详解Matlab求积分的各种方法

详解Matlab求积分的各种方法

一、符号积分由函数int来实现。

该函数的一般调用格式为：

int(s)：

没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：

以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：

求定积分运算。

a,b分别表示定积分的下限和上限。

该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。

a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。

当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。

当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。

当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。

内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变

量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =57/-

/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数

解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =

224.9

232805二、数值积分

1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。

它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，

i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。

这样求定积分问题就分解为求和问题。

2.数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。

该函数的调用格式为：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。

该函数的调用格式为：

[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。

a和b分别是定积分的下限和上限。

tol用来控制积分精度，缺省时取tol=

0.0

01。

trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=

0。

返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：

求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为

1。

>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数

fname>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法Isim =

0.IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法IL =

0.7

988447三、梯形法求向量积分trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。

>>d=

0.001;>>x=0：

d：

1;>>S=d*trapz(exp(-x.^2))S=

0.7468或：

>>format long g>>x=0：

0.001：

1; %x向量，也可以是不等间距>>y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量>>S=trapz(x,y); %求向量积分S =

0.