高中数学二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法

一：知识准备

1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]

4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直

5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）

6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？

二：二面角的基本求法及练习

1、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这

两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，

这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM

—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；

在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A 的大小；

（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。

C1

例2:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。

练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA

ABCD 平面，设PA=AB=a ，求二面角

B P

C

D 的大小。

B A

C

D

P

2、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂

线，得垂足O ；再过该垂足O 作棱FC 1的垂线，得垂足P ，连结起点

与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）。再解直角三角形求二面角的度数。 例1．ABCD ABEF ABCD 平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=

1

2

AD=a ，G 是EF 的中点，

（1）求证：AGC BGC 平面平面；（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值；

（3）求二面角B

AC G 的大小。

例2．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，90

ABC，PAB是正三角形，PA BC。

（1）求证：平面PA B平面A B C；

（2）求二面角P AC B的大小。

B

A

C P

例3.如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角

1

A BD P的大小。

A1B1

D1

C

A

3．无棱二面角的处理方法

（1）补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

平面，设PA=AB=a，

例1．过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。

例2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面P AB;

（Ⅱ）求平面P AD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

中点，求平面

例3．如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC

1

A'BD与平面ABC所成二面角的度数。

例4、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α

的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。

（2）射影面积法（cos

s S

射影）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜

射S S =

θ）求出二面角的大小。

例1：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，求平面EB 1C 和平面ABCD 所成的二面角。

例2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点，求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。

例3如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M

与底面ABCD 所成二面角。

例4．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；