(完整版)离散数学习题答案

离散数学习题答案

习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：

（5）李辛与李末是兄弟

解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语

解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是

p q

∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班

解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了

解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r

∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：

（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，

，

()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1

p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111

p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q

→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：

p q

p

⌝q

⌝()

p p →⌝()p p q

→⌝→⌝001111011010100101110001

由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。20、求下列公式的成真赋值：

（4）()p q q

⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：

()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨

⇔⎩⇒0

p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()

p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧

，此即公式的主析取范式，

()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()

p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，

()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r

∧∨解：原式()(()())

p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧ ()()()()()()

p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()

p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧

，此即主析取范式。

13567m m m m m ⇔∨∨∨∨主析取范式中没出现的极小项为，，，所以主合取范式中含有三个极大项，

0m 2m 4m 0M ，，故原式的主合取范式。

2M 4M 024M M M ⇔∧∧9、用真值表法求下面公式的主析取范式：

（1）()()p q p r ∨∨⌝∧解：公式的真值表如下：

p q r p ⌝p q ∨p r

⌝∧()()

p q p r ∨∨⌝∧0001000001101101011010111111100010110101011100101111

010

1

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析

取范式，故主析取范式1234567

m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：

① p 前提引入

② 前提引入p q ⌝∨③ q

①②析取三段论

④ 前提引入q r ⌝∨⑤ r

③④析取三段论

⑥ 前提引入r s →⑦ s

⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u

∨→∧∨→

→

结论：p u

证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入

∨

②①附加

p q

∨→∧

p q r s

③前提引入

()()

∧

r s

④②③假言推理

⑤ s ④化简

∨

⑥⑤附加

s t

∨→

s t u

()

⑦前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理

故推理正确。

16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：

⌝∨r s

∧⌝

→⌝r q

p q

（1）前提：，，

⌝

结论：p

证明：用归谬法

① p 结论的否定引入

→⌝

②前提引入

p q

q

⌝

③①②假言推理

r q

⌝∨

④前提引入

⌝

r

⑤③④析取三段论

∧⌝

⑥前提引入

r s

⑦ r ⑥化简

∧⌝

r r

⑧⑤⑦合取

由于，所以推理正确。

∧⌝⇒

r r

17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：

只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A是谋杀嫌犯。解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见