MATLAB软件在一元微积分计算上的应用

＞＞ｄｙ＝ｄｉｆｆ（ｙ）；
＞＞ｐｒｅｔｔｙ（ｄｙ）
ｅｘｐ（ｘ）＋ｘ ｅｘｐ（ｘ） － （ｘ ｅｘｐ（ｘ）－１）ｃｏｓ（ｘ）
ｓｉｎ（ｘ）
２
ｓｉｎ（ｘ）
３２
福建信息技术教育
２００８ 年第 ４ 期
即：ｙ３
′＝
ｅｘ－ ｘｅｘ ｓｉｎｘ
－ （ｘｅｘ－１）ｃｏｓｘ ｓｉｎ２ｘ
说明：
１）本题是采用命令函数 ｓｙｍ（‘ ’）将表达式定
键入指令：
＞＞ｃｌｅａｒ
＞＞ｓｙｍｓ ｘ； ％生成符号变量 ｘ
＞＞ｌｉｍｉｔ（（１／ｘ）＾ａｔａｎ（ｘ），ｘ，０， ＇ｒｉｇｈｔ＇）
运行结果：
ａｎｓ ＝
１
＞＞ｌｉｍｉｔ（ｌｏｇ（ｃｏｔ（ｘ））／（ｌｏｇ（ｘ）），ｘ，０，
＇ｒｉｇｈｔ＇）
运行结果：
ａｎｓ＝
－１
说明：首先用命令函数 ｓｙｍｓ（ ）将 ｘ 定义为符
来进行的，该指令对表达式 Ｆ 求极限，变量 ｘ 从左
边趋近于 ａ。当参数 ｘ，ａ，ｌｅｆｔ 省略时系统默认为
求独立变量趋于 ０ 时 Ｆ 的极限。第四个参数
＇ｌｅｆｔ＇ 表示独立变量从左边趋近，＇ｒｉｇｈｔ＇ 表示
独立变量从右边趋近［２］。
例 １ 求下列函数的极限：
（１）ｙ＝ ｘ＋２ １－ｘ
（２）ｌｉｍ（１ｎｃｏｔｘ ） ｘ→０＋０ ｌｎｘ
可将这两个符号变量组成一个符号数组，利用命
令 ｌｉｍｉｔ（Ｆ）可以对数组的每一个元素进行求极限
的运算。本题也可用例 １ 的方法。显然这种方法更
简便。
２）ｌｉｍｉｔ（Ｆ）是对表达式 Ｆ 求极限运算，系统
默认独立变量为 ｘ，且趋近于 ０，两个表达式 Ｆ１、Ｆ２
的极限值分别为 ｅｘｐ（２）、１／２。
２． ２ 微分运算
２． ３ 积分运算
积分运算是通过指令：ｉｎｔ（Ｆ，ｖａｒｉａｂｌｅ）来求
不定积分的，ｉｎｔ（Ｆ，ｖａｒｉａｂｌｅ，ａ，ｂ）求定积分。其
中 Ｆ 为待积分的函数表达式，ｖａｒｉａｂｌｅ 为积分变
量，ａ 为积分下限，ｂ 为积分上限［２］。
! 例 １ 计算不定积分 ｓｉｎａｘｓｉｎｂｘｓｉｎｃｘｄｘ
键入指令： ＞＞ｃｌｅａｒ
识，并学会利用 ＭＡＴＬＡＢ 软件进行一元微积分计
算，不仅求解方便特别是对用手工计算量大的题
目，而且能提高用计算机软件求解数学题的能力。
参考文献：
［１］求是科技．ＭＡＴＬＡＢ７．０ 从入门到精通［Ｍ］．北京：人民邮电出版 社，２００６．
［２］胡良剑，孙晓君．ＭＡＴＬＡＢ 数学实验［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ２００６．
％将（（１＋ｘ）／（１－ｘ））＾（１／ｘ）转化为符号对象
＞＞Ｆ２＝ｓｙｍ （＇ （ｓｑｒｔ （１＋ｘ＊ｓｉｎ （ｘ））－１）／ （ｘ＊ （ｅｘｐ
（ｘ）－１））＇）；
＞＞Ｆ＝［Ｆ１，Ｆ２］；
＞＞ｌｉｍｉｔ（Ｆ）
ａｎｓ＝
［ｅｘｐ（２），１／２］
说明：
１）本题是采用另一命令函数 ｓｙｍ（‘ ’）将表达
式定义为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号变量。由于独立变量 ｘ 的变化一样，
＞＞ｓｙｍｓ ｘ ｙ ａ ｂ ｃ
＞＞ｙ＝ｓｉｎ（ａ＊ｘ）＊ｓｉｎ（ｂ＊ｘ）＊ｓｉｎ（ｃ＊ｘ）；
＞＞ｉｎｔ（ｙ，ｘ）
ａｎｓ＝
－１／４／（ｃ＋ａ－ｂ）＊ｃｏｓ（（ｃ＋ａ－ｂ）＊ｘ）＋１／４／（－ｃ＋ａ－ｂ）
＊ｃｏｓ（（－ｃ＋ａ－ｂ）＊ｘ）＋１／４／（ｃ＋ａ＋ｂ）＊ｃｏｓ（（ｃ＋ａ＋ｂ）＊ｘ）
－１／４／（－ｃ＋ａ＋ｂ）＊ｃｏｓ（（－ｃ＋ａ＋ｂ）＊ｘ）
１ ０
ｘ
ｘｅ
２
（１＋ｘ）
ｄｘ
键入指令：
＞＞ｃｌｅａｒ
＞＞ｓｙｍｓ ｘ
＞＞ｉｎｔ（（ｘ＊ｅｘｐ（ｘ））／（１＋ｘ）＾２，ｘ，０，１）
ａｎｓ＝
１／２＊ｅｘｐ（１）－１
说明：首先用命令函数 ｓｙｍｓ（）将 ｘ 定义为符
号变量，然后利用命令 ｉｎｔ（ｆ，ｖａｒｉａｂｌｅ，ａ，ｂ）对函
数 ｙ 求定积分。
从上可以看出，了解 ＭＡＴＬＡＢ 软件的一些常
义为符号变量，ｄｉｆｆ 命令默认求导的阶次为 １ 阶
进行求导。如果表达式里有多个符号变量，并且没
有在参数里说明，则按人们习惯的独立变量顺序
确定进行求导的变量。
２）这里命令函数 ｐｒｅｔｔｙ（ｄｙ）的作用，是用我
们数学上习惯的书写显示变量 ｄｙ。
例２
求函数
ｙ＝ｌｎ
ｘ＋２ １－ｘ
的 ３ 阶导数。
键入指令：
说明：这里首先用命令函数 ｓｙｍｓ（ ）将 ｘ，ｙ，
ａ，ｂ，ｃ 定义为符号变量，编写函数表达式并赋予
ｙ，然后利用命令 ｉｎｔ（ｆ，ｖａｒｉａｂｌｅ）对函数 ｙ 求不
定积分。本题用手工计算就不好计算了，可是对于
ＭＡＴＬＡＢ 来说，还是一样的简单。ＭＡＴＬＡＢ 中常数项 Ｃ
不会显示。
! 例 ２
计算定积分
１ ＭＡＴＬＡＢ 软件入门
１． １ ＭＡＴＬＡＢ 启动和几个最常用窗口［１］ 选中 ＭＡＴＬＡＢ 图标双击鼠标左键即进入 ＭＡＴ－
ＬＡＢ 的桌面，这时会出现 ３ 个最常用窗口： １）指令窗口— ——该窗口位于右边最大的窗口，
是进行 ＭＡＴＬＡＢ 操作最重要的窗口，窗口中 ＞＞ 为 提示符，输入运算指令，按 Ｅｎｔｅｒ 键则运行并显示 相应的结果。
２００８ 年 １０ 月
洪彩霞：ＭＡＴＬＡＢ软件在一元微积分计算上的应用
３１
３）变量查询用 ｗｈｏ 或 ｗｈｏｓ，清除变量用 ｃｌｅａｒ，
退出用 ｑｕｉｔ。
４）语句后有“；”不显示结果，没有“；”显示结
果。当结果缺少变量名时，系统会自动给出运行结
果变量 ａｎｓ。
５）％表示注释功能。
２ 一元微积分常用算法
微 分 运 算 是 通 过 指 令 ：ｄｉｆｆ （ｆｕｎｃｔｉｏｎ，
＇ｖａｒｉａｂｌｅ＇，ｎ）来进行，参数 ｆｕｎｃｔｉｏｎ 为需要进
行求导运算的函数，ｖａｒｉｂｌｅ 为求导运算的独立变
量，ｎ 为求导阶次［２］。
例 １ 求下列函数的导数：
ｙ＝ ｘｅｘ－１ ｓｉｎｘ
键入指令：
＞＞ｃｌｅａｒ
＞＞ｙ＝ｓｙｍ（＇（（ｘ＊ｅｘｐ（ｘ）－１）／ｓｉｎ（ｘ））＇）；
利用 ＭＡＴＬＡＢ 中的符号运算功能可以进行一
元微积分计算，ＭＡＴＬＡＢ 中的符号运算要求变量、表
达式均为符号对象，应当用命令函数 ｓｙｍ（‘ ＇）或
ｓｙｍｓ（ ）生成。ｓｙｍ（‘ ’）是将数值或字符串转化为
符号对象。ｓｙｍｓ（ ）是定义符号变量，它可定义多
个符号对象。
２． １ 极限运算
极限运算是通过指令：ｌｉｍｉｔ（Ｆ，ｘ，ａ，＇ｌｅｆｔ＇）
３）指令历史—— —该窗口位于左下方，窗口显 示曾经在指令窗口输入过的指令，选中指令行并 击右键可进行窗口中提供的一些操作。 １． ２ ＭＡＴＬＡＢ 中的常用数学函数
正弦 ｓｉｎ（ｘ），余弦 ｃｏｓ（ｘ），正切 ｔａｎ（ｘ）， 余 切 ｃｏｔ（ｘ）， 正割 ｓｅｃ（ｘ）， 余割 ｃｓｃ（ｘ），反正弦 ａｓｉｎ（ｘ），反正切 ａｔａｎ（ｘ）等。
号变量，然后利用命令 ｌｉｍｉｔ（Ｆ，ｘ，ａ，＇ｒｉｇｈｔ＇）逐
一对每道题表达式 Ｆ 求右极限。
例 ２ 求下列表达式的极限：
１
Ｆ１＝ｌｉｍ（
ｘ→０
１＋ｘ １－ｘ
）ｘ
Ｆ２＝ｌｉｍ
ｘ→０
!１＋ｘｓｉｎｘ－１ ｘ（ｅｘ－１）
键入指令：
＞＞ｃｌｅａｒ
＞＞Ｆ１＝ｓｙｍ（＇（（１＋ｘ）／（１－ｘ））＾（１／ｘ）＇）；
例 计算球体积 ＞＞ｒ＝２； ＞＞ｖ＝４／３＊ｐｉ＊ｒ＾３ ＞＞ｖ ＝ ３３．５１０３ ２）工作空间— ——该窗口位于左上方窗口前台， 窗口显示工作空间里保存的所有变量的信息，选 中变量并击右键可进行窗口中提供的一些操作。 工作空间里保存的所有变量只在本次操作中有
效，当关闭 ＭＡＴＬＡＢ，下次再打开时，上次操作时保 存的所有变量将不再存在。
＞＞ｃｌｅａｒ
＞＞ｓｙｍｓ ｘ
＞＞ｙ＝ｌｏｇ（（ｘ＋２）／（１－ｘ））；
＞＞ｄｙ＝ｄｉｆｆ（ｙ，ｘ，３）
ｄｙ＝
（６／ （１－ｘ）＾３＋６＊ （ｘ＋２）／ （１－ｘ）＾４）／ （ｘ＋２）＊
（１－ｘ）－２＊ （２／ （１－ｘ）＾２＋２＊ （ｘ＋２）／ （１－ｘ）＾３）／ （ｘ＋２）
＾２＊ （１－ｘ）－２＊ （２／ （１－ｘ）＾２＋２＊ （ｘ＋２）／ （１－ｘ）＾３）／
指数函数 ｅｘｐ（ｘ）， 自然对数 ｌｏｇ（ｘ）， 常用 对数 ｌｏｇ１０（ｘ）， 以 ２ 为底的对数 ｌｏｇ２（ｘ）， 平方 根 ｓｑｒｔ（ｘ），绝对值函数 ａｂｓ（ｘ）等［２］。 １． ３ 数学表达式的输入
在 ＭＡＴＬＡＢ 中数学表达式的编写与通常基本 一样，它是用下列基本运算符，其中
１）“＋”“－”“＊”“＼”“／”“＾”分 别 实 现 元 素 的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
（ｘ＋２）＋２＊ （１／ （１－ｘ）＋ （ｘ＋２）／ （１－ｘ）＾２）／ （ｘ＋２）＾３＊
（１－ｘ）＋２＊（１／（１－ｘ）＋（ｘ＋２）／（１－ｘ）＾２）／（ｘ＋２）＾２
说明：这里首先用命令函数 ｓｙｍｓ（）将 ｘ 定义
为符号变量，然后利用命令 ｄｉｆｆ（ｙ，ｘ，３）对函数 ｙ
求 ３ 阶导。本题用 ＭＡＴＬＡＢ 软件计算很方便。
法。
关键词： ＭＡＴＬＡＢ 软件； 指令窗口； 工作空间； 指令历史； 命令函数
中图分类号： Ｏ２４１． ８
文章标识码： Ａ
文章编号： Ｋ１２４（ ２００８） ０４－ ３０－ ０３
ＭＡＴＬＡＢ 是 ＭＡＴＲＩＸ ＬＡＢＯＲＡＴＯＲＹ（矩阵试验室） 的缩写，它是一套高性能的数值计算和可视化软 件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显 示于一体，可方便地应用于数学计算、算法开发、 数据采集、系统建模和仿真、数据分析和可视化、 科学和工程绘图、应用软件开发等方面。
福建信息技术教育
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Ｆｕｊｉａｎ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
２００８ 年第 ４ 期
MATLAB 软件在一元微积分计算上的应用
洪彩霞
（ 福建信息职业技术学院， 福建 福州 ３５０００３）
摘 要： 简单介绍 ＭＡＴＬＡＢ 软件的一些入门知识， 探讨它的应用， 并 列 举 了 它 在 一 元 微 积 分 计 算 上 的 几 种 应 用 方
２）“．＊”“．＼”“．／”“．＾”分别实现“元素对元 素”的数组乘、左除、右除、求幂运算［２］。 １． ４ 几点说明
１）利用←↑→↓键可编辑前面的命令。 ２）常用的常量：ｉ 或 ｊ―复数单位， ｐｉ―圆周率， Ｉｎｆ―无穷大。
收稿日期：２００８－０９－０８ 作者简介：洪彩霞（１９７８－），女，福建南安人，副教授，研究方向为高等数学。