matlab微积分基本运算

matlab 微积分基本运算

§1 解方程和方程组解

1. 线性方程组求解

对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形：

1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。

2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。

3)当n

下面就三种情形的求解分别作一说明：

(1) MATLAB 解恰定方程 A* X = B 的方法

1)采用求逆运算解方程

x=inv(A)*B

2)采用左除运算解方程

x=A\B

例1 “求逆”法和“左除”法求下列方程组的解

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655

45

434

323

212

1x x x x x x

x x x x x x x

在Matlab 编辑器中建立M 文件fanex1.m ：

A=[5 6 0 0 0

1 5 6 0 0

0 1 5 6 0

0 0 1 5 6

0 0 0 1 5];

B=[1 0 0 0 1]';

R_A=rank(A) %求秩

X1=A\B %用"左除"法解恰定方程所得的解

X2=inv(A)*B %用"求逆"法解恰定方程所得的解

运行后结果如下

R_A =

5

X1 =

2.2662

-1.7218

1.0571

-0.5940

0.3188

X2 =

2.2662

-1.7218

1.0571

-0.5940

0.3188

两种方法所求方程组的解相同。

(2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法

对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。基本解法有：

1)采用求伪逆运算解方程

x=pinv(A)*B

说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A.

2)采用左除运算解方程

x=A\B

例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+1221421221

2121x x x x x x

命令如下：

>> a=[1 2;2 4;2 2];

>> b=[1,1,1]';

>> xc=a\b %用左除运算解方程

运行得结果:

xc =

0.4000

0.1000

>> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程

运行得结果:

xd =

0.4000

0.1000

>> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b

运行得结果:

ans =

-0.4000

0.2000

0.0000

可见xc 并不是方程的精确解。

(3) MATLAB 解欠定方程AX=B 的方法

欠定方程从理论上说是有无穷多个解的，如果利用求“伪逆”法和“左除”法来求解，只能得到其中一个解。基本方法：

1)采用求伪逆运算解方程

x=pinv(A)*B

2)采用左除运算解方程

x=A\B

例3 求方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+08954433134321

43214321x x x x x x x x x x x x

的一个特解

解：在Matlab 编辑器中建立M 文件：fanex2.m

A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];

B=[1 4 0]';

X=A\B

X =

-0.5333

0.6000

(4) MATLAB 求线性齐次方程组的通解

在Matlab 中，函数null 用来求解零空间，即满足AX=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。基本格式：

1)格式：z = null(A)

说明： z 的列向量为方程组的正交规范基，满足I Z Z =⨯'

2)格式：z = null(A ，’r ’)

说明: z 的列向量是方程AX=0的有理基.

例4 求解方程组的通解：

⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++03402220224321

43214321x x x x x x x x x x x x

解：在Matlab 编辑器中建立M 文件：fanexm

A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];

format rat %指定有理式格式输出

B=null(A,'r') %求解空间的有理基

运行后显示结果如下：

B =

2 5/3

-2 -4/3

1 0

0 1

写出通解：

syms k1 k2

X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解

pretty(X) %让通解表达式更加精美

运行后结果如下：

X =

[ 2*k1+5/3*k2]

[ -2*k1-4/3*k2]