(完整版)离散数学习题答案

离散数学习题答案
习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：
（5）李辛与李末是兄弟
解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语
解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是
p q
∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班
解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了
解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r
∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：
（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，
，
()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1
p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111
p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q
→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：
p q
p
⌝q
⌝()
p p →⌝()p p q
→⌝→⌝001111011010100101110001
由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。

20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q
⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：
()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨
⇔⎩⇒0
p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()
p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧
，此即公式的主析取范式，
()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()
p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，
()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r
∧∨解：原式()(()())
p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧ ()()()()()()
p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()
p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧
，此即主析取范式。

13567m m m m m ⇔∨∨∨∨主析取范式中没出现的极小项为，，，所以主合取范式中含有三个极大项，
0m 2m 4m 0M ，，故原式的主合取范式。

2M 4M 024M M M ⇔∧∧9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
（1）()()p q p r ∨∨⌝∧解：公式的真值表如下：
p q r p ⌝p q ∨p r
⌝∧()()
p q p r ∨∨⌝∧0001000001101101011010111111100010110101011100101111
010
1
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式，故主析取范式1234567
m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：
① p 前提引入
② 前提引入p q ⌝∨③ q
①②析取三段论
④ 前提引入q r ⌝∨⑤ r
③④析取三段论
⑥ 前提引入r s →⑦ s
⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u
∨→∧∨→
→
结论：p u
证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入
∨
②①附加
p q
∨→∧
p q r s
③前提引入
()()
∧
r s
④②③假言推理
⑤ s ④化简
∨
⑥⑤附加
s t
∨→
s t u
()
⑦前提引入
⑧ u ⑥⑦假言推理
故推理正确。

16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
⌝∨r s
∧⌝
→⌝r q
p q
（1）前提：，，
⌝
结论：p
证明：用归谬法
① p 结论的否定引入
→⌝
②前提引入
p q
q
⌝
③①②假言推理
r q
⌝∨
④前提引入
⌝
r
⑤③④析取三段论
∧⌝
⑥前提引入
r s
⑦ r ⑥化简
∧⌝
r r
⑧⑤⑦合取
由于，所以推理正确。

∧⌝⇒
r r
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。

A曾到过受害者房间。

如果A在11点以前离开，看门人会看见他。

看门人没有看见他。

所以，A是谋杀嫌犯。

解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见
过A 。

则前提：，，，()p q r ∧⌝→p q s →s ⌝ 结论：r 证明：① 前提引入q s →② 前提引入s ⌝③ ①②拒取式q ⌝④ 前提引入p ⑤
③④合取引入
p q ∧⌝⑥ 前提引入()p q r ∧⌝→⑦
⑤⑥假言推理
r 习题四及答案：（P65-67）
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：（2）有的火车比有的汽车快。

解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()()(,))
x y F x G y H x y ∃∃∧∧（3）不存在比所有火车都快的汽车。

解：方法一：
设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
或(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→(()(()(,)))
x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝方法二：
设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
或(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→(()(()(,)))
x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→9、给定解释I 如下：
(a) 个体域为实数集合R 。

(b) 特定元素。

0a
-
=(c) 函数。

(,),,f x y x y x y R -
=-∈
(d) 谓词。

(,
):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R -
-
=<∈给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：
（2）(((,),)(,))
x y F f x y a G x y ∀∀→解：解释是：，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x<y 。

(0)x y x y x y ∀∀-=→<该公式在I 解释下的真值为假。

14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）(()(()(,)))
x F x y G y H x y ∀→∃∧解：取解释如下：个体域为全总个体域，
I ：x 是兔子，：y 是乌龟，：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1；
()F x ()G y (,)H x y 取解释如下：：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释下真值是0；
'
I (,)H x y '
I 故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。

此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。

习题五及答案：（P79-81）
5、给定解释I 如下：(a) 个体域D={3,4}
(b)
():(3)4,(4)3
f x f f -
--
==(c) (,):(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3)1F x y F F F F -
-
-
-
-
====试求下列公式在I 下的真值：
(1) (,)
x yF x y ∀∃解：方法一：先消去存在量词
(,)((,3)(,4))
x yF x y x F x F x ∀∃⇔∀∨ ((3,3)(3,4))((4,3)(4,4))
F F F F ⇔∨∧∨ (01)(10)⇔∨∧∨
1
⇔15、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N ξ（3）前提：，(()())x F x G x ∀∨()
xG x ⌝∃
结论：()
xF x ∃证明：
① 前提引入()xG x ⌝∃② ①置换()x G x ∀⌝③ ②UI 规则()G c ⌝④ 前提引入(()())x F x G x ∀∨⑤ ④UI 规则()()F c G c ∨⑥ ③⑤析取三段论()F c ⑦
⑥EG 规则
()xF x ∃*22、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N ξ（2）凡大学生都是勤奋的。

王晓山不勤奋。

所以王晓山不是大学生。

解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：x 是勤奋的，c ：王晓山
则前提：，(()())x F x G x ∀→()
G c ⌝ 结论：()
F c ⌝证明：
① 前提引入
(()())x F x G x ∀→② ①UI 规则()()F c G c →③ 前提引入()G c ⌝④
②③拒取式
()F c ⌝25、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N ξ每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且是聪明的。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）
解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海
则前提：，，(()())x F x G x ∀→(()()())x G x H x I x ∀∧→()()F c H c ∧ 结论：()
I c
证明：
① 前提引入()()F c H c ∧② ①化简()F c ③ ①化简()H c ④ 前提引入(()())x F x G x ∀→⑤ ④UI 规则()()F c G c →⑥ ②⑤假言推理()G c ⑦
③⑥合取引入
()()G c H c ∧⑧ 前提引入(()()())x G x H x I x ∀∧→⑨ ⑧UI 规则()()()G c H c I c ∧→⑩
⑦⑨假言推理
()I c 习题六及答案（P99-100）
28、化简下述集合公式：
（3）(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂解：(())(())(())(())
A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂()()
A B A B =-⋃⋂A
=30、设A,B,C 代表任意集合，试判断下面命题的真假。

如果为真，给出证明；如果为假，给出反例。

（6）()A B A B
⋃-=解：该命题为假，
，如果，则，否则
()A B A B A ⋃-=-B A ⋂=∅B A B -
=，故为假。

B A B -≠B A B -
=举反例如下：
则。

{1,2},{1,3},A B ==(){3}A B A B ⋃-=≠（8）
A B A C B C
⋃=⋃⇒=
解：该命题为假，举反例如下：如果B ，C 都是A 的子集，则一定成立，
A B A C ⋃=⋃但不一定成立，例如：
，, ，则
B C ={1,2}A ={1}B ={2}C =，
A B A C A ⋃=⋃=但。

B
C ≠33、证明集合恒等式：（1）()A B A B A ⋂⋃=⋂:证明：()
A B A ⋂⋃: ()()
A B A A =⋂⋃⋂:
()A B =⋂⋃∅
A B =⋂B A
=⋂
习题七及答案：（P132-135）
26 设，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：{
}1,2,3,4,5,6A =（1）求的集合表达式；23,R R （2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。

解：（1）由R 的关系图可得{}
1,5,2,5,3,1,3,3,4,5
R =所以，，
{23,1,3,3,3,5R R R =︒={323,1,3,3,3,5R R R =︒=可得；
{3,1,3,3,3,5,n>=2n R =当（2），
{A r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6= {}1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4
s R R -== {}
232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5
t R R R === 41、设A={1，2，3，4}，R 为上的二元关系，，
A A ⨯,,,a b c d A A ∀<><>∈⨯,,a b R c d a b c d
<><>⇔+=+（1）证明R 为等价关系；（2）求R 导出的划分。

（1）只需证明R 具有自反性、对称性和传递性即可，证明过程如下：
（a ）任取，有，，所以R 具有自反性；,a b A A ∀<>∈⨯a b a b +=+,,a b R a b ∴<><>（b ）任取，若，
,,,a b c d A A ∀<><>∈⨯,,a b R c d <><>则有，，，所以R 具有对称性；
a b c d +=+c d a b ∴+=+,,c d R a b ∴<><>（c ）任取，若且，,,,,,a b c d e f A A ∀<><><>∈⨯,,a b R c d <><>,,c d R e f <><>则有且，，，所以R 具有传递性，
a b c d +=+c d e f +=+a b e f ∴+=+,,a b R e f ∴<><>综合（a ）（b ）（c ）可知：R 为集合上的等价关系；
A A ⨯（2）先求出集合的结果：
A A ⨯{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}
A A ⨯=<><><><><><><><><><><><><><><><>再分别求集合各元素的等价类，结果如下：
A A ⨯[1,1]{1,1},
R <>=<>[1,2][2,1]{1,2,2,1},
R R <>=<>=<><>
[1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1},
R R R <>=<>=<>=<><><>[1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1},R R R R <>=<>=<>=<>=<><><><>[2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2},R R R <>=<>=<>=<><><>[3,4][4,3]{3,4,4,3},R R <>=<>=<><>。

[4,4]{4,4}R <>=<>等价关系R 导出的划分就是集合A 关于R 的商集，而集合A 关于R 的商集是由R 的所有等/A R /A R 价类作为元素构成的集合，所以等价关系R 导出的划分是：
{{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}}
<><><><><><><><><><><><><><><><>46、分别画出下列各偏序集的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小
,A R ≤元。

（1）{}A
,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤= 解：哈斯图如下：
A 的极大元为e 、f ，极小元为a 、f ；A 的最大元和最小元都不存在。

*22、给定，A 上的关系，试
{}1,2,3,4A ={1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =（1）画出R 的关系图；（2）说明解：（1）（2）R 是反自反的，不是自反的；
R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的；
R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。

*48、设为偏序集，在集合上定义关系T 如下：
,B,S A R 和A B ⨯112211221212,,,A B,
,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ∀∈⨯⇔∧证明T 为上的偏序关系。

A B ⨯证明：（1）自反性：
1111111111
112212121111,A B
R R S b Sb R b Sb ,,,,T
a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈⨯∴∴∴∧⇔∧∴ 任取，则：为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故具有自反性（2）反对称性：
11221122
2211
12122121
1221121221121122,,,A B ,,,,R S b b ,,T
a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈⨯∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2）
，又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故具有反对称性（3）传递性：
1122331122
2233
11221212
22332323
122313
122313
13131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T
a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈⨯⇔∧⇔∧∴∧∴∧∴∧⇒任取，，若且，则有：又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故具有传递性。

综合（1）（2）（3）知T 具有自反性、反对称性和传递性，故T 为上的偏序关系。

A B ⨯
习题九及答案：（P179-180）
8、
S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b
S
⨯*∀∈*=为有理数集，为上的二元运算，有（1）S
*运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？（2）。

S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元解：（1）
,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律
()()
(),a,b c,d
ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b
xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律2a,b s
a,b a,b a ,a,b ab b ∈*=+≠∴*任取，则有：运算无幂等律
（2）
()()a,b *,a,b
a,b s ax,ay+b a,b
a,b s
ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1
y 0y 0
101010
x y =∀∈=∀∈⎧=⎧-=⎪∴⇒∀⎨⎨+==⎪⎩⎩
-==⎧⎧∴⇒⎨⎨
==⎩⎩∴**∴*令对均成立则有：对均成立对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元，运算的单位元为，
()()()a,b *,,,a,b s
a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0
a,b s
a,b *,,a,b s
x y x y x y x y x y x y
x y x y =∀∈=⇒=⎧-=⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨
-=+=⎪⎪⎩⎩
-=∀∈=∀∈令，若存在使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。

由由于不可能对均成立，故不可能对均成立，故不存在零元；a,b ,a,b *,e 10
1x ax 1a
a ay
b 0b
y a a 0a,b
1b
a a,b
,a a
x y x y ==⎧
=⎪=⎧⎪⇒⇒≠⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩
∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0）当时，的逆元不存在；当0时，的逆元是11、
{}
S 12S S ?
=***
设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。

（3）；
x y x y *=大于等于和的最小整数
解：（3）由*运算的定义可知：，
x y=max(x,y)*x,y S,x y S S S
∈*∈**有，故运算在上满足封闭性，所以运算与非空集合能构成代数系统；x,y S,x y=max(x,y)=max(y,x)=y ,
x ∈***
任取有所以运算满足交换律；x,y,z S,
x y)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x (y z),∈*****
任取有(所以运算满足结合律；x S x 1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,
∈***
任取，有所以运算的单位元是1；x S x 10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,
∈***
任取，有所以运算的零元是10；
16、
}}1212V 1,2,3,,1,x
y
V 5,6,,6
x y V V x y x y =︒︒=**设其中表示取和之中较大的数。

，其中表示取和之中较小的数。

求出和的所有的子代数。

指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。

{}{}
{}}}}{}1111V 1
V 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1 V 1,2,3,,1,1,,1 V 1,,1,1,2,,1,1,3,,1︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒解：（1）中运算的单位元是，的所有的子代数是：；的平凡的子代数是：；的真子代数是：；}}{}{}{}2222V 6V 5,6,,66,,6 V 5,6,,66,,6
V 6,,6
******（2）中运算的单位元是， 的所有的子代数是：，；的平凡的子代数是：，；的真子代数是：。

习题十一及答案：（P218-219）
1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。

判断其中哪些是格。

如果不是格，说明理由
解：（a ）、（c ）、（f ）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界；（b ）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在；（d ）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在；（e ）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。

2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。

（1）L={1，2，3，4，5}；（2）L={1，2，3，6，12}；
解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。

4、设L 是格，求以下公式的对偶式：（2）()()()
a b c a b a c ∨∧≤∨∧∨解：对偶式为：，参见P208页定义11.2。

()()()a b c a b a c ∧∨≥∧∨∧6、设L 为格，，且，证明。

,,a b c L ∈a b c ≤≤a b b c ∨=∧证明：,,
a b a b b ≤∴∨=
,,
b c b c b ≤∴∧= a b b c
∴∨=∧
9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。

解：
（a ）图：a,d 互为补元，其中a 为全下界，d 为全上界，b 和c 都没有补元；
（c ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ；
（f ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，b 和e 互为补元，c 和d 都没有补元。

10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。

解：
（a ）图：是一条链，所以是分配格，b 和c 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；
（c ）图：a,f 互为补元，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ，所以任何元素皆有补元，是
有补格； ，所以
(),c b d c a c ∨∧=∨= ()()c b c d f d d ∨∧∨=∧=()()()c b d c b c d ∴∨∧≠∨∧∨对运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；
∨∧（f ）图：经过分析知图（f ）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。

画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f ）对应的格是分配格；c 和d 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。