积分对称性定理

关于积分对称性定理

1、

定积分：

设 f ( x) 在 a,a 上连续，则

2、 二重积分：

若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则

(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分

0,

f x,y 为y 的奇函数

f x, y dxdy

2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数

D

D 1

其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。

(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分

0, f x, y 为x 的奇函数,

f

x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.

D

D 2

其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。

(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函

a -a

x dx

0,

a

2 f x dx,

0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶

数，即卩

f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分

0, f x,y为x,y的奇函数

f x,ydx：y

2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数

D

D2

其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。

(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分

f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)

D D

(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有

0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时

D D

利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)

中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特

性。

3、三重积分：

(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关

于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩

有

0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数

1

注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)

f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)

同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性

质

。

4、曲线积分(第一类)

(1)若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且f x, y在L上为连续函

数，L i为L位于y轴右侧的弧段，则

0, f x, y为x的奇函数，

L f x, y ds 2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数.

L i

(2)若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且f x,y在L上为连续函

数，L i为L位于x轴上侧的弧段，则

0, f x, y为y的奇函数

f x,yds 2 f x,yds, f x,y 为y的偶函数

L

L i

(3)若L关于直线y x对称，则

f(x,y)ds f(y,x)ds

L L

其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。

5、第二类曲线积分

(1)设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分L!与在下半

部分的L2方向相反，

则

(2)设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分L i与在左半部分的L2方向相反则

0, P x,y是关于x勺偶函数,

L P x, y dx 2 P x, y dx, P x, y是关于x勺奇函数.

L i

对于积分L Q x,y dy也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形

6、第一类曲面积分：

若曲面关于xoy坐标面对称，f x,y,z为上的连续函数，1为

位于xoy上侧z 0的部分曲面，则

0, f x, y,z为Z的奇函数x, y, zdS 2 f x, y, z dS, f x, y,z 为z的偶函数

1

曲面关于yoz,xoz坐标平面对称也有类似的性质。

7、第二类曲面积分的对称性

设函数P(x, y)z),Q(x)y,z) , R(x, y,z)在分片光滑的曲面上连续，

(1)设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的部分

曲面i取上侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则

0, R x,y,z关于是偶函数R x, y,z dxdy 2 R x,y,z dxdy, R x,y,z 关于是奇函数

1

(2)设分片光滑的曲面关于yoz坐标面对称，且在yoz前半空间的部分

曲面i取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则

(3)设分片光滑的曲面关于xoz坐标面对称，且在xoz右半空间的部分

曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则

（4）若积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性，则

P x,y,z dydz P y,z,x dzdx P 乙x, y dxdy