中考数学 二次函数综合试题及详细答案

中考数学 二次函数综合试题及详细答案

一、二次函数

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；

（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或

332t ≤<或72t =. 【解析】

【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a 12a

--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩

，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．

【详解】

解：（1）∵2a x 12a

-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.

∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，

∴抛物线过点()1,4.

得a 2a 34-+=，

解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

.

易得直线CD 的方程为y x 3=+.

把()P t,0代入，得t 3=-.

∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7t 2

=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=

13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=

32

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=

32列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=，从而