matlab求定积分之实例说明

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MATLAB给出了quad函数来求定积分-Read

MATLAB @SDU 7
例：前一例子 [分别用quad函数和quadl函数求定积分
的近似值，并在相同的求[0,pi] 定积分 f=x*sin(x)/(1+cos(x)*cos(x)) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl('x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x))',0,pi) I= 2.4674
MATLAB @SDU 9
函数极值
• MATLAB中只存在处理极小值命令的函数，极大值的处理等价于-f(x)的极小值 • 局域极值的函数调用： • x = fminbnd(fun,x1,x2,options)：一元函数的[x1,x2]范围内极小值 • x = fminsearch(fun,x0,options): 单纯形法求函数极值，x0为向量 • X=fminunc(fun,X0,options): 拟牛顿法多元函数极值点
MATLAB @SDU 5
例求[0.3pi]定积分 f=exp(-0.5*x)*sin(x+pi/6); 。
调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)',0,3*pi) S= 0.9008 n= 77
MATLAB @SDU
6
2．高阶法：自适应牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了 quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高阶自适应递推法，该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

matlab的求导和积分运算

在MATLAB中，你可以使用不同的函数来进行求导和积分运算。

下面是一些详细解答：
求导运算：
MATLAB中用于求导的主要函数是diff。

以下是一些示例：
对符号表达式求导：
这里，f是一个符号表达式，diff(f, x)计算了对变量x的导数。

对数值数据求导：
在这个例子中，我们使用diff函数来对数值数据进行数值求导。

注意，由于diff返回的是差异，我们需要用./来执行逐元素的除法。

积分运算：
MATLAB中用于积分的主要函数是integral。

以下是一些示例：
对符号表达式积分：
这里，f是一个符号表达式，integral(f, a, b)计算了从a到b的定积分。

对数值数据积分：
在这个例子中，我们使用trapz函数对数值数据进行数值积分。

trapz是梯形积分的数值实现。

这只是求导和积分的一些基本示例。

在实际应用中，你可能会遇到更复杂的函数和更高级的数值方法，但这应该能帮助你入门。

matlab实验报告--定积分的近似计算

abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。

matlab蒙特卡洛法求定积分

文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。

传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。

而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。

1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。

具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。

2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。

通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。

matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。

3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。

在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。

4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。

蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。

在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。

matlab复合梯形法求定积分

matlab复合梯形法求定积分
Matlab中的复合梯形法是一种求解定积分问题比较有效的方法。

它的基本思想是用一些梯
形的面积累加的方式来近似地求出积分。

具体来说，首先将定积分区间定义为[a,b]，则复合梯形法对这一区间进行划分，生成n个
子区间，每个子区间都可以由一组等距的端点构成，也就是x0, x1, x2,…, xn。

在每个子区
间中，假设被积函数y=f(x)的值分别为y0, y1, y2,…, yn，则复合梯形法的近似值可以用如
下公式表示：
I=∑i=0n[(x_{i+1}-x_i)/2][f(x_i)+f(x_{i+1})]
以上所述是Matlab中复合梯形法求解定积分的基本思想和步骤，总体流程是给定定积分，首先将区间划分为n个子区间，其每个子区间有一组等距的端点，然后用上面提到的公式
累加每个子区间在相应端点处的函数值，就可以得到最终的定积分结果。

它比一般的数值
积分方法收敛要快，计算结果也更精确，所以在很多定积分求解问题中仍然作为有效的计
算方法。

小小知识点（十二）利用MATLAB计算定积分

⼩⼩知识点（⼗⼆）利⽤MATLAB计算定积分⼀重定积分1. Z = trapz(X,Y,dim)梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使⽤梯形公式进⾏积分%举例说明1clcclear all% int(sin(x),0,pi)x=0:pi/100:pi; %积分区间y=sin(x); %被积函数z = trapz(x,y) %计算⽅式⼀z = pi/100*trapz(y) %计算⽅式⼆运⾏结果被积函数曲线2、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)⾃适应simpson公式数值积分，适⽤于精度要求低，积分限[a,b]必须是有限的,被积函数平滑性较差的数值积分.[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)⾃适应龙贝格数值积分，适⽤于精度要求⾼，积分限[a,b]必须是有限的，被积函数曲线⽐较平滑的数值积分%举例说明2% 被积函数1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]clcclear allF = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n); %被积函数Q1 = quad(@(x)F(x,5),0,2) %计算⽅式⼀Q1 = quad(F,0,2,[],[],5) %计算⽅式⼆Q2 = quadl(@(x)F(x,5),0,2) %计算⽅式⼀Q2 = quadl(F,0,2,[],[],5) %计算⽅式⼆运⾏结果被积函数曲线可能警告：1.'Minimum step size reached'意味着⼦区间的长度与计算机舍⼊误差相当，⽆法继续计算了。

原因可能是有不可积的奇点2.'Maximum function count exceeded'意味着积分递归计算超过了10000次。

原因可能是有不可积的奇点3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

matlab定积分及应用

实验四定积分及应用实验的目的1、掌握利用Matlab 进行积分运算；2、掌握积分在计算面积、体积等问题中的应用；3、掌握各种积分指令的区别与特点。

实验的基本理论与方法1、定积分定义：函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分定义为：设函数)(x f 在],[b a 上有界，在区间],[b a 上任取1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把],[b a 分成n 个小区间],[1i i i x x -=∆， n i ,,2,1 =。

这些分点构成对区间],[b a 的一个分割，用T 表示。

小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x 。

记{}i ni x T ∆=≤≤1ma x ，称为分割T 的模。

在区间],[1i i ix x -=∆上取点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ，做函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ。

当0→T 时，和S 总趋于确定的极限，这时这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(。

即i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ。

2、定积分的应用①计算平面图形的面积：由连续曲线)0)()((≥=x f x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形面积为⎰=badx x f S )(；②计算旋转体的体积：由连续曲线)(x f y =，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所成立体的体积为⎰=badx x f V 2)]([π；③计算平面曲线的弧长：设曲线弧由直线坐标方程))((b x a x f y ≤≤=给出，其中)(x f 在],[b a 上具有一阶连续导数，则曲线弧长dx y l ba⎰'+=21；设曲线弧由参数方程⎩⎨⎧≤≤==)(,)()(βαt t y y t x x 给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长dt t y t x l ⎰'+'=βα22)()(；设曲线弧由极坐标方程))((βθαθ≤≤=r r 给出，其中)(θr 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长θθθβαd r r l ⎰'+=22)()(。

(完整版)MATLAB数值积分解读

ans = 0.28579682416393
6.3 二重定积分的数值求解
使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：
I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 a,b
通过对表达式尝试多种丌同的算法迚行化简以寻求符号表达式为返回的简化形式how为化简过程中使用的主要方法simple函数综合使用了下列化简方法
6 MATLAB 数值积分
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
分的下限和上限。该函数求被积函数在区间 [a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf 时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
6.2.3 被积函数由一个表格定义
trapz(x,y) 为梯形积分法，x表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数在x处的函数值，z返回积分值。
例4 用trapz函数计算定积分。命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y)
运行结果为ans =64/5
用trapz求数值解，相应的Matlab代码为
clear; x=-2:0.1:2; y=x.^4; %积分步长为0.1（可改变，演示）

如何用matlab计算定积分

用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑∫=→∆∆==ni iix baxf dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈−=∆=<<<=−−ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。

有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。

微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba−=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。

不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。

从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。

在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。

一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。

多元函数的积分称为多重积分。

二重积分的定义为∑∑∫∫∆∆=→∆+∆ijji jiy x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。

二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。

matlab复合辛普森求定积分

matlab复合辛普森求定积分介绍在数学和工程领域，求定积分是一个重要的问题。

定积分是计算函数曲线下某一段区间内的面积。

而求定积分的方法有很多种，其中辛普森积分方法是常用且有效的一种方法。

在本文中，我们将介绍辛普森积分的基本原理，并利用Matlab编写一个求定积分的程序。

辛普森积分原理辛普森积分是一种基于插值的数值积分方法。

它的原理基于以下思想：对于一个函数f(x)，我们可以将其在一个小区间[a, b]上进行二次插值，通过拟合出的二次多项式来近似替代原函数。

然后，我们可以根据这个多项式来计算定积分。

辛普森积分公式辛普森积分公式可以表示为：Matlab实现下面是一个在Matlab中实现辛普森积分的函数：function result = simpson_integral(fun, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = fun(x);result = (h / 3) * (y(1) + y(end) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)));end函数的参数包括： - fun：要计算定积分的函数句柄 - a：积分下界 - b：积分上界 - n：区间的数量，即将[a, b]区间均匀划分为n个小区间函数内部使用了辛普森积分公式来计算定积分的近似值，最终返回结果。

示例为了演示如何使用上述的辛普森积分函数，我们将计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, pi]上的定积分。

fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;n = 100;result = simpson_integral(fun, a, b, n);disp(['定积分的近似值为：', num2str(result)]);运行上述代码，输出结果为：定积分的近似值为：2.0000这个结果非常接近真实值2，这说明辛普森积分方法在计算定积分时是相当准确的。

matlab用梯形法计算定积分代码

matlab用梯形法计算定积分代码
以下是用MATLAB计算定积分的梯形法则代码:
```matlab
% 定义函数
f = -(1/3) * cos(3x);
% 定义变量
x = [0 2*pi];
y = [0 1];
% 计算定积分
total_积分 = 0;
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if x(i) == x(j)
积分值 = y(j) - y(i);
total_积分 = total_积分 +积分值;
end
end
end
% 计算最终结果
result = total_积分 / length(x)
```
在这个例子中,我们定义了函数 `f` 以表示要计算的定积分,变
量 `x` 和 `y` 分别表示函数的行和列。

我们使用 `for` 循环计算定积分,其中 `i` 和 `j` 分别表示行和列的起始位置。

在计算的过程中,我们使用 `if` 语句来判断 `x` 和 `y` 的条件是否相同,如
果是,则将积分值相加,并将结果存储在 `total_积分` 变量中。

最后,我们计算出定积分的总量,并将其除以 `length(x)`。

需要注意的是,由于 `f` 是周期函数,因此我们需要将其分解为无周期部分和有周期部分。

在这个例子中,我们简单地将 `f` 分解成两个部分:一个关于 `x` 的函数和一个关于 `y` 的函数。

然后,我们可以使用上述代码来计算这两个部分的积分,并将它们相加得出最终结果。

利用Matlab解决常见数学问题的案例分析

利用Matlab解决常见数学问题的案例分析概述：Matlab是一款流行的科学软件，广泛应用于数学建模、数据分析、图像处理等领域。

本文将通过几个实际案例，介绍如何利用Matlab解决常见的数学问题，并分析其解决方法和效果。

案例一：线性方程组的求解线性方程组是数学中常见的问题之一。

假设有如下线性方程组：3x + 2y = 14x - 3y = 5可以使用Matlab中的线性方程组求解函数`linsolve`来求解。

首先，定义系数矩阵A和常数矩阵b，并调用`linsolve`函数求解方程组：```matlabA = [3 2; 4 -3];b = [1; 5];x = linsolve(A, b);```运行上述代码后，可以得到方程组的解x为：x = 3y = -2案例二：函数曲线绘制Matlab具有强大的绘图功能，可以绘制各种函数曲线。

例如，我们可以绘制正弦函数sin(x)在区间[-2π,2π]上的曲线。

首先，定义x的取值范围，并计算对应的y 值：```matlabx = -2*pi:0.1:2*pi;y = sin(x);```接下来，使用`plot`函数将曲线绘制出来：```matlabplot(x, y);```运行代码后，可以得到正弦函数的曲线图。

案例三：最小二乘拟合最小二乘拟合是一种常见的曲线拟合方法，用于将一组数据拟合成一条曲线。

假设有一组离散的数据点，我们希望找到一个曲线来拟合这些数据。

在Matlab中，可以使用`polyfit`函数进行最小二乘拟合。

例如，假设有一组数据：x = [1 2 3 4 5];y = [0.5 2.5 2 4 3.5];可以使用`polyfit`函数进行线性拟合：```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，第一个参数x是自变量的取值，第二个参数y是因变量的取值，第三个参数1表示进行一次多项式拟合。

拟合的结果保存在向量p中，p(1)为拟合曲线的斜率，p(2)为截距。

28.matlab计算定积分

28．如何计算定积分∫f(x)dx ba的值？ MATLAB 中求定积分的指令为 quad ，具体使用这一命令的格式为 quad(’函数名’, a, b)。

使用中，要用到被积函数的调用，也要注意给定积分上下限。

例如求定积分 I =∫sinxdx π0的值，在 MATLAB 环境下直接键入下面指令quad('sin',0,pi)计算机运行后，屏幕将显示ans = 2.0000这表明用指令 quad 直接计算出积分I =∫sinxdx π0=2在上面的计算中由于正弦函数是 MATLAB 的一个内部函数，所以可以直接调用，而对于任意一个连续函数的定积分计算，就必须先定义被积函数才能用 quad 指令求积分值。

例如求定积分1√2πe −x 22+∞−∞dx的值，必须先编辑被积函数的文件（函数文件名： ff3.m ）如下： function y=ff3(x)y=exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi);将这一函数文件保存在当前工作目录下后，可以直接调用函数 ff3(x)，在MATLAB 环境下用有穷积分来求该积分的近似值，选取积分限为-4 到+4 积分： quad('ff3',-4,4)MATLAB 计算出积分的近似值为 ans = 0.9999这实际上是用有限定积分1√2πe−x22+4−4dx代替原来的无穷区间上积分的值。

******************************************************************quad和int积分命令的区别：1.quad命令只能计算定积分，是数值积分，使用辛普森积分法逐段积分加起来，计算出定积分的数值；2.int命令可以用于定积分和不定积分，是符号积分，计算出函数积分的解析式，并将定积分上下限数值带入。

使用int命令进行积分√2πe−x22+4−4dx计算如下：使用double命令计算后结果同样为0.9999。

matlab定积分函数

matlab定积分函数
在MATLAB中，可以使用`integral`函数来计算定积分。

`integral`函数的基本语法如下：
```matlab
Q = integral(fun,a,b)
```
其中，`fun`是被积函数的句柄，`a`和`b`是积分区间的下限和
上限。

`integral`函数将返回积分结果`Q`。

例如，计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0,1] 上的定积分，可以按照以下方式使用`integral`函数：
```matlab
f = @(x) x^2;
a = 0;
b = 1;
Q = integral(f,a,b);
```
注意，被积函数`f`应当是一个标量函数或矢量函数，并且应当接受一个输入参数并返回一个输出值。

此外，`integral`函数还可以用于计算多重积分。

在这种情况下，`a`和`b`应当被定义为向量，分别表示每个维度上的积分区间
的下限和上限。

更多关于`integral`函数的详细信息可以通过在MATLAB命令窗口输入`help integral`命令来获取。

matlab求定积分之实例说明

一、符号积分符号积分由函数int来实现。

该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。

a,b分别表示定积分的下限和上限。

该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。

a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。

当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。

当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。

当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。

内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2 ^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。

它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。

Matlab数值实验定积分的近似计算教程

Matlab数值实验定积分的近似计算教程一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4.直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline 定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．。

matlab 曲线积分

matlab 曲线积分
在MATLAB中执行曲线积分有几种方法，下面列出两种常见
的方法：
方法一：使用“integral”函数
可以使用“integral”函数来计算曲线的定积分。

该函数的语法如下：
integral(fun, a, b)
其中，fun是定义曲线函数的句柄，a和b是积分的区间端点。

下面是一个示例，计算曲线y=x^2在区间[0, 1]上的定积分：
fun = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
result = integral(fun, a, b)
方法二：使用“quad”函数
如果曲线函数不是基本函数，可以使用“quad”函数来计算曲线
积分。

该函数的语法如下：
quad(fun, a, b)
其中，fun是定义曲线函数的句柄，a和b是积分的区间端点。

下面是一个示例，计算曲线y=sin(x)在区间[0, pi]上的定积分：fun = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
result = quad(fun, a, b)
需要注意的是，“quad”函数在计算积分时比“integral”函数更慢，但对于复杂的曲线函数来说，它可能是唯一可行的方法。