数据的统计分析

峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数
据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.
4.
k 阶原点矩：Vk
1 n
n i 1
X
k i
k 阶中心矩：U k
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
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二、分布函数的近似求法
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
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后勤工程学院数学教研室
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实验目的
1、直观了解统计基本内容。 2、掌握用数学软件包求解统计问题。
实验内容
1、统计的基本理论。 2、用数学软件包求解统计问题。 3、实验作业。
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
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统计的基本概念 参数估计 假设检验
1、整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
得
x1*
x
* 2
xn* .在包含[x1* , xn* ] 的区间[a，b]内插入一些等分点：
a x1' x2' xn' b, 注意要使每一个区间(xi' , xi'1 ] （i=1，2，…，n-1）
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
X2，…，Xn）（i=1，2，…，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特
征）i （i=1，2，…，k）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数ˆi ( X1，X2，…，Xn） 作为参数i 的点估计量，称统计量ˆi 为总体 X 参数i 的点估计量.
2. 区间估计：构造两个函数 i1 ( X1，X2，…，Xn）和 i2 ( X1，X2，…， Xn）做成区间，把这（ i1 , i2 ）作为参数i 的区间估计.
3
一、统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
平均值（或均值，数学期望）： X
1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2、表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差
标准差： s
[ 1 n 1
n i 1
(Xi
1
X )2]2
它是各个数据与均值偏离程度的度量.
方差：标准差的平方.
T X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的
曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
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4. F 分布 F（n1，n2）
频率直方图.
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三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布N (m,s 2 )
密度函数： p(x)
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数：F (x)
2p s
其中 m 为均值，s 2 为方差， x .
1
e dy x
( ym)2 2s 2
2ps
标准正态分布：N（0，1）
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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返回
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无论总体 X 的分布函数 F（x；1, 2 , , k ）的类型已知或未知，
我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即
参数估计就是从样本（X1，X2，…，Xn）出发，构造一些统计量ˆi ( X1，
极差：样本中最大值与最小值之差.
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3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
偏度： g1
1 s3
n
(Xi
i 1
X )3
峰度： g 2
1 s4
n
(Xi
i 1
X )4
偏度反映分布的对称性，g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值 右边的比位于左边的多；g1 <0 称为左偏态，情况相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的.
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(二）极大似然估计法
极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,…,xn, 则我们应当这样选取参数
i 的 值 , 使 这 组 样 本 观 测 值 出 现 的 可 能 性 最 大 . 即 构 造 似 然 函 数 ：
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一、点估计的求法
(一）矩估计法
假设总体分布中共含有 k 个参数，它们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计
总体的某些参数i （i=1，2，…k），由于 k 个参数一定可以
表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体相应的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法.
若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量 X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
由 F 分布的定义可以得到 F 分布 的一个重要性质：
1 若 F~ F（n1，n2），则 F ~ F (n2 , n1 )
F分布F（10，50）的密度函数曲线
2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间( xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数ni
，它就是这区间或这组的频数.计算频率
fi
ni n
.
3、作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出x1' , x2' , , xn' 各点，分别以
(
xi'
,
xi'1
]
Βιβλιοθήκη Baidu
为底边，作高为
fi xi'
的矩形， xi' xi'1 xi' , i 1,2, , n 1 ,即得
密度函数
j(x)
1
x2
e2
2p
分布函数
F(x)
1
x
y2
e 2 dy
2p
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
，
0.1
0.05
0
-4
-2
0
2
4
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2、 2 分布 2 （n）
若随机变量 X1，X2，… Xn 相互独 立，都服从标准正态分布 N（0，1），则随机
变量
Y=
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为 n 的 2 分布，记为 Y~ 2 （n）.
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
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3、 t 分布 t（n）
若 X~N（0，1），Y~ 2 （n），且相互
独立，则随机变量