(完整版)二面角典型习题

二面角

1.二面角的计算：

1）定义法；

2）三垂线定理法；

3）垂面法；

4）面积射影法；

例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，求此二面角的度数。

例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。

例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（ ）

（A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ=

（C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=

例4、在120︒的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：

（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。

（2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。

例5、已知二面角MN αβ--为60︒，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60︒，且5,45AC MCB =

∠=︒，求线段AB 的长。

例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈∆的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30︒角，当θ变化时，求DBC ∆面积最大值。

例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=︒，

45PA ABC PBA ⊥∠=︒面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。

例8、在正方体1111ABCD A B C D -中，利用cos S S θ=射影

解下列各题

1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值

2）求二面角11C BD C --的大小；

3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。

例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？

例10、等腰Rt ADC ∆和Rt BCA ∆有公共边AC ，90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒，以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？

两个平面垂直

1、两个平面垂直的证明

1）定义

2）判定定理

2、两个平面垂直的性质

例1、已知ABCD为矩形，E为半圆CED上一点，且平面ABCD⊥平面CDE 1）求证DE是AD与BE的公垂线

2）若AD=DE=1

2

AB，求AD与BE所成角的大小。

例2、等腰三角形ABC的底BC=42，高AD=1，现沿AD将ABD

∆折起，使二面角B-AD-C 为60度，求此时AB与面ACD所成角的正弦值。

例3、在空间四边形ABCD中，已知AB=BD=DC=CA，M，N，P，Q分别是CD，DB，BA，AC的中点，K为BC中点，求证：平面KAD⊥平面PQMN

例4、在正方体1111ABCD A B C D -中，已知P ，Q ，R ，S 分别是11111,,,A D A B AB BB 的中点，求证：平面PQS ⊥平面1B RC .

例5、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M,N 分别是AB ，PC 的中点

1）求证，MN ⊥AB

2）若平面PDC 与平面ABCD 成45度角，求证：平面MND ⊥平面PDC

例6、已知直角三角形ABD 和等腰直角三角形CBD 所在平面互相垂直，且

90ADB DBC ∠=∠=︒,在AB 上取一点P,当P 在什么位置时，平面PCD 与平面BCD 成60度的二面角？

例7、已知Rt 三角形ABC 的两直角边AC=2，BC=3，P 是斜边AB 上的点，以CP 棱折成直二面角A-CP-B ，若折后7，试求二面角P-AC-B 的余弦值。

例8、M ，N 分别是正方体1111ABCD A B C D -面对角线11,A B B D 上的点，且

1111111,33

A M A

B B N B D =

=，求证MN 是异面直线11,A B B D 的公垂线。