-新定义运算计算技巧

-------- 精选文档 --------------新定义运算解题技巧我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。

除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

一、定义1 、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：(1)解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

(2 )我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、△、♦、■等来表示的一种运算。

( 3)新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2 、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

、初步例题诠释例1、对于任意数a, b，定义运算"*”：a*b=a xb-a-b。

求12*4的值。

分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12 X4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b ) 十b。

求8 ★ 5 。

分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。

这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a 代表数字8，b 代表数字5。

例5、如果规定2=1 X2 X3 , 3=2 X3 X4 , 4=3 X4 X5 ,计算(1 2)x3 3X= (X-1 )X X X(X+1 )。

由于把数8 ★ 5 = ( 8 + 5 )- 5 = 2.6例3、如果aG)=a x b-(a+b)。

求6 0(9 C2 )。

分析与解：根据定义，要先算括号里面的。

这里的符号就是一种新的运算符号。

6 ◎>)=6 q9 X2- ( 9+2 ) ]=6 07=6 X7- (6+7 ) =42-13=29例4、如果1 A3=1 + 11 + 111 ; 2 45=2+22+222+2222+22222 ; 8 A2=8+88。

求6 A5。

分析与解：仔细观察发现“A”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“A 后面的数字是几，就有几个加数。

因此可以按照这个规律进行解答。

6 A5=6+66+666+6666+66666=74070分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

1 12 1 2 1 2 1 1 2 1/- )X = X - X' = - X =( 12 3 3 2 33 3 3 3 3 31 123 1 1 1 3 1= X(1- ) = X(1- ) = X =—2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 321例6、规定a^ b=5a+ ab-3b。

求(8 ▲ 5)▲ X=264 中的未知数。

2分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

(8 ▲ 5 )▲ X=264(5 X8 + 1 X8 X5-3 X5 )▲ X=264245 ▲ X=26415 X45+ X45 X X-3X=264245 6X225+ X- =2642 239225+ X=2642.如:3 Z 17=(3+17)=[20 -2] Z29=10 Z 29=(10+29)-2=39 -2=19.5【试一试】三、边学边试【例1】A , B 表示两个数，定义 A ZB 表示(A+B) *2 ,求(1)(3 Z 17) Z29 ; (2)[(1 Z9) △)] △)。

【分析与解】定义新运算符号“△”表示A AB=(A+B) +2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值-2=10，再用 10 与 29 做运算，10 Z 29=(10+29) -2=19.5(1)原式=[(3+17)-2] Z 29⑵原式={[(1+9) -2] Z 9} Z5=[5 Z 9] △) =[(5+9) -2] △=7 △ =(7+6) -2 =6.5X=39 2X=21、A , B 表示两个数，定义 A*B=2 X A-B.试求:(1)(8.5 X6.9)*5 (2) (119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、设aVb=a xb+a-2b ，按此规定计算: (1) 8W.25(2)(4 0.5) ▽例2】已知2*3=2+22+222=246 ，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3 ；(2)4*5 ；(3) 若1*x=123 ，求x.分析与解】观察两个已知等式可以发现，“ *”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。

1) 3*3=3+33+333=3692) 4*5=4+44+444+4444+44444=49380(3)提示：因为1* x=1 + 11 + 111+ …=123所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0即：1+11+111=1*3=123从而可知x=3试一试】已知5 0=5 X6 X7 , 3出=3 X4 X5 X6X7 X8，按此规定计算：(1 ) (4 △) + (6 △)(2) (3 △ )X( 4 △)【例3】设A ®B=2 X(A+B ) -2 X(A -B),计算：(1 ) ( 12 ®4)® 13 ; (2) 70 ®(18 ®4 )。

【分析与解】观察已知等式可知：“®”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。

如：12 ®4=2 X(12+4 ) -2 X (12-4) =26(1)原式=[2 X(12+4 ) -2 X(12 -4) ] ®13=[2 X16-2 X3] ® 13=26 ® 13=2 X (26+13 ) -2X(26-13)=2 X39-2 X2=78-4=74(2)原式=70 ®[2 X(18+4 ) -2 X(18 -4)]=70 ®[2 X22-2 X4.5]=70 ®35=2 X(70+35)-2 X(70-35)=206【试一试】1、规定a O b=(a+b) +(a-b)，按此规定计算：(1)21 O 5 (2)(18 O 9) O 22、设a#b=5a-2b ，计算：(12.5#8 ) #19.72【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A: 将输入的数加上5 ;装置B:将输入的数除以2 ;装置C:将输入的数减去4 ;装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置 A 后面连接装置B,就写成A B，输入1后，经过A B输出了3.那么，输入9，经过A BCD输出几？【分析与解】A B C D=[(9+5) +2-4] X3=9所以输出的是9【试一试】同学们在做这样一个数字游戏：一张带有数字的卡片在A , B, C, D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9后交给主持人，如果一张卡片经过A传递给B记为A T B,那么一张带有18的数字卡片，经过A宀B~ C T D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少？【理一理】新定义运算注意的问题：(1 )新定义运算一般不满足运算定律女口:a △ z b仙a0b 仏)z(a △)) △(a*b) △ z(a A;)*(b A c)⑵“ + ”“-” “x” “ + ”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序四、练一练1、规定a*b=4a-3b ，计算：(1.5*0.8 )*0.52、设a, b都表示自然数，规定a☆b=3a+b *2，计算：(1) 5^6 (2) 6 ☆(3)2^( 3 ^5) (4) (2 ^3 )☆ 53、规定3*5=3+4+5+6+7 , 5*4=5+6+7+8 ，…按此规定计算：11*54、如果1=1 ！，1 X2=2 ! , 1 X2 X3=3 !，…1 X2 X3X4 X->99 000=100 !那么1 ! +2 ! +3 ! +4 ! + -+100 !的个位数字是几？5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼; 狼△狼=狼。

以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。

所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。

这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。

对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。

求下列结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）。