天大历年试题分类

一、线性规划 二、运输问题 三、多目标规划 四、动态规划 五、图论六、网络计划技术 七、决策论 八、存储论 九、排队论 十、对策论 十一、模拟技术一、线性规划（一）选择填空题 （二）线性规划建模 （三）互补松弛应用 （四）灵敏度分析 （五）证明题（一）选择填空题型）：(1)初表的出基变量为 ，进基变量为 。

[]=-1*)2(B最优基逆(3)填完终表。

=*)4(X 最优解=*)5(y 对偶问题最优解(6)若原问题增加一个新的非负变量，则对偶问题的最优目标值将（变大、不变、变小） 。

（2007）解：1．(1)出基变量为x 4；进基变量为x 3。

(2)*12105101305101112B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

(3)(4) *(4511)T X =(5) *14(0)55Y = (6) 变小1．用图解法解线性规划时，以下几种情况中不可能出现的是（ ）。

A ．可行域（约束集合）有界，无有限最优解（或称无解界）B ．可行域（约束集合）无界，有唯一最优解C ．可行域（约束集合）是空集，无可行解D ．可行域（约束集合）有界，有多重最优解 （2006）解：1． A2．根据线性规划的互补松弛定理，安排生产的产品机会成本一定（ ）利润。

A ． 小于 B ． 等于 C ． 大于 D ． 大于等于 （2006）解：2． B1．用大M 法求解Max 型线形规划时，人工变量在目标函数中的系数均为____________，若最优解的_______________中含有人工变量，则原问题无解。

（2005）解：1、-M 基变量1. 设线性规划问题}{0max ≥=bx Ax cx 有最优解*x 和影子价格*y ,则线性规划问题}{02max ≥=bx Ax cx 的最优解= ，影子价格= 。

（2004）解：1. x* 2y*3. 某工程公司拟从1、2、3、4四个项目中选择若干项目。

若令4101⋯⋯=⎩⎨⎧=，，个项目未选中，第个项目被选中，第i i i x i请用i x 的线性表达式表示下列要求：（1）若项目2被选中，则项目4不能被选中： （2）只有项目1被选中，项目3才能被选中： 。

（2004）解：3. 0,13142≤-≤+x x x x一、简答（18%）（1）请简述影子价格的定义。

（2）在使用单纯型表求解型线性规划时，资源的影子价格在单纯型表的什么位置上？ （3）写出影子价格的数学表达式并用其定义加以验证 （4）试述运输问题中检验数的经济意义（2003）解：一、简答⑴当各资源增加一单位时引起的总收入的增量，影子价格大于零的资源一定没有剩余，有剩余一定为零。

⑵松弛变量检验数的负值，对偶问题的最优解。

⑶C B B -1B 是原问题{maxz=C X ∣AX ≤b,X ≥0}最优基 Z *= C B B -1b=Y *b Z *=y 1*b 1+y 2*b 2…y m *b m*z bδδ=y3* ⑷表明增加一个单位的运量会引起总运输费用的变化1． 线性规划原问题中约束的个数与其对偶问题中的 变量 个数相等。

若原问题第j 个约束为等式，则对偶问题第j 个 变量 自由。

（2002） 解：2． 设线性规划问题max:{cx|Ax ≤bx ≥0}有最优解，且最优解值z>0；如果c 和b 分别被v>1所乘，则改变后的问题 也有 （也有、不一定有）最优解；若有最优解，其最优解 大于 (大于、小于、等于)z 。

（2002）1．下列数学模型中 a 是线性规划模型。

(2001)⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++=32954867min max )(321321x x x x x x Z b321324m ax )(x x x Z a ++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,120544150637..321321321x x x x x x x x x t s ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,500896300355..321321321x x x x x x x x x t s 解：2．下列图形（阴影部分）中 b 是凸集。

(2001)（a ） （b ） （c ） 解：3．标准形式的线性规划问题，其可行解 b 是基本可行解，最优解 a 是可行解，最优解 a 能在可行域的某顶点达到。

(2001)（a ）一定 （b ）不一定 （c ）一定不 解：4．目标函数取极小（min Z ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大 b 的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于 c 。

(2001)（a ）max Z （b ）max （-Z ） （c ）-max （-Z ） （d ）-max Z （a ）最小元素法 （b ）比回路法 1. 线性规划单纯形算法的基本步骤是：（1） （2） (3) 每次迭代保持解的 ，改善解值的 。

对偶单纯形法每次迭代保持解的 ，改善解值的 。

（2000）解：确定一个初始基可行解；检验一个基可行解是否为最优解；寻找一个更好基可行解；可行性；最优性。

2. 设有线性规划问题[]{}0,|,m in ≥==∈=X b AX X R X CX f ，有一可行基B （为A 中的前m 列），记相应基变量为πX ，价格系数为C B ，相应于非基变量为X N ，价格系数为C N ，则相应于B 的基本可行解为X= ；用非基变量来表示基变量的表达式为X B = ；用非基变量表示目标函数的表达式为f= ，B 为最优基的条件是 。

（2000）解：111111,,(),00N B N B N N B B b B b B NX C B b C C B N X C C B N ------⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭3. 线性规划（Min 型）问题有多重最优解时，其最优单纯形表上的特征为： （2000）解：0,0.j k j x σσ≥=所有检验数而某一个非基变量检验数 6. 某足球队要从1，2，3，4，5号五名队员中挑选若干名上场。

令⎩⎨⎧=54321i i 0i 1，，，，＝号不上场，第号上场第i x 请用x i 的线性表达式表示下列要求：（1）从1，2，3中至多选2名： （2）如果2号和3号都上场，则5号不上场： （3）只有4号上场,1号才上场：(2000) 解：12345142,0, 1.x x x x x x x ++≥-≥+≤1．某工程公司拟从四个项目中选择若干项目，若令1,1,2,3,4.0,i i x i i ⎧==⎨⎩第个项目被选中第个项目末被选中请用x i 的线性表达式表示下列要求：（1）从1，2，3项目中至少选择一个： ，（2）只有项目2被选中，项目4才能被选中 。

（1999）解：1、x 1+x 2+x 3≥1x 2≥x 42．考虑线形规划问题123123123123max 512425..232,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩45（1）上述模型的对偶模型为 ， （2）对偶模型的最优解为 ，（3）当两种资源分别单独增加一个单位时，目标函数值分别增加 和 ，（4）最优基的逆矩阵1B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？（1999）解：2．（1）1212121212min 5225212340,W y y y y y y y y y y =++≥⎧⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩无符号限制（2）Y*=（295，-25）（3）295，-25（4）21551255⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5）变小1．下面给出某线形规划的单纯形初表（表1）与某一中间表（表2）（Min 型）：1) 初表的出基变量为__________，进基变量为_________。

2) 填完表2，该表是否是终表?_________。

若是，最优值=*Z ________ 3) 此线形规划对偶问题的最优解=*Y _______(1998)解：1.下面给出某线形规划的单纯形初表（表1）与某一中间表（表2）（Min 型）：4) 初表的出基变量为_____x 4_____，进基变量为___x 3______。

5) 填完表2，该表是否是终表?____是_____。

若是，最优值=*Z __-11______此线形规划对偶问题的最优解=*Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--,054,51 解： 解： 解： 解：解： 解：（二）线性规划建模 二（20分）、某化学制药厂有m 种有害副产品，它们的数量为b i （i=1，…，m ）。

按照规定，必须经过处理，制成n 种无害物后才能废弃。

设aij 为每制成一单位第j （j=1，…，n ）种无害物可以处理掉第i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第j 种无害物的费用。

1． 现欲求各无害物的产量xj 以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线性规划模型； 2． 写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。

（2007） 解：1．11111221121122222112212min ..,,0nj jj n n n n m m mn n mn z c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx x x ==∑++⋯+≥⎧⎪++⋯+≥⎪⎪⋯⋯⎨⎪++⋯+≥⎪⋯≥⎪⎩， 2．11112121112122222112212max ..,,0mi ii m m m m n n mn m nm z y b a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y cy y y ==∑++⋯+≤⎧⎪++⋯+≤⎪⎪⋯⋯⎨⎪++⋯+≤⎪⋯≥⎪⎩， 经济意义：i y 为第i 种有害副产品不经处理直接废弃的费用。

二（10%）、某大型企业每年需要进行多种类型的员工培训。

假设共有需要培训的需求（如技术类、管理类）为6种，每种需求的最低培训人数为a i ，i=1,…,6, 可供选择的培训方式（如内部自行培训、外部与高校合作培训）有5种，每种的最高培训人数为bj, j=1,…,5。

又设若选择了第1种培训方式，则第3种培训方式也要选择。

记x ij 为第i 种需求由第j 方式培训的人员数量，z 为培训总费用。

费用的构成包括固定费用和可变费用，第j 种方式的固定费用为hj （与人数无关），与人数x ij 相应的可变费用为c ij （表示第j 方式培训第i 种需求类型的单位费用）。

如果以成本费用为优化目标，请建立该培训问题的结构优化模型（不解）。

（2006）解：二、ij x i j 设为第种需求由第种方式培训的人员数量，1j 0j y ⎧=⎨⎩选择培训方式否则565111min j j ij ij j i j z y h c x ====+∑∑∑615113(1,2,,5)(1,2,,6)00(1,6,1,2,,5)01(1,2,,5)ij j j i ij i j ijj x b y i x a i y y x i j y j ==⎧≤=∑⎪⎪⎪≥=∑⎪⎪-≤⎨⎪≥==⎪⎪==⎪⎪⎩L L L L L 或123约束依A,B 原料次序）:(2)写出此问题的对偶规划模型（2003）解：⒈①maxz=30x 1+20x 2+35x 3-8x 1-5x 2-18x 3-5(x 1+0.4x 2+0.6x 3)-7(0.5x 1+0.6x 2+0.5x 3) 目标函数maxz=13.5x 1+8.8x 2+10.5x 3 约束条件 x 1+0.4x 2+0.6x 3≤350 0.5x 1+0.6x 2+0.5x 3≤460 x 1≥0,x 2≥0,x 3≥0②对偶规划模型目标函数 minw=350y 1+460y 2 约束条件y 1+0.5y 2≥13.5 0.4y 1+0.6y 2≥8.8 0.6y 1+0.5y 2≥10.5 y 1≥0,y 2≥0 三、（10%）某服装厂制造大、中、小三种尺寸的防寒服，所用资源有尼龙绸、尼龙棉、劳动力和缝纫设备。