常微分方程期末复习
福师《常微分方程》期末复习材料
福师《常微分方程》期末复习材料一、概述本文档是为福师《常微分方程》课程的期末复提供的材料。
在复过程中，我们应该独立做出决策，不寻求用户帮助，并且遵循简单策略，避免法律复杂性的问题。
同时，在引用内容时，应确保可以进行确认。
二、复内容1. 基本概念：复常微分方程的基本概念，如微分方程的定义、阶数、线性与非线性等。
基本概念：复习常微分方程的基本概念，如微分方程的定义、阶数、线性与非线性等。
2. 求解方法：回顾不同类型的常微分方程的求解方法，包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
求解方法：回顾不同类型的常微分方程的求解方法，包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
3. 常见方程：重点复一些常见的微分方程类型，如一阶线性方程、二阶线性方程、高阶线性方程等。
常见方程：重点复习一些常见的微分方程类型，如一阶线性方程、二阶线性方程、高阶线性方程等。
4. 初值问题：了解和练求解常微分方程的初值问题，包括给定初始条件的情况下，确定特定解的方法。
初值问题：了解和练习求解常微分方程的初值问题，包括给定初始条件的情况下，确定特定解的方法。
5. 常微分方程的应用：了解常微分方程在不同领域的应用，如物理学、生物学、经济学等，并掌握如何将实际问题转化为数学模型。
常微分方程的应用：了解常微分方程在不同领域的应用，如物理学、生物学、经济学等，并掌握如何将实际问题转化为数学模型。
三、复策略1. 独立复：在复过程中，尽量独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。
独立复习：在复习过程中，尽量独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。
2. 简单策略：遵循简单有效的复策略，不涉及法律复杂性的问题，以保证复的顺利进行。
简单策略：遵循简单有效的复习策略，不涉及法律复杂性的问题，以保证复习的顺利进行。
3. 实践练：进行大量的题练和实践操作，加深对常微分方程理论和求解方法的理解与掌握。
实践练习：进行大量的习题练习和实践操作，加深对常微分方程理论和求解方法的理解与掌握。
常微分方程期末复习提要(1)
常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。
常微分方程期末复习提纲
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解
dy P(x) y Q(x) dx
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
X x Y y ,
则方程化为
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 ,
0
得解 yx
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关 系式称为微分方程.
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程.
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称 为偏微分方程.
二、微分方程的阶
定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶数称为微分方程的阶数.
方程两边同乘以 1 , 得
( y)
1 dy f (x)dx 0,
( y)
1
( f (x)) 0 ( y)
y
x
是恰当方程.
对一阶线性方程:
dy (P(x) y Q(x))dx 0, 不是恰当方程.
方程两边同乘以e P(x)dx , 得
e
P(
常微分方程期末复习
1.求下列方程的通解。
1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。
1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。
0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。
t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末试题答案
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
12． n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（ A ）构成一个线性空间
（ C）构成一个 n 1 维线性空间
（ B）构成一个 n 1 维线性空间
（ D ）不能构成一个线性空间
13．方程 y
y 2 x 2 2 （ D ）奇解．
（ A ）有一个
（ B ）有无数个
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分）。
e
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
件是 线性无关
8．方程 y 4 y 4 y 0 的基本解组是 e 2x , xe 2x
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）。
dy
9．一阶线性微分方程
p(x) y q( x) 的积分因子是（
dx
A ）．
（A）
p ( x)dx
期末复习：福师版《常微分方程》
期末复习：福师版《常微分方程》第一章导论1.1 微分方程的定义与例子- 微分方程：未知函数及其导数之间的关系式。
- 一阶微分方程：形式为 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \) 的微分方程。
- 二阶微分方程：形式为 \( \frac{d^2y}{dx^2} = f(x) \) 的微分方程。
1.2 微分方程的解法- 分离变量法：将方程中的变量分离到等式的两边。
- 积分因子法：乘以一个积分因子使方程变为可积形式。
- 变量替换法：用一个新的变量替换原方程中的变量。
第二章一阶微分方程2.1 可分离变量的微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(x) \)- 解法：分离变量，积分求解。
2.2 齐次方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(y) \)- 解法：设 \( y = v(x) \)，代入原方程，解出 \( v(x) \)，从而得到 \( y \) 的解。
2.3 一阶线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \)- 解法：积分因子法。
2.4 可化为齐次方程的线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + Py = Q(x) \)- 解法：先求解对应的齐次方程，再求解非齐次方程的通解。
第三章二阶微分方程3.1 二阶线性微分方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \)- 解法：特征方程法。
3.2 常系数二阶线性微分方程- 形式：\( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) \)- 解法：特征方程法，求出特征根，写出通解。
3.3 伯努利方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \) - 解法：配方，化为标准形式。
常微分方程期末复习提要
dY AY 的系数阵 A 的 n 个特征根 1 , 2 , , n 彼此互 dx
y y ( y , p, C ) 0 或参数形式 y p ，则参数形式解为： x f ( y , p) x f ( y , p)
7．了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法．
, y ( k 1) , , y ( n ) ) 0. (k 1) ； n 第二种可降阶的高阶方程 F ( y, y , , y ) 0 ； (n) ( n 1) 假如方程 F ( x, y , y , , y ) 0 的左端恰为某一函数 ( x, y , y , , y ) 对 x 的导
一、复习要求和重点 第一章 初等积分法
1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程， 解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： 当 g 0 时，通过积分
U ( x, y ) .
（ 2 ） 如 果 存 在 连 续 可 微 函 数 ( x, y ) 0 ， 使 方 程 ( x, y )M ( x, y )dx
( x, y ) N ( x, y )dy 0 成为全微分方程，则称 ( x, y ) 积分因子.
6．了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I、II的参数解法． 隐式方程 F ( x, y, y ) 0 ，若能把 y 解出，得一个或几个显式方程
y ( x), ( x0 ) y 0 。其中 h0 min( a,
2．了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延 展定理，了解其证明方法． 3．了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的 C-判别式，掌 握奇解的包络线求法． （1）不存在奇解的判别方法： 若方程在全平面上解唯一，则方程不存在奇解； 若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解． （2）求奇解的包络线求法． 若 L 是曲线族 (C ) : ( x, y, C ) 0 的包络线， 则其满足 C—判别式
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
福师《常微分方程》期末复习题
(单选题)1.过点（1,3）且切线斜率为 2x 的曲线方程 y=y(x) 应满足的关系是（）。
A: y'=2xB: y''=2xC: y'=2x,y(1)=3D: y''=2x,y(1)=3正确答案: C(单选题)2.在下列函数中，能够是微分方程y''+y=0的解的函数是（）。
A: y=1B: y=xC: y=sinxD: y=ex正确答案: C(单选题)3.微分方程y'-y=0满足初始条件 y(0)=1的特解为（）。
A: exB: ex-1C: ex+1D: 2-ex正确答案: A(单选题)4.下列微分方程中， ( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程。
A: y''-2y=0B: y''-xy'+3y=0C: 5y''-4x=0D: y''-2y'+1=0正确答案: A(单选题)5.下列函数中，哪个是微分方程dy-2xdx=0的解（）。
A: y = 2xB: y = x2C: y = -2xD: y = -x正确答案: B(单选题)6.微分方程 y'''-x2y''-x5=1 的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A: 3B: 5C: 4D: 2正确答案: A(单选题)7.y''+y'-2y=0是（）阶常系数齐次线性微分方程。
A: 一B: 二C: 三D: 四正确答案: B(单选题)8.微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是（）。
A: 3B: 4C: 5D: 2正确答案: D(单选题)9.方程dy/dx=y^(1/2)+1（）奇解．A: 有一个B: 有两个C: 无D: 有无数个正确答案: C(单选题)10.微分方程2ydy-dx=0的通解为（）。
常微分方程期末试题复习资料
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
齐鲁师范学院成人高等教育期末考试常微分方程复习资料及参考答案
常微分方程(405)复习资料一、单选题1、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略2、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略3、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略5、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略7、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略11、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略17、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略20、A.有一个B.有二个C.无D.有无数个参考答案:C答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略23、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略25、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略26、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略5、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略1、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略2、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略3、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略5、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略6、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略11、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略12、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略15、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略16、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略17、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略25、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略8、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略11、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略13、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略17、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略18、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略21、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略22、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略24、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略25、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略27、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略28、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个A.nB.n-1C.n+1D.n+2参考答案:A答案解析:略29、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略30、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略二、名词解释1、解析方法参考答案:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数答案解析:无2、几何方法参考答案:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族答案解析:无3、常微分方程参考答案:如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程为常微分方程。
常微分方程总复习
常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。
方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。
积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。
常微分方程期末总复习
《常微分方程》期末复习第一章绪论1、以模型引出常微分方程的基本概念，准确了解与解方程相关各个概念如：方程的阶数；通解中独立的任意常数的个数问题等2、会建立微分方程模型。
习题：(1)二阶微分方程的通解中应含的独立常数的个数（ 2 ）(2)P261.(3)P288(6)(7)（4）函数y=sinx是下列哪个微分方程的解（ A ）A.d 2ydx2+y=0 B.dydx+2y=0 C.d2ydx2+y=sinx D.dydx+y=0第二章一阶微分方程的初等解法1、变量分离方程的解法dydx=f(x)g(y)一般步骤：变量分离，两边积分，整理得通解。
2、可化为变量分离的方程 (1)dydx =f(yx) (2)dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2(1)dydx =f(yx)解法：令u=yx ,则y=ux, dydx=x dudx+u代入原方程整理，成可分离变量。
(2)dydx =a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2分三种情况讨论。
3、一阶线性微分方程dydx=P(x)y+Q(x) (2.28)(2.28)对应的齐次线性微分方程dydx=P(x)y（2.3），可用变量分离法求解。
dydx=P(x)y（2.3）的通解为y=ce∫P(x)dx；采用常数变易法，(2.28)有形如y=c(x)e∫P(x)dx (2.29)的解，将其代入原方程解出c(x)，将c(x)带回(2.29)即得(2.28)的通解。
(2.28)的通解公式：y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dx dx+c).4、伯努利微分方程dydx=P(x)y+Q(x)y n (n≠0,1) (2.37)作变量变换令z=y1−n, 则dzdx =(1−n)y−n dydx代入原方程整理成(2.28)的形式再求解。
5、恰当微分方程与积分因子M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)恰当微分方程⇔ðMðy =ðNðx. 此时M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)原方程通解为u(x,y)=c .(2)非恰当微分方程，但μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0是恰当微分方程。
(完整版)高等数学期末复习考试之常微分方程部分.doc
第 11 章 常微分方程习题课一 .内容提要1.基本概念含有一元未知函数 y( x) ( 即待求函数 )的导数或微分的方程 ,称 为常微分方程 ;其中出现的 y( x) 的最高阶导数的阶数称为此微分方 程的阶; 使微分方程在区间 I 上成为恒等式的函数 y( x) 称为此微分方程在 I 上的解 ;显然一个微分方程若有解 ,则必有无穷多解 ;若 n 阶微分方程的解中含有 n 个不可合并的任意常数 ,则称其为此微分方程的 通解 ;利用 n 个独立的附加条件 (称为定解条件 )定出了所有任意常数的解称为 特解 ;微分方程连同定解条件一起 ,合称为一个定解问题 ;当定解条件是初始条件(给出 y, y ,, y ( n 1) 在同一点x 0 处的值 )时 ,称为初值问题 .2.一阶微分方程 y f ( x, y) 的解法(1)对于可分离变量方程dy(x) ( y) ,dx先分离变量 (当 ( y) 0 时)得 dy(x)dx ,ψ( y)再两边积分即得通解dy (x)dx C .( y)dyf y ,x(2)对于齐次方程 dx作变量代换y,即 yxu ,可将其化为可分离变量的方程 ,分x u 离变量后 ,积分得dudx C 再以y代替 u 便得到齐次方f (u) uxx程的通解 .(3)形如dyf ( ax by c) 的方程 , dxa 1 xb 1 yc 1 ①若 c,c 1 均为零 ,则是齐次方程 ;②若 c,c 1 不全为零 ,则不是齐次方程 ,但当ab k 时 ,只要作变换 va 1xb 1 y ,即可化为可分离a 1b 1变量的方程dvb 1 f (kvc ) a 1 ;dxv c 1当 a b时,只要作平移变换Xx x 0, 即a 1b 1 Y y y 0 x X x 0 ( 其中 (x 0 , y 0 ) 是线性方程组 ax byc 0 的惟一y Y y 0 a 1 x b 1 y c 1 0解 ),便可化为齐次方程dYf ( aX bY) .dXa 1 Xb 1Y(4)全微分方程若 方 程 P(x, y)dx Q ( x, y) dy 0 之 左 端 是 某 个 二 元 函 数u u( x, y) 的全微分 ,则称其为 全微分方程 ,显然 u( x, y)C 即为通解 ,而原函数 u( x, y) 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件 PQ 来判定 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 是否yx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P( x, y)dx Q(x, y)dy0 ,可乘上一个函数 (, x, y) 使之成为全微分方程P(x, y)dx Q (x, y)dy 0２/19(注意到当 ( x, y) 0 时 P( x, y)dx Q (x, y)dy0 与原方程同解 ),并称(, x, y) 为积分因子 ;一般说来 ,求积分因子比较困难 ,但有时可通过观察得到 .(5)一阶线性微分方程 yp(x) y Q( x) 的通解公式当 Q( x) 不恒为零时 ,称其为一阶线性非齐次微分方程 ;当 Q(x) 恒为零 ,时,即 y p( x) y0 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程 ,易知其通解为 Y Cep ( x )dx;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解y ep ( x)dx(CQ(x)e p( x)d x dx ).(6) 对于 Bernoulli 方程 yp( x) y Q (x) y n ( n 0,1 ),只需作变换z y1 n,即可化为一阶线性方程 dz (1 n) p( x)z (1 n)Q( x) .dx3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程 y (n) f ( x) ,令 z y (n 1) 化为 zf (x) ; 在实际求解中 ,只要对方程连续积分 n 次 ,即得其通解ydxf (x)dx C 1 x n1C n 1 x C n .n 次(2)对于 y f ( x, y ) (不显含 y ),作变换 P y ,则 y P ,于是化一阶方程 P f (x, P) ;显然对 y ( n)f (x, y ( n 1) ) 可作类似处理 .(3)对于 yf ( y, y ) (不显含 x ),作变换 Py ,则 yPdP,于是dy可化为一阶方程 PdPf ( y, P) .dy4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解 .(2)线性齐次微分方程解的结构若 y1 , y2 , , y n是 n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为Y c1 y1c2 y2c n y n.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解 y 之和 ,即y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1 设 y k( k 1,2, , m )是方程y ( n ) p1 (x) y( n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f k ( x)m的解 ,则y k 是方程k 1y ( n) p1 ( x) y (n 1) mp n 1 (x) y p n ( x) y f k (x)k 1的解 .2 若实变量的复值函数 u( x) i v( x) 是方程y (n) p1 ( x) y (n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f 1 ( x) if 2 ( x)的解 ,则此解的实部u( x)是方程y ( n)p1 ( x) y( n 1)p n 1 (x) y p n (x) y f1 ( x)的解 ;虚部v(x)是方程y ( n )p1 (x) y( n 1)p n 1 (x) y p n ( x) y f 2 ( x)的解 .(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1 写出y(n ) p1y( n 1) p n 1 y p n y 0 的特征方程r n p1 r n 1 p n 1 r p n 0 ，并求特征根；2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表 )特征根 r 为给出通解中的单实根 1 项: Ce rxk 重实根k 项: e rx(C1 C 2 x C k x k 1 )一对单复根 2 项: e x(C1cos x C 2 sin x)r1,2 i一对 k 重复根 2 k 项 : e x[( C1 C2 x C k x k 1 ) cos xr1,2 i(D1 D 2 x D k x k 1 ) sin x](2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解1对于 f ( x) P m (x)e x,应设特解y x k Q m ( x)e x x k ( a0 x m a1 x m 1a m 1 x a m )e x,其中 k 等于为特征根的重数( 0 k n ), a0, a1,L , a m是待定系数 .将 y 代入原方程,可定出 a0, a1,L , a m,从而求得 y .2 对于 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s sin x] (0 ),应设特解yx k e x [ R m (x) cos x T m ( x) sin x] ,其中 k 等于i 为特征根的重数 ( 0 kn), R m ( x),T m ( x) 是2待 定 的 m max{ l , s} 次 多 项 式 . 将 y 代原方程,即可定出R m ( x),T m ( x) ,从而求得 y .或因为 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s (x)sin x]Re e x (P l (x) iP s ( x))(cos x isin x)Re Q m ( x)e ( i ) x（其中 Q m ( x) P l ( x) iP s ( x) 是 m max{ l , s} 次的复系数多项式） .对于方程y ( n)1 ( n 1)L p n 1y nyQ m ( x)e (i ) xp yp可设其特解Yx k Z m ( x)e (i ) x，（ Z m ( x) 是 m 次待定复系数多项式， k 等于 i 为特征根的重数），将 Yx k Z m (x)e ( i ) x代入方程y ( n )p 1 y ( n 1) Lp n 1 y p n y Q m ( x)e (i ) x中，可定出 Z m (x) ，于是 Yx k Z m ( x)e ( i ) x ，从而原方程的特解y Re Y .3o特例当 f ( x) e x P l ( x)cos x 或f (x) e x P l ( x)sin x 时,设Y Z l ( x)e ( i ) x , 将其代入y ( n) p 1 y ( n 1) Lp n 1 yp n y P l ( x)e ( i ) x ,６/19求得 Y ,则原方程的一个特解y ReY 或 y ImY .6.Euler 方程的解法(1)形如x n y (n )p1 x n 1 y( n 1)p n 1xy p n y f (x)的线性变系数微分方程称为 Euler 方程 ,是一种可化为常系数的变系数微分方程 .(2)解法只需作变换x e t,即t ln x ,即可将其化为常系数线性微分方程 .d ,则若引入微分算子 Ddtxy D y , x2 y D(D 1) y ,, x n y (n )D(D 1) (D n1) y , 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下 ,设出未知函数y y( x) ,据已知条件写出相关的量 ;(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程 ;(3)提出定解条件 ;(4)求定解问题的解 ;(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性 .二 .课堂练习 (除补充题外 ,均选自复习题12)1.填空题22(1)已知 y 1 e x 及 y 2xe x 是方程 y4xy( 4x 2 2) y0 的解 ,2则其通解为e x (C 1 C 2 x) .222解 : 因 y 1e x , y 2 xe x 都是解 ,且线性无关 ,故 e x (C 1 C 2 x) 是通解 .(2)设一质量为 m 的物体 ,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为 R kv,则其下落的距离 s所满足的微分方程是 sksg ,m 初始条件是 s(0) 0, s (0) 0 .解 : 因为 F ma 而 F mg k v v s , a s , 故得方程 O s(0), ,mg k sms ,化简得 sk sg ;s(t )m在如图所示的坐标系下 ,初始条件为 s( 0)0, s (0) 0.s(3) 微 分 方 程 y 2 y y 6xe x 的 特 解 y的形式为x 2 (axb)e x .解 : 因为特征方程为 r 2 2r 1 0 , r 1 r 21, 而 1 是二重特征根 ,故应设 yx 2 (ax b)e x .(4)若 y 1x 2 , y 2x 2e 2 x , y 3 x 2e 2xe 5x 都是线性非齐次微分 方 程 yp( x) y q( x) yf (x)的解,则其通解为C 1e 2x C 2e 5xx 2 .解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知 ,Y 1y 2 y 1 e 2 x , Y 2 y 3 y 2 e 5 x 都是对应的齐次方程的解,且 线 性 无 关 ,故 对 应 的 齐次方 程 的 通 解 为Y C 1Y 1 C 2 Y 2 C 1e 2 xC 2 e 5 x ; 由非齐次方程解的结构得其通解y Y y 1C 1e 2 x C 2e 5 x x 2 .(5)(补充 )已知 f ( x) 满足 xf ( x)1x 2f (t) dt ,则 f (x)x2t 1 e 2 .x解 :两边对 x 求导得 f ( x)xf (x) x 2 f (x) ,整理得f ( x)x1f ( x) ,xx 2ln c ,即 f (x)x 2分离变量后积分得 ln f ( x)ln x ce 2, x 0 ;2xx 1时(1) 11t 2 1(e 111又当 , f2c e 2d tc 21) ,即 ce 21 ce 2ct1 ,所以 f (x)x 2故 c 1 e 2 .x(6)( 补 充 ) 设 f ( x) 有 连 续 导 数 , 且 f (0) 1.若曲线积分 Lyf (x)dx[ f ( x) x 2 ]dy 与路径无关 ,则 f ( x)3e x 2x 2 .解 : 记 P yf ( x), Qf ( x) x 2.因为积分与路径无关,故有PQ,亦即.它的通解为 yx ,即f ( x) f (x) 2xf ( x) f ( x)2xf ( x) dxdxc] e x [ 2xe xdx c]2x2 ce x .e[ 2 xe dx由 f (0) 1 得 c 3 ,于是 f (x)3e x 2x 2 .(7)( 补充 ) 已知 yy( x)在任意点 x 处的增量 yy x , 其中 =o( x)，21xπy(0) π,则 y(1) πe 4.解：由题设知，dyy .dx1 x 2分离变量得dydx ，积分得 ln y arctanx C 1,即 y Ce arctan x .y1 x 2π由 y(0) π得C π,故y(1) πe 4 .2.选择题(1)函数 yc 1e 2x c 2 ( c 1 ,c 2 为任意常数 )是微分方程 yy 2 y 0的(A) 通解 .(B) 特解 .(C) 不是解 .(D) 解,但不是通解 ,也不是特解 .答(D)解 :因为 y c 1e 2 x c 2 ce 2x ,经检验是解 ,但含有任意常数 ,故不是特解 ,又因为只含一个独立的任意常数 ,故也不是通解 .(2)微分方程 y2 y2 sin 2 2x ,其特解形式为 y(A) A B cos4x C sin 4x . (B) A Bx cos4x Cx sin 4x .(C) Ax B cos4x C sin 4x .(D) Ax Bx cos4x Cxsin 4x .答( C) 解 : y 2 y 2 sin 2 2x1 cos4x 特解为 y y 1 y2 .,因为r 22 r0 , r1 0, r22 而 0 是特征方程的单根 , 故应, 设 y 1 Ax ; 而i4i 不是特征方程根,故应设y 2B cos 4xC sin 4x ,因此 y y 1 y 2Ax B cos4 x C sin 4x .(3)微分方程 (2 x y)dy (5x 4y)dx 是(A) 一阶线性齐次方程 .(B) 一阶线性非齐次方程 .(C) 齐次方程 .(D) 可分离变量方程 .答(C)解 :原方程可化为dy5x 4 y5 4 yx . dx 2x y y2x(4)(补充 )具有特解y1 e x, y2 2xe x, y3 3e x的三阶常系数线性齐次微分方程是(A) y y y y 0 . (B) y y y y 0 .(C) y y y y 0 . (D) y y y y 0 .答(B) 解 : 由方程的特解可知 ,其特征根为r1 r2 1, r3 1 ,于是特征方程为 ( r 1)2 ( r 1) 0 即 r 3 r 2 r 1 0 ,故方程为y y y y0 .(5)( 补充 ) 方程y9 y 0 通过点 ( , 1) 且在该点处与直线y 1 xπ相切的积分曲线为(A) y C1 cos3x C2 sin3x . (B) y cos3x C2 sin 3x .(C) y cos3x. (D) y cos3x 1sin3x .3答( D)解 : 因为r2 9 0 , r1, 2 3i ,故通解为 y C 1 cos3x C2 sin3x .由初始条件 y( ) 1, y ( ) 1得C1 1,C2 1,所以所求积分曲线3为y x 1sin 3x.cos3 3(6)(补充 ) 方程 y( 4 ) y e x 3sin x 的特解应设为(A) Ae x B sin x . (B) Ae x B cos x C sin x .(C) Axe xB cos xC sin x .(D) x(Ae xB cos xC sin x) .答(D)解 :对应的齐次方程的特征方程为 r 4 1 0 ,特征根为r 1 1, r 2 1, r 3 i, r 4 i .令 f ( x)e x 3sin xf 1 (x) f 2 (x) .对于 f 1 ( x) e x ,因1 是单特征根 ,故设 y 1 Axe x ; 对于 f 2 ( x) 3sin x ,因ii 是单特征根 ,故设y 2 x(B cos x C sin x) ；从而 yy 1 y 2x( Ae xB cos xC sin x) .(7)(06 考研 )函数 y C 1e x C 2e 2x xe x 满足的一个微分方程是 (A) y y 2y 3xe x .(B) y y 2 y 3e x .(C) yy2y 3xe x .(D) yy 2 y 3e x .答(D)解 :因为 r 1 1,r 22 ，即特征方程为 r 2 r 2 0 ，故排除（ A ）、（B ）.由1是特征方程的单根，知 f (x)Ae x ，故排除（ C ） .3.求下列方程的通解(2)dyy x ; dx2 ln y解 :方程化为dx2 x2ln y 是一阶线性方程.dyy y ,1 22ln y y 2 dy Cx2 y d y2y dydy C1ey ln yey 2y1121 212.y 222 y ln y4y Cln y 2 Cy(5) xdx ydyydx xdy0 ;x2y2解 :原方程可化为 1 21 2 d arctanx,故通解为d 2 x d 2 yy1 x21 y2arctanxC .22y(10) y x x 2 y .解 :设 ux2y ,即 u2x2y ,则dy2u du2x .代入原方程得dx dxdu1 x 1 .此为齐次方程 ,再设 v u ,则 duv xdv,故方程化dx 2 ux dxdx为 v x dvv 1.分离变量为2vdv11dx ，两边积分得dx2v2v 2 v x1 ln 2v 2v 1 1ln 2v 1 1ln v 1 ln x ln C 1 .2 3 3代回原变量并整理得 x 2 3 x 3 3 xy C .y24.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) y 3dx 2 x 2xy 2 dy 0 , y x11 ;解 :原方程化为 y 3dx 2 xy 2x2,即dx2 x 2 x 2 .dydyyy 3令 Z x 1dZ 22,得 dy y Zy 3.221Ze yd y2 e y d ydyC 2 ln y C ,即 y 3y 21 12 ln y C 故通解为 y2x 2 ln y C .x y 2 ,由 y x 1 1 ,得 C 1 ,所以特解为 y 2 x 2 ln y 1 . (3) 2ysin 2 y 0 , y 02 , y 0 1 ;解:令 Py ,则 yPdP,原方程化为 2PdP2 sin y cos y ,即dydy2PdP 2 sin yd sin y .积分得 P 2sin 2 y C .由 y 0, y 0 1,sin y .解之得 ln tany2得 C 0 ,故 yPx C .由 y 0, C 0 .2arctan e x .22故特解为 y5(补充).设y e x是微分方程xy p(x) y x 的一个解,求此微分方程满足条件 y(ln 2)0 的特解.解 : 将y e x代入微分方程得 xe x p(x) e x x ,解之得p( x) xe x x ,于是此微分方程为 xy ( xe x x) y x ,即y (e x1) y 1 .x其对应的齐次方程的通解为Y Ce e x ,于是此微分方程的通Ce e x x e x 1解为 y . 由y(ln 2) 0得 C e 2,故特解为e x x1y e x e 2 .6(补充).设L : y y( x) 是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点( x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲线上点(0,1) 处的切线方程为1 y 2y x 1 ,求该曲线的方程.解 : 因为曲线向上凸 ,故y 0 ,于是有y 1 ,化简y 2 )3(1 1 y 2得二阶方程 y (1 y 2 ) .令 P y ,则 y P ,故方程化为P (1 P 2 ) .分离变量后积分得arctanP C1 x . 由题设有P(0) y (0) 1 ,于是可定出 C1 4 ,所以y P tan( 4x) ,再积分π得 y ln cos(πx) C2 . 由y(0) 1得C2 11ln 2 ,因此该曲线4 2L : y ln cos(πx) 11ln 2 .4 27(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V ,流入湖泊内不含 A 的水量为 V ,流出湖泊的水量为 V.已知 6 6 31999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ,超过国家规定指标 .为了治理污染,从 2000 年初起 ,限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过m 0.V问至少需经过多少年 ,湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 ?(注 :设湖水中 A 的浓度是均匀的 .)解 :设 2000 年初 (记此时 t 0 )开始 ,第 t 年湖泊中污物 A 的总量为 m ,浓度为m,则在时间间隔 [t , t dt] 内,排入湖泊中污染物 A 的量为Vm 0 V dtm 0dt ,流出湖泊的水中 A 的量为 m Vdtmdt ,因而在 V6 6 V 3 3此间隔内湖泊中污染物 A 的改变量为 dm(mm)dt , m t 0 5m 0 .63m 0 t9m 0 , 故分 离 变 量 解 得 mCe 3, 由 m t 05m 0 得 C2t2mm 0(1 9e 3 ) .2令 m m 0 ,解得 t 6 ln 3 ,即至少需经过 6 ln 3 年湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 .8.求下列 Euler 方程的通解(2) x 2 y 4xy6 y x .解 :设 xt,方程化为d 2 y dy6 y edt 25r2dt5r 6 0r 1 2 , r 23 .设 y ae t ,代入方程（ * ），得 e ta1, 故 y 1e t.从而原方程的通解为 2 2e t . .（* ）y C 1e 2 t C 2e 3 t.a 5a 6ae t .由此定出y C 1 x 2C 2 x 31x .2设对于半空间 , 都有内任意的光滑有向封闭曲面xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx e 2 x zdxdy 0 ，S其中 f x 在 0,内具有连续的一阶导数 , 且 limf x 1 , 求x 0f x .解 :由曲面积分与曲面无关的条件PQ R 0, 有xyzxf xf xxf xe2x0 , 即 f x1 1f x 1 e 2 x .xx11所以 f xe1 xdx2 x e 1 x dxC1 edxxe x 1 1 e 2x e x xdx C1 e x e x C .x x x由 lim f x 1, 即 lim 1 e x e xC 1 ,可求出 C1 ,故 x 0x 0 x f x 1 e x e x 1 .x10(补充 ).设函数 y( x)( x 0) 二阶可导且 y (x)0, y(0) 1 .过曲线yy(x) 上任意一点 P( x, y) ,作该曲线的切线及 Ox 轴的垂线 ,上述二直线与 Ox 轴所围成的三角形的面积记为S 1 ,区间 [0, x] 上以y y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 yy(x) 的方程 .解 :曲线 y y( x) 上点 P(x, y) 处的切线方程为 Y yy (x)( X x) . 切 线 与 Ox 轴 的 交 点 为 (xy( x), 0) . 由 y ( x)0, y(0) 1 , 知y ( x)y( x) 0 ,于是S 11y( x) xx y( x)2( x); 而 S 2y(t )dt ( x 0 ); 故由yx2y ( x)2 y (x)1得y2x条件 2S 1 S 2y(t )dt1,由此还可得 y (0)1.y将y 2x( y )2 .令 y P ,y(t )dt 1 两边对 x 求导并整理得 yyy则 yPdP, 于 是 方 程 化为 ydPP , 解之 得 y P C 1 y , 由dydyy (0) 1和 y( 0) 1得 C 1 1,于是 yy ,从而 yC 2e x .再由 y(0) 1得 C 2 1 ,故所求曲线方程为 ye x .11 .) 内具有二阶导数，且(06 考研 ) 设函数 f (u) 在 (0,zf ( x222z 2z0 .y) 满足等式2y 2x （ 1） 验证 f(u)f (u) ；u（ 2） 若 f (1) 0, f (1) 1，求函数 f (u) 的表达式 .解 : （1）由 zf (u),ux 2 y 2 ，得z f (u)x,2z f (u)x 2 f (u)y 2，x x 2y 2 x 2x 2y 2y 23x 2 2z f (u)y,2zf (u)y 2f (u)x 23.yx 2y 2 y 2x 2y 2y 2x 2 2 因为2z2z0 ，所以有 f(u)f (u) 0 ，即x 2 y 2x 2y 2f (u) f (u) 0 .u（2）由（1）得 f (u) 1C ，由f (1) 1 知 C0 ，即 f (u) 1 ；u11u于是得 f (u) ln u C 2 ，由 f (1) 0，得 C 2 0 ，所以 f (u)ln u .12(07 考研 ).解初值问题y ( x y 2 )y ,y(1)1, y (1)1.解：令 y P, 则 y P ,原方程化为 P (x P 2 ) P, 即dx1 x P. dP P1dPC1 1dPP C1 dP P(C1 P).于是 x e P Pe P dP由 P x 1 y (1) 1,得C1 0,且P x,即dyx. dx31,故 y 31 .解得 y 2 x2 C2 , 又由 y(1) 1得C2 2 x23 3 3 312（07 考研）. 设幂级数a n x n在 ( , ) 内收敛，其和n 0函数 y(x)满足y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.（I ）证明a n2 2 a n ,n 1,2,L ;n 1（I I ）求y( x)的表达式.解：（ I ）对yn 0a n x n求一、二阶导数，得y na n x n 1 , y n( n 1)a n x n 2 ,n 1 n 2代入 y 2xy 4 y 0并整理得( n 1)(n 2) a n 2 x n 2na n x n 4a n x n 0.n 0 n 1 n 0于是2a2 4a0 0,(n 1)(n 2)a n 2 2(n 2)a n 0, n 1,2,L ,从而有2a n 2 n 1an,n1,2,L .（ II ）因为y(0) a0 0, y (0) a1 1, 故a0, k 0,1,2L ;a2k 12 a2 k 11a 2k 11 1 a2 k 3L1 a 1 1 , k 0,1,2,L .2kkk k 1k ! k !所以ya n x na 2k 1x 2k 1x 2 k 1 ( x 2 )kx2).k 0k !xk!xe , x ( ,n 0k 0k 0补充 设 满足 xf ( x) 3 f (x) 6x 2 , 且由曲线y 与 13( ). f (x)f (x) 直线 x 1及 x 轴所围的平面图形 D 绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积最小 , 求 f (x).解：满足的方程 可写为. f (x)y3 y6x,x3 d x3dx31其通解xxyf (x) eC6xedxxC6 dxx 2Cx 3 6x 2 .旋转体的体积为V (C) π01 f 2 (x)dx π01 (Cx 3 6x 2 )2 dxπ01 (C 2 x 6 12Cx 5 36x 4 )dx π C 2 2C36 .75令 V (C) 2C 2 ，得惟一驻点 C 7, 且 V (C)2π 0, π 7 0 7 故 C 7是极小值点，也是最小值.点于是f (x)6x 2 7 x 3 .１９/19。
福师《常微分方程》期末考试资料解析
福师《常微分方程》期末考试资料解析I. 考试大纲概览A. 考试目的本次考试旨在检验学生对《常微分方程》课程的理解和掌握程度，包括理论知识与应用能力的评估。
B. 考试形式期末考试采取闭卷笔试形式，满分100分，考试时间150分钟。
C. 考试内容考试内容涵盖课程全部章节，包括：1. 微分方程的基本概念与解的存在性2. 线性微分方程的理论3. 非线性微分方程的理论4. 常微分方程的解法5. 常微分方程组6. 微分方程在物理、工程等领域的应用II. 重点难点解析A. 微分方程的基本概念- 重点掌握微分方程的阶数、线性与非线性、显式与隐式微分方程的判别。
- 难点：理解解的概念及其在不同情况下的性质，如局部解、全局解、解的存在性与唯一性。
B. 线性微分方程- 重点：齐次与非齐次线性微分方程的解的结构，特解与通解的概念。
- 难点：理解线性微分方程组的解的结构，学会求解线性微分方程组。
C. 非线性微分方程- 重点：掌握一阶非线性微分方程的解法，如变换法、迭代法等。
- 难点：理解并掌握高阶非线性微分方程的解法，如特征线法、Lie群法等。
D. 常微分方程的解法- 重点：掌握分离变量法、积分因子法、变量替换法等常见解法。
- 难点：理解并掌握解法的适用条件与局限性，学会在不同情况下选择合适的解法。
E. 常微分方程组- 重点：理解常微分方程组的解的结构，学会求解线性微分方程组。
- 难点：掌握求解非线性微分方程组的策略与方法。
F. 微分方程的应用- 重点：理解微分方程在物理、工程等领域的应用背景。
- 难点：学会将实际问题转化为微分方程问题，并应用所学知识解决实际问题。
III. 复习建议A. 理论学习1. 系统复习课程教材，加强对重点知识点的理解。
2. 针对难点知识点，通过查阅资料、请教教师等方式，直至理解透彻。
B. 练习巩固1. 完成教材后的练习题，加强对知识点的应用能力。
2. 挑选近年来福师的《常微分方程》期末考试真题进行练习，熟悉考试题型与解题方法。
福师《常微分方程》期末备考手册
福师《常微分方程》期末备考手册目标本备考手册旨在帮助福师学生备考《常微分方程》期末考试。
以下是备考建议：1. 复重点- 确保掌握常微分方程的基本概念和理论知识，如微分方程的定义、解的存在唯一性定理等。
- 熟悉一阶和二阶常微分方程的求解方法，包括分离变量法、齐次方程法、待定系数法等。
- 理解高阶常微分方程的特征方程和解的结构。
- 常系数线性微分方程的解法，包括特征根法、待定系数法和常数变易法。
- 掌握常微分方程的应用，如弹簧振动、电路问题等。
2. 复策略- 制定一个合理的复计划，合理安排每天的复时间，并确保每个重点知识点都得到复。
- 多做题和例题，加深对各种解法的理解和掌握。
- 多与同学讨论，互相交流解题思路和方法。
- 多参考教材和课堂讲义，加深对知识点的理解。
- 制作笔记和思维导图，有助于整理知识和记忆。
3. 考试技巧- 在考试前要确保对考试内容有一个清晰的了解，重点复重要知识点和解题方法。
- 注意审题，理解题目要求和条件，确定解题思路。
- 在解题过程中，注意书写规范和逻辑性，清晰地展示解题步骤和推理过程。
- 如果遇到不会的题目，可以先尝试用已学知识解答，如果还不行，可以尝试用类比、联想等方法解决问题。
- 考试时间有限，合理分配时间，控制好答题速度。
4. 注意事项- 在备考期间，要保持良好的生活惯和作息时间，保证充足的睡眠和休息。
- 考试前一天不要通宵复，要保证充分休息和放松，以保持良好的状态。
- 在考试前要准备好考试所需的文具和计算器等工具，以免耽误时间。
- 考试时要保持冷静和自信，相信自己的能力，不要被其他考生的表现所影响。
祝福师学生们备考顺利，取得好成绩！。
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1・求下列方程的通解。
dy — （—=40 • sinx -L eix 3解：方程可化为—— = -e- +4sinx-lax令2 =几得—= -2 + 4sinAdx由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为J R = 2(sinx-cosx) + c072 •求下列方程的通解。
dy 解J 设—=/? = sinZ,则有 y = sect»dx从而 X = f ——tgt • seetdt + c = f sec"ZJz + t = tgt + c J sin/ J 故方程的解为（x+c ）-+i = r ， 另外y = ±\也是方程的解・3•求方程空=尤+ r 通过（0,0）的第三次近似解. dx解：0o(x) = O(p\(X)= £ xdx = —X" u 2fA1 41 , 1 <0(x) = (x + —x)dx=—x~ + — X • Jo 4 2 201 ■> I 5 i 11 * 8 =—X" H -- X 4 ------ X H ----- X2 20 4400 1604 •求解下列常系数线性方程。
x* + x" + x = OZ = J 皿（J4sin 疋」皿必+一严2(sin x-cosx)片 +c = 2(sin x-cosx) + c 严吩）叮[:"(討+存5)2,, =rJo解：对应的特征方程为：/1'+/1+1=0, •解得几产十夸泌一A*,所以方程的通解为：x = e~^{c, cos —25 •求解下列常系数线性方程。
解：齐线性方程x"-x = 0的特征方程为才一1 = 0,解得人=1九3 =~*；"1 行 丄 行故齐线性方程的基本解组"”八＜4/3吟,, 因为兄=1是特征根，所以原方程有形如=代入原方程得，3用+加-加“，所以"弓，所以原方程的通解为八cos —Z + c^^sin —/ + ire2 ' 2 36.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类 型及稳定性：dx , d\ -—=-X - y +1, — = X - y — 5dt dt・V3、 ,+ 6 sin ——0 "2解:x = 3 7 =-2所以奇点为(3厂2)X =x-3Y = y + 3方程组化为＜^ = -X-Y (it^ = X-Y .dt因为一1 A + l= (2 + 1)2+1=O 所以2, =-1 +・兄2 =—1一匚故奇点为稳定焦点,所对应的零解为渐近稳泄的。
7•设0(f)为方程= (A 为"X 畀常数矩阵)的标准基解矩阵(即0(0) = £),证明 0(f)07(G = 0(f-fo)其中山为某一值证叽 0(f)为方程# =山・的基解矩阵0"仇)为一非奇异常数矩阵,所以0(/)0.仇)也是方程V = Ax 的基解矩阵•且0(/-5)也是方程# =血 的基解 矩阵，•且都满足初始条件0(0 07*0)=E ，0(心一山)=0(0) = £所以处)严(心)=0(/-山) 即命题得证。
&求方程4心臥+ 2(巧一1)心=0的通解 解：更1 =心豐=6心6 dx dM 6N两边同乘以“(刃后方程变为恰当方程：4x-y^dx + 2y^(x^y-l)dy = 0r - A—=M =4x"y^ 两边枳分得:u=—x^y- +<p{y) dx 3a* * — I上=+0 (y) = N = 2;v'yT-2y -得：0(y)=-4y2因此方程的通解为：y^{x^y-3) = c解J 令—=y = p 则 p + e^ -x = G dxdy dx—枳分因子“(y)=e 3 =y22yrfv9•求方程2 + 0石-尤=0的通解dxdy(" + 1)!24得 J x= p + fP那么 y = J pdx = J /?(! + )dp2牛+"+•ciy _ 7 710•求初值问题｛= " -y/e ：|x+i|<b|>j<i 的解的存在区间，并求第二次近似解..y(—1) = 0给出在解的存在区间的误差估计 解 J M = max|/(x, y)| = 4(儿 >)伙| Iy — $0 < I = b, h = min(a,—)=—, M 4解的存在区间为X-心=即--<%<--4 4令％(0 =儿=00心)=0 + 1 皿=专+ _—=|-2y|<2 = L误差估计为：仍(0-0(0<-!些1/严11・求方程X +9x = rsin3z 的通解解 J 几，+ 9 = 0 n 兄1 = 3G 2, = —3j .因此方程的通解为：<x= p + e^y =与+(卩 -10 +cX —X Q < 1 = a 02(欠)=0 + [兀2-(二+ 丄)2 C/X= —'“ F X li 63 18 9 42A = 3i 是方程的特征值，设x(f) = f(Af + B)/"得：X =(2A-9B/ + 12A 〃 + 6Bj-9/V2)R"则 2A + i2Ait + 6Bi = t12 36因此方程的通解为：x(f) = c^ cos3r + <?2 sin3r-—cos3r + —Zsin3r12•试求方程组X =Av + f(t )的解0(/)・因此方程的通解为：仅F)=①(f)①T (0)7 +①(f )『①T ($)/($)心-5 +1 - 4 e3-^3-20(0)=]J(0=:解：dct(AE — A)=2-1 -2-4 A-3=(几+ 1)(几一5) = 0{A^E-A)v^ = 0 得片=-a取儿=(A^E — A)v^ =0 得 #2 =0 •20则基解矩阵0>(/)=一"2 Ja>(z)0"\o)7 =①(r)J ^~\s}f(s)ds = -li203 5r ,2J +丄心4 5 —e —e d — LIO 2 513•试求线性方程组竺= 2x-7y + 19,空= x-2y + 5的奇点,dt dt并判断奇点的类型及稳;^^解：2-7小9 =。
x-2y+5=0x=,..V = 3 (1，3)是奇点令 X = x + 2y = y_22 2dX _ dY _“=>< =0 可得：九\=尽入2=-4^： 因此（1. 3）是稳总中心14•证明题J 如果0（0是X = Ax 满足初始条件0（心）=〃的解，那么 0（0 =［呵 4（一0）归证明：由泄理 8 町知^z) =(；0)7 +0>(/)£O'*(5)f(s)ds又因为e(r) = exp(G)= (cxp ArJ"' =exp(-AzJ/U) = o所以0(0 = exp 如・e¥( -如0 )7又因为矩阵（/V ） •（-如0）=（-他）・（如）所以 0(0 = [exp A(t -)}/即命题得证。
15 •求下列方程的通解3ydx — (x+ y )dy =dM , dN 解：因为勿 dx,所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子H T '由公式 expAt= e^^—(A — AE )'得/=0 '•伴)3-畑芈+ 8y2=0cfxax(*)两边对 y 求导：2Y(p3-4y2)a^ + p(8y2_p3)=啊乂卩 dvHP-4>'2)(23' — -P)= 0由2y — -p = 0得p = cy^即y = (£)2将 y 代入 dy d y cp3-4y2= 0得P = (4)/)了代入 ⑴ 得：y =舟/也是方程的解9求方哙十y 嗪过e 。
)的第三次近似解exp/V =戶£ + ^(X -3£)l = ?d "1 0"+ f — r -1 1 J 3t > =e"1-z t "I 0 1-1 1-t 1 + r\3 (dvz/y解：方程可化为X =,4v© dx3 C 2 令空=p 则有X= P +〉(*) dx 4”⑴*? +乡即方程的含参数形式的通解为…<?2 2px = — + -^4 厂2舛 c p 为参数又由c1&求下列方程的通解fx / 兀20=）3+』0皿=亍解- 225雅-fV XX X0 = Vn + （X + ——）dx = — + — *2 丿 0 Jo \ 4 2 204 107 2 5X X X 、， X X0 = y （\ + I （X H -- 1 ------ 1 --- ）＜Zv = - 1 ----- 1 ------ 1 ----g Jo 4 400 20 2 20 4400 16020.求—= -x-y + l,—= x-y-5的奇点，并判断奇点的类型及稳宦性 dt dt解：由 1 一x —y + l-°解得奇点（3, 一2）令 X=x-3.Y=y+2 KiJ-lx — y — 5 = 0=久2 + 2久+1 +1 =兄2 + 2几+ 2 = 0得兄=—1土/故（3,・2）为稳定焦点021 •证明题：n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解 证明：由解的存在唯一性世理知：n 阶齐线性方程一泄存在满足如下条件的n 解:码（『0）= 1，兀2（5）= °， ，兀"（，0）= 0 兀1（，0）= 0，兀2（，0）= 1， ，Xn （/o ）= 0卅 '（『0）= 0兀扌"（『0）= 0,…9卅'（：0）= 1考虑"［兀100），勺（『0）昇・、兀”（『0）］=dx —=-X — ycltdy —=X - y因为=1+1 HO 故有唯一零解（0, 0） I clt = 1H 0从而舌a）a=i2…n）是线性无关的。
22.求解方程：空=上半_dx x + y +3解:(x-y+1 )dx ・(x+ y +3)dy=0xdx ・(ydx+xdy)+dx ・『dy-3dy=0 — 2 —dy即 2 d^"-d{xy)+dx- 3 ・3dy=0—牙2 _xV + ;v ——y3 _3y = C 所以2 323 •解方程 J (2x+2y-l )dx+(x+y-2)dy=0dy _ 2(x + y) -1解：心 (x + y)-2 ,令车x+y2z — 1 z + 1 —z + 2= ------ , ------ dz = dx z —2 —z + 2 z + l 所以-z+31nlz+ll=x+G, tJz + M =x+z+^> 即(K+y + l)3=W ・0）的一切解故在的任何区域上6’存在且连续, 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性圧理的条件,显然•，三°是通过点（0, 0）的一个解:dy 3 I 3• ____ _______________又由 dx 2 )2 解得，|y|=CT-e)2dy M 讨论方程d = 在怎样的区域中满足解的存在唯-雌理的条件，并求通过点＜0,dxdz _dx~ 解J 设f(x ・y)=7詁则家护円）"0由'Z4二卜"可得"心同理取卩2 =12丿所以•通过点(0, 0)的一切解为，三°及(x<c)(x>c\c>Q 是常数25•求解常系数线性方程： x" -2( +3x = Lcos/解：⑴八22 + 3 = 0,齐次方程的通解为x=RG cosQ + iinQ)(2)几=一1 土f 不是特征根，故取"(Acosf + BsinW5 4代入方程比较系数得A=41 . B -415 4 X =(——cosf - sin W' 于是 41 41通解为 x=”(5 + +26•试求方程组e 山的-个基解矩阵,并咏化其中吨g设人=j 对应的特征向量为儿所以，kr 0%卜解，de 严一q)=-2A-3=22_42_5 = 027.试讨论方程组篇+ + ⑴的奇点类型，其5加为常数，且ac* 0。