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第21讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题项目一 知识概要1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；②直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c >0； ③直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． 2．线性规划相关概念3．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.项目二 例题精讲任务一 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题【例1】 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34分析 画出平面区域，显然点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可． 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.评注 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． 任务二 求线性目标函数的最值问题 【例2】 设x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－33x ＋5y≤25x≥1，求z ＝x ＋y 的最大值与最小值．分析 作可行域后，通过平移直线l 0：x ＋y ＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解析 先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A (5,2)、 B (1,1)、C (1，225)，作出直线l 0：x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过点B 时，可使z ＝x ＋y 达到最小值；当l 0的 平行线l 2过点A 时，可使z ＝x ＋y 达到最大值． 故z min ＝2，z max ＝7.分析 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．任务三 实际生活中的线性规划问题 【例3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50分析 根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题． 答案 B解析 设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩， 则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x ，y∈N＋，求目标函数z ＝x ＋0.9y 的最大值， 根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A (30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．评注 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l ；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 任务四 求非线性目标函数的最值问题 【例4】 (1)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值为________． (2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2，上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值是______．分析 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成． 答案 (1)32 (2)322解析 (1)y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值．(2)依题意得，OA →＋OM →＝(x ＋1，y )，|OA →＋OM →|＝x ＋12＋y2可视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示 的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.思维升华 常见代数式的几何意义有 (1)x2＋y2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； (2)x －a 2＋y －b 2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．项目三 感悟提高1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 4．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．5．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．项目四 冲刺必练A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y≥0，0≤x≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为( )A ．－3或3B ．－3或1C ．1 D.3答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y≥0，0≤x≤t 所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x ＝t 解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析 在坐标平面内画出直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，选A.4．O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2≤4，2x －y≥0，y≥0，则OM →·ON→的最大值为( )A.2 B ．22C.3 D ．23答案 B解析 如图，点N 在图中阴影区域内，当O 、M 、N 共线时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.5．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 画出图形，数形结合得出答案． 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4C.125D ．2答案 B解析 由题意知，所求的|AB |的最小值，即为区域Ω1中的点到直 线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的 平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故|AB |的最小值 为2×|3×1－4×1－9|5＝4，选B.二、填空题7．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≥1，x≤2，则z 的最大值为________．答案 5解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时， 相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值是z ＝2×2－(－1)＝5.8．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x －y≤00≤y≤k，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z的最小值为________． 答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线 y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是 有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.562少费用为________百万元． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的 费用为z (百万元)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y≥1.9x ＋0.5y≤2x≥0y≥0，目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.10．已知x ，y 满足约束条件|x |＋2|y |≤2，且z ＝y －mx (m ≠0)的最小值等于－2，则实数m 的值等于________． 答案 1或－1解析 原不等式等价于以下四个不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋2y≤2，⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≤0，x －2y≤2，⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0，y≥0，－x ＋2y≤2，⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≤0，－x －2y≤2，因此可画出可行域(如图)： 由z ＝y －mx 得y ＝mx ＋z .(1)当m >12时，由图形可知，目标函数在点A (2,0)处取得最小值，因此－2＝0－2m ，解得m ＝1.(2)当0<m ≤12时，由图形可知，目标函数在点D (0，－1)处取得最小值，因此－2＝－1－m ×0，m 无解．(3)当m <－12时，由图形可知，目标函数在点C (－2,0)处取得最小值，因此－2＝0＋2m ，解得m ＝－1.(4)当－12≤m <0时，由图形可知，目标函数在点D (0，－1)处取得最小值，因此－2＝－1－m ×0，m 无解．综上，实数m 的值等于1或－1.三、解答题11．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m>02＋3m ＋m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m<0，2＋3m ＋m<0，所以，m的取值范围是m <－12.12．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0，求4x －3y 的最大值和最小值．解 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0表示的区域如图所示．可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－6，则A (－1，－6)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2.则B (－3,2)，因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)1．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)答案 A 解析 如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3， ∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)． 2．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4x ＋y≤4x≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共能确定几条不同的直线 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 C解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．3．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数 z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜 率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.4．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤x，2x ＋y ＋k≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，则k 的值为_____． 答案 －9解析 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所 示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k3.∴点A 的坐标为(－k 3，－k 3)．则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.5．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )是增函数，且函数y ＝f (x －3)的图像关于点(3，0)成中心对称．若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≥－f (2t －t 2)，当1≤s ≤4时，t 2＋s 2－2s 的取值范围．解 易知y ＝f (x －3)的图像是将y ＝f (x )的图像向右平移3个单位得到的，且y ＝f (x －3)的图像关于点(3，0)成中心对称，故y ＝f (x )的图像关于原点成中心对称，即y ＝f (x )是奇函数，故－f (2t －t 2)＝f (t 2－2t )．又y ＝f (x )是增函数，f (s 2－2s )≥－f (2t －t 2)，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，即(s －t )(s ＋t －2)≥0，当1≤s ≤4时，⎩⎨⎧s≥t ，s ＋t≥2，画出可行域如图中阴影部分所示．由题意可知，t 2＋s 2－2s ＝(s －1)2＋t 2－1表示可行域内的点到点B (1，0)的距离的平方减去1.又点B 到直线s ＋t －2＝0的距离d ＝|1－2|2＝22，即点B 到可行域内的点的最小距离为22，故t 2＋s 2－2s ≥12－1＝－12.由图易知，点B 到点C 的距离为点B 到可行域内的点的最大距离，联立⎩⎨⎧s ＝t ，s ＝4，得C (4，4)，故(4－0)2＋(4－1)2＝25，故t 2＋s 2－2s ≤25－1＝24.综上可得－12≤t 2＋s 2－2s ≤24.6．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y≤x＋7，36x ＋60y≥900，x ，y≥0，x ，y∈N.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．。