概率统计练习册习题解答

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概率统计练习册习题解答[定]

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习题1-1 样本空间与随机事件1.选择题(1)设,,A B C 为三个事件,则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为( D ) (A )ABAC BC (B )A B C (C )ABC ABC ABC (D )A B C(2)设三个元件的寿命分别为123,,T T T ,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件“系统的寿命超过t ”可表示为( D )A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2.用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A :(1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和,事件A 表示“点数之和大于10”。

解:{},18543,,,=Ω ;{}18,,12,11 =A 。

(2)对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解:{} ,,,=321Ω;{}54321A ,,,,=。

(3)车工生产精密轴干,其长度的规格限是15±0.3。

现抽查一轴干测量其长度,事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。

3.设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件: (1) A ,B ,C 都发生:解: ABC ;(2) A ,B ,C(3) A 发生,B 与C(4) A ,B ,C 中至少有一个发生:解:C B A ⋃⋃(5)A ,B ,C 4.设某工人连续生产了4个零件,i A 表示他生产的第i 个零件是正品(4,3,2,1=i ),试用i A 表示下列各事件:(1)只有一个是次品;(2)至少有一个次品;(3)恰好有两个是次品;(4习题1-2 随机事件的概率及计算1.填空题(1)已知B A ⊂,4.0)(=A P ,6.0)(=B P,则)(A P)(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ,)(B A P(2)设事件A 与B 互不相容,()0.4,()0.3P A P B ==,则()P AB ()P AB 0.6(3)盒子中有10个球,其中3(4)一批产品由45件正品、5件次品组成,现从中任取3件产品,其中恰有1件次品的概率为(5)某寝室住有6名学生,至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2.选择题(1)如果A 与B 互不相容,则(C )(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω(2)设A 、B 是任意两事件,则=-)(B A P ( B 、C )。

概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案:(C )注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案:(C )注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案:(D )注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案:(D )注:选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案:(C )注:古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案:(A )解:用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==,故365()1365rrP P A =-.12.答案:(B )解:“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”,说明AB C ?,故()()P AB P C ≤;而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案:(D )解:由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案:(B )解:所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注:0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案:(A )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案:(C )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案:(C )解:即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3.0.3,0.5 解:若A 与B 互斥,则P (A+B )=P (A )+P (B ),于是 P (B )=P (A+B )-P (A )=0.7-0.4=0.3;若A 与B 独立,则P (AB )=P (A )P (B ),于是由P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )=P (A )+P (B )-P (A )P (B ),得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解:由题设P (AB )=P (A )P (B|A )=0.4,于是P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5+0.6-0.4=0.7.解:因为P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB ),又()()()P AB P AB P A +=,所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解:由题设P (A )=0.7,P (AB )=0.3,利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4,故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解:因为P (AB )=0,所以P (ABC )=0,于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为12121114=,故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解:设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的},B={抽取的产品为工厂B 生产的},C={抽取的是次品},则P (A )=0.6,P (B )=0.4,P (C|A )=0.01,P (C|B )=0.02,故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解:设A={甲射击},B={乙射击},C={目标被击中},则P (A )=P (B )=1/2,P (C|A )=0.6,P (C|B )=0.5,故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

《概率统计》练习题及参考答案

《概率统计》练习题及参考答案

习题一 (A )1.写出下列随机试验的样本空间: (1)一枚硬币连抛三次;(2)两枚骰子的点数和;(3)100粒种子的出苗数;(4)一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件:(1)C B A ,,都发生或都不发生;(2)C B A ,,中不多于一个发生;(3)C B A ,,中只有一个发生;(4)C B A ,,中至少有一个发生; (5)C B A ,,中不多于两个发生;(6)C B A ,,中恰有两个发生;(7)C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系:(1)检查两件产品,事件A =“至少有一件合格品”,B =“两件都是合格品”; (2)设T 表示某电子管的寿命,事件A ={T >2000h },B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件:(1)A =“抛掷一枚骰子两次,点数之和大于7”; (2)B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”; (3)C =“射击三次,至少中一次”;(4)D =“加工四个零件,至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求:(1)电话号码由完全不相同的数字组成的概率;(2)电话号码中不含数字0和2的概率;(3)电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求:(1)所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率;(2)所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃;)(A B p 。

10.已知41)(=A p ,31)(=AB p ,21)(=B A p ,求)(B A p ⋃。

概率统计练习册习题解答

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概率统计练习册习题解答苏州科技学院概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013 年12 月习题1-1 样本空间与随机事件1选择题(1)设A,B,C为三个事件,则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为(D)(A)AB IJ AC U BC(B)A U B U C(C )AB CU A B C UA BC(D )AUBUC(2)设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件系统的寿命超过t”可表示为(D)A ;T1T2T3kB ITT2T3 t?C :min 汀,T2,T3? t? D;max:T1,T2,T3i >t?2•用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A表示射击次数不超过5次”。

解:Q = {l,2,3,,}; A = {1,2,3,4,}。

3•设某工人连续生产了4个零件,A i表示他生产的第i个零件是正品(i=123,4 ),试用A表示下列各事件:(1 )只有一个是次品;(2)至多有三个不是次品;卜- A- A3 一A4习题1-2 随机事件的概率及计算1填空题(1)已知 A B,P(A)=0.4,P(B)=0.6,贝P(A)二—0.6,P(AB)二二0 ,P(AB)二0.4。

P(A B)(2)设事件A与B互不相容,P(A) =0.4, P(B) = 0.3,则P(AB)=0.3 ,P(AU B)= 0.6 。

2 •选择题(1)如果P(AB) =0,则(C )(A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容(C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B)(2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是(C )(A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1(C) AB二•一且 A B 二■1(D) AB 二一3.—批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求(1) 5只全是好的的概率; (2) 5只中有两只坏的的概率; (3) 5只中至多有一只坏的概率P 2=弩(2)C 40=0.03544. ( 1)教室里有r 个学生,求他们的生日都不相同的概率;(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一 个月的概率.解:(1)设A 二“他们的生日都不相同”,则P(A)崇;(2)设B 二“至少有两个人的生日在同一个月4112-p 441 96习题1-3 条件概率1.选择题:(1)设A,B为两个相互对立事件, 且P(A) 0,P(B) 0,(B) P(A B) = P(A) (C) P(A B) =0 (D)(A) P(BA)»OP(AB)二 P(A)P(B)(2) —种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为p,第二道工序的废品率为q,则该零件加工的成品率为(|c )(A) 1»q ( B) 1 - pq (C) 1 - p - q pq (D)(1-P) (1-q)2 •填空题:(1)已知P(A) =0.5, P(AUB) =0.6,若A、B 互不相容,贝P(B) = 0 .1_ ;若A、B 相互独立,则P(B)=—0 . 2(2)一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,该射手的命中率2——p=3—。

概率统计参考答案(习题一)

概率统计参考答案(习题一)

概率统计参考答案(习题一)1、 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点:(1) 同时郑三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和。

解:设三枚骰子点数之和为k ,k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=,事件B={k |k 3,4,...,14}=。

(2) 解:设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k),(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。

则Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。

2、 下列式子什么时候成立?解:AUB=A :成立的条件是B ⊂A ;(2)AB=A :成立的条件为A ⊂B 。

3、 设A 、B 、C 表示三事件,试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。

解:(1) 仅A 发生:ABC ;(2) A 、B 、C 都发生:ABC ;(3) A 、B 、C 都不发生:ABC ;(4) A 、B 、C 不都发生:ABC ;(5) A 不发生,且B 与C 中至少发生一事件:(A B C);(6) A 、B 、C 中至少有一事件发生:AUBUC ;(7) A 、B 、C 中恰好有一事件发生:ABC+ABC+ABC ;(8) A 、B 、C 中至少二事件发生: BC ABC ABC ABC A +++=(AB )U (AC )U (BC );(9) A 、B 、C 中最多一事件发生:BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。

4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问:(1)什么条件下,P(AB)取得最大值,最大值是多少?解:由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得到P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)<=0.5+0.6-0.6=0.5,此时,P(AUB)=0.6。

概率统计练习册习题解答(定)

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概率统计练习册习题解答(定)习题1-1 样本空间与随机事件A,B,C 为三个事件,则A,B,C 中至少有一个不发 ”这一事件可表示为(D )(A ) ABU AC U BC (B ) AU BUC ( C ) ABC U ABC U ABC ( D )BUC 2)设三个元件的寿命分别为T”T 2,T 3,并联成一个系 ,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作, 件 系统的寿命超过t”可表示为(D )B TT 2T 3t C min T I ,T 2,T 3 t用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 机事件A : 1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和, 件A 表示 点数之和大于10”。

O2)对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射 击的次数;事件A 表示 射击次数不超过5次o3)车工生产精密轴干,其长度的规格限是15±0.3。

现抽查一轴干测量其长度,事件 A 表示测1.选择题(1)设 生AUT i T 2 T 3tTT 2T3t 2. 随( 事 解: =3,4,5, ,18; A = 11,12, ,18解: =簽2,3,- A = ^2,3,4,5量长度与规格的误差不超过0.1。

O3 .设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算关0.3; A= x; x-15 0.1x; x -15 解:系表示下列各事件:(1)A, B, C 都发生:解:ABC;(2)A, B, C都不发生:解:ABC(3)A发生,B与C不发生:解:A§C (或A-B-C);(4)A, B, C中至少有一个发生:解:AuBuC(5)A, B, C中不多于两个发生:解:刁MUJ4.设某工人连续生产了4个零件,人表示他生产的件:(1 ) 只有一个是次品;A( A2A3A4 u A】A? A3A4 u A t A2 A3A4U A!A2A3A4(2)至少有一个次品;A-55uA。

(3)恰好有两个是次品;1.填空题(1)已知AuB, P(A) = 0.4 9 P(B) = 0.6 9贝|| P(A)=_0.6, P(AB)=0.4,P(JU^)=_0.6, P(AB) =_0.2 , P(AB) = 0 9 P(A B)=A P42A3 A4 uA] A2J3 A4 uAj A2A3J4A2 A3A4 u J]J2J3A4<J A}A2A3A4(4)至多有三个不是次品;A, u A2 u A? u A4 0习题1-2机事件的概率及计算第,个零件是正品(i = 1,2,3,4 ), 试用4表示下列各事0.4 o(2)设事件/与B互不相容,P(A) = 0A9 P(B) = 0.3,贝!| P(AB)=0.3 9 P(A\JB)= 0.6 o(3)盒子中有10个球,其中3个红球,接连不放回抽取五次,第一次抽到红球的概率 三次抽到红球的概率 4) 一批产品由45件正品、5件次品组成,现从中 任取3件产品,其中恰有 1件次品的概率为5)某寝室住有6名学生,至少有两个同学的生日 恰好在同一个月的概率为0.3 , 0.3 。

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苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1.选择题(1)设,,A B C 为三个事件,则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为( D ) (A )ABAC BC (B )A B C (C )ABC ABC ABC (D )A B C(2)设三个元件的寿命分别为123,,T T T ,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件“系统的寿命超过t ”可表示为( D )A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t >2.用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A :对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解:{} ,,,=321Ω;{}54321A ,,,,=。

3.设某工人连续生产了4个零件,i A 表示他生产的第i 个零件是正品(4,3,2,1=i ),试用i A 表示下列各事件:(1)只有一个是次品;(2习题1-2 随机事件的概率及计算1.填空题(1)已知B A ⊂,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则)(A P)(AB P=)(B A P 0 ,)(B A P(2)设事件A 与B 互不相容,()0.4,()0.3P A P B ==,则()P AB ()P A B 0.62.选择题(1)如果()0P AB =,则( C )(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是( C )(A ) )()()(B P A P AB P = (B )1)(0)(==B A P AB P 且 (C ) Ω=∅=B A AB 且 (D )∅=AB 3.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率; (3)5只中至多有一只坏的概率。

概率统计练习册答案

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概率统计练习册答案第一章参考答案:(一)一、填空:1.出现点数恰好是5;2.0.3;3.0.6;4.1,0.75.二、选择:1.d2.a3.b4.d三、计算abc(2)abc(3)ab?交流电?bc(4)a?BC(5)abc?abc?abc(6)a?b?c2.(1)a?b,0.6(2) a?B零点三(3)p(ab)=0.4,p(a?b)=0.9,p(b?a)=0.3,p(ab)=0.1(二)一、填空:1.二、计算:1.a3212。

,3.a?b55126081511341(2)。

(3).315903193.;;81616n?1k?114.1? ()nn2。

(1).24c6?12?a115.(1).126(2).1? 12? 11? 10? 9? 8.七126c62?114(3).126(4).1? 1612116(5).612(三)一、填空:1.02.0.93.二、计算:1.a(a?1)?b(b?1)24。

(a?b)(a?b?1)31455)1492.0.37(或3.(1).0.85(2).0.9414. (1) . 0.192(或(四)一、选择:1 d2。

b3。

补体第四成份。

B二。

计算:1(1)2。

239)(2).0.391(或)120232(2)113143.0.458三.证明。

(略)第二章参考答案:(一)我填空?ke??1mmn?m,k?0,1,?.1.;2.0.95;p(1?p);4.p?x?k??k!3二.k6?kc4c161。

(1) p?十、KK0,1,2,3,4; 6c20kk6?k4,5,6。

(2) p?十、Kc6(0.2)0.8,k?0,1,2,3,2. P十、K0.45? 55万?1,k?1,2,?;? P十、2k??K1.十一点三一3.4.(1)c(0.1)0.9?0.0729; (2)2523xpk1234561136936736536336136?ck?03k50.1k0.95?k?0.99954;(3)0.409511.315.(1)e;(2) tmax?液氮。

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(正)概率统计练习册答案

(正)概率统计练习册答案概率论的基本概念一、选择题1.将一枚硬币连抛两次,则此随机试验的样本空间为()A.{(正,正),(反,反),(一正一反)} B.{(反,正),(正,反),(正,正),(反,反)} C.{一次正面,两次正面,没有正面} D.{先得正面,先得反面}2.设A,B为任意两个事件,则事件(AUB)( -AB)表示()A.必然事件B.A与B恰有一个发生C.不可能事件D.A与B不同时发生3.设A,B为随机事件,则下列各式中正确的是().A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)-P(B)C. P(AB) P(A B)D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ).A.P(A-B)=P(A)-P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=1 5.若AB ,则下列各式中错误的是().A.P(AB) 0 B.P(AB) 1 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B) P(A) 6.若AB ,则( ).A. A,B为对立事件B.A BC.ABD.P(A-B) P(A) 7.若A B,则下面答案错误的是( ). A. P(A) P B B. P B-A 0C.B未发生A可能发生D.B发生A可能不发生8.Ai(i 1,2, ,n)为一列随机事件,且P(A1A2 An) 0,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸Ai两两互斥,则P( Ai) P(Ai)i 1nnni 1B.若诸Ai相互独立,则P( Ai) 1 (1 P(Ai))i 1nni 1C.若诸Ai相互独立,则P( Ai) P(Ai)i 1i 1nD.P( Ai) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2) P(An|An 1)i 1n9.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.1 B.21a bC.aa bD.ba b10.设有r个人,r 365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).rP365A.1 r365rC365 r!B. r365C. 1r! 365D. 1r!365r11.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0 P(C) 1,则下列给定的四对事件中,不独立的是( ).A.AUB与CB. A B与CC. AC与CD. AB与C12.当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,则( ). A.P(C) P(A) P(B) 1 B.P(C) P(A) P(B) 1 C.P(C)=P(AB) D.P(C) P(A B) 13.设0 P(A) 1,0 P(B) 1,且P(A|B) P(AB) 1,则( ). A. A与B不相容B. A与B 相容C. A与B不独立D. A与B独立14.设事件A,B是互不相容的,且P(A) 0,P(B) 0,则下列结论正确的是( ).A.P(A|B)=0B.P(A|B) P(A)C.D.P(B|A) 015.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1,1,1,1则密码最终能被译出的概率为( ).5436P(AB) P(A)P(B)A.1B. 1C. 2D. 2 16.已知*****P(A) P(B) P(C) ,P(AB) 0,P(AC) P(BC) ,416则事件A,B,C全不发生的概率为( ).A. 1B. 3C. 5D. 7888817.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.531209 C.***-*****D. 101918.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为4:1,1:2,3:2,已知这三类箱子数目之比为2:3:1,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为().A.5B. 19C. 7D. 1913153019.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).A. 1B. 1C. 5D. 12377答:1.答案:(B)2. 答案:(B)解:AUB表示A与B至少有一个发生, -AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)( -AB)表示A与B恰有一个发生.3.答案:(C)4. 答案:(C)注:C成立的条件:A与B互不相容.5. 答案:(C)注:C成立的条件:A与B互不相容,即AB .6. 答案:(D)注:由C得出A+B= .7. 答案:(C)8. 答案:(D)注:选项B由于P( Ai) 1 P( Ai) 1 P( Ai) 1 P(Ai) 1 (1 P(Ai))i 1i 1i 1i 1nnnnn9.答案:(C)注:古典概型中事件A发生的概率为P(A)N(A). N( )10.答案:(A)解:用A来表示事件“此r个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A的对立事件A“此r个人的生日各不相同”利用上一题的结rrC365 r!P365论可知P(A) r*****rrP365,故P(A) 1 r36511.答案:(C)12.答案:(B)解:“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”,说明AB C,故P(AB) P(C);而P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1, 故P(A) P(B) 1 P(AB) P(C).13.答案:(D)解:由P(A|B) P(AB) 1可知P(AB)P(AB)P(AB)1 P(A B)P(B)P(B)1 P(B)P(B)P(AB)(1 P(B)) P(B)(1 P(A) P(B) P(AB))1P(B)(1 P(B))P(AB)(1 P(B)) P(B)(1 P(A) P(B) P(AB)) P(B)(1 P(B))P(AB) P(AB)P(B) P(B) P(A)P(B) (P(B))2 P(B)P(AB) P(B) (P(B))2 P(AB) P(A)P(B)故A与B独立. 14.答案:(A)解:由于事件A,B是互不相容的,故P(AB) 0,因此P(A|B)=P(AB)P(B)0. P(B)15.答案:(D)解:用A表示事件“密码最终能被译出”,由于只要至少有一人能译出密码,则密码最终能被译出,因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”,“恰有两人译出密码”,“恰有三人译出密码”,“四人都译出密码”,情况比较复杂,所以我们可以考虑A的对立事件A,事件A只包含一种情况,即“四人都没有译出密码”,故*****P(A) (1 )(1 )(1 )(1 ) P(A) .*****16.答案:(B)解:所求的概率为P(ABC) 1 P(A B C)1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)***** 1 0 0***-***** 8注:ABC AB 0 P(ABC) P(AB) 0 P(ABC) 0. 17.答案:(A)解:用A表示事件“取到白球”,用Bi表示事件“取到第i箱”i 1.2.3,则由全概率公式知P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)***-***** ***-*****0.18.答案:(C)解:用A表示事件“取到白球”,用Bi表示事件“取到第i类箱子”i 1.2.3,则由全概率公式知P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)***-***** ***-*****.19.答案:(C)解:即求条件概率P(B2|A).由Bayes公式知P(B2)P(A|B2)P(B2|A)P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)75. 7二、填空题1. E:将一枚均匀的硬币抛三次,观察结果:其样本空间.2.设A,B,C表示三个随机事件,试通过A,B,C表示随机事件A发生而B,C都不发生为;随机事件A,B,C不多于一个发生 . 3.设P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,若事件A与B互斥,则P(B)= ;若事件A与B独立,则P(B)= . 4.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则P(AUB)= . 5.设随机事件A、B及和事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6,则P()= .6.设A、B为随机事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P (AB)= .7.已知p(A) p(B) p(C)11,p(AB) 0,p(AC) p(BC) ,则A,B,C全48不发生的概率为 . 8.设两两相互独立的三事件p(A) p(B) p(C)A、B和C满足条件:ABC ,1,且已知p(A B C) 9,则p(A) ______. 2169.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .10.将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行,恰好排成*****的概率为 .11.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属于A生产的概率是 . 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是 . 答:1.{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)}2. 或3.0.3,0.5解:若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),于是P (B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3;若A与B独立,则P (AB)=P(A)P(B),于是由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),得P(B) P(A B) P(A) 0.7 0.4 0.5.1 P(A)1 0.44.0.7解:由题设P(AB)=P(A)P(B|A)=0.4,于是P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解:因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),又PA(B所以P() P(A B) P(B) 0.6 0.3 0.3. 6.0.6解:由题设P(A)=0.7,P()=0.3,利用公式AB A知B) 1 P(AB)1 04. 06. P(AB) P(A) P()=0.7-0.3=0.4,故P(AB()PA( ),.7.7/12解:因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是P(ABC) P(A B C) 1 P(A B C)1 [P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)]. 1 3/4 2/6 7/128.1/4 解P(:A)因B(为C由题设P(A) P(B) P(C),P(AC) P(A)P(C) P2(A),P(AB) P(A)P(B) P2(A),P(BC) P(B)P(C) P2(A),P(ABC) 0,因此有93P(A) 3P2(A),解得16P(A)=3/4或P(A)=1/4,又题设P(A)1/2,故P(A)=1/4. 9.1/6解:本题属抽签情况,每次抽到次品的概率相等,均为1/6,另外,用全概率公式也可求解. 10.1 1260解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为1 2 1 2 1 1 1 4,故所求的概率为41.7!126011.3/7解:设事件A={抽取的产品为工厂A生产的},B={抽取的产品为工厂B生产的},C={抽取的是次品},则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,故有贝叶斯公式知P(A|C)P(AC)P(A)P(C|A)0.6 0.013. P(C)P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.6 0.01 0.4 0.02712.6/11解:设A={甲射击},B={乙射击},C={目标被击中},则P(A)=P(B)=1/2,P(C|A)=0.6,P(C|B)=0.5,故P(A|C) P(AC) P(C)P(A)P(C|A)0.5 0.66.P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.5 0.6 0.5 0.511三、设A,B,C是三事件,且P(A) P(B) P(C) 1,P(AB) P(BC)0,41P(AC) . 求A,B,C至少有一个发生的概率。

经济数学基础——概率统计课后习题答案

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目录习题一(1)习题二(16)习题三(44)习题四(73)习题五(97)习题六(113)习题七(133)1 / 81习 题 一1.写出下列事件的样本空间: (1) 把一枚硬币抛掷一次; (2) 把一枚硬币连续抛掷两次;(3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止;(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解(1)Ω={正面,反面} △ {正,反}(2)Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)} (3)Ω={(正),(反,正),(反,反,正),…} (4) Ω={x ;0≤x ≤m }2.掷一颗骰子的实验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”,B =“奇数点”,C =“点数小于5”,D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系. 解{}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件,即B =A ;B 与D 互不相容;A ⊃D ,C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务,i =1,2,3,B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件B 及B -C 的含义,并且用A i (i =1,2,3)表示出来. 解B 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B -C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321+++A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =- 4. 如图1-1,事件A 、B 、C 都相容,即ABC ≠Φ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件,C 与D 是互不相容事件.6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件,即ABC =Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABC =Φ,但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容,记C =AB ,D =A+B ,F =A -B.说明事件A 、C 、D 、F的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ,A -B ⊂A ⊂A+B ,AB 与A -B 互不相容,且A =AB +(A -B).因此有A =C +F ,C 与F 互不相容, D ⊃A ⊃F ,A ⊃C.8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目#A =1315C C .而组成实验的样本点总数为#Ω=235+C ,由古典概率公式有图1-1图1-2P (A )==Ω##A 2815281315=C C C (其中#A ,#Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数,余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为#25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P -10. 抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果,即#Ω=8,因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P # 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P -##从9题-11题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1)四张花色各异;(2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”;B 表示“四张中只有两种花色”.,113113113113452##C C C C A , C Ω==) +#2132131133131224C C C C C C B (= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048+74366##)(452 )(.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分,5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)+(+C =##25231533123822510C C C C C C A C Ω , = 50252126)(.ΩA A P ==##=14. 袋中有红、黄、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:A =“三次都是红球” △ “全红”,B =“全白”, C =“全黑”,D =“无红”,E =“无白”, F =“无黑”,G =“三次颜色全相同”,H =“颜色全不相同”,I =“颜色不全相同”.解 #Ω=33=27,#A =#B =#C =1, #D =#E =#F =23=8, #G =#A +#B +#C =3,#H =3!=6,#I =#Ω-#G =24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.#Ω=126,#A =21124611C C 0073.01221780##)(6==ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容,计算P )(B A +.解 由于A 与B 互不相容,有AB =Φ,P (AB )=0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P 17. 设事件B ⊃A ,求证P (B )≥P (A ). 证∵B ⊃A∴P (B -A )=P (B ) -P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )=a ,P (B )=b ,ab ≠0 (b >0.3a ),P (A -B )=0.7a ,求P (B +A ),P (B -A ),P (B +A ). 解由于A -B 与AB 互不相容,且A =(A -B )+AB ,因此有P (AB )=P (A )-P (A -B )=0.3aP (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.7a +b P (B -A )=P (B )-P (AB )=b -0.3a P(B +A )=1-P (AB )=1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取三个,计算取到废品的概率.解设事件A 表示“取到废品”,则A 表示没有取到废品,有利于事件A 的样本点数目为#A =346C ,因此P (A )=1-P (A )=1-3503461C C ΩA-=## =0.225520. 已知事件B ⊃A ,P (A )=ln b≠0,P (B )=ln a ,求a 的取值范围.解因B ⊃A ,故P (B )≥P (A ),即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ,又因P (A )>0,P (B )≤1,可得b >1,a ≤e ,综上分析a 的取值范围是:1<b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0,比较概率P (A ),P (AB ),P (A +B ),P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来). 解由于对任何事件A ,B ,均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ),P (AB )≥0,因此有 P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )+P (B )22. 一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”,则有利于A 的样本点数目为#A =364100,而样本空间中样本点总数为 #Ω=365100,所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”,则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92%的职工订阅报纸,93%的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工求下列事件的概率: (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊; (2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”,B 表示“订阅杂志”,依题意P (A )=0.92,P (B )=0.93,P (B |A )=0.85P (A +B )=P (A )+P (A B )=P (A )+P (A )P (B |A )=0.92+0.08×0.85=0.988P (A B )=P (A +B )-P (B )=0.988-0.93=0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,记事件A 表示数学成绩优秀,B 表示外语成绩优秀,若P (A )=P (B )=0.4,P (AB )=0.28,求P(A |B ),P (B |A ),P (A +B ).解P (A |B )=7.04.028.0)()(==B P AB PP (B |A)=7.0)()(=A P AB PP (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A |B )+P (A |B )=1. 求证P (AB )=P (A )P (B ). 证∵P (A |B )+P (A |B )=1且P (A |B )+P (A |B )=1∴P (A |B )=P (A |B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )[1-P (B )]=P ( B )[P ( A )-P ( AB )]整理可得P (AB )=P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立,P ( A )=0.4,P ( A +B )=0.7,求概率P (B ). 解P ( A +B )=P (A )+P (A B )=P ( A )+P (A ) P ( B )⇒0.7=0.4+0.6P (B ) ⇒P (B )=0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0,如果A 与B 独立,问它们是否互不相容,为什么?解因P (A ),P (B )均大于0,又因A 与B 独立,因此P (AB )=P (A )P (B )>0,故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8,求3个这种元件使用1000小时后,最多只坏了一个的概率.解设事件A i 表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”, i =1,2,3,显然A 1,A 2,A 3相互独立,事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”,则A =A 1A 2A 3+1A A 2A 3+A 12A A 3+A 1A 23A ,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和,且P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=0.8P ( A )=[][])()(3)(12131A P A P A P + =0.83+3×0.82×0.2 =0.89630. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”,依题意A 表示三道工序都合格.P (A )=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”,i =1,2,…,m ,则P (A 1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42 P (A 2)=0.58×0.42=0.2436P (A m )=0.58m -1×0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”,i =1,2,3,4.P (A i )=41,设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B =A 1+A 2+A 3+A 4.P (B )=P (A 1+A 2+A 3+A 4) =∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p <<<P (A i A j )=P (A i )P (A j |A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i < P (A i A j A k )=P (A i )P (A j |A i )P (A k |A i A j )=41×31×21=241(1≤i <j <k ≤4) P (A 1A 2A 3A 4)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4|A 1A 2A 3) =2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1,2,…,3000这3000个数中任取一个数,设A m =“该数可以被m 整除”,m =2,3,求概率P (A 2A 3),P (A 2+A 3),P (A 2-A 3).解依题意P (A 2)=21,P (A 3)=31P (A 2A 3)=P (A 6)=61P (A 2+A 3)=P (A 2)+P (A 3)-P (A 2A 3)=32613121=-+ P (A 2-A 3)=P (A 2)-P (A 2A 3)=316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:(1)只有一人投中; (2)最多有一人投中; (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”,显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”,i =0,1,2,3,依题意,)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P == =0.2×0.3×0.4×=0.024 P (A 3)=P (ABC )=P (A )P (B )P (C ) =0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.452 (1)P (A 1)=1-P (A 0)-P (A 2)-P (A 3)=1-0.024-0.452-0.336=0.188(2)P (A 0+A 1)=P (A 0)+P (A 1)=0.024+0.188=0.212 (3)P (A +B +C )=P (0A )=1-P (A 0)=0.97635. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n -1次投中”与“乙在第2n 次投中”,显然A 1,B 2,A 3,B 4,…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=+++0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )>0.5,P (A )<0.5,因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中,北京考生占30%,京外其他各地考生占70%,已知在北京学生中,以英语为第一外语的占80%,而京外学生以英语为第一外语的占95%,今从全校新生中任选一名学生,求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”,B 表示“任选一名学生,以英语为第一外语”. 依题意P (A )=0.3,P (A )=0.7,P (B |A)=0.8,P (B |A )=0.95. 由全概率公式有P (B )=P (A )P (B |A )+P (A )P (B |A )=0.3×0.8+0.7×0.95=0.90537. A 地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区,易见A 1,A 2,A 3两两互不相容,其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”,依题意:P (A 1)=0.45,P (A 2)=0.35,P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.004,P (B |A 2)=0.002,P (B |A 3)=0.005=∑=31)|()(i i i A B P A P=0.45×0.004+ 0.35×0.002+ 0.2×0.005 =0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工零件A 时,停机的概率为0.3,加工零件B 时停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”,则A 表示“机床加工零件B ”,设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯=39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,1个2号球与1个3号球,Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球,Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计算第二次取到几号球的概率最大,为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”,B i 表示第二次取到i 号球,i =1,2,3.依题意,A 1,A 2,A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题,用一种检验方法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为5%(即一个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为5%);对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%,在一次健康普查中,某人经此检验法查为患有甲种疾病,计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”,B 表示“受检人被查有甲种疾病”,由37题计算可知P (A )=0.0035,应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=+ 25.0=41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2,各机床所加工的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”,“乙机床加工”,“丙机床加工”,B 表示“废品”,应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020+1030+06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1,A 2,A 3,A 4分别表示外出人“乘坐飞机”,“乘坐火车”,“乘坐轮船”,“乘坐汽车”,B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题,若第二次取到的是1号球,计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39题计算知P (B 1)=21,应用贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件,其次品个数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收,若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表示一箱中有i 件次品,i =0, 1, 2.B 表示“抽取的10件中无次品”,先计算P (B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p n n n =0, 1, 2, …其中λ>0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0<p <1).如果卵的孵化是相互独立的,问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n =“一个虫产下几个卵”,n =0,1,2….B R =“该虫下一代有k 条虫”,k =0,1,….依题意λλ-==e !)(n p A P n n n⎩⎨⎧≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(>其中q =1-p .应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=ln k n k nq p k n k n n !)(!!e ! ∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n k n k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0,所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ习 题 二1. 已知随机变量X 服从0-1分布,并且P {X ≤0}=0.2,求X 的概率分布.解X 只取0与1两个值,P {X =0}=P {X ≤0}-P {X <0}=0.2,P {X =1}=1-P {X =0}=0.8.2. 一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数X 的概率分布.解X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示:3. 上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为X 件,求随机变量X 的概率分布.解X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4,取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数X 的概率分布.解X 可以取1, 2,…可列个值. 且事件{X =n }表示抽取n 次,前n -1次均未取到优质品且第n 次取到优质品,其概率为41431⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ;(2)取到的旧球个数Y . 解(1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2)Y 可以取0, 1, 2, 3各值.{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变,若一次取出3个,求取到的新球数目X 的概率分布. 解X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P 7. 已知P {X =n }=p n ,n =1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P =, 有∑-==∞=111n n pp P 解上面关于p 的方程,得p =0.5.8. 已知P {X =n }=p n ,n =2, 4, 6, …,求p 的值.解1122642=-=⋯+++p p p p p解方程,得p =2±/29. 已知P {X =n }=cn ,n =1,2,…, 100, 求c 的值. 解∑=+⋯++==10015050)10021(1n cc cn =解得c =1/5050 .10. 如果p n =cn _2,n =1,2,…, 问它是否能成为一个离散型概率分布,为什么?解,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=,则有∑∞=1n n p =1,且p n >0.所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列,求X 的概率分布.解设P {X =2}=a ,P {X =1}=a -d ,P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1,可知a =31,但是a -d 与a +d 均需大于零,因此|d |<31, X 的概率分布为其中d 应满足条件:0<|d |<312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ>0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e !1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:(1)二人投篮总次数Z 的概率分布; (2)甲投篮次数X 的概率分布; (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中,j 表示在第j 次投篮中乙投中,i =1,3,5,…,j =2,4,6,…,且A 1, B 2, A 3,B 4,…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P=(0.6×0.5)1-k ·0.4=0.4(0.3)1-k k=1, 2, … {})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---== =0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3k k=1, 2, …(2){}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+ )5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n ,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P )4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n ,2,13.042.01=⨯=-n n14. 一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车). 解X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X =0 } =0.4P { X =1 }=0.6×0.4=0.24 P { X =2 } =0.62×0.4=0.144 P { X =3 } =0.63×0.4=0.0864 P { X =4 } =0.64=0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他,b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数,为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在[0, 2π]与[0, π]上,sin x ≥0,但是,1d sin π≠⎰x x ,1d sin 2π=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ,>其中c >0,问f (x )是否为密度函数,为什么? 解易见对任何x ∈(-∞ , +∞) , f ( x ) ≥ 0,又1d e 202=⎰-∞+x cx cx f (x )是一个密度函数 .17. ⎩⎨⎧+=.0.2<<,2)(其他,a x a x x f问f ( x )是否为密度函数,若是,确定a 的值;若不是,说明理由. 解如果f ( x )是密度函数,则f ( x )≥0,因此a ≥0,但是,当a ≥0时,444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1,因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ~f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他<<x a x x f 确定常数a 的值,如果P { a < x < b } =0.5,求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫⎝⎛a arctan - 2π=1得a =0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=<< 解关于b 的方程:π2arctan b =0.5 得b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2<x x x x f 3个这种元件串联在一个线路中,计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件A 表示“线路正常工作”,则3])150([)(>X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P =>278)(=A P 20. 设随机变量X ~f ( x ),f ( x )=A e -|x|,确定系数A ;计算P { |X | ≤1 }.解A x A x A x x 2d e 2d e 10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞-- 解得A =21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从[0, 5]上的均匀分布,求关于x 的二次方程4x 2+4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△=b 2-4ac =16Y 2-16(Y +2)=16Y 2-16Y -32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P =0.622. 设随机变量X ~ f ( x ),⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他,<x x cx f 确定常数c ,计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x xc ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F <<,<确定系数A ,计算{}25.00≤≤X P ,求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数,F (1)= F (1-0),有A =1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他<<x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解{}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤=当t ≤ 0时, x t x t x F e 21d e 21)(=⎰=∞-当t >0时,t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(2121 25. 函数(1+x 2)-1可否为连续型随机变量的分布函数,为什么? 解不能是分布函数,因F (-∞)= 1 ≠ 0.26. 随机变量X ~f ( x ),并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值;求分布函数F ( x );计算{}1||<X P .解a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P < 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为:⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ,> 确定常数A 的值,计算{}40≤≤X P .解由F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤<=0.7528. 随机变量X ~f ( x ),f ( x )=,e e x x A-+确定A 的值;求分布函数F ( x ) .解⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xxx x d e1e d e e 12 A A x 2πe arctan ==∞∞- 因此A =π2,xtxt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ~f ( x ),⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他<<a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解2202202ππd π21a x x x a a==⎰=因此,a = π 当0<x <π时,⎰=x x t tx F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F << 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22>>a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10<<.解当x ≤ 0时,X 的概率密度f ( x ) =0;当x > 0时,f ( x ) =F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23> x x a x x f ax其他)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0-1分布,求X 2,X 2-2X 的概率分布.解X 2仍服从0-1分布,且P { X 2=0 } =P { X =0 } =0.3,P {X 2=1}=P {X =1}=0.7X 2-2X 的取值为-1与0 , P {X 2-2X =0} =P { X =0 } =0.3P { X 2-2X =-1 } =1-P { X =0 } =0.732. 已知P { X =10n } =P { X =10-n }=,,2,1,31=n nY =l gX ,求Y 的概率分布. 解Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =-n } =P { l gX =-n } =P { x =10-n } =31n =1 , 2 , …33. X 服从[a ,b ]上的均匀分布,Y =ax +b (a ≠0),求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ,X 的概率密度为f X ( x ),只要a ≠ 0,y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a > 0时,Y 的取值为[a 2+b ,ab +b ],ax y h b y a y h x y 1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时,f Y ( y ) =0.类似地,若a <0,则Y 的取值为[ ab +b , a 2+b ]⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此,无论a >0还是a <0,ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从[0 , 2π]上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解y =cos x 在[0,2π]上单调,在(0 , 1)上,h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他,<<y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布,Y =e x , Z =|ln X |,分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导,且x′y = y1, f X ( x ) =10 < x < 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他 <<y yy f Y在(0 , 1)内ln x < 0|ln x |=-ln x 单调,且x = e z -,x′z =-e z -,因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他<<,z z f z z36. 随机变量X ~f ( x ) , ⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x x f x >Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) . 解当x > 0时,y =x 单调,其反函数为x = y 2 , x′y = 2y ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y >当x > 0时z =x 2也是单调函数,其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ,z zz f zz > 37.随机变量X ~f ( x ),当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数,其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫⎝⎛-2π,0内恒不为零,因此,当0 < y <π2时, π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x >0时也是x 的单调函数,其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z >0时,)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z >即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ,圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图,设质点在圆周位置为M ,弧MA 的长记为L ,显然L 是一个连续型随机变量,L 服从[0,πR ]上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他,R l Rl f L M 点的横坐标X 也是一个随机变量,它是弧长L 的函数,且X = R cos θ = R cos RL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0< l < πR ) ,其反函数为l = R arccos Rx22xR R l x--=' 当-R < x < R 时,L′x ≠ 0,此时有2222π1π1)(xR R x R Rx f X -=⋅--=当x ≤ -R 或x ≥ R 时,f X ( x ) =0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布,有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从超几何分布,直接计算2120521=⨯==N N n EX在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2,41),直接用期望公式计算:21412=⨯==np EX在第5题中(1)3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX(2)3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中,25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中,⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX31|<d <|0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n 13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 图2-141. 随机变量X 只取-1, 0, 1三个值,且相应概率的比为1 : 2 : 3,计算EX . 解设P { X =-1 } = a ,则P { X =0 } =2a , P { X =1 } =3a ( a >0 ) ,因a + 2a + 3a = 1 , 故a =1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX42. 随机变量X 服从参数为0.8的0-1分布,通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解EX =P { X =1 } =0.8,( EX )2 =0.64EX 2=1×0.8=0.8>( EX )243. 随机变量X ~f ( x ) ,f ( x ) =0.5e - | x |,计算EX n ,n 为正整数.解当n 为奇数时,)(x f x n 是奇函数,且积分x x x n d e 0-∞⎰收敛,因此0d e 5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时,x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ~f ( x ) ,⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(<<x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ~f ( x ) ,⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f bb ,c 均大于0,问EX 可否等于1,为什么?解11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b c x cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b c x cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解,因此EX 不能等于1. 46. 计算第6,40各题中X 的方差DX . 解在第6题中,从第39题计算知EX =49, 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX =EX 2-( EX )2≈0.46其他 其他在第40题中,已计算出EX =137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23,29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中,由于f ( x ) =x21(0<x <1),因此31d 210=⎰=x xx EX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2- ( EX )2 =454在第29题中,由于f ( x ) =2π2x( 0<x <π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX =EX 2- ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差.解EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π2122=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为:F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ,x x x x x x ,<-,<,<计算EX 与DX .解依题意,X 的密度函数f ( x ) 为:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他,<,<,x x x x x f解EX =0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x xDX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X =μ,方差DX =σ2,随机变量Y = σμ-X ,求EY 和DY .解EY =σ1( EX -μ ) =0 DY = 2σDX =151. 随机变量Y n ~B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表,并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次实验的成功率为0.8,重复实验4次,失败次数记为X ,求X 的概率分布 . 解X 可以取值0, 1,2, 3, 4.相应概率为P ( X =m ) =m m mC 2.08.0444⨯⨯--( m=0,1,2,3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命中的概率 ;至少命中3次的概率 . 解 记X 为10次投篮中命中的次数,则X ~B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P =1-0.310-10×0.7×0.39-45×0.72×0.38≈0.998454.掷四颗骰子,求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应概率.解 掷四颗骰子,记“6点”出现次数为X ,则X ~B (4,61).EX = np =32由于np + p =65,其X 的最可能值为[ np + p ]=0 {}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ,显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55.已知随机变量X ~B (n , p ),并且EX =3,DX =2,写出X 的全部可能取值,并计算{}8≤X P . 解根据二项分布的期望与方差公式,有⎩⎨⎧==23npq np 解方程,得q =32,p =31,n =9 . X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9. {}{}918=-=≤X P X P= 1-9)31(≈ 0.999956.随机变量X ~B (n ,p ),EX =0.8,EX 2=1.28,问X 取什么值的概率最大,其概率值为何? 解由于DX = EX 2-(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得q = 0.8,p = 0.2,n = 4 .由于np +p =1,因此X 取0与取1的概率最大,其概率值为 {}{}4096.08.0104=====X P X P57.随机变量X ~B (n , p ),Y =e aX ,计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数,由于X 是离散型随机变量,因此Y 也是离散型随机变量,根据随机变量函数的期望公式,有 }{ }{∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a i n ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌(52张)中每次抽取一张,连续抽取四次,随机变量X ,Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数,分别求X ,Y 的概率分布以及期望和方差.解X 服从超几何分布,Y 服从二项分布B (4,21).)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m }{)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m }{ 具体计算结果列于下面两个表中.1 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N nEX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布,查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P }{并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260.从废品率是0.001的100000件产品中,一次随机抽取500件,求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X ,它是一个随机变量且X 服从N=100000,1N =100,n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小,因此它可以用二项分布B (500,0.001)近似.又因在二项分布B (500,0.001)中,n =500比较大,而p =0.001非常小,因此该二项分布又可用泊松分布近似,其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P X P }{ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求: (1)产品的废品率; (2)产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目,(1)}{}>{314≤-=X P X P ∑==-==300014.01m m X P }{(2)设一件产品的产值为Y 元,它可以取值为0,8,10. )(61.98088.0101898.08 110418 10108800元}{}<{}{}{}{≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ,4页中没有印刷错误的页数为Y ,依题意,}{}{21===X P X P 即λλλλ--=e !2e2解得λ=2,即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===}{X P p 显然Y ~B )e ,4(2-84e 4-===p Y P }{63.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍,求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目,依题意λλλλ--⨯====e!22e 2212}{}{X P X P解得λ=1.1e 0-==}{X P64.上题中条件不变,求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题,设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y ,则Y ~B (10,p ),其中,e 10101--==-==}{}>{X P X P 1e -=q)45e 80e 36(e 2102128+-==+=+==≤---}{}{}{}{Y P Y P Y P Y P65.设随机变量X 服从][3,2上的均匀分布,计算E (2X ),D (2X ),2)2(X D .解EX =2.5,DX =1276)(,12122=+=EX DX EXE (2X )=5,D (2X )=4DX =31,][⎰==-===32 442242225211d )(1616)4()2(x x EX EX EX DX X D X D 45150416)2(720150414457765211)(222242===-=-=DX X D EX EX DX66.随机变量X 服从标准正态分布,求概率P }{}{}{}{7,1,535.2,3-≤≤≤≤≤X P X P X P X . 解3(3)0.9987P X Φ≤=={} 2.355(5)(2.35)0.0094P X ΦΦ≤≤=-={}1(1)0.8413P X Φ≤=={}71(7)0P X Φ≤-=-={}67.随机变量X 服从标准正态分布,确定下列各概率等式中的a 的数值: (1);9.0=≤}{a X P ;(2){};9.0 =≤a X P(3){};97725.0=≤a X P (4){};1.0 =≤a X P 解(1){}()0.9P X a a Φ≤==,查表得a =1.28(2){} 2()10.9P X a a Φ≤=-=,得Φ(a )=0.95, 查表得a =1.64(3){}()0.97725P X a a Φ≤==,查表得a =2(4){}1.01)(2 =-Φ=≤a a X P ,得Φ(a )=0.55, 查表得a =0.1368. 随机变量X 服从正态分布)2,5(2N ,求概率{}85<<X P ,{}0≤X P ,{}25 <-X P .解{}⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2552588X 5ΦΦ<<P (1.5)(0)0.4332ΦΦ=-=P {}()()00620521520...X =-=-=≤ΦΦ{}1)1(212525 -Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=-X P X P <=0.682669.随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,若{}975.09=<X P ,{}062.02=<X P ,计算μ和σ的值,求{}6>X P .。

概率论与数理统计练习册(内附答案)

概率论与数理统计练习册(内附答案)

概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1,2,3,……,n ),用i A 表示下列事件: (1) 没有一个零件是次品; (2) 至少有一个零件是次品; (3) 仅仅只有一个零件是次品; (4) 至少有两个零件是次品。

解:1)1ni i A A ==2)1ni i A =3)11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4)A B2、任意两个正整数,求它们的和为偶数的概率。

解:{}(S =奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶) 12P ∴=3、从数1,2,3,……,n 中任意取两数,求所取两数之和为偶数的概率。

解:i A -第i 次取到奇数(i =1,2);A -两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时:11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时:1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ,求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。

解: 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球,其中4个是新的,第一次比赛时从盒中任意取2个球去用,比赛后放回盒中,第二次比赛时再从盒中任意取2个球,求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。

解:i A -第一次比赛时拿到i 只新球(i =1,2)B -第二次比赛时拿到2只新球1)()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件,第一台加工的零件比第二台多一倍,而它们生产的废品率分别为0.03与0.02,现把加工出来的零件放在一起 (1)求从中任意取一件而得到合格品的概率;(2)如果任意取一件得到的是废品,求它是第一台机床所加工的概率。

经济数学基础——概率统计课后习题答案

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目录习题一(1)习题二(16)习题三(44)习题四(73)习题五(97)习题六(113)习题七(133)1 / 81习 题 一1.写出下列事件的样本空间: (1) 把一枚硬币抛掷一次; (2) 把一枚硬币连续抛掷两次;(3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止;(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解(1)Ω={正面,反面} △ {正,反}(2)Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)} (3)Ω={(正),(反,正),(反,反,正),…} (4) Ω={x ;0≤x ≤m }2.掷一颗骰子的实验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”,B =“奇数点”,C =“点数小于5”,D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系. 解{}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对立事件,即B =A ;B 与D 互不相容;A ⊃D ,C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务,i =1,2,3,B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件B 及B -C 的含义,并且用A i (i =1,2,3)表示出来. 解B 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B -C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321+++A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =- 4. 如图1-1,事件A 、B 、C 都相容,即ABC ≠Φ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件,C 与D 是互不相容事件.6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件,即ABC =Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABC =Φ,但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容,记C =AB ,D =A+B ,F =A -B.说明事件A 、C 、D 、F的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ,A -B ⊂A ⊂A+B ,AB 与A -B 互不相容,且A =AB +(A -B).因此有A =C +F ,C 与F 互不相容, D ⊃A ⊃F ,A ⊃C.8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目#A =1315C C .而组成实验的样本点总数为#Ω=235+C ,由古典概率公式有图1-1图1-2P (A )==Ω##A 2815281315=C C C (其中#A ,#Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数,余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为#25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P -10. 抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果,即#Ω=8,因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P # 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P -##从9题-11题解中可以看到,有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1)四张花色各异;(2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”;B 表示“四张中只有两种花色”.,113113113113452##C C C C A , C Ω==) +#2132131133131224C C C C C C B (= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048+74366##)(452 )(.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分,5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)+(+C =##25231533123822510C C C C C C A C Ω , = 50252126)(.ΩA A P ==##=14. 袋中有红、黄、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:A =“三次都是红球” △ “全红”,B =“全白”, C =“全黑”,D =“无红”,E =“无白”, F =“无黑”,G =“三次颜色全相同”,H =“颜色全不相同”,I =“颜色不全相同”.解 #Ω=33=27,#A =#B =#C =1, #D =#E =#F =23=8, #G =#A +#B +#C =3,#H =3!=6,#I =#Ω-#G =24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.#Ω=126,#A =21124611C C 0073.01221780##)(6==ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容,计算P )(B A +.解 由于A 与B 互不相容,有AB =Φ,P (AB )=0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P 17. 设事件B ⊃A ,求证P (B )≥P (A ). 证∵B ⊃A∴P (B -A )=P (B ) -P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )=a ,P (B )=b ,ab ≠0 (b >0.3a ),P (A -B )=0.7a ,求P (B +A ),P (B -A ),P (B +A ). 解由于A -B 与AB 互不相容,且A =(A -B )+AB ,因此有P (AB )=P (A )-P (A -B )=0.3aP (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.7a +b P (B -A )=P (B )-P (AB )=b -0.3a P(B +A )=1-P (AB )=1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取三个,计算取到废品的概率.解设事件A 表示“取到废品”,则A 表示没有取到废品,有利于事件A 的样本点数目为#A =346C ,因此P (A )=1-P (A )=1-3503461C C ΩA-=## =0.225520. 已知事件B ⊃A ,P (A )=ln b≠0,P (B )=ln a ,求a 的取值范围.解因B ⊃A ,故P (B )≥P (A ),即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ,又因P (A )>0,P (B )≤1,可得b >1,a ≤e ,综上分析a 的取值范围是:1<b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0,比较概率P (A ),P (AB ),P (A +B ),P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来). 解由于对任何事件A ,B ,均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ),P (AB )≥0,因此有 P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )+P (B )22. 一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”,则有利于A 的样本点数目为#A =364100,而样本空间中样本点总数为 #Ω=365100,所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”,则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92%的职工订阅报纸,93%的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工求下列事件的概率: (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊; (2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”,B 表示“订阅杂志”,依题意P (A )=0.92,P (B )=0.93,P (B |A )=0.85P (A +B )=P (A )+P (A B )=P (A )+P (A )P (B |A )=0.92+0.08×0.85=0.988P (A B )=P (A +B )-P (B )=0.988-0.93=0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,记事件A 表示数学成绩优秀,B 表示外语成绩优秀,若P (A )=P (B )=0.4,P (AB )=0.28,求P(A |B ),P (B |A ),P (A +B ).解P (A |B )=7.04.028.0)()(==B P AB PP (B |A)=7.0)()(=A P AB PP (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A |B )+P (A |B )=1. 求证P (AB )=P (A )P (B ). 证∵P (A |B )+P (A |B )=1且P (A |B )+P (A |B )=1∴P (A |B )=P (A |B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )[1-P (B )]=P ( B )[P ( A )-P ( AB )]整理可得P (AB )=P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立,P ( A )=0.4,P ( A +B )=0.7,求概率P (B ). 解P ( A +B )=P (A )+P (A B )=P ( A )+P (A ) P ( B )⇒0.7=0.4+0.6P (B ) ⇒P (B )=0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0,如果A 与B 独立,问它们是否互不相容,为什么?解因P (A ),P (B )均大于0,又因A 与B 独立,因此P (AB )=P (A )P (B )>0,故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8,求3个这种元件使用1000小时后,最多只坏了一个的概率.解设事件A i 表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”, i =1,2,3,显然A 1,A 2,A 3相互独立,事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”,则A =A 1A 2A 3+1A A 2A 3+A 12A A 3+A 1A 23A ,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和,且P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=0.8P ( A )=[][])()(3)(12131A P A P A P + =0.83+3×0.82×0.2 =0.89630. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”,依题意A 表示三道工序都合格.P (A )=(1-0.3)(1-0.2)(1-0.2)=0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”,i =1,2,…,m ,则P (A 1)=(1-0.4)(1-0.3)=0.42 P (A 2)=0.58×0.42=0.2436P (A m )=0.58m -1×0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”,i =1,2,3,4.P (A i )=41,设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B =A 1+A 2+A 3+A 4.P (B )=P (A 1+A 2+A 3+A 4) =∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p <<<P (A i A j )=P (A i )P (A j |A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i < P (A i A j A k )=P (A i )P (A j |A i )P (A k |A i A j )=41×31×21=241(1≤i <j <k ≤4) P (A 1A 2A 3A 4)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4|A 1A 2A 3) =2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1,2,…,3000这3000个数中任取一个数,设A m =“该数可以被m 整除”,m =2,3,求概率P (A 2A 3),P (A 2+A 3),P (A 2-A 3).解依题意P (A 2)=21,P (A 3)=31P (A 2A 3)=P (A 6)=61P (A 2+A 3)=P (A 2)+P (A 3)-P (A 2A 3)=32613121=-+ P (A 2-A 3)=P (A 2)-P (A 2A 3)=316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:(1)只有一人投中; (2)最多有一人投中; (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”,显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”,i =0,1,2,3,依题意,)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P == =0.2×0.3×0.4×=0.024 P (A 3)=P (ABC )=P (A )P (B )P (C ) =0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=0.8×0.7×0.4+0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.452 (1)P (A 1)=1-P (A 0)-P (A 2)-P (A 3)=1-0.024-0.452-0.336=0.188(2)P (A 0+A 1)=P (A 0)+P (A 1)=0.024+0.188=0.212 (3)P (A +B +C )=P (0A )=1-P (A 0)=0.97635. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n -1次投中”与“乙在第2n 次投中”,显然A 1,B 2,A 3,B 4,…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=+++0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )>0.5,P (A )<0.5,因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中,北京考生占30%,京外其他各地考生占70%,已知在北京学生中,以英语为第一外语的占80%,而京外学生以英语为第一外语的占95%,今从全校新生中任选一名学生,求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”,B 表示“任选一名学生,以英语为第一外语”. 依题意P (A )=0.3,P (A )=0.7,P (B |A)=0.8,P (B |A )=0.95. 由全概率公式有P (B )=P (A )P (B |A )+P (A )P (B |A )=0.3×0.8+0.7×0.95=0.90537. A 地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区,易见A 1,A 2,A 3两两互不相容,其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”,依题意:P (A 1)=0.45,P (A 2)=0.35,P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.004,P (B |A 2)=0.002,P (B |A 3)=0.005=∑=31)|()(i i i A B P A P=0.45×0.004+ 0.35×0.002+ 0.2×0.005 =0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工零件A 时,停机的概率为0.3,加工零件B 时停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”,则A 表示“机床加工零件B ”,设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=⨯+⨯=39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,1个2号球与1个3号球,Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球,Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球,现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从该口袋中任取一个球,计算第二次取到几号球的概率最大,为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”,B i 表示第二次取到i 号球,i =1,2,3.依题意,A 1,A 2,A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题,用一种检验方法,其效果是:对甲种疾病的漏查率为5%(即一个甲种疾病患者,经此检验法未查出的概率为5%);对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%,在一次健康普查中,某人经此检验法查为患有甲种疾病,计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”,B 表示“受检人被查有甲种疾病”,由37题计算可知P (A )=0.0035,应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=+ 25.0=41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2,各机床所加工的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1,A 2,A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”,“乙机床加工”,“丙机床加工”,B 表示“废品”,应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020+1030+06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1,A 2,A 3,A 4分别表示外出人“乘坐飞机”,“乘坐火车”,“乘坐轮船”,“乘坐汽车”,B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题,若第二次取到的是1号球,计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39题计算知P (B 1)=21,应用贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件,其次品个数从0到2是等可能的,开箱检验时,从中随机地抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收,若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表示一箱中有i 件次品,i =0, 1, 2.B 表示“抽取的10件中无次品”,先计算P (B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p n n n =0, 1, 2, …其中λ>0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0<p <1).如果卵的孵化是相互独立的,问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n =“一个虫产下几个卵”,n =0,1,2….B R =“该虫下一代有k 条虫”,k =0,1,….依题意λλ-==e !)(n p A P n n n⎩⎨⎧≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(>其中q =1-p .应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=ln k n k nq p k n k n n !)(!!e ! ∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n k n k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0,所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ习 题 二1. 已知随机变量X 服从0-1分布,并且P {X ≤0}=0.2,求X 的概率分布.解X 只取0与1两个值,P {X =0}=P {X ≤0}-P {X <0}=0.2,P {X =1}=1-P {X =0}=0.8.2. 一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数X 的概率分布.解X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示:3. 上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为X 件,求随机变量X 的概率分布.解X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4,取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数X 的概率分布.解X 可以取1, 2,…可列个值. 且事件{X =n }表示抽取n 次,前n -1次均未取到优质品且第n 次取到优质品,其概率为41431⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ;(2)取到的旧球个数Y . 解(1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2)Y 可以取0, 1, 2, 3各值.{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变,若一次取出3个,求取到的新球数目X 的概率分布. 解X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P 7. 已知P {X =n }=p n ,n =1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P =, 有∑-==∞=111n n pp P 解上面关于p 的方程,得p =0.5.8. 已知P {X =n }=p n ,n =2, 4, 6, …,求p 的值.解1122642=-=⋯+++p p p p p解方程,得p =2±/29. 已知P {X =n }=cn ,n =1,2,…, 100, 求c 的值. 解∑=+⋯++==10015050)10021(1n cc cn =解得c =1/5050 .10. 如果p n =cn _2,n =1,2,…, 问它是否能成为一个离散型概率分布,为什么?解,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=,则有∑∞=1n n p =1,且p n >0.所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列,求X 的概率分布.解设P {X =2}=a ,P {X =1}=a -d ,P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1,可知a =31,但是a -d 与a +d 均需大于零,因此|d |<31, X 的概率分布为其中d 应满足条件:0<|d |<312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ>0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e !1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得λ--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:(1)二人投篮总次数Z 的概率分布; (2)甲投篮次数X 的概率分布; (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中,j 表示在第j 次投篮中乙投中,i =1,3,5,…,j =2,4,6,…,且A 1, B 2, A 3,B 4,…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P=(0.6×0.5)1-k ·0.4=0.4(0.3)1-k k=1, 2, … {})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---== =0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3k k=1, 2, …(2){}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+ )5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n ,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P )4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n ,2,13.042.01=⨯=-n n14. 一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车). 解X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X =0 } =0.4P { X =1 }=0.6×0.4=0.24 P { X =2 } =0.62×0.4=0.144 P { X =3 } =0.63×0.4=0.0864 P { X =4 } =0.64=0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他,b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数,为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在[0, 2π]与[0, π]上,sin x ≥0,但是,1d sin π≠⎰x x ,1d sin 2π=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ,>其中c >0,问f (x )是否为密度函数,为什么? 解易见对任何x ∈(-∞ , +∞) , f ( x ) ≥ 0,又1d e 202=⎰-∞+x cx cx f (x )是一个密度函数 .17. ⎩⎨⎧+=.0.2<<,2)(其他,a x a x x f问f ( x )是否为密度函数,若是,确定a 的值;若不是,说明理由. 解如果f ( x )是密度函数,则f ( x )≥0,因此a ≥0,但是,当a ≥0时,444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1,因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ~f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他<<x a x x f 确定常数a 的值,如果P { a < x < b } =0.5,求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫⎝⎛a arctan - 2π=1得a =0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=<< 解关于b 的方程:π2arctan b =0.5 得b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2<x x x x f 3个这种元件串联在一个线路中,计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件A 表示“线路正常工作”,则3])150([)(>X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P =>278)(=A P 20. 设随机变量X ~f ( x ),f ( x )=A e -|x|,确定系数A ;计算P { |X | ≤1 }.解A x A x A x x 2d e 2d e 10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞-- 解得A =21 {}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从[0, 5]上的均匀分布,求关于x 的二次方程4x 2+4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△=b 2-4ac =16Y 2-16(Y +2)=16Y 2-16Y -32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P =0.622. 设随机变量X ~ f ( x ),⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他,<x x cx f 确定常数c ,计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x xc ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F <<,<确定系数A ,计算{}25.00≤≤X P ,求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数,F (1)= F (1-0),有A =1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他<<x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解{}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤=当t ≤ 0时, x t x t x F e 21d e 21)(=⎰=∞-当t >0时,t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(2121 25. 函数(1+x 2)-1可否为连续型随机变量的分布函数,为什么? 解不能是分布函数,因F (-∞)= 1 ≠ 0.26. 随机变量X ~f ( x ),并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值;求分布函数F ( x );计算{}1||<X P .解a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P < 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为:⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ,> 确定常数A 的值,计算{}40≤≤X P .解由F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤<=0.7528. 随机变量X ~f ( x ),f ( x )=,e e x x A-+确定A 的值;求分布函数F ( x ) .解⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xxx x d e1e d e e 12 A A x 2πe arctan ==∞∞- 因此A =π2,xtxt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ~f ( x ),⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他<<a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解2202202ππd π21a x x x a a==⎰=因此,a = π 当0<x <π时,⎰=x x t tx F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F << 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22>>a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10<<.解当x ≤ 0时,X 的概率密度f ( x ) =0;当x > 0时,f ( x ) =F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23> x x a x x f ax其他)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0-1分布,求X 2,X 2-2X 的概率分布.解X 2仍服从0-1分布,且P { X 2=0 } =P { X =0 } =0.3,P {X 2=1}=P {X =1}=0.7X 2-2X 的取值为-1与0 , P {X 2-2X =0} =P { X =0 } =0.3P { X 2-2X =-1 } =1-P { X =0 } =0.732. 已知P { X =10n } =P { X =10-n }=,,2,1,31=n nY =l gX ,求Y 的概率分布. 解Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =-n } =P { l gX =-n } =P { x =10-n } =31n =1 , 2 , …33. X 服从[a ,b ]上的均匀分布,Y =ax +b (a ≠0),求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ,X 的概率密度为f X ( x ),只要a ≠ 0,y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a > 0时,Y 的取值为[a 2+b ,ab +b ],ax y h b y a y h x y 1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时,f Y ( y ) =0.类似地,若a <0,则Y 的取值为[ ab +b , a 2+b ]⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此,无论a >0还是a <0,ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从[0 , 2π]上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解y =cos x 在[0,2π]上单调,在(0 , 1)上,h ( y ) = x =arccos yh′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他,<<y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布,Y =e x , Z =|ln X |,分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导,且x′y = y1, f X ( x ) =10 < x < 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他 <<y yy f Y在(0 , 1)内ln x < 0|ln x |=-ln x 单调,且x = e z -,x′z =-e z -,因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他<<,z z f z z36. 随机变量X ~f ( x ) , ⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x x f x >Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) . 解当x > 0时,y =x 单调,其反函数为x = y 2 , x′y = 2y ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y >当x > 0时z =x 2也是单调函数,其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ,z zz f zz > 37.随机变量X ~f ( x ),当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数,其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫⎝⎛-2π,0内恒不为零,因此,当0 < y <π2时, π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布.z = x 1在x >0时也是x 的单调函数,其反函数x =z 1, x′ z =21z-.因此当z >0时,)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z >即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ,圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图,设质点在圆周位置为M ,弧MA 的长记为L ,显然L 是一个连续型随机变量,L 服从[0,πR ]上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他,R l Rl f L M 点的横坐标X 也是一个随机变量,它是弧长L 的函数,且X = R cos θ = R cos RL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0< l < πR ) ,其反函数为l = R arccos Rx22xR R l x--=' 当-R < x < R 时,L′x ≠ 0,此时有2222π1π1)(xR R x R Rx f X -=⋅--=当x ≤ -R 或x ≥ R 时,f X ( x ) =0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布,有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从超几何分布,直接计算2120521=⨯==N N n EX在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2,41),直接用期望公式计算:21412=⨯==np EX在第5题中(1)3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX(2)3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中,25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中,⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX31|<d <|0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n 13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n 图2-141. 随机变量X 只取-1, 0, 1三个值,且相应概率的比为1 : 2 : 3,计算EX . 解设P { X =-1 } = a ,则P { X =0 } =2a , P { X =1 } =3a ( a >0 ) ,因a + 2a + 3a = 1 , 故a =1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX42. 随机变量X 服从参数为0.8的0-1分布,通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解EX =P { X =1 } =0.8,( EX )2 =0.64EX 2=1×0.8=0.8>( EX )243. 随机变量X ~f ( x ) ,f ( x ) =0.5e - | x |,计算EX n ,n 为正整数.解当n 为奇数时,)(x f x n 是奇函数,且积分x x x n d e 0-∞⎰收敛,因此0d e 5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时,x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ~f ( x ) ,⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(<<x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ~f ( x ) ,⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f bb ,c 均大于0,问EX 可否等于1,为什么?解11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b c x cx x x f b 而2d 101+=⎰=+b c x cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解,因此EX 不能等于1. 46. 计算第6,40各题中X 的方差DX . 解在第6题中,从第39题计算知EX =49, 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX =EX 2-( EX )2≈0.46其他 其他在第40题中,已计算出EX =137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23,29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中,由于f ( x ) =x21(0<x <1),因此31d 210=⎰=x xx EX51d 22102=⎰=x xx EXDX = EX 2- ( EX )2 =454在第29题中,由于f ( x ) =2π2x( 0<x <π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX =EX 2- ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差.解EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π2122=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为:F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ,x x x x x x ,<-,<,<计算EX 与DX .解依题意,X 的密度函数f ( x ) 为:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他,<,<,x x x x x f解EX =0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x xEX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x xDX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X =μ,方差DX =σ2,随机变量Y = σμ-X ,求EY 和DY .解EY =σ1( EX -μ ) =0 DY = 2σDX =151. 随机变量Y n ~B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表,并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次实验的成功率为0.8,重复实验4次,失败次数记为X ,求X 的概率分布 . 解X 可以取值0, 1,2, 3, 4.相应概率为P ( X =m ) =m m mC 2.08.0444⨯⨯--( m=0,1,2,3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命中的概率 ;至少命中3次的概率 . 解 记X 为10次投篮中命中的次数,则X ~B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P =1-0.310-10×0.7×0.39-45×0.72×0.38≈0.998454.掷四颗骰子,求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能(即概率最大)次数及相应概率.解 掷四颗骰子,记“6点”出现次数为X ,则X ~B (4,61).EX = np =32由于np + p =65,其X 的最可能值为[ np + p ]=0 {}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ,显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55.已知随机变量X ~B (n , p ),并且EX =3,DX =2,写出X 的全部可能取值,并计算{}8≤X P . 解根据二项分布的期望与方差公式,有⎩⎨⎧==23npq np 解方程,得q =32,p =31,n =9 . X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9. {}{}918=-=≤X P X P= 1-9)31(≈ 0.999956.随机变量X ~B (n ,p ),EX =0.8,EX 2=1.28,问X 取什么值的概率最大,其概率值为何? 解由于DX = EX 2-(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得q = 0.8,p = 0.2,n = 4 .由于np +p =1,因此X 取0与取1的概率最大,其概率值为 {}{}4096.08.0104=====X P X P57.随机变量X ~B (n , p ),Y =e aX ,计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数,由于X 是离散型随机变量,因此Y 也是离散型随机变量,根据随机变量函数的期望公式,有 }{ }{∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a i n ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌(52张)中每次抽取一张,连续抽取四次,随机变量X ,Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数,分别求X ,Y 的概率分布以及期望和方差.解X 服从超几何分布,Y 服从二项分布B (4,21).)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m }{)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m }{ 具体计算结果列于下面两个表中.1 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N nEX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布,查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P }{并与上题中的概率分布进行比较.X0 1 2 3 4 P0.13530.27070.27070.18040.090260.从废品率是0.001的100000件产品中,一次随机抽取500件,求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X ,它是一个随机变量且X 服从N=100000,1N =100,n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小,因此它可以用二项分布B (500,0.001)近似.又因在二项分布B (500,0.001)中,n =500比较大,而p =0.001非常小,因此该二项分布又可用泊松分布近似,其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P X P }{ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元;4个以上者为废品,求: (1)产品的废品率; (2)产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目,(1)}{}>{314≤-=X P X P ∑==-==300014.01m m X P }{(2)设一件产品的产值为Y 元,它可以取值为0,8,10. )(61.98088.0101898.08 110418 10108800元}{}<{}{}{}{≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY62.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ,4页中没有印刷错误的页数为Y ,依题意,}{}{21===X P X P 即λλλλ--=e !2e2解得λ=2,即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===}{X P p 显然Y ~B )e ,4(2-84e 4-===p Y P }{63.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍,求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目,依题意λλλλ--⨯====e!22e 2212}{}{X P X P解得λ=1.1e 0-==}{X P64.上题中条件不变,求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题,设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y ,则Y ~B (10,p ),其中,e 10101--==-==}{}>{X P X P 1e -=q)45e 80e 36(e 2102128+-==+=+==≤---}{}{}{}{Y P Y P Y P Y P65.设随机变量X 服从][3,2上的均匀分布,计算E (2X ),D (2X ),2)2(X D .解EX =2.5,DX =1276)(,12122=+=EX DX EXE (2X )=5,D (2X )=4DX =31,][⎰==-===32 442242225211d )(1616)4()2(x x EX EX EX DX X D X D 45150416)2(720150414457765211)(222242===-=-=DX X D EX EX DX66.随机变量X 服从标准正态分布,求概率P }{}{}{}{7,1,535.2,3-≤≤≤≤≤X P X P X P X . 解3(3)0.9987P X Φ≤=={} 2.355(5)(2.35)0.0094P X ΦΦ≤≤=-={}1(1)0.8413P X Φ≤=={}71(7)0P X Φ≤-=-={}67.随机变量X 服从标准正态分布,确定下列各概率等式中的a 的数值: (1);9.0=≤}{a X P ;(2){};9.0 =≤a X P(3){};97725.0=≤a X P (4){};1.0 =≤a X P 解(1){}()0.9P X a a Φ≤==,查表得a =1.28(2){} 2()10.9P X a a Φ≤=-=,得Φ(a )=0.95, 查表得a =1.64(3){}()0.97725P X a a Φ≤==,查表得a =2(4){}1.01)(2 =-Φ=≤a a X P ,得Φ(a )=0.55, 查表得a =0.1368. 随机变量X 服从正态分布)2,5(2N ,求概率{}85<<X P ,{}0≤X P ,{}25 <-X P .解{}⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2552588X 5ΦΦ<<P (1.5)(0)0.4332ΦΦ=-=P {}()()00620521520...X =-=-=≤ΦΦ{}1)1(212525 -Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=-X P X P <=0.682669.随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,若{}975.09=<X P ,{}062.02=<X P ,计算μ和σ的值,求{}6>X P .。

概率统计习题带答案

概率统计习题带答案

概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1.设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ,试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2.若C B A ,,相互独立,试证明:C B A ,,亦必相互独立。

3.试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。

每种结果以),(21x x 记之,其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。

设事件}10|),{(2121=+=x x x x A , 事件}|),{(2121x x x x B >=。

试求)|(A B P 和)|(B A P4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。

问:(1)恰好第三次打开房门锁的概率?(2)三次内打开的概率?(3)如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n 个白球、m 个红球,乙袋中装有N 个白球、M 个红球。

今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。

试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。

试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。

试求下列事件的概率:(1)仓库发生意外时能及时发出警报;(2)乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设B A ,为两随机变量,试求解下列问题:(1) 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。

求:)|(B A P ; (2) 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。

概率统计习题集(含答案)

概率统计习题集(含答案)

第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C + C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P AB P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B = B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -= B .()A B B A -⊃C .()A B B A -⊂D .()A B B A -=8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.4,则PA B C -= ()( ). A .0.5 B .0.1 C .0.44 D .0.317掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。

概率统计习题集答案

概率统计习题集答案

概率统计习题集答案概率统计习题集答案概率统计是一门重要的数学学科,它研究了随机事件的发生规律以及对这些规律进行量化和分析的方法。

在学习概率统计的过程中,习题集是必不可少的辅助工具。

通过解答习题,我们可以更好地理解和掌握概率统计的概念和方法。

下面是一些常见的概率统计习题及其答案,希望对大家的学习有所帮助。

一、概率计算1. 一个骰子投掷一次,求出现奇数的概率。

答案:一个骰子有6个面,其中3个是奇数(1、3、5),所以出现奇数的概率为3/6=1/2。

2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌,求抽到红桃的概率。

答案:一副扑克牌有52张牌,其中有13张红桃牌,所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。

二、条件概率1. 一家餐馆的顾客中,男性占40%,女性占60%。

男性中有30%喜欢吃牛排,女性中有20%喜欢吃牛排。

求一个随机选取的顾客是男性且喜欢吃牛排的概率。

答案:男性喜欢吃牛排的概率为40% × 30% = 12%。

所以一个随机选取的顾客是男性且喜欢吃牛排的概率为12%。

2. 一批产品中有10%的次品。

从中随机抽取两个产品,求两个产品都是次品的概率。

答案:第一个产品是次品的概率为10%,第二个产品是次品的概率为9%(因为已经抽取了一个次品)。

所以两个产品都是次品的概率为10% × 9% = 0.9%。

三、随机变量1. 设X为一次投掷一枚骰子所得点数的随机变量,求E(X)和Var(X)。

答案:骰子的点数为1、2、3、4、5、6,每个点数出现的概率为1/6。

所以E(X) = (1 × 1/6) + (2 × 1/6) + (3 × 1/6) + (4 × 1/6) + (5 × 1/6) + (6 × 1/6) = 3.5。

Var(X) = [(1-3.5)^2 × 1/6] + [(2-3.5)^2 × 1/6] + [(3-3.5)^2 × 1/6] + [(4-3.5)^2× 1/6] + [(5-3.5)^2 × 1/6] + [(6-3.5)^2 × 1/6] = 35/12。

概率统计练习册答案详解

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概率论与数理统计练习册概率统计课程组目录第一章随机事件与概率随机现象与随机事件班级姓名学号一、判断题(正确的请在括号里打“√”,错误请打“×”)1、设随机事件,A B满足()0P AB=,则AB一定为不可能事件. ( ×)2、甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则A B⋃表示二人没有都射着. (×)3、以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A为. 甲种产品滞销,乙种产品畅销. ( ×)4、掷两枚骰子,出现点数之和大于2小于12这一事件是必然事件. (×)二、填空题1、若事件A,B满足ABφ=,则称A与B 互斥(互不相容)2、“A,B,C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示ABUBCUAC三、单项选择题1、掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为( C )(A)不可能事件(B)必然事件(C)随机事件(D)样本事件2、下面各组事件中,互为对立的事件有( B)(A)1A={抽到的三个产品全是合格品} 2A={抽到的三个产品全是废品} (B)1B={抽到的三个产品全是合格品}2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}(C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个}2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}(D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品}2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3、下列事件与事件A B -不等价的是( C )(A )A AB - (B )()A B B ⋃- (C )AB (D )AB4、设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则AB 表示( A )(A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x <<(C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞5、在事件A ,B ,C 中,A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为( A )(A )C A C B ; (B )C AB ;(C )C AB C B A BC A ; (D )A B C .6、设321A A A 、、表示3个事件,则321A A A 表示( B )A 、321A A A 、、中有一个发生B 、321A A A 、、中至少有一个不发生C 、321A A A 、、不多于一个发生D 、321A A A 、、中恰有两个发生四、解答题1、判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?(1)“抛一石块,下落”.必然(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;不可能(3)“某人射击一次,中靶”;随机(4)“如果a>b,那么a-b>0”;必然(5)“掷一枚硬币,出现正面”;随机(6)“导体通电后,发热”;必然(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;随机(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;随机(9)“没有水份,种子能发芽”;不可能(10)“在常温下,焊锡熔化”.不可能2、一盒内放有四个球,它们分别标上1,2,3,4号,试根据下列3种不同的随机实验,写出对应的样本空间:(1)从盒中任取一球后,不放回盒中,再从盒中任取一球,记录取球的结果;(2)从盒中任取一球后放回,再从盒中任取一球,记录两次取球的结果;(3)一次从盒中任取2个球,记录取球的结果。

中国海洋大学概率统计练习册试题答案(PDF)

中国海洋大学概率统计练习册试题答案(PDF)

(一)答案:一.填空题1. 8.0;2.nX σ96.1±;3.5;4.457; 5.4;6.3.0;二.单选题1-----6 ○2○1○4○1○3○1三.判断题 1---5 ⨯√⨯√⨯四.综合题(一)2)3(p p - pp+12(二) 2=cX 的边际分布密度其它2005.0),()(1≤≤⎩⎨⎧==⎰∞+∞-x xdy y x p x pY 的边际分布密度其它1004),()(32≤≤⎩⎨⎧==⎰∞+∞-y y dx y x p y p)()(),(21y p x p y x p =所以 X 、Y 独立()()()1516544345.014202=====⎰⎰XY E dy y Y E dx x X E(三)解1 、θ的矩估计X 2ˆ1=θ 2、2ˆθ=}{max 1i ni X ≤≤是θ的最大似然估计 3、1ˆθ是θ的无偏估计。

2ˆθ=}{max 1i ni X ≤≤不是θ的无偏估计。

(四)① 选取统计量=Z nX σμ0-② 给出检验水平α,查标准正态分布表使21)(2αα-=Φz ,即0H 成立时,αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2z Z P③ 根据样本观察值,,,,21n x x x 算得=Z nX σμ0-④ 若2||αz Z ≥则拒绝0H ;否则(二)答案:一.填空题 1. 7.0;2.)1(2-±n t ns X α;3.15.0--e ;4.2.0; 5.2;6.5.0-;二.单选题1-----6 ○4○3○2○1○1○1三.判断题 1---5 ⨯ ⨯⨯√√四.计算题(一)9783.0(二)(1) 8=c(2)X 的边际分布密度其它1004),()(31≤≤⎩⎨⎧==⎰∞+∞-x x dy y x p x pY 的边际分布密度其它100)1(4),()(22≤≤⎩⎨⎧-==⎰∞+∞-y y y dx y x p y p(3) )()(),(21y p x p y x p ≠所以 X 、Y 不独立 (4)()()⎰⎰⎰====1201415888.04dy xy dx Y E dx x X E x948)(0221==⎰⎰xdy y x dx XY E (三)解1、θ的矩估计量为:1ˆ1-=X θ 2、 2ˆθ=}{min 1i ni X ≤≤是θ的最大似然估计 3、2ˆθ=}{min 1i ni X ≤≤密度函数为其它θθ≥⎩⎨⎧=--x ne x g x n 0)()( 4 、2ˆθ=}{min 1i ni X ≤≤不是θ的无偏估计。

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或,{}12/1|<<x x ,Ω6、{3},{1,2,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,6,7,8,9,10},{1,2,3,6,7,8,9,10}7、(1) Ω={正,正,正,正,正,次},A ={次,正}(2)Ω={正正,正反,反正,反反},A ={正正,反反},B={正正,正反}(3) 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 (4)Ω={白,白,黑,黑,黑,红,红,红,红},A={白},B={黑} 8、(1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确 (4)正确 (5) 正确 (6)正确(7)正确 (8)正确10、(1)原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= (2)原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= (3)原式=()AB AB =∅11、证明:左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解:设,,A B C 分别表示“100人中数学,物理,化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===,{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解:设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解:(1)设A 表示“10件全是合格品”,则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”,则8295510100()C C P B C = 14、解:(1)设A 表示“五人生日都在星期日”,51()7P A =(2)设B 表示“五人生日都不在星期日”, 556()7P B = (3)设C 表示“五人生日不都在星期日”,55516()177P C =-- 15、解:{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”,则1{(,)|}3A x y x y =-≤, 所以5()9P A =1.31、0.8,0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注:加入条件()0.4P B =解:()()0.1P AB P A ==,()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==,()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解:设A 表示"13张牌中有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =,8、解:设123,,A A A 分别表示“零件由甲,乙,丙厂生产”,B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解:设123,,A A A 分别表示“甲,乙,丙炮射中敌机”, 123,,B B B 分别表示“飞机中一门,二门,三门炮”,C 表示“飞机坠毁”。

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苏州科技学院《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1.选择题(1)设,,A B C 为三个事件,则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为( D ) (A )ABAC BC (B )A B C (C )ABC ABC ABC (D )A B C(2)设三个元件的寿命分别为123,,T T T ,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件“系统的寿命超过t ”可表示为( D )A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2.用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A :对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解:{} ,,,=321Ω;{}54321A ,,,,=。

3.设某工人连续生产了4个零件,i A 表示他生产的第i 个零件是正品(4,3,2,1=i ),试用i A 表示下列各事件:(1)只有一个是次品;(2习题1-2 随机事件的概率及计算1.填空题(1)已知B A ⊂,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则)(A P )(AB P=)(B A P 0 ,)(B A P(2)设事件A 与B 互不相容,()0.4,()0.3P A P B ==,则()P AB ()P A B 0.62.选择题(1)如果()0P AB =,则( C )(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是( C )(A ) )()()(B P A P AB P = (B )1)(0)(==B A P AB P 且 (C ) Ω=∅=B A AB 且 (D )∅=AB 3.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率; (3)5只中至多有一只坏的概率。

4.(1)教室里有r 个学生,求他们的生日都不相同的概率;(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.解:(1)设A =“他们的生日都不相同”,则365()365rrP P A =; (2)设B =“至少有两个人的生日在同一个月”,则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==; 或 412441()1()11296P P B P B =-=-=.习题1-3 条件概率1.选择题:(1)设A ,B 为两个相互对立事件,且0)(>A P ,0)(>B P ,则( C )。

(A )0)(>A B P (B ))()(A P B A P = (C )0)(=B A P (D ))()()(B P A P AB P = (2)一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为p ,第二道工序的废品率为q ,则该零件加工的成品率为( C )(A ) 1p q -- (B )1pq - (C )1p q pq --+ (D )(1)(1)p q -+- 2.填空题:(1) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容,则)(B P B A 、相互独立,则)(B P (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,该射手的命中率___23p =__。

3.为防止意外,在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ,每种报警系统都使用时,对系统A 其有效的概率是0.92,对系统B 其有效的概率为0.93,在A 失效的条件下,B 有效的概率为0.85.求:(1)发生意外时,这两种报警系统至少有一个有效的概率;(2)B 失灵的条件下,A 有效的概率。

解:设=A “报警系统A 有效”,=B “报警系统B 有效” (2)因为:862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B AP B P A P AB P4.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意地察看四只,若无残次品,则买下该箱,否则退回.试求:(1)顾客买下该箱的概率α;(2)在顾客买下的一箱中,确无残次品的概率β.解 设A =“顾客买下该箱”,B =“箱中恰有i 件残次品”,0,1,2i =, (1)001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P BP A B P B P A B α==++5.据数据显示,每1000名50岁的低风险男性中,有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌,那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%,如果一名男性没有患有结肠癌,那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%.如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血,那么他患有结肠癌的概率是多少?解 设A =“50岁男性患有结肠癌”,B =“大便隐血检查呈隐血” 由题意,003.0)(=A P ,997.0)(=A P ,50.0)(=A B P ,03.0)(=A B P由贝叶斯公式(1.3.5),047755.003.0997.05.0003.05.0003.0)()()()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P习题2-1 随机变量及其分布函数1.判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.( )10,0,()sin ,0,21,.2x F x x x x ππ⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩20,0,()ln(1),0.1x F x x x x <⎧⎪=⎨+≥⎪+⎩解:1()F x 是;2()F x 不是,因为2()01F +∞=≠..习题2-2 离散型随机变量1. 填空题(1) 设随机变量X 的分布律为:{},Nak X P == N k , ,2,1=,试确定___1______a =。

(2) 一批产品共100个,其中有10个次品,从中放回取5次,每次取一个,以X 表示任意取出的产品中的次品数,则X(3) 某射手对一目标进行射击,直至击中为止,如果每次射击命中率都是p ,以X表示射击的次数,则X 的分布律为2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中,每个盒子所放球的个数不限,以X 表示放球最多的盒子中球的个数,试求X 的分布列及其分布函数()F x .3. 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少? (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少? 解:设一周内发生交通事故的次数为X ,则()3.0~P X 。

(1)(2)4.某人购买某种彩票,若已知中奖的概率为0.001,现购买2000张彩票,试求:(1) 此人中奖的概率;(2)至少有3张彩票中奖的概率(用泊松分布近似计算)。

解:设中奖的彩票数为X ,则(2000,0.001)XB .(1)2000(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈.(2)由于20000.0012⨯=,故(3)1(0)(1)(2)P X P X P X P X ≥=-=-=-=习题2-3连续型随机变量1. 设连续型随机变量X 的密度函数为2,01,()2,12,0,ax x f x x x ⎧≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.试求:(1)常数a 的值;(2)随机变量X 的分布函数;(3)13()22P X <<。

(2)当0x <时,()0F x =;当2x >时,()1Fx =. 故,2. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(x x e A x F x ,,,试求:(1)系数A ;(2)X 的密度函数;(3)(13)P X <<。

解:(1)由1)(=+∞F 知,Ae A x F x x x =-==-+∞→+∞→)1(lim )(lim 1。

(2)⎩⎨⎧≤>='=-.0,0;0,)()(x x e x F x f x (3)()()311311)1()3()31(-----=---=-=<<e e e e F F X P 。

3. 设K 在(0,5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。

解:所求的概率为:4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度210001000()0x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩,,其他,现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立), 任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?从而所求概率为5. 设连续型随机变量~34X N (,),(1)求{}{}2,52>≤<X P X P ;(2)确定常数C 使{}{}C X P C X P >=≤。

(2习题2-4 二维随机变量及其分布1.一箱子装有100件产品,其中一、二、三等品分别为80件,10件,10件。

现从中随机抽取一件,记11,0,X ⎧=⎨⎩若抽到一等品,其他. 210X ⎧=⎨⎩,若抽到二等品,,其他. 试求),(21X X 的联合分布列。

解:2. 完成下列表格3.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为:()()()()()12112212801,010.8;100100,110.1;100100,00.1P X X P X P X X P X P X X ================。

()121,10;P X X ===2,01,02(,)0x cxy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其他,求:(1)常数c ;(2){1}P X Y +≤;(3)X 和Y 的边缘密度函数。

当10><x x 或时,()0=x f X ;求Y 的边缘密度函数:()()⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ,。

当20><y y 或时,()0=y f Y ;4. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布,求:(1)),(Y X 的联合概率密度函数;(2)}{2X Y P <;(3)X 和Y 的边缘密度函数。

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