试卷及答案九

《高等代数下》试卷及答案九
一、填空题(每小题3分,共30分)
1. 复数域C 看做实数域R 上的线性空间,其维数为 , 一组基 可取为 。

2. 4
R
中基 10001100,,,11101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基10000100,,,00100001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的过渡矩阵 是 .
3. 设线性变换A 在基ε1, ε2, ⋯, εn 下的矩阵是A , 向量α在此基下的坐标 是(x 1, x 2, ⋯, x n )T
, 则A (α)在此基下的坐标是 .
4. 设111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是1253
310
2a
-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
的特征向量，则a =
．
5. 设A 是正交矩阵，*'
()A 是A 的伴随矩阵的转置，则A 与*'()A 的关系是 .
6.设D 是线性空间4[]P x 中定义的求微商的变换，则D 的值域 为 ．D 的核的维数为 ．
7. 以下和12V V +是直和的有 ( )
(A)
n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体n 阶实对称矩阵，2V 是全体n 阶实反对称矩阵；
(B) 4[]P x 的两个子空间12,V V ，其中1V 是D 的值域， 2V 是D 的核，D 是4[]P x 上的微分变换， (C)
n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵，2V 是全体n 阶实上三角阵；
(D)
n
R 的两个子空间
{}
111(,...,)| 0
n n n V x x R x x =∈++=，
{}2111(,...,)| 0
n n n V x x R x x -=∈++=。

8. 以下集合对于所指的线性运算构成实数域上线性空间的有 ( )
(A) 次数等于3的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； (B) 全体(1)m m ≥阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法和数量乘法； (C) 平面上不平行于X 轴的向量全体，关于向量的加法与数量乘法； (D) 平面上的全体向量，关于向量的加法和以下定义的数量乘法： 1212(,)(,)k x x k x x =。

9. 在线性空间V 中定义变换A ：A 04,α
αβ=+其中0β是V
中固定向量。

若A 是线性变换，则
0β=。

10. 设
f 是n
R 上的线性函数，则
1(,...,)n f x x 可通过1,...,n x x 表为
的形式。

二、（12
分）设
21
00
0,00
A ω
ωω⎛⎫
⎪
==
⎪ ⎪⎝
⎭
，求 {}
()
()[]W f A f x R x =
∈3
3
的维数和一组基。

三、（12分）已知
112211a A a a --⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
（1）问a 为何值时，A 可以对角化； （2）问a 为何值时，A 不能对角化。

四、（12分）求矩阵
2
100
2100
2A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
的有理标准形。

五、（12分）已知
01
1101110
A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
求正交矩阵T , 使T -1AT 成对角形。

六、（7分）在P 4中定义双线性函数如下：
f (X , Y ) = 3x 1y 2－5x 2y 1 + x 3y 4－4x 4y 3
其中 X =（x 1,x 2,x 3,x 4），Y =（y 1,y 2, y 3,y 4）。

求f (X , Y )在基
ε1 = (1,0,0, 0)，ε2 = (0,1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0)， ε4 = (0,0, 0, 1),
下的度量矩阵。

七、证明题 (每小题5分，共15分）
1.设V 是数域P 上n 维线性空间，21,V V 是其子空间，且1212dim()dim() 1.
V V V V +=+证明12V V ⋃是V 的子空间。

2．设A 是n 阶非零方阵，且存在正整数k 使
0k A =。

证明A 不能相似于对角阵。

3. 设A 是欧氏空间V 的一个对称变换，证明A 的属于不同特征值的特征向量是正交的。

答案
一、填空题(每小题3分,共30分) 1. 2 , 1，i 2.1111
11
1⎛
⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝
⎭
3. A (x 1, x 2, ⋯, x n )T
.4. 2 ．5. *'
()A
A A = .
6. 3[]P x ， 1 ．
7. A 8. B 9. 0β= 0 。

10.11
...n n a x a x ++
二、（12分） 解
{
}{}
2012012()()[],,W f A f x R x a E a A a A a a a R
=∈=++∈3
3
33……6分
2,,E A A 线性无关 维数是3，2,,E A A 是一组基
三、解 A 的特征值为,1,1a a a +-。

……3分 （1）当0a =时，1 是二重根，E-A 的秩=2，A 不能对角化……6分
（2）当12a
=
时， 1
2
是二重根，
1
2
E-A 的秩=2，A 不能对角化……9分
（3）当1
,02
a a ≠
≠时，A 有三个不同的特征根，A 能对角化……12分 四、解
32
1
0100
2
10
1
000
200
(2)E A λλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭
…8分 不变因子31,1,(2)λ-， …9分
有理标准形为
08
101201
6⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
…12分 五、解
2111
1
(1)(2)
1
1
E A λ
λλ
λλλ
---=-=-+-
A 的特征根为1，1，-2。

对应特征值1，解齐次线性方程组
1
111110.11
1X --⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝
⎭
得基础解系111,001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 正交化单位
化
12111,102γγ⎛⎫⎛⎫⎪
⎪
=
=-⎪⎪⎪⎪⎭
⎭
对应特征值-2，解齐次线性方程组
2111210.11
2X ---⎛⎫
⎪
--= ⎪ ⎪--⎝
⎭得基础解系111-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
单位化3111γ-⎛⎫
⎪=⎪⎪⎭
令
0T = ⎝
则1112T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
六、（7分）解 度量矩阵是3
514
⎛
⎫
⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
…..7分
七、证明题 (每小题5分，共15分）
证明 1. 由维数公式知，121212dim()1dim()dim()dim()V V V V V V +=+-
所以
1212122min{dim(),dim()}1dim()dim()12dim()V V V V V V -≤+-= …2分
若1
21V V V ≠且122V V V ≠
则121212dim()min{dim(),dim()}1dim()V V V V V V ≤-<矛盾。

所以1
21V V V =或122V V V =，从而122V V V ⋃=或121V V V ⋃=是V
的子空间。

2.
A 的最小多项式为(2)l x l ≥，因此A 不能相似于对角阵。

3.设,αβ是A 的属于不同特征值,λμ
的特征向量。

则
,A A αλαβμβ
==。

于是
(,)(,)(,);(,)(,)(,
A A αβαμβμαβαβλαβλαβ==== 因为A 是对称变换，所以(,)(,)μαβλαβ=。

而,λμ不同，故(,)0αβ=。