(完整word版)第四章 能带理论思考题
第四章 思考题参考答案.docx
第四章同步电机思考参考答案1、直流电机是旋转电枢式，是为了要进行机械换向。
同步发电机是因电枢功率大，不宜置于旋转体上，滑动接触导出大电流，不但工艺困难，还会引起滑动接触电阻的铜耗，导致滑动接触因高温而损坏，所以将相对功率较小的励磁回路放在转子上。
2、汽轮机高速，所以发电机p=l,机体相对细长，直径相对小些可降低转子高速旋转引起的离心力，有利于转子材料的选用，汽轮发电机都是卧式的。
水轮机转速低，所以发电机的极数多达几十对，转子直径必需大，才能安置大量的磁极。
水轮机是立式的，故水轮发电机组都是立式的，相应要求配置结构复杂的推力轴承。
3、直流发电机励磁，要受直流发电机（高速）容量的限制，只能应用于中等容量的同步发电机，且直流励磁发电机需要维护。
静止半导体励磁，克服了直流励磁机受容量限制的缺点，主励磁机为交流，避免了直流机换向火花问题，并可减少维护工作量，担任有滑动接触，且要求有可靠性高的整流装置。
旋转半导体励磁，取消了滑动接触。
因为交流主励磁机与同步发电机转子同轴。
励磁机和同步机励磁绕组直接连接。
所以这种方式亦称为无刷励磁，在解决了半导体装置的可靠性问题后，此乃最佳方案。
4、平均每极每相绕组占的槽数不是整数的绕组称为分数槽绕组。
当电机的极对数很多时，采用整数槽绕组会使整个绕组的槽数过多，使设计大受限制。
分数槽绕组和短距、分布一样有利于获得较好的电动势波形。
因为总槽数必须是整数，极数必须是偶数，所以当q=l|时，该绕组至少要有10个极，p=5o5、分布绕组实现了槽与槽的分布，对比一下集中绕组就显而易见了。
短距绕组槽中上层绕组的分布与下层导体的分布是相同的，但两层间错过了一个位置，故绕组实现了层与层的分布。
参看图3-6b。
分数槽绕组各个极面下的槽分布不相同，如将一个单元绕组的各个极对重叠起来, 可见极面下的导体（槽）是分布的，故称之实现了极对间的分布。
参看图4-10bo6、增大发电机容量不外于增大其额定电流和电压，相应地其体积必然增大。
固体物理习题解答
的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核 (离子实)系统分开考虑。 平均场近似视固体中每个电子所处的势场都相同，使每个电子 所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。 通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。 通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单 电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。 周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。 通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格 周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。
复式格子？
3
第一章 思考题
3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基 矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说 一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子 的倒格子也是复式格子吗？
答：
引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题 非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里 叶变换。
方 (110)晶面的格点面密度最大。根据
dhkl
h2
a k2 l2
，有面心立 d11方 1 a3，体心立d1方 10
a 2
因此，最大格点面密度表达式，
dh1h2h32 /G h1h2h3
面心立 11方 1a43 a343a23，体心立 11方 0a23a2a2 2
13
第一章 习题
1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。
7
第一章 习题
1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说 明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含 几个格点？
解： 由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点
(完整word版)固体的能带理论习题.doc
第五章固体的能带理论1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。
布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。
2.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。
由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数 N 通常都是很大的，所以 k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。
4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢K h中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E (k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。
可以用下面的图 5.1 来描述禁带形成的原因：E(k)>0<0D BA CO kaa5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时， 将主要受到该原子场的作用， 把其它原子场的作用看成微扰作用。
这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数 集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。
第四章_能带理论-II
r，和准动量
k
基本运动方程：
r
1
k
n
(k)
k eE v B
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
恒定电场下： 自由电子怎样运动？ 能带电子？
qE
第四章 能带论－2
一、恒定电场下电子运动方程
半经典近似下：
E
k eE
k t k 0 eEt
电子在k空间匀速运动。
k
在坐标空间,自由电子匀加速运动——直流电
子化的
既有量子、又有经典
4.1 电子运动的半经典模型
电子的粒子性与波动性如何联 系和统一起来？
第四章 能带论－2
一、模型的描述
电子有确定的位置r，波矢k，能量εn(k) 在外加电、磁场下：
n不变，忽略带间跃迁（低场强，无击穿）
电子的速度：
r
vn
1
k
n
k
K空间的速度：
k eE(r,t) vn k Br,t
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
r ：波包中心——粒子的位置
k ：波包平均动量——粒子的准动量
1) 晶体中，布洛赫波可以组成波包 2) 把波包看成准粒子的条件是 △r
远小于观察尺寸; 具体在晶格中
要求： r a
总结：准粒子的经典物理量对 应相应算符对波包的平均
第四章 能带论－2
二、电子速度
有效质量近似为常数－有效质量近似，那么晶 体电子运动的图像如经典图像。
F m * v k
第四章 能带论－2
例1、求自由电子的速度、有效质量
k 2k 2
2m
v k p mm
m*x m*y m*z m
第四章 能带论－2
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。
2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。
思考题与自测题(固体电子学)
思考题与自测题（固体电子学）第二章思考题与自测题1.在势场的作用和运动中，原子中的电子和晶体中的电子有什么区别？参与共有运动的原子的内部电子和外部电子之间有什么区别？答：能带理论就是认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子在晶体的周期性势场中运动；2、晶体体积的大小对能级和能带有什么影响？3.为什么引入“有效质量”的概念来描述电子在半导体中的运动？用电子的惯性质量M0来描述电子在能带中的运动有什么局限性？4、一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此？为什么？5、有效质量对能带的宽度有什么影响？有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
”是否如此？为什么？6、简述有效质量与能带结构的关系？7.对于自由电子，加速度的反方向与外力的反方向一致。
这个结论适用于布洛赫电子吗？8、从能带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？外场对电子的作用效果有什么不同？9.在周期性势场中运动的电子的一般性质是什么？10、以硅的本征激发为例，说明半导体能带图的物理意义及其与硅晶格结构的联系？为什么电子从其价键上挣脱出来所需的最小能量就是半导体的禁带宽度？11.为什么半导体全带中的少量空态可以用带正电荷和一定质量的空穴来描述？12、有两块硅单晶，其中一块的重量是另一块重量的二倍。
这两块晶体价带中的能级数是否相等？彼此有何联系？13.解释布里渊区和k空间等能面之间的差异。
为什么等能面在极值附近是球形半导体，当存储反转改变时，只能观察到一个共振吸收峰？14、说明杂质能级以及电离能的物理意义。
为什么受主、施主能级分别位于价带之上或导带之下，而且电离能的数值较小？15.为什么在纯锗和硅中加入III族或V族元素后，半导体的电性能会发生很大变化？杂质半导体（p型或n型）被广泛使用，但为什么我们要强调半导体材料的提纯？16.解释了掺杂对半导体导电性的影响。
第三章思考题与自测题1.半导体在热平衡状态下可以称为什么状态？它的物理意义是什么。
第四章-能带理论-(Band-Theory)
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整 个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能 级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明 每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度 来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当 取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.
固体物理第四章作业答案
x
na
b
x
na
i 2 n x
b e a dx
Байду номын сангаас
2V0 a
cos
n
2 b a
• 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙
Eg 2 V1
Eg
2 V1
2 2V0 a
cos b
a
4V0 a
cos 2b
a
•
第一布里渊区
a
k
a
， k 的个数为：
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子 阱的能带变化。*(如下图)
ECA A
B
EVA
8a a
ECB
EVB
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型得到结果：
超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上 图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。
r
eik r u k
r
uk r uk r Rl
知
2
u k
r
2
由此可知，电子密度分布具有周期性。
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你 认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准 连续的。
第四章作业
1. (1)能带论的结论是什么?
(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得 出的?
(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是 微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:
固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
大学物理 课后思考题答案(四五章节)
第四章 电磁学基础4.1 该说法不对，电场强度为矢量，若1cm 的电荷带负电，则场强不等于在该点放一个电量为一库仑的电荷所受的力。
4.2 1>负电荷在外电场中的受力方向与场强方向相反；2>电场强度朝4.3 该说法不对，当场点与点电荷无限接近时，带电体已不能被看作点电荷了，上述场强公式也就没有意义了4.4 不对，电场线可以表示电场强度的方向和大小，是人为的形象描述电场高斯面S 上E 的大小并不处处相等，E 的方向也不处处与高斯面垂直，因此，无法用高斯定律求出三个电荷产生的电场，但高斯定律仍然是成立的。
对任意的静电场、任意的封闭曲面，高斯定律都是成立的。
（高斯面上场强方向与面方向相一致，各点场强相等）4.6 (1)错误， 同心球(2)错误， 高斯面旁边有电荷(3)错误， 正负电荷不能相抵（静电荷）(4)错误， 错误4.7 1> 错误 也与高斯面外有关2>正确4.8 不变；不变；变4.9 C4.10 B4.11 在初速度与场强方向平行的情况下轨迹是直线4.12 1> 错误,场强有变化率，则电势不相等2> 错误，例如均匀带点球面内场强为零，电势不为零3> 错误，场强是表示电势变化快慢的4> 错误，电场中某一点的的电势，取决于从这一点到电势零点间所选路径上的所有点的场强4.134.14 不能，4.15 不可以相交，一个等势面上相等，另一个等势面上的电势是另一个值4.16 C4.17 02εσ中指带点平面单位面积上所带的电荷 后一个指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷4.18 有新的感应电荷，电荷面密度改变，电荷分布不变 该点场强改变； 公式仍然成立4.19 电场不为零，两者共同作用时电场为零；静电屏蔽效应是由于导体内的电荷重新分布体现的4.20 导体B维持零电势；导体B带电，感应负电荷；导体A电势降低，如果A带负电荷，电势升高4.21 C4.224.23 对结果无影响4.244.254.26 ε倍；电场强度不变；场强为1/ε4.274.28 在地磁两极附近，磁感线与地面垂直，由外层空间入射的带电粒子接近两磁极时，因其速度方向是沿着（或逆着）磁感线，不受磁力，因而带电粒子容易接近两磁极地区4.294.30 磁场不是保守场，因为环流不为零（静电场为保守场）4.314.32 两表达式都适用叠加原理；后一个定律与方向有关4.33 沿x轴正向4.344.35 是；可以4.36 螺线管附近；忽略边缘效应4.37 不能；磁场力只改变速度的方向，不改变大小4.38 沿向东的方向发射电子4.394.40 磁场相反，相抵消4.41 两端点连线平行于磁场线4.42第五章波动学基础5.1 物体做往复运动时，如果在平衡位置附近的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫做简谐运动。
固体物理第四章
Chapter 4能带理论（energy band theory）一、简要回答下列问题（answer the following questions ）1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为 b 1, b 2, b 3，而波矢空间的基矢分别为 b 1/ N1, b 2/ N2, b 3/ N3; N1, N 2 , N 3分别是沿正格子基矢 a 1, a 2, a 3方向晶体的原胞数目。
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 b 1( b2b3 )*波矢空间中一个波矢点对应的体积为b 1 b 2 b 3*()N 1N 2N 3N即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。
由于 N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。
也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。
因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。
2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。
若电子所处的边界与倒格矢G h正交，边界是 G h的中垂面，则禁带的宽度 Eg=2|Vn| ， Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。
不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。
3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？2［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以E02k2其有效质量m*( 2 / E )0 ；说明此时晶格对电子作负功，即电子要供给晶格2k能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子所作的功。
原因是：有效质量概括了晶格对电子的作用，因此有FwaiFwai F jg m *m m将上式分子上变成能量的形式，则有Fwai v dtFwai v dt F jg v dt m *m m2能带顶部是能带的极小值的位置，所以E0 ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。
大学物理第四章课后思考题详解
谐振动：
X. J. Feng,
1. 力学特征: 线性恢复力（力矩）
F kx
F mg
2.动力学方程:
d 2x dt 2
02 x
0
M mgb 思考: 拍皮球时球的往
3.运动学方程: x Acos(0t ) 复运动是否是谐振动?
v 0 Asin( 0t )
m
Px
X. J. Feng,
M 0t
Px
X. J. Feng,
M
P
x
M P
Xபைடு நூலகம் J. Feng,
x
X. J. Feng,
M
P
x
X. J. Feng,
P x
M
X. J. Feng,
P x
M
X. J. Feng,
P x
M
X. J. Feng,
P x
M
X. J. Feng,
M Px
突然速度为0的质点m0轻粘在m上,求：m0粘上后振动系统
周期和振幅
m0
解: 两弹簧的等效系数:2k
km k
(请同学们课后自己证明)
m0粘上前系统振动的圆频率: 0
2k m
v 2l0
m0粘上后系统振动的圆频率:
2k
m m0
T 2 m m0
2k
A
x0
v02
2
x0 0
x
M
M nm
l0
·m
(2).t Tn 2
Tn
2 n
n
k M nm
MO
l0
黄昆固体物理习题-第四章 能带理论
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带函数)(k E s先求面心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s （k ）函数，利用公式：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s s s seR J J k E)()(0ε解：0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==−−−>∫ 01()s s ik R ss R NearestE k J J eε−⋅==−−∑ s 原子态波函数具有球对称性，则：解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数表示为：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s ss seR J J k E )()(0ε4.7 有一一维单原子链，原子间距a ，总长度为L ＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数的表达式3) 如每个原子s 态中只有一个电子，计算T=0K 时的费密能级和处的能态密度0F E 0FE )(E N二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中。
如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)。
这样，晶体将只有绝缘体性质。
然而由(2)可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的。
事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Fermi面。
因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能。
实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电。
4.8题解答完毕。
固体物理考题 第四章 能带理论
第四章 能带理论1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a 处的能隙2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3简单推导布洛赫（Bloch ）定理4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，λ 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；λ 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；λ 画出其态密度随能量变化的示意图。
5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。
6推导bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。
7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。
设晶体中第m 个原子的位矢为：112233m m m m =++R a a a …………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ϕ-r R ，该波函数满足方程：22()()()2m i m i i m V m ϕεϕ⎡⎤-∇+--=-⎢⎥⎣⎦r R r R r R …………………………（5-4-2） 其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ϕ相对应的原子能级。
如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ϕ。
因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ϕ-r R ，m=1，2，…，N 。
实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。
由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。
根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合(,)()()m i m ma ψϕ=-∑k r k r R …………………………………………………（5-4-3）作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：22()()()2U E m ψψ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦r r r ……………………………………………………（5-4-4） 其中晶体势场U (r )是由原子势场构成的，即()()()n l nU V U =-=+∑r r R r R ……………………………………………………（5-4-5）微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式：()()22()()()2m m V U V E m ψψ⎡⎤-∇+-+--=⎢⎥⎣⎦r R r r R r r 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：[()()()]()0mi m i m m a E U V εϕ-+---=∑r r R r R ……………………………………（5-4-5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较i ϕ态的轨道大得多，不同原子的i ϕ重叠很小，从而有：()()*i n i m nm d ϕϕδ--=⎰r R r R r ……………………………………………………（5-4-6） 现以()*i n ϕ-r R 左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得： *()()[()()]()n i m i m m i m ma E a U V d 0εϕϕ-+---⋅-∑⎰r R r r R r R r =……………（5-4-7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。
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第四章
能带理论思考题
1. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]
波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、
1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=⨯⋅b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=⨯⋅,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
2. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]
当电子的波矢k 满足关系式
)2(=+⋅n n K
k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的
模等于2/n K .
3. 一维周期势函数的付里叶级数
nx a
i
n
n e
V x V π2)(∑=
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答]
周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为
x
i n
n n e V x V λ∑=)(
上式必须满足势场的周期性, 即
x
i n
n a i x i n
n a x i n
n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.
显然
1=a i n e λ.
要满足上式, n λ必为倒格矢
n a n πλ2=
.
可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的. 4. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =,
)(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
5. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
)(1
l m F F a +=
.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
F
a *1m =.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 6. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答]
由本教科书得
m m m l
F F F +
=*.
将上式分子变成能量的增量形式
m t
m t m
t l d d d *
ννν⋅+⋅=⋅F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为
m
E m
E m E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
.
由于能带顶是能带的极大值，
22k E
∂∂<0，
所以有效质量
22
2
*
k E m ∂∂= <0.
说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，
22k E
∂∂>0，
所以电子的有效质量
22
2
*
k E m ∂∂= >0.
但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由(5.36)式求得
n n
V T m
m 211*
+=<1.
7. 电子的有效质量*
m 变为∞的物理意义是什么? [解答]
仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
m E m E m E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1
E E m -=.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*
m 变
为∞. 此时电子的加速度
1
*==F a m ,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 8. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答]
以s 态电子为例.紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分
r R r R r r r d )()]()([)(*
n at
s n at N at s s V V J ----=⎰ϕϕΩ
的大小又取决于)(r at
s ϕ与相邻格点的
)(n at s R r -ϕ的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交叠程度小, 外层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交迭程度大. 因此, 紧
束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.
9. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答]
将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度
)
(1k E k ∇=
ν
得到
////1k E ∂∂=
ν, ⊥⊥∂∂=
k E 1ν.
等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥∂∂k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 10. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答]
设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 11. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
[解答]
在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.。