 CE 为边， 作正方形 CEFG （点 D 、F 在 CE 所在直线的同侧），H 为 CD 中点，连接 FH ．点 E 在运动过程中， HF 的最小值为．A GBC图 1EDH解：如图1，连接DF，过点F 作FM⊥AD，交AD 延长线于点M，过点F 作FN⊥CD 的延长线于点N，∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM 是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH 中＝＝∴当x＝3 时，HF 有最小值＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD 中，AB＝2 ，O 是BC 边的中点，∴OC＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P 三点共线时，PE 最小＝＝5 ，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF 的最小值是﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．解：连接OD，如图所示DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则EC＝1+＝，CG 的最小值．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+ EC＝＝，故CG 的最小值为：．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．解：如图，作AH⊥y 轴于H，CE⊥AH 于E．则四边形CEHO 是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x 则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM 有最小值，最小值为．x 2+ (8-x )2 25 x 2 - 4x + 16 4 练习：在平面直角坐标系中，已知 A （4，8）、P （2，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造△ABC ，使点 C在 x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为．解：如图，作 AH ⊥y 轴于 H ，CE ⊥AH 于 E ．则四边形 CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8，∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴ ＝ ，∴ 4 = BH ，8 AE ∴AE ＝2BH ，设 BH ＝x 则 AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ，∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ， 8 - x），∵P （2，0），2∴ PM = = =∴当 x = 8 时，PM 有最小值 4 30．5 5例 7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6，BC ＝8，点 E 是边 AD 上一点，以 CE 为直角边在与点 D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结 BG ，当点 E 在边 AD 上运动时，线段 BG 长度的最小值是解：如图作 GH ⊥BA 交 BA 的延长线于 H ，EM ⊥HG 于 M ，交 BC 于 N ．则 MN ⊥BC ．设 AE ＝m ．∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6， 在 Rt △BHG 中＝＝，∴当 m ＝4 时，BG 有最大值，最大值为．5 (x - 8)2 + 96 4 5 5练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 5 ．解：如图所示：过点D 作DG⊥OA，过点E 作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF 为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED 和△GDA 中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2 时，OE 有最小值，最小值为．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为 6 ．解：以BD 为直角边在BD 上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又．∵E 点运动轨迹是以E 为圆心，DE＝2 为半径的圆，∴C 点运动的轨迹是以O 为圆心为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC 最大值为+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．解：作点F 关于AD 的对称点G，过G 作GN⊥AE 与N，交AD 于M，则GN 的长度等于MN+MF 的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2 ，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2 ．∴MN+MF 的最小值．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9.解：由已知，点G 在以B 圆心，1 为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C′，连接C′B，交AD 于H，交以D 为圆心，以1 为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C′B 的值最小，则GH+CH 的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为AP解：如图，作点B 关于 AC 的对称点 B ′，过点 B ′作 B ′F ⊥BC 于 F ，交 AC 于 E ，连接 CB ′交 AD于 P ，连接 BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠PAC ，∵点 B 关于 AC 的对称点是 B ′，∴∠PCA ＝∠BCA ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∴PA ＝PC ．令 P A ＝x ，则 PC ＝x ，PD ＝4﹣x ．在 Rt △CDP 中，∵PC 2＝PD 2+CD 2，∴x 2＝（4﹣x ）2+22，∴x ＝2.5， ∵co s ∠B ′CF ＝co s ∠CP D ，∴CF ：B ′C ＝DP ：CP ，∴CF ：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B ′F ＝＝，∴BE +EF 的最小值为． 练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB ＝2， AB ⊥ AC ，∠D ＝60°，点 P 、Q 分别是 AC 和 BC 上的动点，在点 P 和点 Q 运动的过程中，PB +PQ 的最小值FDBC解：作点 B 关于 AC 的对称点 F ，连接 CF ，作 FQ ⊥ BC 交 AC 于点P ，则 FQ 的长即为 PB +PQ 的最小值（垂线 段 最 短 ）， 易 知 △BCF 是 等 边 三 角 形 ，∴BP +PQ 的 最 小 值 为． 2 、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点 M 、点 N 分别在 BD 、BC 上，则 CM +MN 的最小值为．解：如图，作出点C 关于BD 的对称点E，过点E 作EN⊥BC 于N，交BD 于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN 最小；∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，在Rt△BCF 中＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN 中＝；即：CM+MN 的最小值；例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.解：如图，取AB 的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD 交CD 的延长线于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG，易知B，E 关于射线NG 对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH 中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH 中＝2 ，∴GB+GC≥2 ，∴GB+GC 的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是2 ．解：如图，作ME⊥AD 交AB 于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB 于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE 是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C 共线时，N′B+N′C 的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF 中，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF 中＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为解：延长AD 到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM 的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE 中）2＝x2，解得，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为解：作点C 关于AB 的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C 与点P 关于AB 对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2 是定值，∴当E、F、P、H 四点共线时，PF+PH 值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC 的最小值为8．练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是 4 ．解：如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1 是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．解：如图，过点E 作EH⊥BC 于点H．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE 且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE 是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC 时，AF+EF+CG 的值最小，即EG＝1 时，AF+EF+CG 的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．如图作BH⊥OH 于H．设点C 的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则+，BO+BA 的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x 上寻找一点P（m，m），使得点P 到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M 关于直线y＝x 的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝，故：BO+BA 的最小值．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．解法一：如图，作点D 关于BC 的对称点G，连接BG，在BG 上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB 交AB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD 中＝5，由△BHM∽△DBC，可＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH 中，AH＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF 的最小值．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90°∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE 中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF 中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、，﹣）三点共线时，AE+AF 值最小，就是点（0，3）、，﹣）之间的距离，＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是﹣+3 ．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC 周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C 三点共线时，A′P+PC 有最小值，是AC 的长，∴AC 与MN 的交点就是点P，由勾股定理得＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C 三点共线时，A′C 有最小值，此时，∵M 是AD 的中点＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC 周长的最小值是：+3 ，例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD 于H，连接，∴PB＝＝，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝22 + (4 3)2 E F32 +42FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝10+BA ′，∴当 BA ′的周长最小时，△BFA ′的周长最小 ﹣8，∴BA ′的最小值为 ﹣8，∴△BFA ′的周长的最小值为 ﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，∠A ＝60°，P 是射线 AD 上一点，连接 PB ，沿 PB 将△APB 折叠，得△A 'PB ．当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A ，B 重合的一个动点，将△APF 沿 PF 折叠，得到△A 'PF ，连接 BA '，则△BA 'F 周长的最小值为 ．解：如图，作 BH ⊥AD 于 H ，连接，∴ PB = = = 2 ，由翻折可知：PA ＝PA ′＝6，FA ＝FA ′，∴△BFA ′的周长＝FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝8+BA ′，∴当 BA ′的最小时，△BFA′的周长最小，∵BA ′≥PB ﹣PA ′，∴BA ′≥ 2 ﹣6，∴BA ′的最小值为2 ﹣6，∴△BFA ′的周长的最小值为 8+ 2 ﹣6＝ 2 +2．四、四边形周长最小值问题例 1、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点 E ，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E 右侧）， 且 EF ＝1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 10 ．AMBDCN解：在 AB 上截取 AM ＝EF ，作点 M 关于直线 DC 的对称点 N ，连接 BN 交 CD 于 F ，此时四边形 AEFB的周长最小．四边形 AEFB 的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+ ＝10，PH 2 + BH 2 13 13 13 13 13练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G解：∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点F 关于CD 的对称点F′，连接F′H 交CD 于点G，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD 于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C 四边形．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G 交BC 于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，EF＝E'F，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF 面积＝，∴当x＝1 时，△CEF 面积的最小值．例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．解：（方法一）过点 F 作FM⊥AD 延长线于点M，令EF 与CD 的交点为N 点，如图所示．则CN•ME．∵四边形ABCD 为正方形，四边形BEFG 为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE≌△MEF（ASA）．∴MF＝AE，ME＝AB．∵CD⊥AD，FM⊥AD，∴ND∥FM，∴△EDN∽△EMF，∴．设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝2﹣x，EM＝AB＝2，MF＝AE＝x，∴DN＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤．∴CN＝CD﹣DN≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值CN•ME＝××2＝．（方法二）连接CG，如图所示．在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）．设AE＝x，则BE2＝AB2+AE2＝4+x2，∴S 正方形BEFG＝BE2＝4+x2．∴S△CEF+S BCG＝S 正方形x2，∴S△CEF＝S 正方形x2﹣S△ABE＝2+x2﹣x＝（x﹣1）2+，当x＝1 时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE面积的最大值为.解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．5。
最新重庆中考数学第18题专题(几何部分)
重庆中考数学第18题专题（几何部分）1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。
7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为.9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF 于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E 在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。
重庆中考数学第18题专题训练(含答案)
重庆中考18题专题训练1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料,A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等,则切下的一块重量是 .解:设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a,b,= ，整理得（b-a)x=6(b —a ），x=63。
设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤,乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析:设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤,乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解:设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解:设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨． , =, 解得x=240．故答案为：240．5。
2020重庆中考复习数学第18题专题训练八(含答案)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练（含答案）例1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．练习：在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为．例2、如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC 一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．练习：1、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．参考答案解析例1、（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝6，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADO+∠CDP＝90°，且∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠CDP，且∠PCD＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴，设OD＝x，则CD＝6﹣x（2≤x≤6），∴，∴PC＝﹣（x﹣3）2+，∴CP的最大值为，练习：（2016春•武汉校级月考）在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为1．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝4，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴＝，设OD＝x，则CD＝4﹣x（1≤x≤4），则＝，即PC＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，PC最大＝1，例2、（2017•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA ＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF 的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAF中，，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴由勾股定理得AQ＝CQ＝4．设CD＝x，∴DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴，∴．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1．∴当x＝2时，CP有最大值1．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，可证△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝2，∴由勾股定理可求得AQ＝CQ＝2．设CD＝x，∴DQ＝2﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴＝，∴＝．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+．∴当x＝1时，CP有最大值．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点P在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．练习：如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB 为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．解：以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可得△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为2．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点C在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．。
2020重庆中考复习数学第18题《七类最值问题的求解策略》
2020重庆中考复习第18题《七类最值问题的求解策略》类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段.EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．2、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .A类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．3、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .A例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．例5、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，若AC ＝AD ，且∠ACD ＝60°，则对角线BD 的长的最大值为 ．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为 ．练习:如图，在矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为 .类型七：利用基本不等式求最值参考答案类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，（即将△EAF绕点E逆时针旋转60°得△ENG）作EH ⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC ＝＝22、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .AA解：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB +GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP∠+PBC,∴∠DBE∠+PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝.练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是．解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，CG的最小值为．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC ＝＝，故答案为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．F解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动,将△EFB绕点E旋转45°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CM⊥HG，则CM即为CG的最小值，作EN⊥CM，可知四边形HENM为矩形，则CM＝MN+CN＝HE EC＝123、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB 上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ） ∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线， ∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝4，HM ⊥AD ， ∴EM ＝2，MH ＝EM ＝2，∴线段GD 长度的最小值为2，类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .AA解：过E 作EF ⊥AC 于点F . 则∠EFD ＝90°，∵090ACB ∠=，∴∠EFD=∠C ，∵ED=DB ，∠FED =∠CDB ，∴△EFH ≌△EDC ， ∴DF ＝CB =2，EF CD =，设AD x =，则2AF x =+，5EF CD x==-， ∴AE ===32x =时，AE 有最小值2. 例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．解：过A 作AM ⊥BC 于M ，EN ⊥AM 于N ，如图，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，∴∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE ＝∠ADM ， 易证得Rt △AMD ≌Rt △ENA ，∴NE ＝AM ，∵∠ACB ＝45°，∴△AMC 为等腰直角三角形，∴AM ＝MC ，∴MC ＝NE ，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC＝90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF＝90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴＝，设DC＝x，∵∠ACB＝45°，，∴AM＝CM＝3，MD＝3﹣x，∴＝，∴CF＝﹣x2+x，∴当x＝1.5时有最大值，最大值为0.75．例5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3 .2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中，∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝2＝1，∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CA解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF ⊥BC，∴BF ＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE ≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．解法一：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°， ∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD ＝120°，∴A ′B ′＝CD ，A ′B ′∥CD ， ∴四边形A ′B ′CD 是平行四边形，∴A ′D ＝B ′C ，∴A 'C +B 'C 的最小值＝A ′C +A ′D 的最小值，∵点A ′在过点A 且平行于BD 的定直线上， ∴作点D 关于定直线的对称点E ，连接CE 交定直线于A ′，则CE 的长度即为A 'C +B 'C 的最小值，∵∠A ′AD ＝∠ADB ＝30°，AD ＝1，∴∠ADE ＝60°，DH ＝EH ＝AD ＝，∴DE ＝1，∴DE ＝CD ，∵∠CDE ＝∠EDB ′+∠CDB ＝90°+30°＝120°，∴∠E ＝∠DCE ＝30°，∴CE ＝2×CD ＝．解法二：练习:如图，在矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为 .解法一： 解法一：解法三： 解法四：类型七：利用基本不等式求最值解：原式=1111+12a a++⨯=11+12a a a ++=2222+32a a a a +++=2232+32a a a a a ++-+=21+32aa a -+=112+3a a -+12a a +≥ ，1+35a a ∴+≥，1513a a ∴≤++，1513a a ∴-≥-++， 1142+3a a∴-≥-+.当2a a =，即a =时有最小值4-，此时2b =.。
2018年重庆中考复习：重庆中考几何题分类汇编(含答案).docx
重庆中考几何题分类汇编(含答案)类型1线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1如图Z3-1,在ZXABC中，AB=AC, CM平分ZACB交AB于在AC的延长线上截取CN=BM,连接MN交BC于P,在CB的延长线截取BQ = CP,连接MQ.(1)求证:MQ = NP；(2)求证:CN=2CP.针对训练:1. 如图Z3-2,在口ABCD中，AC丄BC,点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC=AE = CF,连接CE、AF、EF.⑴若ZABC=35°,求ZEAF的度数;(2)若CE丄EF,求证：CE = 2EF.2.己知，在ZXABC中，AB=AC, ZBAC=90° , E为边AC任意一点，连接BE.(1)如图①，若ZABE=15° , 0为BE中点，连接A0,且AO=1,求BC的长；(2)如图②，F也为AC上一点，且满足AE = CF,过A作AD丄BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG.若AG平分ZCAD,求证：AH=|A C.B C3.在ZXACB 中，AB=AC, ZBAC=90°，点D 是AC 上一点，连接BD,过点A 作AEXBD 于E,交BC 于F. ⑴如图①,若AB= 4, CD=1,求AE的长;(2)如图②，点G是AE上一点，连接CG,若BE = AE+AG,求证：CG=^AE.① ②4.在等腰直角三角形ABC中，ZBAC = 90° , AB = AC, D是斜边BC的中点，连接AD.⑴如图①，E是AC的中点，连接DE,将ZXCDE沿CD翻折到ZXCDE',连接AE',当AD=托时，求AE' 的值.(2)如图②，在AC上取一点E,使得CE=|A C,连接DE,将Z\CDE沿CD翻折到Z\CDE',连接AE'交BC 于点F,求证：DF=CF.E' E r类型2线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2如图，在ZXABC中，ZBAC=90°,在BC上截取BD=BA,连接AD,在AD左侧作ZEAD=45°交BD于E. ⑴若AC=3,则CE= _____________________________________ (直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM=AN,连接EM、DN,若ZAME+ZAND = 180°,求证：DE = DN+ME；⑶如图②，过E作EFXAE,交AD的延长线于F,在EC上选取一点H,使得EH = BE,连接FH,在AC上选取一点G,使得AG=AB,连接BG、FG,求证：FH = FG.A 4① ②针对训练：1.如图23 — 7,在口ABCD中，AE丄BC于E, AE=AD, EGXAB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF⑴若BE = 2EC, AB=713-求AD 的长;(2)求证:EG=BG+FC.2.如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP,过点C作CFXCP于点C,交AB于点F,过点B作BMXCF于点N,交AC于点M.⑴若AP=-AC, BC=4,求S AACP；o⑵若CP—BM=2FN,求证：BC=MC.3.如图，在Z\ABC中，AB = BC,以AB为一边向外作菱形ABDE,连接DC, EB并延长EB交AC于F,且CBXAE 于G.⑴若ZEBG = 20°,求ZAFE；⑵试问线段AE, AF, CF之间的数量关系并证明. —类型3倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3如图23-10①，在TFtAABC中，ZABC = 90° , D、E分别为斜边AC上两点，且AD=AB, CE=CB,连接BD、BE.⑴求ZEBD的度数；⑵如图© —10②，过点D作FDXBD于点D,交BE的延长线于点F,在AB上选取一点H,使得BH = BC,连接CH,在AC 上选取一点G,使得GD = CD,连接FH、FG,求证：FH = FG.针对训练：1. 如图，己知在口ABCD 中，G 为BC 的中点，点E 在AD 边上，且Z1 = Z2.(1) 求证：E 是AD 中点；(2) 若F 为CD 延长线上一点，连接BF,且满足Z3=Z2,求证：CD = BF + DF.B G C2. 如图23-12,在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE, AF, DE 、EF, ZDAE=ZBAF.3.在 RtAABC 中，ZACB=90°，点 D 与点 B 在 AC 同侧，ZADOZBAC,且 DA=DC,过点 B 作 BE 〃DA 交 DC 于点E, M 为AB 的中点，连接MD, ME.(1) 如图①，当ZADC = 90°时，线段MD 与ME 的数量关系是 ________ ；(2) 如图②，当ZADC = 60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；值.(1)求证:CE = CF ；(3)如图③，当ZADC= a4.如图①，等边三角形ABC 中，CE 平分ZACB, D 为BC 边上一点，且DE = CD,连接BE.⑴若CE = 4, BC = 6 y[3,求线段BE 的长；⑵如图②，取BE 中点P,连接AP, PD, AD,求证：AP 丄PD 且AP=^PD ；⑶如图③，把图23-14②中的ACDE 绕点C 顺时针旋转任意角度，然后连接BE,点P 为BE 中点，连接AP, PD, AD,问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.5.在Z\ABC 中，以AB 为斜边，作直角三角形ABD,使点D 落在ZXABC 内，ZADB = 90° .(1) 如图①，若AB=AC, ZBAD = 30° , AD = 6 \[3，点P 、M 分别为BC 、AB 边的中点，连接PM,求线段PM 的 长；(2) 如图②，若AB = AC,把AABD 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到AACE,连接ED 并延长交BC 于点P,求 证：BP = CP ；⑶如图③，若AD=BD,过点D 的直线交AC 于点E,交BC 于点F, EFXAC,且AE = EC ，请直接写出线段BF 、 FC 、AD 之间的关系(不需要证明).类型4中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例 4 2017 •河南如图①，在 /FrAABC 中，ZA=90° , AB=AC,DC,点M, P, N 分别为DE, DC, BC 的中点.(1) 观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系 &―,位置关系是_____________ ;(2) 探究证明：把Z\ADE 绕点A 按逆时针方向②的位置，连接MN, BD, CE,判断Z\PMN / 并说明理由； 直/ / (3) 拓展延伸：把ZXADE 绕点A 在平面 NE① ② ③点D, E 分别在边AB, AC ±, AD = AE,连接由旋转，若AD = 4, AB=10，请直接写出APHN面积的最大值.针对训练：1.如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD, AB=AE, AC=AD,且ZBAE+ZCAD = 180°,连接DE,延长CA 交DE 于F.(1)求证：ZCAB=ZAED+ZADE；(2)若ZACB= ZBAE= ZCAD = 90°,如图②，求证：BC = 2AF；(3)若在AABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD, AB与DE交于点F, F为DE的中点, 请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.① ② ③2.如图，在Z\ABC 和ZXADE 中，AB=AC, AD=AE, ZBAC+ZEAD= 180° , AABC 不动，Z\ADE 绕点A 旋转, 连接BE、CD, F为BE的中点,连接AF.(1)如图①，当ZBAE=90°时，求证：CD=2AF：(2)当ZBAEK90。
最新重庆中考数学第18题专题1(几何部分)
重庆中考数学第18题专题1（几何部分）1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点 B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。
7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为.9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。
10月训练题集 重庆中考数学几何证明题专题训练1 (1)
18.如图，在等腰三角形 ABC 中，CA = CB，∠ACB = 90°，点 D、E 是直线 BC 上两点且 CD = BE，过点 C 作 CM⊥AE 交 AE 于点 M，交 AB 于点 F，连接 DF 并延长交 AE 于点 N．
(1) 若 AC = 2，CD = 1，求 CM 的值； (2) 求证：∠D =∠E．
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19．如图，口 ABCD 中，E 在 AD 边上，AE = DC，F 为口 ABCD 外一点，连接 AF、BF， 连接 EF 交 AB 于 G，且∠EFB = ∠C = 60°．
AC 上一点，
过点 E 作 EF // AB ，交 CD 于点 F，连接 EB，取 EB 的中点 G，连接 DG、FG。 （1）求证： EF CF ； （2）求证： FG DG 。
26、已知：如图，在 ABC 中，点 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 EF//BC，BM 是线段
CF 的垂直平分线，垂足为 M。N 是线段 BM 上一点，且 NC=EF。
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16.如图，在□ ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，BE 平分 ABC 且交 AD 于点 P ，交 CD 的延长线于点 E ；作 EO 交 AD 于点 F ，交 BC 于点 G ．
（1）求证： DF BG ； （2）若 AB = 6 ， AD 9 ，求 DF 的长.
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2019重庆中考数学第18题专题练习(精选)
24 万元．已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计
划购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元0 件，则该公司最低购买费用是
万元。
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4.经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速 销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
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8.某超市销售水果时，将 A,B,C 三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售， 每箱的成本分别为箱中 A,B,C 三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计，甲种方式每箱分别 装 A,B,C 三种水果 6kg,3kg,1kg，乙种方式每箱分别装 A,B,C 三种水果 2kg,6kg,2kg，甲每 箱的总成本是每千克 A 成本的 12.5 倍，每箱甲的销售利润为 20%，每箱甲比乙的售价低 25%， 丙每箱在成本上提高 40%标价后打八折销售获利为每千克 A 成本的 1.2 倍，当销售甲、乙、 丙三种方式的水果数量之比为 2:3:3 时，则销售的总利润为______.
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9.小明暑假外出旅行时，准备给朋友们些土特产作为礼物，预先了解到当地最富盛名的 A、B 两种特产的价格之和为 140 元，小明计划购买 B 特产的数量比 A 特产的数量多 5 盒， 但一共不超过 60 盒，小明在土特产商店发现 A 正打九折销售，而 B 的价格提高了 10%，小 明决定将 A、B 特产的购买数量对调，这样，实际花费只比计划多 20 元，已知价格和购买数 量均为整数，则小明购买土特产实际花费为_____元.
元．
5.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。甲种盆景由 15 朵红花、24 朵黄
花和 25 朵紫花搭配而成，乙种盆景由 10 朵红花和 12 朵黄花搭配而成，丙种盆景由 10 朵红
2019重庆中考数学第18题专题训练50题(Word版20190220)
2019重庆中考数学第18题专题训练50题1、重庆市第八中学2019级九年级（上）九月入学考试某商店中销售水果时采用了三种组合搭配的方式进行销售,甲种搭配是:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配是:3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果:丙种搭配是:2千克A水果.6千克B水果,1千克C水果:如果A水果每千克售价为2元.B水果每千克售价为1.2元,C水果每千克售价为10元,某大,商店采用三种组合搭的方式进行销售后共得钟售额441.2元,并且A水果销售额116元,那么C水果的销售额是元2、重庆市实验外国语学校2018-2019学年度上期初三入学考试某超市销售水果时,将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售,每箱的成本分别为箱中A.,B、C三种水果的成本之和,箱子成本忽略不计甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg.3kg,1kg,乙种方式每箱分别装A,B、C三种水果2kg,6kg,2kg.甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍,每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%价后打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍,当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2:1:6时,则销售的总利润率为3、重庆一中2018-2019学年度上期初三入学考试某厂家以A、B两种原料,利用不同的工艺手法生产出了甲、乙、丙三种袋装产品，其中,甲产品每袋含1千克A原料、3千克B原料；乙产品每袋含2千克原料、1千克B原料；丙产品每袋含有1千克A原料、1千克B原料。
若丙产品每袋售价42元，则利润率为20%，某节庆日,该电商进行促销活动,将,甲、乙、丙各一袋合装成礼品盒，每购买一个礼品盒可免费赠送一袋乙产品，这样即可实现利幸为10%，则礼盒售价价为4、重庆南开中学2019级九年级（上）九月入学考试小明暑假外出旅行时,准备给朋友们带些士特产作为礼物.预先了解到当地最富盛名的A、B两种特产的价格之和为140元,小明计划买B特产的数量比A特产的数量多5盒,但一共不超过60盒,小明在士特产商店发现A正打九折销售,而B的价格提高了10%，小明决定将A、B特产的购买数量对调,这样,实际花费只比原计划多20元,已知价格和湖买数量均为整数,则小明购买土特产卖际花费为元5、重庆市十一中学2019级九年级（上）九月入学考试某学校九年级的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查.发现在单位时间内,每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部就餐的人数各是一个固定数.并且发现若开1个窗口,45分钟可使等待人都能买到午餐:若同时开2个口,则需30分钟,还发现,若在25分钟内等待的学生都能买到午餐,在单位时间内,外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下,为了方便学生就餐,调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐,则至少要问时开个窗口.6、重庆一中初2019级初三第一周周考平区手工木访只生产四腿桌和三腿桌两种产品，所有工人分为A、B、C三个小组,方案一：A、B两组负责生产桌面，C组负责生产桌腿，那么一天所生产的桌面和桌腿恰好可以拼成m张是腿桌和若干章三腿桌。
中考数学第17-18题(填空题压轴2：几何最值、图形旋转和翻折)考前预测
押中考数学第17-18题（填空题压轴2：几何最值、图形旋转和翻折）专题诠释：几何最值、图形的旋转和折叠成为这几年中考压轴题的宠儿，因为这些题型综合的知识点较多，知识转化的难度较高，解决这类问题，最关键的是如何找对切入点！常见的切入点有构造基本图形、相似和常见结论的应用等。
知识点一：几何最值问题3．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，知识点二：折叠问题11．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．12．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=______cm．13．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A′落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是____________cm．知识点三：旋转问题22．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶23．（2014·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕⌢，则图中阴影部分的面积点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC′为__．〖考前预测〗2．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形ABC中，P，Q两点分别在边BC，AC上，3．（2023·辽宁辽阳·辽阳市第一中学校联考一模）在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=9，D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则CE长的最小值是______ .4．（2023·四川成都·统考二模）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点P是对角线BD上一动点，点Q是AD边上一动点，DP与AQ始终相等，连结AP、BQ，交点为E，连结CE，则tan∠DCE的最小值是________．5．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6，4，将△ABC沿射线CA的方向平移得到△GFE，分别连接D E，FD，AF，则DF+DE的最小值为______．6．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．则∠CDF=______，若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF的最小值是______．7．（2023·四川南充·统考一模）如图，在菱形ABCD中，线段EF在对角线BD上运动，AB=2，EF=1，∠ABC=60°．下列四个结论：①∠ABD=30°；②当AF⊥AB时，AF=DF；③当△AEF为等腰三角形时，BF=DE；④△AEF周长的最小值为√5+1．其中正确结论的序号是________．8．（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N．（1）∠MDN的度数是_____；（2）若AB=6，AC=8，连接MN，当线段MN有最小值时，线段AM的长为______．9．（2023·河南信阳·统考一模）如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，且点A，B的坐标分别是(3,0)和(0,4)，点C是半圆ACB上任意一点，则点O，C的最大距离为___________．10．（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B对应的点B′落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB，BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm，则折痕EF长的最大值是___________cm．11．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上运动，且PE+PA=9，则AB长的最大值为_________．12．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，延长CE交AB于F．交BD于点G，且CG垂直BD，将ADE 绕点A旋转至AE∥BD时，若CE=5，EF=1，则BG的值是___________．13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，连接MB′，BB′，若∠BB′M=90°，MB′=3，则BC=__________．14．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D′、E′，当A、D′、E′三点共线时，∠EBE′的度数为__________．15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕着点B旋转后，点C落在AC边上的点E处，点A落在点D处，DE与AB相交于点F，如果BE=BF，那么∠DBC的大小是______．16．（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，且∠ACB=30°，点E为边AD上一动点（点E不与点A重合），将△BAE沿BE折叠得到△BA′E，若△BA′E的一边恰好与对角线AC平行，则∠ABE的度数为________．17.（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，E B=3，BC=4．将△ADC沿着AC折叠，使点D落在点E处，连接OE交BC于点F，AE交BC于点G，则EF=________．18．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE=3，则ED=_____．19．（2022·广东梅州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6√3，AD=6，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C 的对应点为C′，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________.20．（2023·四川成都·统考模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片ABCD折四边形，AB=9cm，点E，G分别是AD，BC边上的中点，点F，H分别是AB，CD边上的点，且BF=DH=3cm，连接FG，GH，HE，EF，EG．将△BFG，△DEH分别沿FG，EH翻折，点B的对应点为点B′，点D的对应点为点D′，当点B′落在线段EF上时，则BC=______cm；当点B′在△EFG内部时，连接B′D′，若△EB′D′为直角三角形，则四边形EB′GD′的面积为______cm2．。
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为例2、如图,正方形ABCD的边长为2,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为练习：如图,正方形ABCD的边长为4,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为例3、（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ．练习：1、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．2、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长．为例4、（2014•锦江区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝2+2，D 是BC边上异于B、C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．练习：（2018秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝4+4，D是BC边上异于点B，C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．例5、（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6．点P是AD的中点，点E在BC 上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．练习：1、（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．2、在矩形ABCD中，AD＝3CD＝6，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝ ．例6、如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，E为对角线BD上一点，且DE＝2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是 ．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），过点E作直线MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，将矩形ADNM沿MN折叠，使得点A、D的对应点P、Q分别落在AB、CD所在的直线上，若△ACP为等腰三角形，则BM的长为 ．2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F＝∠D＝120°，∴∠FD′M＝180°﹣∠A′D′F＝60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM＝90°，∠M＝90°﹣∠FD′M＝30°，∵∠BCM＝180°﹣∠BCD＝120°，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠M＝30°，∴∠CBM＝∠M，∴BC＝CM，设CF＝x，D′F＝DF＝y，则BC＝CM＝CD＝CF+DF＝x+y，∴FM＝CM+CF＝2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M＝tan30°＝＝＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）A．4﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．解：延长FC 、A ′D ′交于M ，设CF ＝x ，FD ＝2﹣x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，∴AB ∥CD ，∠DCB ＝∠A ＝60°，∴∠A +∠D ＝180°， ∴∠D ＝120°，由折叠得：∠BD ′F ＝∠D ＝120°，∴∠FD ′M ＝180°﹣120°＝60°， ∵D ′F ⊥CD ，∴∠D ′FC ＝90°，∴∠M ＝90°﹣60°＝30°，在Rt △FOC 中，∠DCB ＝60°，∵∠DCB ＝∠CBM +∠M ，∴∠CBM ＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BCD ＝∠CBM +∠M ＝60°，∴∠CBM ＝∠M ＝30°，∴CB ＝CM ＝2，由折叠得：D ′F ＝DF ＝2﹣x ，tan M ＝tan30°＝＝＝，∴x ＝4﹣2，∴CF ＝4﹣2，故选：A ．例2、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ，PM ：PN=2：3则线段PM 长的最小值为K解：取CD 中点O ，NP 中点K ，连接BK 、BO 、MO 、KM 。
专题18 三平行相似模型(教师版)-中考数学几何模型重点突破讲练
A．在 3 和 4 之间 B．在 4 和 5 之间 C．在 5 和 6 之间 D．在 6 和 7 之间
【答案】A
CM 【分析】根据题意证明△DCM∽△АВМ，得到
DC
，代入数值求出 CM=2.4，再证△FEN∽△ABN，得
BM AB
到
EN
FE
，即
4.4
1.5
，求出
176 BN=
，计算
176 CE=BN-BC-EN=
∴△MDH∽△ADB， MH CH 5
∴ = = ，， AB CB 9 MH 5
∴ =， 12 9 20
解得 MH= ． 3 20
∴点 M 离地面的高度 MH 为 m． 3
故选：A． 2．如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC ，已知树的高度 AB 3m ，树影 AC 4m ，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP 6m ，则路灯高 PO 的长是（ ）
∴AB∥ CD∥ MH，
∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D
∴△ABM∽△CDM，
BH AB 12 4 ∴ = = = (相似三角形对应高的比等于相似比)，
CH CD 15 5
BH CH 4 5
∴
=
CH
5
BC 9 ∴ =，
CH 5 CH 5 即 =， BC 9 ∵MH∥ AB，
∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，
∴ OE ∥ BC ，
∴ AOE ACB 90 ，
∴ EO AC ，故①正确，
∵ OE ∥ BC ，
∴ VOEF∽VBCF ，
OE ∴
OF
1
，
BC FB 2
∴ OF 1 OB ， 3
∴ SV AOD SVBOC 3SVOCF ，故②错误，
2021年重庆中考数学第18题不定方程专题训练
2021年重庆中考数学第18题不定方程专题训练1. 从百日誓师大会以来，初三年级同学的学习热情高涨，每个同学都在努力的提升各个学科的成绩，初三某班的很多同学到学校附近甲、乙两个书店购买语文、数学、英语、物理资料书，甲书店售出语文资料书的数量和数学相同，英语数量是物理的2倍，英语资料书一本的单价是语文的2倍，数学与物理价格之比是3：4，乙书店语文资料书售出的数量是甲书店语文资料书售出数量的3倍，乙书店数学资料书的价格是甲书店数学资料书价格的13，乙书店英语资料书数量比甲书店少13，乙书店物理资料书的价格是甲书店物理资料书价格的一半，这样乙书店物理资料书售出的数量和英语相同，乙其余书的数量和售价和甲相同，已知甲书店4本语文资料书的价格与甲书店一本物理资料书的价格差大于120元但不超过130元，且甲书店售出的语文资料书的数量多于26本少于34本，且两个书店共售出语文和英语的销售额比两个书店售出数学和物理的销售额多6820元，且所有的单价与数量均为整数，则两个书店共售出的语文资料书的销售额比共售出的数学资料书销售额多______ 元.2. 某运输公司有核定载重量之比为4：5：6的甲、乙、丙三种货车，该运输公司接到为武汉运输抗疫的医药物资任务，迅速按照各车型核定载重量将抗疫物资运往武汉，承担本次运输的三种货车数量相同.当这批物资送达武汉后，发现还需要一部分医药物资才能满足需要，于是该运输公司又安排部分甲、乙、丙三种货车进行第二次运输，其中乙型车第二次运送的物资量是还需要运送物资总量的38，丙型车两次运送的物资总量是两次运往武汉物资总量的17，甲型车两次运输的物资总量与乙型车两次运输的物资总量之比为3：2，则甲型车第一次与第二次运输的物资量之比是______ ．3. 假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过______小时车库恰好停满．4.重庆双福育才中学农场的工人们要把两片草地的草除掉，大的一片是小的一片的3倍，前两天工人们都在大的一片草地上除草，第三天工人们对半分开除草，一半留在大的一片草地上，另一半人到小的一片草地去除草，第三天结束后，大的一片草地恰好除草完毕，小的一片草地还剩下一小块正好是2个人工人2天的工作量．如果工人们每天每人的除草量是相等的，且每天的工作时间相等，则农场有______名工人．5.一驴友分三次从M地出发沿着不同线路(A线、B线、C线)去N地，在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种，他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等；B线、C线路程相等，都比A线路程多32%；A线总时间等于C线总时间的一半；他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线；在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%、50%、50%.若他用了x 小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x、y、z都为正整数，则x+z=______y6.清明小长假，重庆迎来了很多游客.除了解放碑，磁器口，洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料，陈麻花和合川桃片也成为了炙手可热的伴手礼.根据游客的喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；平安福袋中有1袋火锅底料，2袋陈麻花，3盒合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元，利润率为20%，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍.小长假期间，由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋，工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了1000元，则当日卖出福袋的实际总成本为______ 元.7.为了抵抗病毒的侵袭，某学校组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种.初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级和初三年级参加疫苗接种的教师人数之比是3：4.第二批疫苗到货后，三个年级新增接种人数之比是5：6：2.增加后，初二年级接种总人数占这三个年级接种总人数，并且增加后，初二和初三年级新增接种人数之和是这两个年级接种总人数之之和的47和的4，则这三个年级第一批接种总人数与第二批接种总人数之比为______ ．198.四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知，虽然疫悄有所控制，但防控仍不可掉以轻心.重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备.王老师用现金6820元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张(10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量)，若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为______ 个.9.重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、T恤三种.3月份，该厂家生产的领带、衬衫、T恤的数量比是4：5：6，马上进入4月份，春暖花开，气温骤升，该厂家，此时衬衫的总数立刻又生产了一批三种服装，其中衬衫增加的数量占总增加数量的25量将达到三种服装总数量的11，此时领带与T恤的数量比是6：13，已知领带、衬衫、30T恤这三种服装的成本价格分别是15元，60元，50元，厂家决定领带有1作为促销礼物6赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，其余产品全部售出，最后三种服装的总利润率是50%，衬衫、T恤的销售价格均为正整数且均盈利，那么衬衫的售价最高是______ 元.10.元旦节前，某商店购进了一批A、B款式的大灯笼和若干小灯笼，其中小灯笼个数占灯笼总个数的80%，它们的进价之比为10：20：1，店主将三种灯笼分别加价50%、40%、100%进行销售，全部售完后利润率为54%.年关将至，该商店又购进了这三种灯笼，且进货量和之前分别相同，但是A、B款式的大灯笼进价分别上涨了50%、25%，小灯笼进价不变，于是店主将这两种大灯笼的价格分别在现在的进价基础上加价60%、40%进行销售，且购买一个A款式的大灯笼赠送两个小灯笼，购买一个B款式的大灯笼赠送4个小灯笼，余下的小灯笼售价与之前相同，那么这批灯笼卖完后，利润率为______ ．11.疫情防控期间，苏老师用6820元现金为年级采购了额温枪和免洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张(10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量)，若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为______ 个.12. 我国新疆棉花以绒长、产量高、品质好而著称于世.来自国家统计局消息，2020年新疆棉花的播种量比2019年播种量有所下降，但棉花产量却大幅增长，又到棉花播种的季节，棉农老李与老张计划租用播种机进行播种，租用公司有A ，B 、C 三种类型的棉花播种机.它们的租金分别为每天每台A 型500元，B 型850元，C 型1300元.已知A 、B 、C 每台播种机每小时播种亩数之比为1：2：4，A 、B 类型播种机每天工作时间相同，C 类型播种机每天工作时间是它们的34.老李准备三类机器均租用，总共租用8台机器，刚好6天能完成播种.棉农老张的种植面积比老李家多13，他同样租用了8台机器，但是他将A 型和C 型的数量进行交换，B 型的数量不变，老张也刚好整数天数完成插种，则老张完成播种至少需付______ 元租金．13. 为迎接“五一节”的到来，某水果店推出了A 、B 、C 三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和.每袋A 类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C 类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓.已知每袋A 的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，每袋B 的成本是其售价的56，利润是每袋A 利润的49；每袋C 礼包利润率为25%.若该网店12月12日当天销售A 、B 、C 三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该水果店销售总利润率为______ ．14. 某超市根据消费者的喜爱，推出了A 、B 、C 三种糖果礼盒，A 礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B 礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C 礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A 礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A 、B 、C 礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B 种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%.第二天销售时，A 、B 、C 礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是______ ．15.传播正能量，树立新方向.“泌园”糕点店准备开发出A、B两款礼盒为奋斗的人们鼓劲、两款礼盒均由“加油打气”饼，“奋发图强”酥，“超越自我”糕三行糕点搭配而成.其中A礼盒一共有18块糕点、B礼盒一共有24块糕点.A礼盒中的“加油打气”饼的数量和B礼盒中的“超越自我”糕的数量一致、A礼盒中的“奋发图强”酥的数量和B礼盒中的“加油打气”饼的数量一致.每块“加油打气”饼、“奋发图强”酥、“超越自我”糕的成本分别是5元，2元，3元.A，B两种礼盒的包装盒成本之比为9：8.经测算、A 礼盒的总成本比B礼盒多12.5%(每种礼盒总成本=礼盒中糕点成本+包装盒成本).后因原材料成本上涨、每块“加油打气”饼，“奋发图强”酥，“超越自我”糕的成本分别上涨20%，50%，50%，包装盒成本不变，结果A礼盒比B礼盒的总成本多1元.则上涨后每个B礼盒的的总成本是______ 元.16.我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查(被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团)，统计后发现共A、B、C、D四个社团榜上有名.其中选C的人数比选D的少6人；选A的人数是选D的人数的整数倍；选A与选D的人数之和是选B与选C的人数之和的9倍；选A与选B的人数之和比选C与选D的人数之和多56人.则本参加调查问卷的学生有______ 人.17.端午将至，吃粽子是中华民族的传统.粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅.去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅三种粽子.已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商人得到的总利润率为______ ．18. 为了锻炼身体，小洋请健身教练为自己制定了A ，B ，C 三套运动组合，三种运动组合同时进行.已知A 组合比B 组合每分钟多消耗2卡路里，三种组合每分钟消耗的卡路里与运动时间均为整数.第一天，B 组合比A 组合运多运动12min ，C 组合比A 组合少运动8min ，且A 组合当天运动的时间大于15min 且不超过20min ，当天消耗卡路里的总量为1068.小洋想增加运动量，在第二天，增加了D 组合(每分钟消耗的卡路里也为整数)，四种运动组合同时进行.已知第二天A 组合运动时间比第一天增加了13，B 组合运动减少的时间比A 组合增加的时间多8min ，C 组合运动时间不变.经统计，两天运动时间相同，则D 组合比B 组合每分钟多消耗______ 卡路里时，才能使第二天的运动消耗1136卡路里．19. 磁器口古镇正在创建国家5A 级景区，某门店积极响应号召，将A 、B 、C 三种茶具以甲、乙、丙三种礼盒方式进行销售宣传.甲礼盒含有A 茶具1个，B 茶具2个，C 茶具5个，乙礼盒含有A 茶具1个，B 茶具1个，C 茶具2个，丙礼盒含有A 茶具1个，B 茶具3个，C 茶具4个，甲、乙、丙三种礼盒均需相同的礼盒包装费用，且每个C 茶具成本是每个B 茶具成本的13，甲、乙两种礼盒总成本之比是3：2，并将甲、乙、丙三种礼盒均以利润率50%进行定价销售.在今年元旦节当天，甲、乙两种礼盒均打8折销售且销量相同，丙礼盒打9折销售，甲、乙、丙三种礼盒总利润率达到23%，则今年元旦节当天丙礼盒销量与总销量之比为______ .(利润率=售价−成本成本×100%)20.“手中有粮，心中不慌”.为优选品种，提高农作物产量，某农业科技小组对A ，B ，C 三个小麦品种进行种植对比研究.去年A ，B ，C 三个品种各种植了相同的面积，但产量不同.收获后A ，B ，C 三个品种的售价之比为2：3：5，全部售出后，三个品种的总销售额是其中C 品种销售额的3倍.今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B ，C 种植亩数不变的情况下，预计A ，B ，C 三个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加15、16和14、由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨50%，A 、C 两个品种的售价不变.若B ，C 两个品种今年全部售出后销售额之比是7：6.则今年A ，C 两个品种的产量之比是______ ．。
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重庆中考数学第18题专题1（几何部分）
1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.
2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.
3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的
交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．
4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.
5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.
6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。
7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.
8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD
上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，
已知BE=1，则EF的长为.
9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正
方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知
AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．
10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .
11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。
12．如图，正方形ABCD绕B点逆时间旋转正方形BPQR，
连接DQ，延长CP交DQ于E，若CE=52，ED=4，则AB＝
_____________．
13、点F是正方形ABCD的边AB延长线上一点，E是AD上一点，
且BF=ED，FE交BC与M点，交BD于P点，连接FC、EC，若ED=1，
AE=2，则MP=
14.
15.
16.
17.如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连接DE、BF、CE、AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影面积为（）
18.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠DFE为度数为（）．
19.如图，正三角形和正方形的面积分别为10，6，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a-b）等于______．
20.如图所示，P是正方形ABCD的边CD上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PE+PF=1，求正方形ABCD的面积( )。
21.
（）
22.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上的中点，连接DE、AF交于G 点，连接CG，若CG=4cm，正方形ABCD的面积是
23.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E,F分别是AB,BC的中点,连接DE,AF交于点G,连接CG,则CG=
24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形
对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，
则另一直角边BC的长是
25.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，则四边形BEGF的面积与四边形FCDG的面积之比为
26.如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．若MC=，则BF的长是
27.
28.已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．E 是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME．若△MEF与△ADF相似，则EB的长
29.如图E,F是正方形ABCD两边AB,BC的中点,AF,CE交于点G，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积（）
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.在正方形ABCD中，已知AB=6，点E在边CD上，且DE：CE=1：2，如图．点F 在CB的延长线上，如果△ADE与点C、E、F所组成的三角形相似，那么CF=______．
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2015重庆中考数学专题（第18题）
几
何
填
空
题
2015春。