(完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为G.(1)求抛物线和直线AC的解析式;(2)如图,设E(m,0)为x轴上一动点,若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO,求点E的坐标;(3)如图,设点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动,运动时间为ts,点M为射线AC上一动点,过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N.试探究点P在运动过程中,是否存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3;直线AC解析式为:y=3x+3;(2)点E 坐标为(1,0)或(﹣7,0);(3)存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形,t的值为或或.【解析】【分析】(1)用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式.(2)△CGE与△CGO虽然有公共底边CG,但高不好求,故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算.延长GC交x轴于点F,则△FGE与△FCE的差即为△CGE.(3)设M的坐标(e,3e+3),分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论,利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系,用e表示相关线段并列方程求解,再根据e与AP的关系求t 的值.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),, 解得:,∴抛物线解析式为:y=-x2+2x+3,设直线AC解析式为y=kx+3,∴-k+3=0,得:k=3,∴直线AC解析式为:y=3x+3.(2)延长GC交x轴于点F,过G作GH⊥x轴于点H,∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴G(1,4),GH=4,∴S△CGO=OC•x G=×3×1=,∴S△CGE=S△CGO=×=2,①若点E在x轴正半轴上,设直线CG:y=k1x+3,∴k1+3=4 得:k1=1,∴直线CG解析式:y=x+3,∴F(-3,0),∵E(m,0),∴EF=m-(-3)=m+3,∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•(GH-OC)=(m+3)•(4-3)=,∴=2,解得:m=1,∴E的坐标为(1,0).②若点E在x轴负半轴上,则点E到直线CG的距离与点(1,0)到直线CG距离相等,即点E到F的距离等于点(1,0)到F的距离,∴EF=-3-m=1-(-3)=4,解得:m=-7 即E(-7,0),综上所述,点E坐标为(1,0)或(-7,0).(3)存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形,设M(e,3e+3),则y N=y M=3e+3,①若∠MPN=90°,PM=PN,如图2,过点M作MQ⊥x轴于点Q,过点N作NR⊥x轴于点R,∵MN∥x轴,∴MQ=NR=3e+3,∴Rt△MQP≌Rt△NRP(HL),∴PQ=PR,∠MPQ=∠NPR=45°,∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3,∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6,即N(7e+6,3e+3),∵N在抛物线上,∴-(7e+6)2+2(7e+6)+3=3e+3,解得:e1=-1(舍去),e2=−,∵AP=t,OP=t-1,OP+OQ=PQ,∴t-1-e=3e+3,∴t=4e+4=,②若∠PMN=90°,PM=MN,如图3,∴MN=PM=3e+3,∴x N=x M+3e+3=4e+3,即N(4e+3,3e+3),∴-(4e+3)2+2(4e+3)+3=3e+3,解得:e1=-1(舍去),e2=−,∴t=AP=e-(-1)=−+1=,③若∠PNM=90°,PN=MN,如图4,∴MN=PN=3e+3,N(4e+3,3e+3),解得:e=−,∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=,综上所述,存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形,t的值为或或.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,坐标系中三角形面积计算,等腰直角三角形的性质,解一元二次方程,考查了分类讨论和方程思想.第(3)题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键,灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算.2.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.(1)求抛物线的解析式;(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113+113+3)点Q的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.【解析】【分析】(1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=12CD=CE.利用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标;(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛物线的解析式联立,得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩,求解即可得出点Q的坐标.【详解】(1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0),∴x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),∵x12+x22﹣x1x2=13,∴(x1+x2)2﹣3x1x2=13,∴m2+3(m+1)=13,即m2+3m﹣10=0,解得m1=2,m2=﹣5.∵OA<OB,∴抛物线的对称轴在y轴右侧,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)连接BE、OE.∵在Rt△BCD中,∠CBD=90°,EC=ED,∴BE=12CD=CE.令y=x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),∵C(0,﹣3),∴OB =OC ,又∵BE =CE ,OE =OE ,∴△OBE ≌△OCE (SSS ),∴∠BOE =∠COE ,∴点E 在第四象限的角平分线上,设E 点坐标为(m ,﹣m ),将E (m ,﹣m )代入y =x 2﹣2x ﹣3,得m =m 2﹣2m ﹣3,解得m =1132±, ∵点E 在第四象限,∴E 点坐标为(113+,﹣113+); (3)过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ,连接CF ,则S △ACQ =S △ACF .∵S △ACQ =2S △AOC ,∴S △ACF =2S △AOC ,∴AF =2OA =2,∴F (1,0).∵A (﹣1,0),C (0,﹣3),∴直线AC 的解析式为y =﹣3x ﹣3.∵AC ∥FQ ,∴设直线FQ 的解析式为y =﹣3x +b ,将F (1,0)代入,得0=﹣3+b ,解得b =3,∴直线FQ 的解析式为y =﹣3x +3.联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩, 解得11312x y =-⎧⎨=⎩,2223x y =⎧⎨=-⎩, ∴点Q 的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).【点睛】本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.3.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)94;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣3).【解析】试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解;(2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答;(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可;(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可.试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩,解得43bc=-⎧⎨=⎩,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣32)2+94.∵a=﹣1<0,∴当x=32时,线段PD的长度有最大值94;(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②∵y=x2﹣4x+3=(x ﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1).∵A(3,0),∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1).综上所述:点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形;(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,∴MA=MB,由三角形的三边关系,|MA﹣MC|<BC,∴当M、B、C三点共线时,|MA﹣MC|最大,为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),则3k bb+=⎧⎨=⎩,解得:33kb=-⎧⎨=⎩,∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3.∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2,∴当x=2时,y=﹣3×2+3=﹣3,∴点M (2,﹣3),即,抛物线对称轴上存在点M(2,﹣3),使|MA﹣MC|最大.点睛:本题是二次函数综合题,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,二次函数的对称性以及顶点坐标的求解,(2)整理出PD的表达式是解题的关键,(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断,(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.5.已知,点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点,直线5y mx =+分别交x 轴正半轴,y 轴于点,A B .(1)如图1,若二次函数图象也经过点,A B ,试求出该二次函数解析式,并求出m 的值. (2)如图2,点A 坐标为(5,0),点M 在AOB ∆内,若点11(,)4C y ,23(,)4D y 都在二次函数图象上,试比较1y 与2y 的大小.【答案】(1)2(2)9y x =--+,1m =-;(2)①当102b <<时,12y y >;②当12b =时,12y y =;③当1425b <<时,12y y < 【解析】 【分析】 (1)根据一次函数表达式求出B 点坐标,然后根据B 点在抛物线上,求出b 值,从而得到二次函数表达式,再根据二次函数表达式求出A 点的坐标,最后代入一次函数求出m 值.(2)根据解方程组,可得顶点M 的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案. 【详解】(1)如图1,∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ,∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上,∴25(0)41b b =--++,解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时,得15=x ,21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得,550m +=,∴1m =-(2)如图2,根据题意,抛物线的顶点M 为(,41)b b +,即M 点始终在直线41y x =+上,∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ,与y 轴交于点F ,而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩,得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E,(0,1)F∵点M在AOB∆内,∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴(直线x b=)对称时,1344b b-=-,∴12b=且二次函数图象的开口向下,顶点M在直线41y x=+上综上:①当12b<<时,12y y>;②当12b=时,12y y=;③当1425b<<时,12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用,难度系数大同学们需要认真分析即可.6.如图,在平面直角坐标系中有抛物线y=a(x﹣2)2﹣2和y=a(x﹣h)2,抛物线y=a (x﹣2)2﹣2经过原点,与x轴正半轴交于点A,与其对称轴交于点B;点P是抛物线y=a(x﹣2)2﹣2上一动点,且点P在x轴下方,过点P作x轴的垂线交抛物线y=a(x﹣h)2于点D,过点D作PD的垂线交抛物线y=a(x﹣h)2于点D′(不与点D重合),连接PD′,设点P的横坐标为m:(1)①直接写出a的值;②直接写出抛物线y=a(x﹣2)2﹣2的函数表达式的一般式;(2)当抛物线y=a(x﹣h)2经过原点时,设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L:①求PDDD'的值;②直接写出L与m之间的函数关系式;(3)当h为何值时,存在点P,使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形?直接写出h 的值.【答案】(1)①12;②y =212x ﹣2x ; (2)①1;②L =2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…; (3)h =±3 【解析】 【分析】(1)①将x =0,y =0代入y =a (x ﹣2)2﹣2中计算即可;②y =212x ﹣2x ; (2)将(0,0)代入y =a (x ﹣h )2中,可求得a =12,y =12x 2,待定系数法求OB 、AB 的解析式,由点P 的横坐标为m ,即可表示出相应线段求解;(3)以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形,DD ′=OA ,可知点D 的纵坐标为2,再由AD =OA =4即可求出h 的值. 【详解】解:(1)①将x =0,y =0代入y =a (x ﹣2)2﹣2中, 得:0=a (0﹣2)2﹣2, 解得:a =12; ②y =212x ﹣2x ;. (2)∵抛物线y =a (x ﹣h )2经过原点,a =12; ∴y =12x 2, ∴A (4,0),B (2,﹣2),易得:直线OB 解析式为:y =﹣x ,直线AB 解析式为:y =x ﹣4 如图1,222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1,当0<m ≤2时,L =OE +EF +OF =2(22)m m m m ++=+,当2<m <4时,如图2,设PD ′交x 轴于G ,交AB 于H ,PD 交x 轴于E ,交AB 于F ,则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭,2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=,即:EG •PD =PE •DD ′,得:EG •(2m )=(2m ﹣12m 2)•2m ∴EG =2m ﹣12m 2,EF =4﹣m ∴L =EG +EF +FH +GH =EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…;(3)如图3,∵OADD ′为菱形 ∴AD =AO =DD ′=4, ∴PD =2,23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,菱形的性质,抛物线的平移等,解题时要注意考虑分段函数表示方法.7.如图,抛物线y =ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ,B (1,0)两点,交y 轴于点C ,一次函数y =x +3的图象交坐标轴于A ,D 两点,E 为直线AD 上一点,作EF ⊥x 轴,交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式;(2)若点F 位于直线AD 的下方,请问线段EF 是否有最大值?若有,求出最大值并求出点E 的坐标;若没有,请说明理由;(3)在平面直角坐标系内存在点G ,使得G ,E ,D ,C 为顶点的四边形为菱形,请直接写出点G 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=13x2+23x﹣1;(2)4912,(12,72);(3)点G的坐标为(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),2,2﹣1),(﹣4,3).【解析】【分析】(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)由函数图象上点的坐标特征:可设点E的坐标为(m,m+3),点F的坐标为(m,1 3m2+23m﹣1),由此得到EF=﹣13m2+13m+4,根据二次函数最值的求法解答即可;(3)分三种情形①如图1中,当EG为菱形对角线时.②如图2、3中,当EC为菱形的对角线时,③如图4中,当ED为菱形的对角线时,分别求解即可.【详解】解:(1)将y=0代入y=x+3,得x=﹣3.∴点A的坐标为(﹣3,0).设抛物线的解析式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2),点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(1,0),∴y=a(x+3)(x﹣1).∵点C的坐标为(0,﹣1),∴﹣3a=﹣1,得a=13,∴抛物线的解析式为y=13x2+23x﹣1;(2)设点E的坐标为(m,m+3),线段EF的长度为y,则点F的坐标为(m,13m2+23m﹣1)∴y=(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)=﹣13m2+13m+4即y=-13(m﹣12) 2+4912,此时点E的坐标为(12,72);(3)点G的坐标为(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),2,2﹣1),(﹣4,3).理由:①如图1,当四边形CGDE为菱形时.∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y =132-+=1, 将y =1带入y =x +3,得x =﹣2. ∵EG 关于y 轴对称, ∴点G 的坐标为(2,1);②如图2,当四边形CDEG 为菱形时,以点D 为圆心,DC 的长为半径作圆,交AD 于点E ,可得DC =DE ,构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ,n +3), 点D 的坐标为(0,3)∴DE =22(33)n n ++-=22n ∵DE =DC =4, ∴22n =4,解得n 1=﹣22,n 2=22.∴点E 的坐标为(﹣22,﹣22+3)或(22,22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ,点G 的坐标为(﹣22,﹣22﹣1)(如图2)或(22,22﹣1)(如图3)③如图4,“四边形CDGE 为菱形时,以点C 为圆心,以CD 的长为半径作圆,交直线AD 于点E ,设点E 的坐标为(k ,k +3),点C 的坐标为(0,﹣1). ∴EC =22(0)(31)k k -+++=22816k k ++. ∵EC =CD =4, ∴2k 2+8k +16=16, 解得k 1=0(舍去),k 2=﹣4. ∴点E 的坐标为(﹣4,﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G . ∴点G 的坐标为(﹣4,3).综上所述,点G 的坐标为(2,1),(﹣22,﹣22﹣1),(22,22﹣1),(﹣4,3).【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用对称解决最值问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.8.已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. (1)求证:该抛物线与x 轴总有交点;(2)若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m 的取值范围;(3)设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ,若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ,求m 的值.【答案】(1)证明见解析;(2)1?<?m?3<;(3)56m m ==或 【解析】 【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零,再判断出物线与x 轴总有交点.(2)根据公式法解方程,利用已有的条件,就能确定出m 的取值范围,即可得到结果. (3)根据抛物线y=-x 2+(5-m )x+6-m ,求出与y 轴的交点M 的坐标,再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标,列方程可得结论. 【详解】(1)证明:∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.(2)解:由(1)()27m ∆=-,根据求根公式可知,方程的两根为:257m m x ()-±-=即1216x x m =-=-+, 由题意,有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解:令 x = 0, y =6m -+ ∴ M (0,6m -+)由(2)可知抛物线与x 轴的交点为(-1,0)和(6m -+,0), 它们关于直线y x =-的对称点分别为(0 , 1)和(0, 6m -), 由题意,可得:6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点,解一元一次方程,解一元一次不等式,根的判别式,对称等,解题关键是熟练理解和掌握以上性质,并能综合运用这些性质进行计算.9.如图,菱形ABCD 的边长为20cm ,∠ABC =120°,对角线AC ,BD 相交于点O ,动点P 从点A 出发,以4cm /s 的速度,沿A →B 的路线向点B 运动;过点P 作PQ ∥BD ,与AC 相交于点Q ,设运动时间为t 秒,0<t <5.(1)设四边形PQCB 的面积为S ,求S 与t 的关系式;(2)若点Q 关于O 的对称点为M ,过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD (或CD )于点N ,当t 为何值时,点P 、M 、N 在一直线上?(3)直线PN 与AC 相交于H 点,连接PM ,NM ,是否存在某一时刻t ,使得直线PN 平分四边形APMN 的面积?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) S=﹣231003t +0<t <5); (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】(1)如图1,根据S=S △ABC -S △APQ ,代入可得S 与t 的关系式;(2)设PM=x ,则AM=2x ,可得3,计算x 的值,根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ,列方程可得t 的值;(3)存在,通过画图可知:N 在CD 上时,直线PN 平分四边形APMN 的面积,根据面积相等可得MG=AP ,由AM=AO+OM ,列式可得t 的值. 【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°,AC ⊥BD , ∴∠OAB=30°, ∵AB=20,∴OB=10,3 由题意得:AP=4t ,∴PQ=2t ,AQ=23t , ∴S=S △ABC ﹣S △APQ , =11··22AC OB PQ AQ -, =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ , =﹣23t 2+1003(0<t <5); (2)如图2,在Rt △APM 中,AP=4t , ∵点Q 关于O 的对称点为M , ∴OM=OQ , 设PM=x ,则AM=2x , ∴AP=3x=4t , ∴x=3, ∴AM=2PM=3, ∵AM=AO+OM ,∴3=103+103﹣23t ,t=307; 答:当t 为307秒时,点P 、M 、N 在一直线上; (3)存在,如图3,∵直线PN 平分四边形APMN 的面积, ∴S △APN =S △PMN ,过M 作MG ⊥PN 于G ,∴11··22PN AP PN MG = , ∴MG=AP ,易得△APH ≌△MGH ,∴3,∵AM=AO+OM ,同理可知:3﹣3,3333t ,t=3011. 答:当t 为3011秒时,使得直线PN 平分四边形APMN 的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10.已知,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和C (0,3). (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使PA +PC 的值最小?如果存在,请求出点P 的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M 在抛物线的对称轴上,当△MAC 是直角三角形时,求点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =-++;(2)当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2;(3)点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标,由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标;()3设点M 的坐标为()1,m ,则22CM (10)(m 3)=-+-,()22AC [01](30)10=--+-=,()22AM [11](m 0)=--+-,分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况,利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m 的值,进而即可得出点M 的坐标. 【详解】解:()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中, 得:{103b c c --+==,解得:{23b c ==,∴抛物线的解析式为223y x x =-++.()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,如图1所示.当0y =时,有2230x x -++=, 解得:11x =-,23x =,∴点B 的坐标为()3,0.Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+, ∴抛物线的对称轴为直线1x =.设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠, 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中, 得:{303k d d +==,解得:{13k d =-=,∴直线BC 的解析式为3y x =-+. Q 当1x =时,32y x =-+=,∴当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2.()3设点M 的坐标为()1,m ,则22(10)(3)CM m =-+-,()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑:①当90AMC ∠=o 时,有222AC AM CM =+,即22101(3)4m m =+-++,解得:11m =,22m =,∴点M 的坐标为()1,1或()1,2;②当90ACM ∠=o 时,有222AM AC CM =+,即224101(3)m m +=++-,解得:83m =, ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭;③当90CAM ∠=o 时,有222CM AM AC =+,即221(3)410m m +-=++,解得:23m =-, ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述:当MAC V 是直角三角形时,点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是:()1由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置;()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况,列出关于m 的方程.11.如图,直线y =﹣x +4与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B ,C 两点,与x 轴另一交点为A .点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动(点P 不与点B 和点C 重合),设运动时间为t 秒,过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ,交抛物线于点M .(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ,连接MN 交BC 于点Q ,当12MQ NQ =时,求t 的值;(3)如图②,连接AM 交BC 于点D ,当△PDM 是等腰三角形时,直接写出t 的值. 【答案】(1)y =﹣x 2+3x +4;(2)t 的值为12;(3)当△PDM 是等腰三角形时,t =1或t ﹣1. 【解析】 【分析】(1)求直线y=-x+4与x 轴交点B ,与y 轴交点C ,用待定系数法即求得抛物线解析式. (2)根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°,又PE ⊥x 轴于点E ,得到△PEB 是等腰直角三角形,由PB =求得BE=PE=t ,即可用t 表示各线段,得到点M 的横坐标,进而用m 表示点M 纵坐标,求得MP 的长.根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽,故有12MP MQ NC NQ ==,把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程,求解即得到t 的值. (3)因为不确定等腰△PDM 的底和腰,故需分3种情况讨论:①若MD=MP ,则∠MDP=∠MPD=45°,故有∠DMP=90°,不合题意;②若DM=DP ,则∠DMP=∠MPD=45°,进而得AE=ME ,把含t 的式子代入并解方程即可;③若MP=DP ,则∠PMD=∠PDM ,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD .用t 表示M 的坐标,求直线AM 解析式,求得AM 与y 轴交点F 的坐标,即能用t 表示CF 的长.把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组,解得x 的值即为点D 横坐标.过D 作y 轴垂线段DG ,得等腰直角△CDG ,用DG 即点D 横坐标,进而可用t 表示CD 的长.把含t 的式子代入CF=CD ,解方程即得到t 的值. 【详解】(1)直线y =﹣x +4中,当x =0时,y =4 ∴C (0,4)当y =﹣x +4=0时,解得:x =4 ∴B (4,0)∵抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B ,C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得:34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4(2)∵B (4,0),C (0,4),∠BOC =90° ∴OB =OC∴∠OBC =∠OCB =45° ∵ME ⊥x 轴于点E ,PBt ∴∠BEP =90°∴Rt △BEP 中,2PE sin PBE PB ∠==∴BE PE t ==, ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ===﹣=﹣,== ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++=﹣(﹣)(﹣)=﹣, ∴24MP MP y y t t +=﹣=﹣ , ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO =∠NOE =∠PEO =90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON =PE =t ∴NC =OC ﹣ON =4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得:12142t t =,=(点P 不与点C 重合,故舍去) ∴t 的值为12(3)∵∠PEB =90°,BE =PE ∴∠BPE =∠PBE =45° ∴∠MPD =∠BPE =45°①若MD =MP ,则∠MDP =∠MPD =45° ∴∠DMP =90°,即DM ∥x 轴,与题意矛盾 ②若DM =DP ,则∠DMP =∠MPD =45° ∵∠AEM =90° ∴AE =ME∵y =﹣x 2+3x +4=0时,解得:x 1=﹣1,x 2=4 ∴A (﹣1,0)∵由(2)得,x M =4﹣t ,ME =y M =﹣t 2+5t ∴AE =4﹣t ﹣(﹣1)=5﹣t ∴5﹣t =﹣t 2+5t解得:t 1=1,t 2=5(0<t <4,舍去)③若MP =DP ,则∠PMD =∠PDM如图,记AM 与y 轴交点为F ,过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD =∠PMD =∠PDM =∠CDF ∴CF =CD∵A (﹣1,0),M (4﹣t ,﹣t 2+5t ),设直线AM 解析式为y =ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得:a tm t =⎧⎨=⎩ , ∴直线AM :y tx t += ∴F (0,t ) ∴CF =OC ﹣OF =4﹣t ∵tx +t =﹣x +4,解得:41tx t -=+, ∴41D x tt DG -=+==, ∵∠CGD =90°,∠DCG =45° ∴)2421t CD DG t -+==,∴)2441t t t -+﹣ 解得:21t =﹣综上所述,当△PDM 是等腰三角形时,t =1或21t =﹣. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解二元一次方程组和一元二次方程,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,涉及等腰三角形的分类讨论,要充分利用等腰的性质作为列方程的依据.12.已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .(1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上,A M 两点之间的部分(不包含,A M 两点),是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的表达式为:228y x x =-++,直线AB 的表达式为:21y x =-;(2)存在,理由见解析;点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2).【解析】 【分析】(1)二次函数表达式为:y=a (x-1)2+9,即可求解; (2)S △DAC =2S △DCM ,则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ,,即可求解;(3)分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解:(1)二次函数表达式为:()219y a x =-+, 将点A 的坐标代入上式并解得:1a =-, 故抛物线的表达式为:228y x x =-++…①, 则点()3,5B ,将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线AB 的表达式为:21y x =-; (2)存在,理由:二次函数对称轴为:1x =,则点()1,1C , 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设点()2,28D x x x -++,点(),21H x x -,∵2DAC DCM S S ∆∆=, 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V , 解得:1x =-或5(舍去5), 故点()1,5D -;(3)设点(),0Q m 、点(),P s t ,228t s s =-++, ①当AM 是平行四边形的一条边时,点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ,同理,点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --,即为点P , 即:4m s -=,6t -=,而228t s s =-++, 解得:6s =或﹣4, 故点()6,16P -或()4,16--; ②当AM 是平行四边形的对角线时,由中点公式得:2m s +=-,2t =,而228t s s =-++, 解得:17s =±故点()17,2P 或()17,2;综上,点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.13.已知矩形ABCD 中,AB =5cm ,点P 为对角线AC 上的一点,且AP =25cm .如图①,动点M 从点A 出发,在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s ),APM ∆的面积为S (cm ²),S 与t 的函数关系如图②所示: (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ,BC 的长度为 cm ;(2)如图③,动点M 重新从点A 出发,在矩形边上,按原来的速度和方向匀速运动.同时,另一个动点N 从点D 出发,在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动,设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C ),动点M 、N 相遇后立即停止运动,记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在,求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2,10;(2)①2/6/3cm s v cm s ≤<;②当154x =时,12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】(1)由题意可知图像中0~2.5s 时,M 在AB 上运动,求出速度,2.5~7.5s 时,M 在BC 上运动,求出BC 长度;(2)①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度,取中间速度,注意C 点相遇时的速度不能取等于;②过M 点做MH ⊥AC ,则125MH CM ==得到S 1,同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---(N )矩形=15,得到S 2,再得到12S S ⋅关于x 的二次函数,利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ;(7.5-2.5)×2=10cm (2)①解:在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
中考二次函数压轴题题型总结(一)
中考二次函数压轴题题型总结(一)中考二次函数压轴题题型总结前言二次函数作为中考数学的重要内容之一,经常作为压轴题出现。
对于考生来说,熟练掌握二次函数的基本知识和解题方法是非常重要的。
本文将对中考二次函数压轴题题型进行总结,帮助考生更好地备考。
一、基本概念回顾1.二次函数的标准形式:y=ax2+bx+c2.二次函数的图像特征:–开口方向(参数a的正负)–顶点坐标(x=−b2a ,y=−D4a)–对称轴方程(x=−b2a)–判别式(D=b2−4ac)二、题型分析与解题技巧1. 求解二次函数的解•求解二次函数的零点:–根据方程y=0,列出二次方程并求解;–利用零点和对称轴的关系求解。
2. 求解二次函数图像的特征•开口方向:–根据参数a的正负判断开口方向;–利用顶点和对称轴的关系判断开口方向。
•顶点坐标:求解。
–利用x=−b2a•对称轴方程:求解。
–利用x=−b2a3. 利用图像解题•区间范围:–根据图像的开口方向确定y的取值范围。
•最值问题:–利用顶点坐标求解函数的最值。
通过以上总结,我们可以看出,二次函数压轴题在中考中占据了重要的位置。
对于考生来说,熟练掌握二次函数的基本概念和解题技巧是提高数学成绩的关键。
希望本文能对考生复习备考有所帮助。
4. 利用判别式解二次函数的性质•判别式D=b2−4ac可以判断二次函数的根的情况:–当D>0时,方程有两个不相等的实根;–当D=0时,方程有两个相等的实根;–当D<0时,方程没有实根。
•利用判别式的性质解题:–求解满足条件的参数;–求解满足条件的x的取值范围。
5. 利用二次函数的性质解实际问题•利用二次函数的最值性质解实际问题:–求解物体的最高点、最低点等位置;–求解时间、速度、距离等相关问题。
通过本文的总结,我们可以看出,在中考二次函数压轴题中,考察的内容主要包括基本概念、解题技巧、图像特征、判别式和实际问题的应用。
考生在备考时应该注重理解二次函数的概念和性质,掌握解题的方法和技巧,加强对图像特征和判别式的理解和应用,同时培养解实际问题的能力。
初三二次函数压轴题题型归纳及方法
初三二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初三二次函数压轴题主要包括以下几种题型:1. 解二次方程:给出一个二次方程,要求求出其解。
2. 求顶点坐标:给出一个二次函数,要求求出其顶点坐标。
3. 求零点:给出一个二次函数,要求求出其零点。
4. 求最值:给出一个二次函数,要求求出其最大值或最小值。
5. 综合应用:将上述各种题型结合起来进行综合应用。
二、方法1. 解二次方程(1)将方程化为标准形式ax²+bx+c=0;(2)判断Δ=b²-4ac的正负性:如果Δ>0,则有两个不相等的实数根;如果Δ=0,则有两个相等的实数根;如果Δ<0,则无实数根,但可以得到一对共轭复数根;(3)根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求得解。
2. 求顶点坐标(1)将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c;(2)利用公式x=-b/2a求得顶点的横坐标;(3)将横坐标代入原函数中求得顶点的纵坐标。
3. 求零点(1)将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c;(2)令y=0,解出方程ax²+bx+c=0;(3)根据解出的方程,用上述方法求出零点。
4. 求最值(1)将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c;(2)如果a>0,则函数有最小值,最小值为y0=c-b²/4a,顶点坐标为(-b/2a,y0);如果a<0,则函数有最大值,最大值为y0=c-b²/4a,顶点坐标为(-b/2a,y0)。
5. 综合应用综合应用题目一般会给出一个实际问题,并要求利用二次函数进行建模和求解。
解决这类题目需要结合实际情况进行分析,并运用上述各种方法进行计算和推导。
三、注意事项1. 在解二次方程时,需要注意判别式Δ的正负性,以确定是否有实数根。
2. 在求顶点坐标时,需要注意顶点横坐标的符号和范围。
3. 在求零点时,需要注意解方程的过程和方法,并判断是否存在实数根。
2025年中考数学复习:二次函数综合压轴题常考热点试题汇编 解析版
2025年中考数学复习:二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图,已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1,0 ,C 2,3 两点,与y 轴交于点N .其顶点为D .(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式;(2)设点M 3,m ,求使MN +MD 的值最小时m 的值;(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,求PQ 的最大值.【答案】(1)解:由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1,0 ,C 2,3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3,解得b =2c =3 ,∴抛物线为y =-x 2+2x +3;设直线为y =kx +n 过点A -1,0 ,C 2,3 ,得-k +n =02k +n =3,解得k =1n =1 ,∴直线AC 为y =x +1;(2)解:∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4,∴D 1,4 ,令y =0,则0=-x 2+2x +3,解得x =-1或x =3,即抛物线与x 轴的另一个交点为3,0 ,作直线x =3,作点D 关于直线x =3的对称点D ,得D 坐标为5,4 ,如图,连接ND 交直线x =3于点M ,此时N 、M 、D 三点共线时,NM +MD 最小,即NM +MD 最小,设直线ND 的关系式为:y =ax +b ,把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ,1∴直线NM 的函数关系式为:y =15x +3,当x =3时,y =185,∴m =185;(3)解:如图,∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,∴设Q x ,x +1 ,则P x ,-x 2+2x +3 ,∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94,∵-1<0,∴PQ 有最大值,最大值为94.2.如图,在平面直角坐标系中,已知点B 的坐标为-1,0 ,且OA =OC =5OB ,抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ,B ,C 三点.(1)求A ,C 两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点,作PD ⊥AC 于点D ,当PD 的值最大时,求此时点P 的坐标及PD 的最大值.【答案】(1)解:∵点B 的坐标为-1,0 ,∴OB =1,∵OA =OC =5OB ,∴OA =OC =5,∴点A 5,0 ,C 0,-5 ;把点C0,-5代入得:-5a=-5,解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x+1x-5=x2-4x-5;(3)解:∵直线CA过点C0,-5,∴可设其函数表达式为:y=kx-5,将点A5,0代入得:5k-5=0解得:k=1,故直线CA的表达式为:y=x-5,过点P作y轴的平行线交CA于点H,∵OA=OC=5,∴∠OAC=∠OCA=45°,∵PH∥y轴,∴∠PHD=∠OCA=45°,∴PD=PH,∵PD⊥AC,∴PD=22PH,设点P x,x2-4x-5,则点H x,x-5,∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528,∵-22<0,∴PD有最大值,当x=52时,其最大值为252 8,此时点P52,-354 .3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D、E是直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点,连接CP ,直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分,求点P 的坐标.【答案】(1)解:∵OB =OC ,点C (0,3),∴点B (3,0),则抛物线的表达式为:y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ,将点C (0,3)代入得,故-3a =3,解得:a =-1,故抛物线的表达式为:y =-x 2+2x +3,∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4,函数的对称轴为:x =1;(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ,其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数,故CD +AE 最小时,周长最小,取点C 关于直线x =1对称点C (2,3),则CD =C D ,如图所示,取点A -1,1 ,则A D =AE ,点C 与C 关于x =1对称,则C 2,3 ,∴A C =32+22=13,∴CD +AE =A D +DC ,则当A 、D 、C 三点共线时,CD +AE =A D +DC 最小,周长也最小,四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13;(3)如图,设直线CP 交x 轴于点E ,直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分,又∵S △PCB :S △PCA =12EB ×(y C -y P ):12AE ×(y C -y P )=BE :AE ,则AE=52或32,即:点E的坐标为32,0或12,0,∵C0,3,设直线CP的表达式:y=kx+3,将点E的坐标代入直线CP的表达式:y=kx+3,解得:k=-6或-2,故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3,联立y=-x2+2x+3y=-2x+3,y=-x2+2x+3y=-6x+3,解得:x=4或x=8(x=0舍去),故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,作直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合),连结PB,PC,以PB,PC为边作▱CPBD,点P的横坐标为m.(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时,则点P的坐标为;(3)当▱CPBD是菱形时,求m的值.(4)当m为何值时,▱CPBD的面积有最大值?【答案】(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3,(2)解:∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3,令x=0,则y=-3,∴C(0,-3),∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时,∴点D在x轴上,∵四边形CPBD是平行四边形,∴CP∥BD,∴点P和点C为抛物线上的对称点,∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1,C(0,-3),∴P(2,-3),故答案为:(2,-3);(3)解:设点P的坐标为(m,y),∵B(3,0),C(0,-3),∴BP2=(3-m)2+y2,CP2=m2+(m+3)2,∵▱CPBD 是菱形,∴BP =CP ,∴BP 2=CP 2,∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2,9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9,m +y =0,∵y =m 2-2m -3,∴m +m 2-2m -3=0,m 2-m -3=0,m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132,即m 1=1+132,m 2=1-132,∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合),∴0<m <3,∴m =1+132;(4)解:如图所示,过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ,设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),将B (3,0),C (0,-3)代入得,3k +b =0b =-3 ,解得,k =1b =-3 ,∴直线BC 的解析式为y =x -3,设P (m ,m 2-2m -3),则E (m ,m -3),∴PE =-m 2+3m ,∴S △PBC =12×3(-m 2+3m ),∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274,∴当m =32时,平行四边形CPBD 的面积有最大值.5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ,与y 轴交于点C ,点P 为第二象限内抛物线上一点,连接BP 、AC ,交于点Q ,过点P 作PD ⊥x 轴于点D .(1)求二次函数的表达式;(2)在对称轴上是否存在一个点M ,使MB +MC 的和最小,存在的话,请求出点M 的坐标.不存在的话请说明理由.(3)连接BC ,当∠DPB =2∠BCO 时,求直线BP 的表达式.【答案】(1)解:把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得:16a -4b +4=0a +b +4=0 ,解得a =-1b =-3 ,∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4;(2)在对称轴上存在一个点M ,使MB +MC 的和最小,理由如下:连接AC 交对称轴于M ,则MB +MC 的和最小,如图:∵MA =MB ,∴MB +MC =MA +MC ,而C ,M ,A 共线,∴此时MB +MC 最小,在y =-x 2-3x +4中,令x =0得y =4,∴C 0,4 ,设直线AC 的表达式为y =rx +s ,由A -4,0 ,C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4,由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32,在y =x +4中,令x =-32得y =52,∴M -32,52;(3)设BP 交y 轴于K ,如图:∵PD⊥x轴,∴∠DPB=∠OKB,∵∠DPB=2∠BCO,∴∠OKB=2∠BCO,∴∠CBK=∠BCO,∴BK=CK,设OK=m,则CK=BK=4-m,∵OB2+OK2=BK2,∴12+m2=4-m2,解得m=15 8,∴K0,158,设直线BP的表达式为y=px+q,由B1,0,K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158.6.如图,抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A,M是抛物线对称轴上的一点,过点M作x轴的平行线交抛物线于点B,C(B在C左边),交y轴于点D,连结OM,已知OM=5.(1)求OD的长.(2)P是第四象限内抛物线上的一点,连结P A,AC,OC,PO.设点P的横坐标为m,四边形OCAP的面积为S.①求S关于m的函数表达式.②当∠POC=∠DOC时,求S的值.【答案】解:(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3,∴DM=3,OA=6;∵OM =5,∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4.(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得,0=14x 2-32x解得:x =0(舍去),x =6∴OA =6,∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以,S 关于m 的表达式为:S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ,∴∠MOC =∠MCO .∵BC ∥x 轴,∴∠AOC =∠MCO =∠MOC .∵∠POC =∠DOC ,∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ,∴∠POE =∠DOM ,∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34,∴-y p x P =34∴y P =-34x p ,代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3,∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图,已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点,与x 轴的另一个交点为A .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴上找一点E ,使得AE +CE 的值最小,求点E 的坐标;(3)设点P 为x 轴上的一个动点,写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标,并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来.【答案】(1)解:将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3,解得b =-2c =3 ,∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3;(2)解:∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4,∴抛物线的对称轴为直线x =-1,∵点A 、B 关于对称轴对称,∴BE =AE ,∴AE +CE =BE +CE ,∴当B 、C 、E 三点共线时,BE +CE 最小,即此时AE +CE 最小,∴BC 与对称轴的交点即为点E ,如下图,设直线BC 解析式为y =mx +n ,∴-3m +n =0n =3,解得m =1n =3 ,∴直线BC 的解析式为y =x +3;当x =-1时,y =x +3=2,∴E -1,2 ;(3)解:∵B -3,0 ,C 0,3 ,∴OB =OC =3,∴BC =32+32=32,当B 为顶点时,则PB =BC =32,∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ;当C为顶点时,则PC=BC,∴点P与点B关于y轴对称,∴点P的坐标为3,0;当BC为底边时,则PC=PB,设点P的坐标为m,0,∴-3-m2=m2+32,解得m=0∴点P的坐标为0,0;综上,点P的坐标为0,0或3,0或32-3,0或-32-3,0.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=12x2平移,使平移后的抛物线仍经过原点O,新抛物线的顶点为M(点M在第四象限),对称轴与抛物线y=12x2交于点N,且MN=4.(1)求平移后抛物线的表达式;(2)如果点N平移后的对应点是点P,判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B,BC⊥MN,垂足为点C,如果△ABC是等腰三角形,求点A的坐标.【答案】(1)解:由题意得,平移后的抛物线表达式为:y=12x2+bx,则点M的坐标为:-b,-1 2 b2,当x=-b时,y=12x2=12b2,即点N-b,12b2,则MN=12b2+12b2=4,解得:b=2(舍去)或b=-2,则平移后的抛物线表达式为:y=12x2-2x;(2)解:四边形OMPN是正方形,根据题意可得O0,0,M2,-2,N2,2,P4,0,记MN与OP交于点G,则G2,0,∴OG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=22,∴四边形OMPN是平行四边形,∵MN=OP=4,∴四边形OMPN是矩形,∵NO=NP=22,∴四边形OMPN是正方形;(3)解:设A a ,12a 2 ,B a +2,12a 2-2 ,C 2,12a 2-2 ,可得AB =22,AC =a -2 2+22,BC =a 2,①AB =AC ,22=a -2 2+22,即a 2-4a =0,解得a 1=4,a 1=0(舍去0),∴A 4,8 ;②AB =BC ,22=a 2,解得a 1=22,a 1=-22,∴A 22,4 或A -22,4 ;③AC =BC ,a -2 2+22=a 2,解得a =2,∴A 2,2 ;综上,点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 .9.综合与探究如图,抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C .过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 .(1)求A ,B ,C 三点的坐标,并直接写出直线AD 的函数表达式.(2)点P 是线段AB 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点E ,交直线AD 于点F .试探究是否存在一点P ,使线段EF 最大.若存在,请求出EF 的最大值;若不存在,请说明理由.(3)若点M 在抛物线上,点N 是直线AD 上一点,是否存在以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:令y =0,则12x 2-32x -2=0,解得x =4或x =-1,∴A -1,0 ,B 4,0 ,令x =0,则y =-2,∴C 0,-2 ,设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ,将A -1,0 ,D 5,3 的坐标代入得,-k +b =05k +b =3 ,解得:k =12b =12,∴y =12x +12;(2)解:存在,理由如下:设P a ,0 ,则E a ,12a 2-32a -2 ,F a ,12a +12,∵P 线段AB 上的一个动点,∴E 在x 轴下方,∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92,∵-12<0,∴当a =2时,EF 有最大值,最大值为92;(3)解:存在,点M 的坐标为0,-2 ,2+14,4+142 或2-14,4-142;设M m ,12m 2-32m -2 ,N n ,12n +12,∵B 4,0 ,D 5,3 ,①当平行四边形对角线为BN 和DM 时,则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ,解得:m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时,M 4,0 与B 点重合,不符合题意,舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ;②当平行四边形对角线为BM 和DN 时,则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ,解得:m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ,∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142,综上所述,点M 的坐标为0,-2 ,2+14,4+142 或2-14,4-142 .10.如图,已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ,与y 轴交于点C ,经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6,0 、B 两点,顶点为E .(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接DE ,求tan ∠CDE 的值;(3)设P 为抛物线上一动点,Q 为直线CD 上一动点,是否存在点P 与点Q ,使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)解:对于y =34x +3,由x =0,得y =3,∴C 0,3 ,∵抛物线过点A -6,0 、C 0,3 ,-14×-6 2-6b +c =0c =3 ,解得:b =-1c =3 ,∴该抛物线为y =-14x 2-x +3;(2)解:由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2,4 ,过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ,作EG ⊥y 轴于G ,连接EC ,则EF =4,DF =2,EG =2,CG =1,∴DF EF =12=CG EG,∵∠DFE =∠CGE =90°,∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ,EC DE =CG DF=12.∵∠CEG +∠CEF =90°,∠DEF +∠CEF =90°,∴∠DEC =90°,∴tan ∠CDE =EC DE =12;(3)设Q m ,34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边,且点P 在点Q 的上方,∵D -4,0 ,E -2,4 ,Q m ,34m +3 ,∴P m +2,34m +7 ,代入抛物线得:34m +7=-14m +2 2-m +2 +3,解得m 1=-7,m 2=-4(舍去)∴Q -7,-94;②若DE 为平行四边形的一边,且点P 在点Q 的下方,∵D -4,0 ,E -2,4 ,Q m ,34m +3 ,∴P m -2,34m -1 ,同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ,③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4,0 ,E -2,4 ,Q m ,34m +3 ,∴P -m -6,-34m +1 代入抛物线得:-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3,解得m 1=-1,m 2=-4(舍去)∴Q -1,94,综上所述,点Q 的坐标为-7,-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 .11.如图,已知抛物钱经过点A (-1,0),B (3,0),C (0,3)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ,C 重合),过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N .若点M 的横坐标为m ,请用含m 的代数式表示MN 的长;(3)在(2)的条件下,连接NB 、NC ,当m 为何值时,△BNC 的面积最大,最大面积是多少?【答案】(1)解:根据题意,抛物钱与x 轴交于点A (-1,0),B (3,0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0,3)代入可得:-3a =3,解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3;(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3,0)、C (0,3)代入可得:3k +b =0b =3 ,解得k =-1b =3即y =-x +3,则M (m ,-m +3),N (m ,-m 2+2m +3),MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ;(3)由题意可得:S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0,开口向下,∴m =-92-2×32=32时,S △BNC 面积最大,∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278.12.如图,已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,顶点为D ,其中A 1,0 ,C 0,3 .直线y =mx +n 经过B ,C 两点.(1)求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴上找一点M ,使MA +MC 最小,直接写出点M 的坐标;(3)连接BD ,CD ,求△BCD 的面积.【答案】解:(1)将点A 1,0 ,C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ,得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组,得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时,0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ,解得x 1=-3,x 2=1,∴点B 的坐标为-3,0 ,∵直线y =mx +n 经过B ,C 两点,∴-3m +n =0n =3,解得m =1n =3 ,∴直线BC 解析式为y =x +3;∴当点M是直线BC和对称轴的交点时,MA+MC取得最小值,∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4,∴点D的坐标为-1,4,对称轴为直线x=1,将x=1代入直线y=x+3,得:y=-1+3=2,∴点M的坐标为-1,2;(3)∵点D-1,4,点M-1,2,∴DM=4-2=2,∵点B-3,0,∴BO=3,∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3.13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0,与y轴交于点C,连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交BC于M,交x轴于N,设点P的横坐标为t.(1)求该拋物线的解析式;(2)用关于t的代数式表示线段PM,求PM的最大值及此时点M的坐标;(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM,①求点P的坐标;②连接CP,在y轴上是否存在点Q,使得△CPQ为直角三角形,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0,即2a-b=24a+b=1,∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为:y=12x2-x-4;(2)解:令x=0得y=-4,∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b,∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ,∴直线BC的解析式为:y=x-4 ∵P的横坐标为t,PM∥y轴,∴P t,12t2-t-4,M t,t-4,∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2,∵-12<0,∴当t=2时,PM有最大值2,此时M2,-2;(3)解:①∵B4,0、C0,-4,∴OB=OC=4,∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°,∠MNB=∠COB=90°,∴∠NBM=∠NMB,∴BN=MN,∴S△BMN=12BN2,又∠CMH=∠NMB=45°,∠CHM=90°,∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ,∵BN +CH =OB =4,∴CH =1∴P 1,-92 ;②设Q 0,m ,则CQ 2=4+m 2,CP 2=1+-4+92 2=54,PQ 2=1+m +92 2,(Ⅰ)当∠CQP =90°时,54=4+m 2+1+m +92 2,解得:m =-4(舍去)或m =-92,∴Q 0,-92 ;(Ⅱ)当∠CPQ =90°时,54+1+m +92 2=4+m 2,解得:m =-132, ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得:m =-4(舍去)综上所述,存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形.14.如图,抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),交y 轴于点C .(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),①求抛物线的解析式;②若点P为x轴上一点,点Q为抛物线上一点,△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形,求出点P的坐标;(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧),直线AM交y轴于点E,直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.【答案】解:(1)①把A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3,解得a=1b=-2 c=-3 ,∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.②设P(m,0),过Q作QH⊥x轴于H,则∠PHQ=90°,∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形,∴PC=PQ,∠CPQ=90°,∴∠OPC+∠HPQ=90°,∠HQP+∠HPQ=90°,∴∠OPC=∠HQP,在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP,∴△POC≌△QHP AAS,∴QH=OP=m,PH=OC=3.当点H在点P的右侧时,OH=m+3,∴Q(m+3,-m),把Q(m+3,-m)代入y=x2-2x-3,得-m=m+32-2m+3-3,解得m=0或-5,此时,P(0,0)或P(-5,0).当点H在点P的左侧时,H(m-3,0),∴Q (m -3,m ),代入y =x 2-2x -3,得m =m -3 2-2m -3 -3,整理,得m 2-9m +12=0,解得m =9±332,此时P 9+332,0 或9-332,0 综上,点P 的坐标为P (0,0)或P (-5,0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ,直线AN 为y =k 1x +m 1,联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ,得ax 2+c -t =0,∴x M +x N =0.联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ,得ax 2+b -k x +c -m =0,∴x A x M =c -m a .同理,得x A x N =c -m 1a.∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0,∴c -m a +c -m 1a=0,∴c -m =m 1-c .∵D (0,m 1),E (0,m ),C (0,c ),∴CD =m 1-c ,CE =c -m ,∴CE =CD ,∴点C 为线段DE 的中点.15.如图,二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ,其中点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,2),过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D .(1)求二次函数和直线AC的函数表达式;(2)连接DB,则△DAB的面积为;(3)在y轴上确定点Q,使得∠AQB=135°,点Q的坐标为;(4)点M是抛物线上一点,点N为平面上一点,是否存在这样的点N,使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形?若存在,请你直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0),∴0=-22+c,解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b,解得:k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC:y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2,解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为:(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2),A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时,∵∠AQB=135°,QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ,则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时,根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2,解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理::过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ,此时M (0,4),N (-3,1)综上所述,存在,N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直线BC 于点E.(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式;(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h (h >0),在平移过程中,该抛物线与直线BC 始终有交点,求h 的最大值;(3)M 是(1)中抛物线上一点,N 是直线BC 上一点.是否存在以点D ,E ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:由D (2,1)可知,-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1,解得:b =4c =-3 ,∴y =-x 2+4x -3.(2)分别令y =-x 2+4x -3中,x =0,y =0得,B (3,0),C (0,-3);设BC 的表达式为:y =kx +n k ≠0 ,将B (3,0),C (0,-3)代入y =kx +n 得,0=3k +n -3=0+n 解得:k =1n =-3 ;∴BC 的表达式为:y =x -3;抛物线平移后的表达式为:y =-x 2+4x -3-h ,根据题意得,y =-x 2+4x -3-h y =x -3,即x 2-3x +h =0,∵该抛物线与直线BC 始终有交点,∴-3 2-4×1×h ≥0,∴h ≤94,∴h 的最大值为94.(3)存在,理由如下:将x =2代入y =x -3中得E 2,-1 ,①当DE 为平行四边形的一条边时,∵四边形DEMN 是平行四边形,∴DE ∥MN ,DE =MN ,∵DE ∥y 轴,∴MN ∥y 轴,∴设M m,-m2+4m-3,N m,m-3,当-m2+4m-3-m-3=2时,解得:m1=1,m2=2(舍去),∴N1,-2,当m-3--m2+4m-3=2时,解得:m1=3+172,m2=3-172,∴N3+172,17-3 2或N3-172,-17+32;②当DE为平行四边形的对角线时,设M p,-p2+4p-3,N q,q-3,∵D、E的中点坐标为:(2,0),∴M、N的中点坐标为:(2,0),∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ,解得:p1=1 q1=3,p2=2q2=2(舍去),∴此时点N的坐标为(3,0);综上分析可知,点N的坐标为:1,-2或3+172,17-32或3-172,-17+32或(3,0).。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 (八大题型+解题方法)1、求证“两线段相等”的问题:借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来;然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题:由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题:1点到直线的距离中的常数问题:“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题:先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题:“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题:用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题:① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题:由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题:在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题:① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”:方法1:先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2:过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到)()(左(定)右(定)下(动)上(动)动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题:先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”:由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题: 有两种常见解决的方案:方案一:连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;方案二:过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题: 两个定三角形是否相似:(1)已知有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;(2)不知道是否有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似:(1)已知有一个角相等的情形:先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形:这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题:首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有:①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题:若夹直角的两边与y轴都不平行:先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是:过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点:先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题:题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题:此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或y轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题:此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论:1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离:点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式:若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录:题型1:存在性问题 题型2:最值问题 题型3:定值问题 题型4:定点问题题型5:动点问题综合 题型6:对称问题 题型7:新定义题 题型8:二次函数与圆题型1:存在性问题1.(2024·四川广安·二模)如图,抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −,B 两点,交y 轴于点()0,4C .(1)求抛物线的函数解析式.(2)点D 在线段OA 上运动,过点D 作x 轴的垂线,与AC 交于点Q ,与抛物线交于点P ,连接AP 、CP ,求四边形AOCP 的面积的最大值.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+;(2)四边形AOCP 的面积最大为16;(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.【分析】本题主要考查了二次函数综合,熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤,以及二次函数的图象和性质,是解题的关键. (1)把()4,0A −,()0,4C 代入2y x bx c =−++,求出b 和c 的值,即可得出函数解析式; (2)易得182AOCSOA OC =⋅=,设()2,34P t t t −−+,则(),4Q t t +,求出24PQ t t =−−,则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++,根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++,结合二次函数的增减性,即可解答;(3)设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭,根据两点之间距离公式得出232AC =,22254AM m =+,229(4)4CM m =+−,然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可.【解析】(1)解:把()4,0A −,()0,4C 代入2y x bx c =−++得:01644b c c =−−+⎧⎨=⎩,解得:34b c =−⎧⎨=⎩,∴该二次函数的解析式234y x x =−−+;(2)解:∵()4,0A −,()0,4C ,∴4,4OA OC ==,∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△,设直线AC 的解析式为4y kx =+, 代入()4,0A −得,044k =−+,解得1k =,∴直线AC 的解析式为4y x =+, 设()2,34P t t t −−+,则(),4Q t t +,∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++,∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++,∵20−<,∴当2t =−时,四边形AOCP 的面积最大为16; (3)解:设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭,∵()4,0A −,()0,4C ,∴2224432AC =+=,2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭,()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭,当斜边为AC 时,AM CM AC 222+=,即()2225943244m m +++−=,整理得:24150m m ++=,无解;当斜边为AM 时,222AC CM AM +=,即2292532(4)44m m ++−=+,解得:112m =;∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时,222AC AM CM +=,即2225932(4)44m m ++=+−, 解得:52m =−;∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上:点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.2.(2024·内蒙古乌海·模拟预测)如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,0−,且OC OB =,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称.(1)分别求出a ,b 的值和直线AD 的解析式;(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ,过点P 作PH AD ⊥于点H ,作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ,交x 轴于点E ,求PHM 的周长的最大值;(3)在(2)的条件下,如图2,在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ,过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ,使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似?如果存在,请直接写出点G 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)1a =,3b =−,=1y x −−(2)4+(3)存在,点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用,掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式,列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键.(1)先求得C 的坐标,从而得到点B 的坐标,设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−,将点C 的坐标代入求解即可;先求得抛物线的对称轴,从而得到点()3,4D −,然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−;(2)求得45BAD ∠=︒,接下来证明PMD △为等腰直角三角形,所当PM 有最大值时三角形的周长最大,设()2,34P a a a −−,()1M a −−,则223PM aa =−++,然后利用配方可求得PM 的最大值,最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可;(3)当90EGN ∠=︒时,如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时,则AOC ∽EGN △,设点G 的坐标为(),0a ,则()2,34N a a a −−,则1EG a =−,234NG aa =−++,然后根据题意列方程求解即可.【解析】(1)点A 的坐标为()1,0−,1OA ∴=.令0x =,则4y =−,()0,4C ∴−,4OC =,OC OB =Q , 4OB ∴=,()4,0B ∴,设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−,将0x =,4y =−代入得:44a −=−,解得1a =,∴抛物线的解析式为234y x x =−−;1a ∴=,3b =−; 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯,()0,4C −,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,()3,4D ∴−;设直线AD 的解析式为y kx b =+.将()1,0A −、()3,4D −代入得:034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩,解得1k =−,1b =-,∴直线AD 的解析式=1y x −−;(2)直线AD 的解析式=1y x −−,∴直线AD 的一次项系数1k =−,45BAD ∴∠=︒. PM 平行于y 轴,90AEP ∴∠=︒,45PMH AME ∴∠=∠=︒.MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=. 设()2,34P a a a −−,则(),1M a a −−, 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+.∴当1a =时,PM 有最大值,最大值为4.MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+(3)在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ,过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ,使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似;理由如下:设点G 的坐标为(),0a ,则()2,34N a a a −−①如图2.1,若OA EG OC GN = 时,AOC ∽EGN △. 则 211344a a a −=−++,整理得:280a a +−=.得:a =负值舍去),∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭; ②如图2.2,若OA GN OC EN =时,AOC ∽NGE ,则21434a a a −=−++,整理得:2411170a a −−=,得:a =负值舍去),∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭, 综上所述,点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭. 3.(2024·重庆·一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −,()5,0B ,与y 轴交于点C ,连接BC ,AC .(1)求抛物线的表达式;(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点,过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作PE x 轴交抛物线于点E,求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标; (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ,将抛物线沿射线CAy ',新抛物线y '与y 轴交于点M ,新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ,连接AM ,MN ,点R 在直线BC 上,连接QR .当QR 与AMN 一边平行时,直接写出点R 的坐标,并写出其中一种符合条件的解答过程.【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时,PE的最大值,15,416P ⎛ ⎝⎭, (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(.【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式即可;(2)先求得2y x =2x =,过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ,利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽,得PF DP BC OB =即PF PD=,从而得PF =,求出设直线BC的解析式后,设2,P t ⎛+ ⎝,则,F t ⎛+ ⎝,从而2PF =+,当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−,从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭,利用二次函数的性质即可求解;当点P 在E 点左侧时:442PE t t t =−−=−时,同理可求.然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. (3)先求得1OA=,OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ,过点P 作PW ⊥直线2x =,则AOC PWH ∽,得1OA OC AC WP HW PH ====,进而得平移后的抛物线2y x +'=,从而求得()1,0N,M ⎛ ⎝⎭,然后分QR AM ∥,QR MN ∥,QR AN ∥三种情况,利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解.【解析】(1)解:∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −,()5,0B 两点,代入坐标得:02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩,解得:a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++(2)解:∵)2225555y x x x =−+=−−+,∴2y x =2x=,顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ,当0x =时,200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴,PD BC ⊥,x 轴y ⊥轴,∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒,,∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽,∴PF DP BC OB =即PF PD =,∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ,设直线BC :y kx b =+,把(C ,()5,0B 代入得:05k b b =+⎧⎪=,解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩, ∴直线BC:y =设2,P t ⎛ ⎝,则,F t ⎛+ ⎝,∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝,∵2y x =2x =,PE x 轴,∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时:()424PE t t t =−−=−,当24PE t =−时:∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时,的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴154P ⎛ ⎝⎭; 当点P 在E 点左侧时:442PE t t t =−−=−时,∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭, ∴当54t =时,的最大值.2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭,∵> 综上所诉,当点P 在E 点右侧时:即154t =时,的最大值,154P ⎛ ⎝⎭, (3)解:设直线AC :y mx n =+,把()1,0A −,(C , ∴1OA =,OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P , 过点P 作PW ⊥直线2x =,则AOC PWH ∽,∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =,HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭,∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++', ∴()1,0N令0x =,y '=,∴M ⎛ ⎝⎭ 如图,当QR AM ∥时,设直线AM 的解析式为:y px q =+,把M ⎛ ⎝⎭,()1,0A −代入得:0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴直线AM的解析式为:y =, ∴设直线QR的解析式为:y x n =∵(C ,Q 和C 关于2x =对称,∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +,解得n =,∴直线QR的解析式为:y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC:y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得:当QR MN ∥时,6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时,(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式,勾股定理,抛物线的性质,抛物线平移,一次函数的平移,相似三角形的判定及性质,图形与坐标,掌握待定系数法求抛物线解析式,抛物线的性质,抛物线平移,相似三角形的判定及性质,图形与坐标,利用辅助线画出准确图形是解题关键.题型2:最值问题4.(2024·安徽合肥·二模)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −,()3,0B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC .(1)求a ,b 的值;(2)点M 为线段BC 上一动点(不与B ,C 重合),过点M 作MP x ⊥轴于点P ,交抛物线于点N . (ⅰ)如图1,当3PA PB=时,求线段MN 的长; (ⅱ)如图2,在抛物线上找一点Q ,连接AM ,QN ,QP ,使得PQN V 与APM △的面积相等,当线段NQ 的长度最小时,求点M 的横坐标m 的值.【答案】(1)1a =,2b =−(2)(ⅰ)2MN =;(ⅱ)m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质,掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键.(1)运用待定系数法求函数解析式即可;(2)(ⅰ)先计算BC 的解析式,然后设(),3M m m −,则3PM PB m ==−,1PA m =+,根据题意得到方程133m m +=−求出m 值,即可求出MN 的长;(ⅱ)作QR PN ⊥于点R ,由(ⅰ)可得1PA m =+,3PB PM m =−−,223PN m m =−++,然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况,根据勾股定理解题即可.【解析】(1)由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩,解得12a b =⎧⎨=−⎩;(2)(ⅰ)当0x =时,3y =−,∴()0,3C −,设直线BC 为3y kx =−,∵点()3,0B ,∴330k −=,解得1k =,∴直线BC 为3y x =−,设(),3M m m −,则3PM PB m ==−,1PA m =+, ∵3PA PB =, ∴133m m +=−,解得2m =,经检验2m =符合题意,当2m =时,222233y =−⨯−=−, ∴3PN =,31PM PB m ==−=,∴2MN =;(ⅱ)作QR PN ⊥于点R ,由(ⅰ)可得1PA m =+,3PB PM m =−−,223PN m m =−++,PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅,APM △的面积为()()1312m m −+,∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+,解得1QR =;当点Q 在PN 的左侧时,如图1,Q 点的横坐标为1m QR m −=−,纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−,∴R 点的坐标为()2,4m mm−,∵N 点坐标为()2,23m mm −−,∴32RN m =−,∴()22231NQ m =−+,∴当32m =时,NQ 取最小值;当点Q 在PN 的右侧时,如图2,Q 点的横坐标为1m QR m +=+,纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−,∴R 点的坐标为()2,4m m−,∵N 点的坐标为()2,23m mm −−,∴21RN m =−, ∴()222211NQ m =−+,∴当12m =时,NQ 取最小值.综上,m 的值为32或12.。
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案](总11页)-本页仅作为预览文档封面,使用时请删除本页-中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,4-).(1)求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P ,使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.练习:1. 如图.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-2,2),点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E . (1)求点E 的坐标;(2)求抛物线的函数解析式; (3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与O 、B 重合),直线EF 与抛物线交与M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求∆BON 的面积的最大值,并求出此时点N 的坐标;2. 如图,已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式;(2)设),(y x P (0>x )是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF .若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围;(3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值.二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图,对称轴为直线x =-1的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(-3,0). (1)求点B 的坐标;(2)已知a =1,C 为抛物线与y 轴的交点.①若点P 在抛物线上,且S △POC =4S △BOC ,求点P 的坐标;②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴,QD 交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值. OABP EQ FxyEN MDCBAOyx练习:1. 如图, Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,A 、B 两点的坐标分别为(3-,0)、(0,4),抛物线223y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52x =上. (1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试判断点C 和点D 是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l .求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标.三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图,已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线过点M (﹣2,﹣2),求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,解答下列问题;①求出△BCE 的面积;②在抛物线的对称轴上找一点H ,使CH+EH 的值最小,直接写出点H 的坐标.练习:1. 如图,已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A (-1, 0)和点B (0,-5).(1)求该二次函数的解析式;(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ,使得△ABP(3)在(2)的条件下,在x 轴上找一点M ,使得△APM 条件的点M 的坐标.2. 如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G .(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标;(2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出H 的坐标;(3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△EFK 的面积最大?并求出最大面积.四、抛物线与等腰三角形例题:已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线l上的一个动点,当△P AC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.练习:1. .如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线12 x=-(1)求抛物线的解析式;(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.2. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B 三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.3. 如图,已知抛物线于x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3). (1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形,若存在,求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由:(3)若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。
中考二次函数各类压轴题整理(全)
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题线段最值类1、如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).①求抛物线的解析式及顶点D的坐标;②判断△ABC的形状,证明你的结论;③点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.2、如图1,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,2),此抛物线的对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0).(1)求B点坐标以及△ABC的面积;(2)求抛物线的解析式;(3)过点C作x轴的平行线交此抛物线的对称轴于点D,你能判断四边形ABDC是什么四边形吗?并证明你的结论;(4)若一个动点P自OC的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点C,求使点P运动的总路径(ME+EF+FC)最短的点E、F的坐标,并求出这个最短总路径的长.面积类1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M 的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由.2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标.3、抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)连结CA,CB,对称轴x=1与线段AB交于点D,求△CAB的铅垂高CD及S △CAB ;(3)如图2,点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,是否存在一点P,使S △PAB = S△CAB ?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.4、如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D. E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?并求出最大面积.平行四边形类1、如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MOA的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出当m为何值时,S有最大值,这个最大值是多少?(3)若点Q是直线y=-x上的动点,过Q做y轴的平行线交抛物线于点P,判断有几个Q能使以点P,Q,B,O为顶点的四边形是平行四边形的点,直接写出相应的点Q的坐标.3、已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.(1)求线段AM的长;(2)求这个二次函数的解析式;(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.4、将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图所示.(1)请直接写出抛物线c2的表达式;(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D,E.①用含m的代数式表示点A和点E的坐标;②在平移过程中,是否存在以点A,M,E为顶点的三角形是直角三角形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B 的两条性质.5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.(1)求抛物线顶点A的坐标;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD 的形状;(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.直角三角形类如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0), C(0,-3)两点与x轴交于另一点B(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.相似三角形类如图,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C。
2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)
2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数2y x bx c =-++.(1)当4,3b c ==时,①求该函数图象的顶点坐标.②当13x -≤≤时,求y 的取值范围.(2)当0x ≤时,y 的最大值为2;当0x >时,y 的最大值为3,求二次函数的表达式.2.(2023·浙江·统考中考真题)已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数,0)a ≠的图像上.(1)当1m =-时,求a 和b 的值;(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上,当21m -<<-时,求n 的取值范围;(3)求证:240b a +=.5(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB 的面积;(3)P 是抛物线上的一点,且在第一象限内,若ACO PBC ∠=∠6.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点M ,使得ADM △是以若不存在,请说明理由;(3)以点B 为圆心,画半径为2的圆,点P 为7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B (点A 在点B 的左侧),直线l 是对称轴.点P 在函数图像上,其横坐标大于4,连接,PA PB ,过点P 作PM l ⊥,垂足为M ,以点M 为圆心,作半径为r 的圆,PT 与M 相切,切点为T .(1)求点,A B 的坐标;(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等,且M 不经过点()3,2,求PM 长的取值范围.8.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点()0,0O ,()10,0E ,矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧),点C ,D 在抛物线上,设(),0B t ,当2t =时,4BC =.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t 为何值时,矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ,H ,且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时,求抛物线平移的距离.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ,B ,C 重合),作①如图,若点P 在第三象限,且tan 2CPD ∠=,求点②直线PD 交直线BC 于点E ,当点E 关于直线PC 周长.10.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,抛物线(1)求抛物线解析式及B ,(2)以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11.(2023·四川达州·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -.(1)求抛物线的解析式;(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点,求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标;(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点,点N 为坐标平面内一点,是否存在以BC 为边,点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ,B ,()0,6C 三点,其对称轴为2x =.(1)求该抛物线的解析式;(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF 分别与y 轴,直线BC 交于点D ,E .①当CD CE =时,求CD 的长;②若CAD ,CDE ,CEF △的面积分别为1S ,2S ,3S ,且满足1322S S S +=,求点F 的坐标.(1)求此抛物线的解析式.(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值.∠的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差.(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式;(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PD(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以Q15.(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点,与y 轴交于点C .直线33y x =-+过抛物线的顶点P .(1)求抛物线的函数解析式;(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ,与直线BC 交于点F .①当EF 取得最大值时,求m 的值和EF 的最大值;②当EFC 是等腰三角形时,求点E 的坐标.16.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -,与y 轴交于点(0,1)A ,直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ,C 两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形,求点B 的坐标;(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线,交直线AB 于点D ,交直线AC 于点E .试探究:是否存在常数m ,使得OD OE ⊥始终成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.(1)如图2,若抛物线经过原点O .①求该抛物线的函数表达式;②求BE EC的值.(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等?若能,求符合条件的点P 的横坐标;若不能,试说明理由.(1)求这个二次函数的表达式;(2)在二次函数图象上是否存在点P ,使得由;(3)点Q 是对称轴l 上一点,且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当:3:5BM MQ =时,求点N 的坐标;(3)如图2,当点Q 恰好在y 轴上时,P 为直线1l 下方的抛物线上一动点,连接设OQE 的面积为1S ,PQE 的面积为2S .求21S S 的最大值.(1)求抛物线的表达式;(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC标及PDDB的最大值;(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连接PC,将好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.33(1)求点,,D E C 的坐标;(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接①求证:DFC △是直角三角形;②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标.28.(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 在y 轴正半轴上.(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a ≠)的图象上.①=a ________;②如图1,已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上,且AD y ⊥轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上,点B 、D 在y 轴的同侧,且点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,试探究n m -是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a >)的图象上,点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,直接写出m 、n 满足的等量关系式.(1)请求出抛物线1Q 的表达式.(2)如图1,在y 轴上有一点()0,1D -,点E 在抛物线1Q 上,点F 为坐标平面内一点,是否存在点边形DAEF 为正方形?若存在,请求出点,E F 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线1Q 向右平移2个单位,得到抛物线2Q ,抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线11:y OP y x x =交BF 于点G ,求BPG BOGS S △△的最大值;(3)如图2,四边形OBMF 为正方形,PA 交y 轴于点E ,BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标.31.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点,并交x 轴于另一点B ,点M 是抛物线的顶点,直线AM 与轴交于点D .(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H 是x 轴上一动点,分别连接MH ,DH ,求MH DH +的最小值;(3)若点P 是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q ,使得以D ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接..写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.32.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -,(2,0)B 和(0,2)C ,连接BC ,点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点,过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ,交x 轴于点N .(1)直接写出....抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图2,连接OM ,当OCM 为等腰三角形时,求m 的值;(3)当P 点在运动过程中,在y 轴上是否存在点Q ,使得以O ,P ,Q 为顶点的三角形与以B ,C ,N 为顶点的三角形相似(其中点P 与点C 相对应),若存在,直接写出....点P 和点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点交x轴于点D,求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证:23DO EO =.②当点E 在线段OB 上,且BE =35.(2023·山西·统考中考真题)如图,二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标;(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m .①当12PD OC =时,求m 的值;②当点P 在直线AB 上方时,连接OP ,过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ,36.(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点(A 在B 的左边),交y 轴于点C .(1)直接写出,,A B C 三点的坐标;(2)如图(1),作直线()04=<<x t t ,分别交x 轴,线段BC ,抛物线1C 于,,D E F 三点,连接CF .若BDE 与CEF △相似,求t 的值;(3)如图(2),将抛物线1C 平移得到抛物线2C ,其顶点为原点.直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点,过OG 的中点H 作直线MN (异于直线OG )交抛物线2C 于,M N 两点,直线MO 与直线GN 交于点P .问点P 是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.(1)直接判断AOB 的形状:AOB 是_________三角形;(2)求证:AOE BOD △≌△;(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >.将经过B ,C 两点的抛物线21y ax =物线2y .①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点,求t 的值;(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点,当PAC △(3)如图2,取线段OC 的中点D ,在抛物线上是否存在点若不存在,请说明理由.(1)直接写出结果;b =_____,c =_____,点A 的坐标为_____,tan ABC ∠=______;(2)如图1,当2PCB OCA ∠=∠时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 在y 轴负半轴上,OD OB =,点Q 为抛物线上一点,90QBD ∠=︒,点E ,F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点,QE DF =,记BE Q F +的最小值为m .①求m 的值;②设PCB 的面积为S ,若214S m k =-,请直接写出k 的取值范围.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M 作x 轴的垂线,与拋物线交于点N .若04t <<,求NED 面积的最大值.(3)抛物线与y 轴交于点C ,点R 为平面直角坐标系上一点,若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R 的坐标.41.(2023·四川·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)已知E 为抛物线上一点,F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒,求出点F 的坐标;(3)如图2,P 为第一象限内抛物线上一点,连接运动过程中,12OM ON +是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.42.(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①,抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,,()6,0B ,与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是x 轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q 在抛物线上,若以点A ,C ,P ,Q 为顶点,AC 为一边的四边形为平行四边形时,求点Q 的坐标;(3)如图②,当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时(点P 与点A ,B 不重合),自点P 分别作∥PE BC ,交AC 于点E ,作PD BC ⊥,垂足为点D .当m 为何值时,PED V 面积最大,并求出最大值.43.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知:y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++.(1)若函数的图象与坐标轴...有两个公共点,且4a b =,则a 的值是___________;(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x 轴有两个公共点()2,0A -,()4,0B ,并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ,连接PA ,PB ,PC ,BC ,其中PA 交y 轴于点D ,交BC 于点E .设PBE △的面积为1S ,CDE 的面积为2S .①当点P 为抛物线顶点时,求PBC 的面积;②探究直线l 在运动过程中,12S S -是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.(1)求抛物线的解析式;(2)若32m<<,当m为何值时,四边形CDNP是平行四边形?(3)若32m<,设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的m值,使值;若不存在,请说明理由.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD 好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标;(3)如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点F ,过点F 作FG x ⊥轴,垂足为G ,求2FG +(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求AOD △周长的最小值;(3)如图2,过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ,连接,PA PB ,记PAD 与△为S ,当S 取得最大值时,求点P 的坐标,并求出此时S 的最大值.(1)求抛物线和一次函数的解析式.(2)点E ,F 为平面内两点,若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形,且点E 在点F 的左侧.F 两点是否存在?如果存在,请直接写出所有满足条件的点E 的坐标:如果不存在,请说明理由.(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ,此抛物线的图象与两点(M 点在N 点左侧).点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方.已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D .求m 为何值时,12CD PD +有最大值,最大值是多少?50.(2023·四川南充·统考中考真题)如图1,抛物线23y ax bx =++(0a ≠)与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,以B ,C ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,求点P 的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D ,对称轴与x 轴交于点E ,过点()1,3K 的直线(直线KD 除外)与抛物线交于G ,H 两点,直线DG ,DH 分别交x 轴于点M ,N .试探究EM EN ⋅是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.51.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ,且经过点()2,6C -.(1)求抛物线的表达式;(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ,射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ,点Q 关于x 轴的对称点为Q ',求APQ '△的面积;(3)点M 是y 轴上一动点,当AMC ∠最大时,求M 的坐标.52.(2023·四川广安·统考中考真题)如图,二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ,,交y 轴于点C ,点B 的坐标为()1,0,对称轴是直线=1x -,点P 是x 轴上一动点,PM x ⊥轴,交直线AC 于点M ,交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的解析式.(2)若点P 在线段AO 上运动(点P 与点A 、点O 不重合),求四边形ABCN 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.(3)若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.53.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:23L y x x =--的顶点为P .直线l 过点()()0,3M m m ≥-,且平行于x 轴,与抛物线1L 交于A B 、两点(B 在A 的右侧).将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ,抛物线2L 交y 轴于点C ,顶点为D .(1)当1m =时,求点D 的坐标;(2)连接BC CD DB 、、,若BCD △为直角三角形,求此时2L 所对应的函数表达式;(3)在(2)的条件下,若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动,且EF CD =,以EF 为一边作正方形EFGH ,连接CG ,写出CG 长度的最小值,并简要说明理由.54.(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P为第三象限内抛物线上一点,作直线AC,连接PA 标;(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N,求证:无论存在一点E,使得MEN∠为直角.(1)求a 的值.(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度,交抛物线于在定点D ,无论m 取何值时,都是点D 到直线B C ''的距离最大,若存在,请求出点请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P ,使45PBC ACO ∠+∠=︒,若存在,请求出直线58.(2023·湖北十堰·统考中考真题)已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ,与y 轴交于点A .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接,AB BC ,点D 在线段AB 上(与点,A B 不重合),点F 是OA 的中点,连接FD ,过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ,连接EF ,当DEF 面积是ADF △面积的3倍时,求点D 的坐标;(3)如图2,点P 是抛物线上对称轴右侧的点,(),0H m 是x 轴正半轴上的动点,若线段OB 上存在点G (与点,O B 不重合),使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠,求m 的取值范围.59.(2023·吉林长春·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++(b 是常数)经过点(2,2).点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -.其中0m <.(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;(2)当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分(包括P 、B 两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值.(4)当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC 、BO .若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点(不包括四边形AOBC 的顶点),设这两个交点分别为点E 、点F ,线段BO 的中点为D .当以点C 、E 、O 、D (或以点C 、F 、O 、D )为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值.60.(2023·湖北·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -,与y 轴交于点C ,顶点为D ,连接BC .(1)抛物线的解析式为__________________;(直接写出结果)(2)在图1中,连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ,求CEB ∠的度数;(3)如图2,若动直线l 与抛物线交于,M N 两点(直线l 与BC 不重合),连接,CN BM ,直线CN 与BM 交于点P .当MN BC ∥时,点P 的横坐标是否为定值,请说明理由.61.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与探究如图,抛物线2y x bx c =-++上的点A ,C 坐标分别为()0,2,()4,0,抛物线与x 轴负半轴交于点B ,点M 为y 轴负半轴上一点,且2OM =,连接AC ,CM .(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式;【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程:___________,___________【技能训练】(2)如图2,已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222(3)如图,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当⊥交BP于连接PB,过C作CE BC∵5OC OB ==,则OCB 为等腰直角三角形,由勾股定理得:52CB =,∵ACO PBC ∠=∠,∴tan tan ACO PBC ∠=∠,即1552CE CE CB ==,∴2CE =由CH BC ⊥,得90BCE ∠=︒,【点拨】此题是一次函数,二次函数及圆的综合题,掌握待定系数法求函数解析式,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,求两图象的交点坐标,正确掌握各知识点是解题的关键.A7.【答案】(1)()2,0,y=【分析】(1)令0(2)由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况:①如图1:当点M 在点N 的上方,即∴2683m m -+=,解得:m =∵4m >∴5m =;②如图2:当点M 在点N 的上方,即∴2681m m -+=,解得:m =∵4m >∴32m =±;综上,32PM m =-=或2.∴当M 不经过点()3,2时,1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关键.∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P..由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,=.∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形,∴P是AC的中点.33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法(一)
初中二次函数压轴题题型归纳及方法(一)初中二次函数压轴题题型归纳及方法常见的二次函数问题类型•求函数的零点或交点•求函数的最大值或最小值以及取值范围•求函数的对称轴•求函数的图像与坐标系的交点•求函数在某个区间的单调性•求函数的定义域和值域解决问题的方法1.求函数的零点或交点•将二次函数以f(x)=ax2+bx+c的形式表示,并令f(x)=0解方程即得到零点•求交点则可通过两个二次函数相交时相等的条件ax12+bx1+ c=ax22+bx2+c来解出•可以利用公式x1,2=−b±√b2−4ac2a 直接求出,但需要注意判别式的正负情况2.求函数的最值以及取值范围•可以通过求导数来得到函数的极值点,然后通过比较找到最值•如果函数的开口方向向上,最小值为f(−b2a),最大值不存在;开口方向向下,则最大值为f(−b2a),最小值不存在•取值范围就是函数的最值所在的值域3.求函数的对称轴•二次函数的对称轴为x=−b2a4.求函数的图像与坐标系的交点•可以通过将函数与坐标系的x和y轴交点代入函数,从而求出函数与坐标系的交点5.求函数在某个区间的单调性•先求出函数的导数,然后通过分析导数在该区间的符号变化情况,判断函数的单调性6.求函数的定义域和值域•定义域为一般情况下的实数集R,但也需要注意不能出现分母为0的情况•值域需要通过函数的开口方向和最值来判断注意事项•求解零点和交点时需要注意判别式的正负情况•求解最值时需要先求导数,并注意二次函数开口的方向•求解定义域和值域时需要注意不能出现分母为0的情况•求解单调性需要注意导数的符号变化情况•在解题过程中,需要注意符号的代数运算,以及代入值时需要注意计算过程中的精度问题例题分析已知二次函数f(x)=ax2+bx+c关于x=3对称,且f(1)=2,f(5)=8。
求该二次函数的解析式。
由对称性可得:f(x)−f(3)=a(x−3)2将f(1)=2,f(5)=8代入得:2−f(3)=a(1−3)2=4a8−f(3)=a(5−3)2=4a解方程得:a=1,b=−6,c=17因此,该二次函数的解析式为f(x)=x2−6x+17。
(完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ,直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系:(1)两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交⇔21k k ≠ (3)两直线重合⇔21k k =且21b b = (4)两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围;② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。
例:关于x 的一元二次方程()01222=-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
(方法同上)例:若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。
解:当0=m 时,1=x ;当0≠m 时,()032≥-=∆m ,()m m x 213∆±-=,mx 321-=、12=x ;综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题,举例如下:已知抛物线22-+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122;∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ,解得:⎩⎨⎧=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。
二次函数压轴题题型总结(有答案)
二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标(如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等)。
2.会利用函数性质和图像3.相关知识:如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。
图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。
一些方法:如相似、三角函数、解方程。
一些转换:如轴对称、平移、旋转。
二、典型例题:(一)、求解析式可参考一下部分试题的第一问。
(二)、二次函数的相关应用第一类:面积问题例题. (2012•莱芜)如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式;(抛物线的解析式:y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.)(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;练习:1. (2014•兰州)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第二类:.构造问题(1)构造线段(2014•枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).(1)求∠OBC的度数;(2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.(2)构造相似三角形(2013•莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式;(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)构造平行四边形(2014•莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D 两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.(1)求抛物线的表达式;(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.造等腰三角形(2013•泰安)如图,抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),(4)构与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)(1)求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.(5)构造直角三角形(2014•四川内江)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.(1)求抛物线的解析式;(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.(6)构造角相等(2014•娄底)如图,抛物线y=x2+mx+(m﹣1)与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C(0,c),且满足x12+x22+x1x2=7.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.(7)构造菱形(2013•枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.(8)构造对称点(11莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.AOByx(9)构造平行线:(2014•山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,△ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.(1)求抛物线的表达式;(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED△AC的理由.(10)构造垂直:(2014宜宾市)如图,已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0,–1),与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式;(2)判断△MAB的形状,并说明理由;(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连结MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由.(11)构造圆(2014年淄博)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.(1)使△APB=30°的点P有个;(2)若点P在y轴上,且△APB=30°,求满足条件的点P的坐标;(3)当点P在y轴上移动时,△APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时△APB最大的理由;若没有,也请说明理由.参考答案:(一)、求解析式(二)、二次函数的相关应用第一类:面积问题(2012•莱芜)解:(1)y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.yxOMDCBA第24题图(2)S△ACD=AD•CD=××2=2.(3)(2+,1﹣)、(2﹣,1+)、(1,2)或(4,﹣1).(2014兰州)解(1)y=﹣x2+x+2;(2)y=﹣(x﹣)2+,P1(,4),P2(,),P3(,﹣);(3)S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣(a﹣2)2+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E(2,1)9.第二类:.构造问题(1)构造线段(2014枣庄)(1)△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°.(2)P(2,﹣3).(3)线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣(x P﹣)2+,(1<x P≤3),当x P=时,线段PF长度最大为.(2)构造相似三角形(2013•莱芜)(1)y=.(2)DF的最大值为.此时D的坐标为().(3)存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.设P(m,).在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3NM,故此时满足条件的点不存在.②当点P在第三象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3NM,P的坐标为(﹣8,﹣15).③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,此时点P的坐标为(2,﹣).若PN=3NA,此时点P的坐标为(10,﹣39).综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣8,﹣15)、(2,﹣)、(10,﹣39).(3)构造平行四边形(2014•莱芜)解:(1)y=﹣x2+x.(2)存在.或或.(3)△S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=(1+t)(+t)﹣•t•t=﹣(t﹣1)2+当t=1时,S有最大值为.△S的最大值为.(4)构造等腰三角形PBE ABCS S=PBE S 12==-13x 2-232(5)构造直角三角形(2014•四川内江) (1)y=﹣x 2+x+4.(2)当t=1时,PQ 取到最大值,最大值为. (3)①当∠BAM=90°时,MH=11.M (,﹣11). ②当∠ABM=90°时,M (,9).综上所述:符合要求的点M 的坐标为(,9)和(,﹣11).(6)构造角相等(2014•娄底)解(1)依题意:x 1+x 2=﹣m ,x 1x 2=m ﹣1,∵x 1+x 2+x 1x 2=7,∴(x 1+x 2)2﹣x 1x 2=7,∴(﹣m )2﹣(m ﹣1)=7,即m 2﹣m ﹣6=0,解得m 1=﹣2,m 2=3,∵c=m ﹣1<0,∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3; (2)能如图,设p是抛物线上的一点,连接PO ,PC ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为D .若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为(0,﹣3)∴D 的坐标为(0,﹣)∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=,解得,x 1=,x 2=因此所求点P 的坐标是(,﹣),(,﹣)(7)构造菱形(2013•枣庄) 解:(1).(2)此时P 点的坐标为(,). (3) S 四边形ABPC =++==.易知,当x=时,四边形ABPC 的面积最大.此时P 点坐标为(,),四边形ABPC 的最大面积为.(8)构造对称点(11莱芜)(1)212y x x =-+。
二次函数压轴题型汇总-三年中考数学真题分项汇编(解析版)
二次函数压轴题型汇总一、单选题1.(浙江舟山2020年)已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时m≤y≤n,则下列说法正确的是()A.当n﹣m=1时,b﹣a有最小值B.当n﹣m=1时,b﹣a有最大值C.当b﹣a=1时,n﹣m无最小值D.当b﹣a=1时,n﹣m有最大值【答案】B【解析】【分析】①当b﹣a=1时,先判断出四边形BCDE是矩形,得出BC=DE=b﹣a=1,CD=BE=m,进而得出AC=n ﹣m,即tan=n﹣m,再判断出0°≤①ABC<90°,即可得出n﹣m的范围;①当n﹣m=1时,同①的方法得出NH=PQ=b﹣a,HQ=PN=m,进而得出MH=n﹣m=1,而tan①MHN=1b a,再判断出45°≤①MNH<90°,即可得出结论.【详解】解:①当b﹣a=1时,如图1,过点B作BC①AD于C,①①BCD=90°,①①ADE=①BED=90°,①①ADO=①BCD=①BED=90°,①四边形BCDE是矩形,①BC=DE=b﹣a=1,CD=BE=m,①AC=AD﹣CD=n﹣m,在Rt①ACB中,tan①ABC=ACBC=n﹣m,①点A,B在抛物线y=x2上,①0°≤①ABC<90°,①tan①ABC≥0,①n﹣m≥0,即n﹣m无最大值,有最小值,最小值为0,故选项C,D都错误;①当n﹣m=1时,如图2,过点N作NH①MQ于H,同①的方法得,NH=PQ=b﹣a,HQ=PN=m,①MH=MQ﹣HQ=n﹣m=1,在Rt①MHQ中,tan①MNH=1MHNH b a=-,①点M,N在抛物线y=x2上,①m≥0,当m=0时,n=1,①点N(0,0),M(1,1),①NH=1,此时,①MNH=45°,①45°≤①MNH<90°,①tan①MNH≥1,①1b a-≥1,当a,b异号时,且m=0,n=1时,a,b的差距是最大的情况,此时b -a=2,①b ﹣a 无最小值,有最大值,最大值为2,故选项A 错误;故选:B .【点睛】此题主要考查了二次函数的性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数,确定出①MNH 的范围是解本题的关键.2.(浙江湖州2021年)已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ,点()111,P x y ,()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点,记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S .有下列结论:①当122x x >+时,12S S >;①当122x x <-时,12S S <;①当12221x x ->->时,12S S >;①当12221x x ->+>时,12S S <.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】A【解析】【分析】通过1x 和2x 的不等关系,确定()111,P x y ,()222,P x y 在抛物线上的相对位置,逐一分析即可求解.【详解】解:①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ,①该抛物线对称轴为2x =,当122x x >+时与当122x x <-时无法确定()111,P x y ,()222,P x y 在抛物线上的相对位置,故①和①都不正确; 当12221x x ->->时,()111,P x y 比()222,P x y 离对称轴更远,且同在x 轴上方或者下方, ①12y y >,①12S S >,故①正确; 当12221x x ->+>时,即在x 轴上1x 到2的距离比2x 到2-的距离大,且都大于1,可知在x 轴上1x 到2的距离大于1,2x 到2的距离不能确定,所以无法比较()111,P x y 与()222,P x y 谁离对称轴更远,故无法比较面积,故①错误;故选:A .【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,掌握二次函数的对称性是解题的关键.二、解答题(共0分)3.(浙江嘉兴2021年)已知二次函数265y x x =-+-.(1)求二次函数图象的顶点坐标;(2)当14x ≤≤时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当3t x t +≤≤时,函数的最大值为m ,最小值为n ,m -n=3求t 的值.【答案】(1)()3,4;(2)函数的最大值为4,最小值为0;(3)33t =3【解析】【分析】(1)把二次函数265y x x =-+-配成顶点式即可得出结论;(2)利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值.(3)分t <0;03t ≤<;3t ≥三种情况,根据二次函数的性质和m -n=3列出关于t 的方程,解之即可.【详解】(1)①()226534y x x x =-+-=--+,①顶点坐标为()3,4. (2)①顶点坐标为()3,4,①当3x =时,4y =最大值,①当13x ≤≤时,y 随着x 的增大而增大,①当1x =时,0y =最小值.①当34x <≤时,y 随着x 的增大而减小,①当4x =时,3y =最小值.①当14x ≤≤时,函数的最大值为4,最小值为0.(3)当3t x t +≤≤时,对t 进行分类讨论.①当33t +<时,即,0t <,y 随着x 的增大而增大.当x t =时,265n t t =-+-.①()2246569m n t t t t -=-+--+-=-+.①693t -+=,解得1t =(不合题意,舍去).①当03t ≤<时,顶点的横坐标在取值范围内,①4m =.i )当302t ≤≤时,在x t =时,265n t t =-+-, ①()2246569m n t t t t -=--+-=-+.①2693t t -+=,解得133t =233t =.ii )当332t <<时在3x t =+时,24n t =-+, ①()2244m n t t -=--+=.①23t =,解得,13t =23t =-.①当3t ≥时,y 随着x 的增大而减小,当x t =时,265m t t =-+-,当3x t =+时,()()2236354n t t t =-+++-=-+,①()2265469m n t t t t -=-+---+=- ①693t -=,解得2t =(不合题意,舍去). 综上所述,33t =3【点睛】本题是二次函数综合题,考查抛物线的性质以及最值问题,有难度,并学会利用参数解决问题是解题的关键,属于中考常考题型.4.(2022年浙江舟山)已知抛物线1L :2(1)4y a x =+-(0a ≠)经过点(1,0)A .(1)求抛物1L 的函数表达式.(2)将抛物线1L 向上平移m (0m >)个单位得到抛物线2L .若抛物线2L 的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线1L 上,求m 的值.(3)把抛物线1L 向右平移n (0n >)个单位得到抛物线3L .已知点(8,)P t s -,(4,)Q t r -都在抛物线3L 上,若当6t >时,都有s r >,求n 的取值范围.【答案】(1)2()4y x =+-(2)4m =(3)3n >【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求解.(2)根据平移的性质即可求解.(3)根据平移的性质对称轴为直线1x n =-,10a =>,开口向上,进而得到点P 在点Q 的左侧,分两种情况讨论:①当P ,Q 同在对称轴左侧时,①当P ,Q 在对称轴异侧时,①当P ,Q 同在对称轴右侧时即可求解. (1)解:将(1,0)A 代入得:20(11)4a =+-,解得:1a =,①抛物线1L 的函数表达式:2()4y x =+-.(2)①将抛物线1L 向上平移m 个单位得到抛物线2L ,①抛物线2L 的函数表达式:2(1)4y x m =+-+.①顶点(1,4)m --+,①它关于O 的对称点为(1,4)m -,将(1,4)m -代入抛物线1L 得:40m -=,①4m =.(3)把1L 向右平移n 个单位,得3L :2(1)4y x n =+--,对称轴为直线1x n =-,10a =>,开口向上,①点(8,)P t s -,(4,)Q t r -,由6t >得:824t t -<<-,①点P 在点Q 的左侧,①当P ,Q 同在对称轴左侧时,14n t ->-,即3n t >-,①6t >,①3n >,①当P ,Q 在对称轴异侧时,①s r >,①1(8)4(1)n t t n --->---,解得:3n >,①当P ,Q 同在对称轴右侧时,都有s r <(舍去),综上所述:3n >.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换,熟练掌握待定系数法及平移的性质结,巧妙运用分类讨论思想是解题的关键.5.(2022年浙江温州)根据以下素材,探索完成任务. 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?素材1 图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20m ,拱顶离水面5m .据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8m 达到最高.素材2 为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m ;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.问题解决任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.任务2探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围. 任务3拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.【答案】任务一:见解析,2120y x =-;任务二:悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-;66x -≤≤;任务三:两种方案,见解析【解析】【分析】任务一:根据题意,以拱顶为原点,建立如图1所示的直角坐标系,待定系数法求解析式即可求解;任务二:根据题意,求得悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-,进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围;任务三:有两种设计方案,分情况讨论,方案一:如图2(坐标系的横轴,图3同),从顶点处开始悬挂灯笼;方案二:如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m ,根据题意求得任意一种方案即可求解.【详解】任务一:以拱顶为原点,建立如图1所示的直角坐标系,则顶点为(0,0),且经过点(10,5)-.设该抛物线函数表达式为2(0)y ax a =≠,则5100a -=,①120a =-, ①该抛物线的函数表达式是2120y x =-. 任务二:①水位再上涨1.8m 达到最高,灯笼底部距离水面至少1m ,灯笼长0.4m ,①悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-,①悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-.当 1.8y =-时,211.820x -=-,解得16x =或26x =-, ①悬挂点的横坐标的取值范围是66x -≤≤.任务三:有两种设计方案方案一:如图2(坐标系的横轴,图3同),从顶点处开始悬挂灯笼.①66x -≤≤,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ,①若顶点一侧挂4盏灯笼,则1.646⨯>,若顶点一侧挂3盏灯笼,则1.636⨯<,①顶点一侧最多可挂3盏灯笼.①挂满灯笼后成轴对称分布,①共可挂7盏灯笼.①最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 4.8-.方案二:如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m ,①若顶点一侧挂5盏灯笼,则0.8 1.6(51)6+⨯->,若顶点一侧挂4盏灯笼,则0.8 1.6(41)6+⨯-<,①顶点一侧最多可挂4盏灯笼.①挂满灯笼后成轴对称分布,①共可挂8盏灯笼.①最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 5.6-.【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据题意建立坐标系,掌握二次函数的性质是解题的关键.6.(浙江丽水2021年)如图,已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -.(1)求,b c 的值;(2)连结AB ,交抛物线L 的对称轴于点M .①求点M 的坐标;①将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L .过点M 作//MN y 轴,交抛物线1L 于点N .P 是抛物线1L 上一点,横坐标为1-,过点P 作//PE x 轴,交抛物线L 于点E ,点E 在抛物线L 对称轴的右侧.若10PE MN +=,求m 的值.【答案】(1)4,5--;(2)①(2,3)-;①1165-+. 【解析】【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可; (2)①求出直线AB 的解析式,抛物线的对称轴方程,代入求解即可;①根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式,再分三种情况进行求解即可.【详解】解:(1)把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++,得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩.解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩,b c ∴的值分别为4,5--.(2)①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠,把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式,得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩ AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-.由(1)得,抛物线L 的对称轴是直线2x =,当2x =时,53y x =-=-.①点M 的坐标是(2,3)-.①设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-, //MN y 轴,∴点N 的坐标是()22,9m -. ①点P 的横坐标为1,-①点P 的坐标是()21,6m m --, 设PE 交抛物线1L 于另一点Q ,①抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴,①根据抛物线的轴对称性,点Q 的坐标是()252,6m m m --.(i )如图1,当点N 在点M 下方,即06m <≤52(1)62PQ m m =---=-,()22396MN m m =---=-,由平移性质得,QE m =,①626PE m m m =-+=-10PE MN +=,①26610m m -+-=,解得12m =-(舍去),21m =.(ii )图2,当点N 在点M 上方,点Q 在点P 右侧, 63m ≤时,26,6PE m MN m =-=-,10PE MN +=,26610m m ∴-+-=, 解得11412m =(舍去),21412m =(舍去). (①)如图3,当点N 在点M 上方,点Q 在点P 左侧,即3m >时,2,6PE m MN m ==-,10PE MN +=,2610m m ∴+-=, 解得1165m --=,2165m -+=.综上所述,m 的值是1165-+. 【点睛】 本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点,数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键.7.(2020年浙江金华、丽水)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数21()42y x m =--+图象的顶点为A ,与y 轴交于点B ,异于顶点A 的点C (1,n )在该函数图象上.(1)当m=5时,求n 的值.(2)当n =2时,若点A 在第一象限内,结合图象,求当y 2≥时,自变量x 的取值范围.(3)作直线AC 与y 轴相交于点D .当点B 在x 轴上方,且在线段OD 上时,求m 的取值范围.【答案】(1)-4(2)1≤x ≤5(3)0≤m <1或1<m <2【解析】【分析】1)利用待定系数法求解即可.(2)求出2y =时,x 的值即可判断.(3)由题意点B 的坐标为21(0,4)2m ,求出几个特殊位置m 的值即可判断.【详解】解:(1)当5m =时,21(5)42y x =--+, 当1x =时,214442n .(2)当2n =时,将(1,2)C 代入函数表达式21()42y x m =--+,得212(1)42m , 解得3m =或1-(舍弃),∴此时抛物线的对称轴3x =,根据抛物线的对称性可知,当2y =时,1x =或5,x 的取值范围为15x .(3)点A 与点C 不重合,1m ∴≠,抛物线的顶点A 的坐标是(,4)m ,∴抛物线的顶点在直线4y =上,当0x =时,2142y m ,∴点B 的坐标为21(0,4)2m , 抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置,m 逐渐减小,点B 沿y 轴向上移动, 当点B 与O 重合时,21402m , 解得22m =22-当点B 与点D 重合时,如图2,顶点A 也与B ,D 重合,点B 到达最高点,∴点(0,4)B ,21442m ,解得0m =,当抛物线从图2的位置继续向左平移时,如图3点B 不在线段OD 上,B ∴点在线段OD 上时,m 的取值范围是:01m <或122m .【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题.8.(2020年浙江台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1).科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H (单位:m ),如果在离水面竖直距离为h (单校:cm )的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s (单位:cm )与h 的关系为s 2=4h (H—h ).应用思考:现用高度为20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高h cm 处开一个小孔.(1)写出s 2与h 的关系式;并求出当h 为何值时,射程s 有最大值,最大射程是多少?(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a ,b ,要使两孔射出水的射程相同,求a ,b 之间的关系式;(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm ,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.【答案】(1)224(10)400s h =--+,当10h =时,max 20s =;(2)a b =或20a b +=;(3)垫高的高度为16cm ,小孔离水面的竖直距离为18cm【解析】【分析】(1)将s 2=4h(20-h)写成顶点式,按照二次函数的性质得出s 2的最大值,再求s 2的算术平方根即可; (2)设存在a ,b ,使两孔射出水的射程相同,则4a(20-a)=4b(20-b),利用因式分解变形即可得出答案; (3)设垫高的高度为m ,写出此时s 2关于h 的函数关系式,根据二次函数的性质可得答案.【详解】解:(1)①s 2=4h(H -h),①当H=20时,s 2=4h(20-h)=-4(h -10)2+400,①当h=10时,s 2有最大值400,①当h=10时,s 有最大值20cm .①当h 为何值时,射程s 有最大值,最大射程是20cm ;故答案为:最大射程是20cm.(2) ①s 2=4h (20-h ),设存在a ,b ,使两孔射出水的射程相同,则有:4a (20-a )=4b (20-b ),①20a -a 2=20b -b 2,①a 2-b 2=20a -20b ,①(a +b )(a -b )=20(a -b ),①(a -b )(a +b -20)=0,①a -b =0或a +b -20=0,①a =b 或a +b =20.故答案为:a =b 或a +b =20. (3)设垫高的高度为m ,则222204(20)4()(20)2+=+-=--++m s h m h h m ①当202+=m h 时,max 20=2016=++s m ①16m =时,此时20182+==m h ①垫高的高度为16cm ,小孔离水面的竖直距离为18cm .故答案为:垫高的高度为16cm ,小孔离水面的竖直距离为18cm.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键. 9.(2020年浙江绍兴)如图1,排球场长为18m ,宽为9m ,网高为2.24m .队员站在底线O 点处发球,球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A 时,高度为2.88m .即BA =2.88m .这时水平距离OB =7m ,以直线OB 为x 轴,直线OC 为y 轴,建立平面直角坐标系,如图2. (1)若球向正前方运动(即x 轴垂直于底线),求球运动的高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式(不必写出x 取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由;(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P (如图1,点P 距底线1m ,边线0.5m ),问发球点O 在2取1.4)【答案】(1)这次发球过网,但是出界了,理由详见解析;(2)发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【解析】【分析】(1)求出抛物线表达式,再确定x=9和x=18时,对应函数的值即可求解;(2)当y=0时,y=﹣150(x﹣7)2+2.88=0,解得:x=19或﹣5(舍去﹣5),求出PQ=2=8.4,即可求解.【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣7)2+2.88,将x=0,y=1.9代入上式并解得:a=﹣150,故抛物线的表达式为:y=﹣150(x﹣7)2+2.88;当x=9时,y=﹣150(x﹣7)2+2.88=2.8>2.24,当x=18时,y=﹣150(x﹣7)2+2.88=0.64>0,故这次发球过网,但是出界了;(2)如图,分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q,在Rt①OPQ中,OQ=18﹣1=17,当y=0时,y=﹣150(x﹣7)2+2.88=0,解得:x=19或﹣5(舍去﹣5),①OP=19,而OQ=17,故PQ=2=8.4,①9﹣8.4﹣0.5=0.1,①发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式,利用自变量求对应的函数值的计算,勾股定理解直角三角形,二次函数的实际应用,正确理解题意,明确“能否过网”,“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键. 10.(浙江舟山2020年)在篮球比赛中,东东投出的球在点A处反弹,反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系),抛物线顶点为点B.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)当球运动到点C时被东东抢到,CD①x轴于点D,CD=2.6m.①求OD的长.①东东抢到球后,因遭对方防守无法投篮,他在点D处垂直起跳传球,想将球沿直线快速传给队友华华,目标为华华的接球点E(4,1.3).东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式h1=﹣2(t﹣0.5)2+2.7(0≤t≤1);小戴在点F(1.5,0)处拦截,他比东东晚0.3s垂直起跳,其拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线的形状相同).东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E?若能,东东应在起跳后什么时间范围内传球?若不能,请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不计).【答案】(1)y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32;(2)①1m;①能,133285 10t-<<【解析】【分析】(1)设y=a(x﹣0.4)2+3.32(a≠0),将A(0,3)代入求解即可得出答案;(2)①把y=2.6代入y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32,解方程求出x,即可得出OD=1m;①东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2,设MD=h1,NF=h2,当点M,N,E三点共线时,过点E作EG①MD于点G,交NF于点H,过点N作NP①MD于点P,证明①MPN①①NEH,得出MP NH PN HE,则NH=5MP.分不同情况:(①)当0≤t≤0.3时,(①)当0.3<t≤0.65时,(①)当0.65<t≤1时,分别求出t 的范围可得出答案.【详解】解:(1)设y=a(x﹣0.4)2+3.32(a≠0),把x=0,y=3代入,解得a=﹣2,①抛物线的函数表达式为y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32.(2)①把y=2.6代入y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32,化简得(x﹣0.4)2=0.36,解得x1=﹣0.2(舍去),x2=1,①OD=1m.①东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E.由图1可得,当0≤t≤0.3时,h2=2.2.当0.3<t≤1.3时,h2=﹣2(t﹣0.8)2+2.7.当h1﹣h2=0时,t=0.65,东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2,设MD=h1,NF=h2,当点M,N,E三点共线时,过点E作EG①MD于点G,交NF于点H,过点N作NP①MD于点P,①MD ①NF ,PN ①EG ,①①M =①HEN ,①MNP =①NEH ,①①MPN ①①NEH ,①MP NH PN HE=, ①PN =0.5,HE =2.5,①NH =5MP .(①)当0≤t ≤0.3时,MP =﹣2(t ﹣0.5)2+2.7﹣2.2=﹣2(t ﹣0.5)2+0.5, NH =2.2﹣1.3=0.9.①5[﹣2(t ﹣0.5)2+0.5]=0.9,整理得(t ﹣0.5)2=0.16,解得1910t =(舍去),1110t =, 当0≤t ≤0.3时,MP 随t 的增大而增大,①131010t <≤. (①)当0.3<t ≤0.65时,MP =MD ﹣NF =﹣2(t ﹣0.5)2+2.7﹣[﹣2(t ﹣0.8)2+2.7]=﹣1.2t +0.78, NH =NF ﹣HF =﹣2(t ﹣0.8)2+2.7﹣1.3=﹣2(t ﹣0.8)2+1.4, ①﹣2(t ﹣0.8)2+1.4=5×(﹣1.2t +0.78),整理得t 2﹣4.6t +1.89=0, 解得,123285t +=,223285t -= 当0.3<t ≤0.65时,MP 随t 的增大而减小, ①32328510t -<<.(①)当0.65<t≤1时,h1<h2,不可能.给上所述,东东在起跳后传球的时间范围为123285 10t-<<【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及能将实际问题转化为二次函数问题求解.11.(浙江衢州2020年)如图1,在平面直角坐标系中,①ABC的顶点A,C分别是直线y=﹣83x+4与坐标轴的交点,点B的坐标为(﹣2,0),点D是边AC上的一点,DE①BC于点E,点F在边AB上,且D,F 两点关于y轴上的某点成中心对称,连结DF,EF.设点D的横坐标为m,EF2为l,请探究:①线段EF长度是否有最小值.①①BEF能否成为直角三角形.小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题.(1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到l随m变化的一组对应值,并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图2).请你在图2中连线,观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别.(2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围,并求出线段EF长度的最小值.(3)小明通过观察,推理,发现①BEF能成为直角三角形,请你求出当①BEF为直角三角形时m的值.【答案】(1)连线见解析,二次函数;(2)22(3)m=0或m=4 3【解析】【分析】(1)根据描点法画图即可;(2)过点F,D分别作FG,DH垂直于y轴,垂足分别为G,H,证明Rt①FGK①Rt①DHK(AAS),由全等三角形的性质得出FG=DH,可求出F(﹣m,﹣2m+4),根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8(m﹣1)2+8,由二次函数的性质可得出答案;(3)分三种不同情况,根据直角三角形的性质得出m的方程,解方程求出m的值,则可求出答案.【详解】解:(1)用描点法画出图形如图1,由图象可知函数类别为二次函数.(2)如图2,过点F,D分别作FG,DH垂直于y轴,垂足分别为G,H,则①FGK=①DHK=90°,记FD交y轴于点K,①D点与F点关于y轴上的K点成中心对称,①KF=KD,①①FKG=①DKH,①Rt①FGK①Rt①DHK(AAS),①FG=DH,①直线AC的解析式为y=﹣83x+4,①x=0时,y=4,①A(0,4),又①B(﹣2,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,①204k bb⎧-+=⎨=⎩,解得24kb,①直线AB的解析式为y=2x+4,过点F作FR①x轴于点R,①D点的横坐标为m,①F(﹣m,﹣2m+4),①ER=2m,FR=﹣2m+4,①EF2=FR2+ER2,①l=EF2=8m2﹣16m+16=8(m﹣1)2+8,令﹣83x+4=0,得x=32,①0≤m≤32.①当m=1时,l的最小值为8,①EF的最小值为2.(3)①①FBE为定角,不可能为直角.①①BEF=90°时,E点与O点重合,D点与A点,F点重合,此时m=0.①如图3,①BFE=90°时,有BF2+EF2=BE2.由(2)得EF2=8m2﹣16m+16,又①BR=﹣m+2,FR=﹣2m+4,①BF2=BR2+FR2=(﹣m+2)2+(﹣2m+4)2=5m2﹣20m+20,又①BE2=(m+2)2,①(5m2﹣20m+8)+(8m2﹣16m+16)2=(m+2)2,化简得,3m2﹣10m+8=0,解得m1=43,m2=2(不合题意,舍去),①m=43.综合以上可得,当①BEF为直角三角形时,m=0或m=43.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用,考查了描点法画函数图象,待定系数法,全等三角形的判定与性质,坐标与图形的性质,二次函数的性质,勾股定理,中心对称的性质,直角三角形的性质等知识.准确分析给出的条件,结合一次函数的图象进行求解,熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键..12.(2020年浙江湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB.(1)如图1,当AC①x轴时,①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式;①若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c.(2)如图2,若b=﹣2,BCAC =35,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)①y=﹣x2﹣2x+1;①证明见解析;(2)存在这样的点A,A(﹣52,14)【解析】【分析】(1)①由点A(﹣2,1)得到C(0,1),利用待定系数法即可求解;①作DE ①x 轴于E ,交AB 于点F ,利用顶点坐标及点C 的坐标求得DF =24b ,利用“AAS”证得①AFD ①①BCO ,得到DF =OC ,即可证得结论;(2)由题意知顶点坐标D (﹣1,c +1),设点A (m ,﹣m 2﹣2m +c ),利用“AAS”证得①AFD ①①BCO ,作如图的辅助线,证得①ANF ①①AMC ,结合已知BC AC =35,求得5m 2=-,利用比例线段即可求解. 【详解】(1)①①AC ①x 轴,点A (﹣2,1),①C (0,1),将点A (﹣2,1),C (0,1)代入抛物线解析式中,得: 4211b c c --+=⎧⎨=⎩, ①21b c =-⎧⎨=⎩, ①抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +1;①如图1,过点D 作DE ①x 轴于E ,交AB 于点F ,①AC ①x 轴,①EF =OC =c ,①点D 是抛物线的顶点坐标,①D (2b ,24b c +), ①DF =DE ﹣EF =24b c c +-=24b , ①四边形AOBD 是平行四边形,①AD =OB ,AD ①OB ,①①DAF =①OBC ,①①AFD=①BCO=90°,①①AFD①①BCO(AAS),①DF=OC,①24b=c,即b2=4c;(2)如图2,①b=﹣2.①抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+c,①顶点坐标D(﹣1,c+1),假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形,设点A(m,﹣m2﹣2m+c)(m<0),过点D作DE①x轴于点E,交AB于F,①①AFD=①EFC=①BCO,①四边形AOBD是平行四边形,①AD=BO,AD①OB,①①DAF=①OBC,①①AFD①①BCO(AAS),①AF=BC,DF=OC,过点A作AM①y轴于M,交DE于N,①DE①CO,①①ANF①①AMC,①AN FN AF BCAM CM AC AC====35,①AM=﹣m,AN=AM﹣NM=﹣m﹣1,①135mm--=-,①5m2=-,①点A的纵坐标为﹣(﹣52)2﹣2×(﹣52)+c=c﹣54<c,①AM①x轴,①点M的坐标为(0,c﹣54),N(﹣1,c﹣54),①CM=c﹣(c﹣54)=54,①点D的坐标为(﹣1,c+1),①DN=(c+1)﹣(c﹣54)=94,①DF=OC=c,①FN=DN﹣DF=94﹣c,①FNCM=35,①934554c-=,①c=32,①c﹣54=14,①点A纵坐标为14,①A(﹣52,14),①存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形.【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式,平行四边形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质等,求得D的坐标是解题的关键.13.(2022·浙江台州)如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度3mDE=,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ,高出喷水口0.5m ,灌溉车到l 的距离OD 为d (单位:m ).(1)若 1.5h =,0.5m EF =;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC ;①求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标;①要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d 的取值范围;(2)若1m EF =.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h 的最小值.【答案】(1)①6m ;①(2,0);①231d ≤≤(2)6532【解析】【分析】(1)①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可;①设根据对称性求出平移规则,再根据平移规则由C 点求出B 点坐标;①要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,则上边缘抛物线至少要经过F 点,下边缘抛物线OB d ≤,计算即可;(2)当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D ,F 恰好分别在两条抛物线上,设出D 、F 坐标计算即可.(1)(1)①如图1,由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点,设2(2)2y a x =-+.又①抛物线经过点(0,1)5.,①1.542a =+,①18a =-. ①上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+. 当0y =时,21(2)208x --+=, ①16x =,22x =-(舍去).①喷出水的最大射程OC 为6m .图1①①对称轴为直线2x =,①点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5). ①下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的,即点B 是由点C 向左平移4m 得到,则点B 的坐标为(2,0).①如图2,先看上边缘抛物线,①0.5EF =,①点F 的纵坐标为0.5. 抛物线恰好经过点F 时,21(2)20.58x --+=. 解得223x =±①0x >, ①23x =+当0x >时,y 随着x 的增大而减小,①当26x ≤≤时,要使0.5y ≥, 则223x ≤+①当02x ≤<时,y 随x 的增大而增大,且0x =时, 1.50.5y =>, ①当06x ≤≤时,要使0.5y ≥,则023x ≤≤+①3DE =,灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带,①d 的最大值为(223)331+-=-.再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤, ①d 的最小值为2.综上所述,d 的取值范围是2231d ≤≤.(2)h 的最小值为6532. 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点,①设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++.①上边缘抛物线过出水口(0,h )①40.5y a h h =++=解得18a =- ①上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ①对称轴为直线2x =,①点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h .①下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的,①下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++. 当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D ,F 恰好分别在两条抛物线上, ①DE =331①设点(),0D m ,()3,0E m +,213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭, ①D 在下边缘抛物线上,①21(2)0.508m h -+++= ①EF =1①21(32)0.518m h -+-++= ①21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦, 解得 2.5m =,代入21(2)0.508m h -+++=,得6532h =. 所以h 的最小值为6532. 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题,构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键.32。
(完整)中考复习专题—二次函数压轴题
(完整)中考复习专题—二次函数压轴题中考复习专题(七)--二次函数压轴题专训题型一:面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x轴于点4(3, 0),交y轴于点8.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)求ACAB的铅垂高CD及S;△鼐,若存在,求出P点△CAB△CAB【变式练习】1。
(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(一2, 0),连结OA,将线段OA绕原点。
顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点8的坐标;(2)求经过A、0、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使^BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么4PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及4PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.2。
(2010绵阳)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(—4, 0), B (2,0),与y 轴交(完整)中考复习专题一二次函数压轴题于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与X轴、y轴分别交于F、G.3. (2012铜仁)如图,已知:直线y =-x + 3交x轴于点A,交y轴于点8,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、到1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y = -x + 3上有一点「,使AABO与AADP相似,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点£,使AADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点£的坐标;如果不存在,请说明理由.题型二:构造直角三角形【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c (a/0)的对称轴为x = 1,且抛物线经过A (―1, 0)、C (0, -3)两点,与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x = 1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使NPCB=90 的点P的坐标.第.3题图【变式练习】1.(2012广州)如图,抛物线y二-卫丁-金丁十力与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点8 4C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当4ACD的面积等于4ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线I过点E(4, 0),M为直线I上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线I的解析式.2.(2009成都)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=〃(x + l)2+c(” > 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y = kx-3,与x轴的交点为N,且COSNBCO3<1010(1)求此抛物线的函数表达式;(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点「的坐标:若不存在,请说明理由;⑶过点人作x轴的垂线,交直线MC于点。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点,使P存在,请说明理由.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)在直线上是否存在点,使说明理由.(3)为第一象限内抛物线上的一个动点,且在直线,垂足为,以点为圆心,,且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4.如图,已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ,B 两点,且.(1)求点B 的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)作直线,问抛物线上是否存在点M ,使得,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,,,与y 轴交于点C ,连接.()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式;(2)求证:;(3)点P 在抛物线上,且,求点P的坐标.6.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x 轴交于、两点,与y 轴交于点C ,连接.(1)求抛物线的解析式;(2)在对称轴上是否存在一点M ,使,若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点,作于点D ,当的值最大时,求此时点P 的坐标及的最大值.∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式;(2)点P 是直线下方抛物线上一动点,当的面积最大时,求点P 的坐标;(3)若M 是抛物线上一点,且,请直接写出点M 的坐标.BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式;(2)点E 是AC 延长线上一点,的平分线CD 交⊙于点D ,连接BD ,求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.9.综合与实践:如图,抛物线与x 轴交于点和点,与y 轴交于点C ,连接,点D 在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)小明探究点D 位置时发现:如图1,点D 在第一象限内的抛物线上,连接,,面积存在最大值,请帮助小明求出面积的最大值;(3)小明进一步探究点D 位置时发现:点D 在抛物线上移动,连接,存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,过点D 作轴,垂足为M ,点P 在直线P 作,,求的最大值,以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度,在平移后的抛物线上存在点得,请写出所有符合条件的点G 的横坐标,并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空:___________,___________;(2)点为直线上方抛物线上一动点.①连接、,设直线交线段于点,求的最大值;②过点作于点,连接,是否存在点,使得中的,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.(1)求抛物线的解析式;b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点D ,使得?若存在,求出所有点不存在,请说明理由;(3)如图2,点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点,点F 是直线OB 动点,EF 与直线OB 交于点G .设和的面积分别为值.DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14.如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线与轴交于、两点且点,,与轴的负半轴交于点,.(1)求此抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,连接,点为直线下方的抛物线上的一点,过点作交于点,交直线于点,若,求点的坐标.(3)在(1)的条件下,点为该抛物线的顶点,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,过点作于点,该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点,连接交于点,当时,求的度数.15.已知抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案:的值最大时,此时,。
(完整word版)中考数学二次函数压轴题题型归纳(可编辑修改word版)
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式: AB =2、中点坐标:线段 AB 的中点C 的坐标为:⎛ x A + x By A + y B ⎫, ⎪⎝22 ⎭直线 y = k 1 x + b 1 ( k 1 ≠ 0 )与 y = k 2 x + b 2 ( k 2 ≠ 0 )的位置关系:(1)两直线平行⇔ k 1 = k 2 且b 1 ≠ b 2(2)两直线相交⇔ k 1 ≠ k 2(3)两直线重合⇔ k 1 = k 2 且b 1 = b 23、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:① 用∆ 和参数的其他要求确定参数的取值范围;(4) 两直线垂直⇔ k 1k 2 = -1② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。
例:关于 x 的一元二次方程 x 2-2(m + 1)x + m 2=0 有两个整数根, m <5 且 m 为整数,求 m 的值。
4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。
(方法同上)例:若抛物线 y = mx 2 + (3m +1)x + 3 与 x 轴交于两个不同的整数点,且 m 为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:已知关于 x 的方程 mx 2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 ( m 为实数),求证:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根。
解:当 m = 0 时, x = 1;当 m ≠ 0 时, ∆ = (m - 3)2≥ 0 , x =2m综上所述:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根是 1。
, x 1= 2 - 3 、 x m 2= 1 ;6、函数过固定点问题,举例如下:已知抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 ( m 是常数),求证:不论 m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)
二次函数压轴题汇编带答案(中考真题)1.(24年安徽中考)已知物线2y x bx =-+(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1.(1)求b 的值;(2)点11(,)A x y 在抛物线22y x x =-+上,点11(,)B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上.(i)若3h t =,且10,0x t > ,求h 的值;(ii)若 11x t =-,求h 的最大值.2.(24年包头中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线22y x bx c =-++与x 轴相交于()1,0A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为()2,M d ,连接AM .(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,若C 是y 轴正半轴上一点,连接,AC CM .当点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,求证:ACM BAM ∠=∠;(3)如图2,连接BM ,将ABM 沿x 轴折叠,折叠后点M 落在第四象限的点M '处,过点B 的直线与线段AM '相交于点D ,与y 轴负半轴相交于点E .当87BD DE =时,3ABD S △与2M BD S '△是否相等?请说明理由.3.(24年成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点.(1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.4.(24年重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ,两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=,,.(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D .点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ,.当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K .点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标.5.(24年浙江中考)已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围.6.(24年呼伦贝尔中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A .经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式及点C 的坐标;(2)点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m .①m 为何值时线段PD 的长度最大,并求出最大值;②是否存在点P ,使得BPD △与AOC 相似.若存在,请求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.7.(24年广州中考)已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ,直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ,交线段AB 于点D ,记CDA 的周长为1C ,CDB △的周长为2C ,且122C C =+.(1)求抛物线G 的对称轴(2)求m 的值(3)直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l ',当l AB '∥时,直线l '交抛物线G 于E ,F 两点.①求t 的值②设AEF △的面积为S ,若对于任意的0a >,均有S k ≥成立,求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式.8.(24年绥化中考)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =-++与直线相交于A ,B 两点,其中点()3,4A ,()0,1B .(1)求该抛物线的函数解析式.(2)过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ,连接AC ,在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠.若存在,请求出满足条件的所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:依题意补全图形,并解答)(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,点E 为原抛物线对称轴上的一点,F 是平面直角坐标系内的一点,当以点B ,D ,E ,F 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F 的坐标.9.(24年上海中考)在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B .(1)求平移后新抛物线的表达式(2)直线x m =(0m >)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q .①如果PQ 小于3,求m 的取值范围②记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标.10.(24年乐山中考)在平面直角坐标系xOy 中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线222y ax ax a =-+(a 为常数且0a >)与y 轴交于点A .(1)若1a =,求抛物线的顶点坐标;(2)若线段OA (含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求a 的取值范围;(3)若抛物线与直线y x =交于M ,N 两点,线段MN 与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求a 的取值范围.11.(24年甘肃武威中考)如图1,抛物线()2y a x h k =-+交x 轴于O,()4,0A 两点,顶点为(2,B.点C 为OB 的中点.(1)求抛物线2()y a x h k =-+的表达式;(2)过点C 作CH OA ⊥,垂足为H,交抛物线于点E .求线段CE 的长.(3)点D 为线段OA 上一动点(O 点除外),在OC 右侧作平行四边形OCFD .①如图2,当点F 落在抛物线上时,求点F 的坐标;②如图3,连接BD ,BF ,求BD BF +的最小值.12.(24年枣庄中考)在平面直角坐标系xOy 中,点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x m =.(1)求m 的值(2)若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像.当04x ≤≤时,求新的二次函数的最大值与最小值的和(3)设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ,()()212,0x x x <.若2146x x <-<,求a 的取值范围.13.(24年四川广安中考)如图,抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点A 坐标为(1,0)-,点B 坐标为(3,0).(1)求此抛物线的函数解析式.(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一个动点,过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点E ,请探究2PD PE +是否有最大值?若有最大值,求出最大值及此时P 点的坐标;若没有最大值,请说明理由.(3)点M 为该抛物线上的点,当45∠=︒MCB 时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.14.(24年四川南充中考)已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -,()3,0B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,点P 为线段OC 上一点(不与端点重合),直线PA ,PB 分别交抛物线于点E ,D ,设PAD 面积为1S ,PBE △面积为2S ,求12S S 的值;(3)如图2,点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点,过点K 的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M ,N ,过抛物线顶点G 作直线l x ∥轴,点Q 是直线l 上一动点.求QM QN +的最小值.15.(24年四川泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ,与y 轴交于点B,且关于直线1x =对称.(1)求该抛物线的解析式;(2)当1x t -≤≤时,y 的取值范围是021y t ≤≤-,求t 的值;(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D,在y 轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.16.(24年河北中考)如图,抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q .抛物线22211:()222C y x t t =--+-(其中t 为常数,且2t >),顶点为P .(1)直接写出a 的值和点Q 的坐标.(2)嘉嘉说:无论t 为何值,将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上.淇淇说:无论t 为何值,2C 总经过一个定点.请选择其中一人的说法进行说理.(3)当4t =时①求直线PQ 的解析式.②作直线l PQ ∥,当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时,求l 与x 轴交点的横坐标.(4)设1C 与2C 的交点A,B 的横坐标分别为,A B x x ,且A B x x <.点M 在1C 上,横坐标为()2B m m x ≤≤.点N 在2C 上,横坐标为()A n x n t ≤≤.若点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d ,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ,直接用含t 和m 的式子表示n.17.(24年武汉中考)抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ,B 两点(A 在B 的右边),交y 轴于点C .(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标(2)如图(1),连接AC ,BC ,过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥,交y 轴于点Q .若BC 平分线段PQ ,求点P 的坐标(3)如图(2),点D 与原点O 关于点C 对称,过原点的直线EF 交抛物线于E ,F 两点(点E 在x 轴下方),线段DE 交抛物线于另一点G ,连接FG .若90EGF ∠=︒,求直线DE 的解析式.18.(24年四川德阳中考)如图,抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)当02x <≤时,求2y x x c =-+的函数值的取值范围;(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ,点P 为抛物线的对称轴上一动点,求5PA PM +的最小值.19.(24年湖北中考)如图,二次函数23y x bx =-++交x 轴于(1,0)A -和B ,交y 轴于C .(1)求b 的值.(2)M 为函数图像上一点,满足MAB ACO ∠=∠,求M 点的横坐标.(3)将二次函数沿水平方向平移,新的图像记为L ,L 与y 轴交于点D ,记DC d =,记L 顶点横坐标为n .①求d 与n 的函数解析式.②记L 与x 轴围成的图像为,U U 与ABC ∆重合部分(不计边界)记为W ,若d 随n 增加而增加,且W 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点,直接写出n 的取值范围。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型:1. 求解二次方程,确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较,确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息,确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程,确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。
其中,因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程;配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程;公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。
求得二次方程的根后,即可得到函数的零点。
若根为实数,则该实数即为零点;若根为复数,则该函数无实零点。
2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的二次函数,其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a)),其中f(x)=ax^2+bx+c。
对称轴为x=-b/2a,最值为f(-b/2a)。
若函数为y=a(x-h)^2+k的形式,则顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,最值为k。
3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的二次函数,当a>0时,函数在顶点左侧单调递减,在顶点右侧单调递增;当a<0时,函数在顶点左侧单调递增,在顶点右侧单调递减。
定义域为实数集R,值域取决于a的符号。
4. 与其他函数进行比较,确定大小关系与线性函数比较:当x趋近正无穷时,二次函数增长速度大于线性函数;当x趋近负无穷时,二次函数增长速度小于线性函数。
因此,在x 轴正半轴上,二次函数与线性函数相交一次,并在该点处取得最小值(或最大值);在x轴负半轴上,则无交点。
与指数函数比较:当x趋近正无穷时,指数函数增长速度大于二次函数;当x趋近负无穷时,指数函数增长速度小于二次函数。
因此,在x 轴正半轴上,指数函数与二次函数相交一次,并在该点处取得最小值(或最大值);在x轴负半轴上,则无交点。
2024年中考数学二次函数压轴题归类(30个)
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D
问题18:抛物线上找一点P, 作x轴, 交线段AC于点N, 使AC分∆ 的面积为2:1两
部分?
形
顶点坐标(h, k)
原始三角
形;重视
四点围成
的三角形
(边、角
关系)
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D
问题2:判断∆ 的形状,并说明理由
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D
二次函数压轴题归类(30个)
题号
针对变式题目
形定问题
1-解析式、2-三角形形状
线段问题
3-线段相等、4-线段成比例
最值问题
5-线段最值1 (直)、6-线段最值2 (斜) 、7-和最小8-差最大 、9-两村一路
面积问题
10-定点求面积 、11-斜三角形求面积 、12--(定+动) 求面积、13-同底等高 (直) 、14同底等高(斜) 、 15-面积平分1、16-面积平分 2 、 17-面积平分3 、18-面积分割
时M点坐标
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D
问题9:线段 MN=1,在对称轴上运动 (M点在N点上方),求四边形BMNC周长的最小值及此
时M点坐标
将军饮马解题依据:两点间线段最短;点到直线的垂直距离最短;翻折,
对称。解题策略:对称、翻折→化同为异;化异为同;化折为直。
(word完整版)二次函数中考压轴题题型汇总讲义
二次函数压轴题命题规律总结:二次函数压轴题是近10年必考题型,考查题位均在第23题,分值均为11分:其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题,3次是二次函数单独与几何图形的综合题,且涉及的图形多为三角形和特殊四边形,未涉及到圆;考查类型有:线段问题、面积问题,等腰三角形问题,直角三角形问题,平行四边形问题,三角形相似问题和角度问题,除2017、2012、2011和2009年是两问,且第二问里有两小问,其他年份均为3问;第一小问多以待定系数法求二次函数解析式;线段问题包括线段的数量关系,线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值;面积问题包括三角形面积的关系式及最值;此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。
类型一 线 段 问 题●典例精析◇例题1◇.如图,抛物线y=21x 2-bx +c 与直线l :y=43x -1交与A (4, 2)、B (0,-1)。
(1)求抛物线的解析式;(2)点D 为直线l 下方的抛物线上的动点,过点D 作DE ∥y 轴交l于点E,作DF⊥l于点F,设点D的横坐标为t。
①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值,DF的最大值③设RT△DEF的周长为p,求p与t的函数关系式,并求出p的最大值及此时点D的坐标。
总结:1.用点坐标表示线段长度:先在图中找到对应线段,分清已知点和未知点,再联系二次函数和一次函数,设出未知点坐标,使其只含有一个未知数;继而表示出线段长度,如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定,如果与坐标轴不平行的话,先转化到有边与坐标轴平行的三角形中,再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。
2.一条线段的最值问题,根据前面所得的点坐标表示线段长度,通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值,从而得到线段的最值。
3.线段数量关系问题:根据前面所得的用点坐标表示线段长度,结合题干列出满足线段数量关系的方程,解方程即可。
4.两条线段和的最小值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,最常见的图形就是“将军饮马模型”。
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中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系:(1)两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交⇔21k k ≠(3)两直线重合⇔21k k =且21b b = (4)两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下:① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围;② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式)③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式. 例:关于x 的一元二次方程()01222=-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
(方法同上)例:若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。
解:当0=m 时,1=x ;当0≠m 时,()032≥-=∆m ,()m m x 213∆±-=,mx 321-=、12=x ;综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1.6、函数过固定点问题,举例如下:已知抛物线22-+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122;∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ,解得:⎩⎨⎧=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1).(题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122不论m 为何值,方程恒成立)小结..:关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩⎨⎧==0 0b a7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图,直线1l 、2l ,点A 在2l 上,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得MN AM +之和最小。
(2)如图,直线1l 、2l 相交,两个固定点A 、B ,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得AN MN BM ++之和最小。
(3)如图,B A 、是直线l 同旁的两个定点,线段a ,在直线l 上确定两点E 、F (E 在F 的左侧 ),使得四边形AEFB 的周长最小.8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法:如右图,S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y9、函数的交点问题:二次函数(c bx ax y ++=2)与一次函数(h kx y +=)(1)解方程组⎩⎨⎧h kx y cbx ax y +=++= 2可求出两个图象交点的坐标。
(2)解方程组⎩⎨⎧hkx y cbx ax y +=++= 2,即()02=-+-+h c x k b ax ,通过∆可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 ⇔ 0>∆ 仅有一个交点 ⇔ 0=∆ 没有交点 ⇔ 0<∆10、方程法(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 (3)列方程或关系式 11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形"、“相似三角形"、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便.几何要求几何分析 涉及公式 应用图形跟平行有关的图形平移2121k k l l =∥⇔、2121x x y y k --= 平行四边形矩形 梯形跟直角有关的图形 勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等()()22B A B A x x y y AB -+-= 直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形 利用几何中的全等、中垂线的性质等。
()()22B A B A x x y y AB -+-= 等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一 基础构图:y=322--x x (以下几种分类的函数解析式就是这个)★和最小,差最大 在对称轴上找一点P ,使得PB+PC 的和最小,求出P 点坐标在对称轴上找一点P ,使得PB-PC 的差最大,求出P 点坐标★求面积最大 连接AC ,在第四象限找一点P ,使得ACP ∆面积最大,求出P 坐标★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP ∆为直角三角形,求出P 坐标或者在抛物线上求点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形.★ 讨论等腰三角 连接AC ,在对称轴上找一点P ,使得ACP ∆为等腰三角形,求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以B ,A ,F ,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标二 综合题型例1 (中考变式)如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D 。
交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P 的坐标。
若没有,请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x。
EF的长度为L,求L关于X的函数关系式?关写出X的取值范围?当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?例2 考点: 关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,3-),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 不重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F .(1)求该二次函数的解析式;(2)若设点P 的横坐标为m ,试用含m 的代数式表示线段PF 的长; (3)求△PBC 面积的最大值,并求此时点P 的坐标.例3 考点:讨论等腰如图,已知抛物线y =21x 2+bx +c 与y 轴相交于C ,与x 轴相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标; (3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,若不存在,说明理由.例4考点:讨论直角三角⑴ 如图,已知点A (一1,0)和点B (1,2),在坐标轴上确定点P ,使得△ABP 为直角三角形,则满足这样条件的点P 共有( ). (A )2个 (B )4个 (C ) 6个(D )7个DBCO AyxEBCO A备用图yxyxB AFPx =1 CO⑵ 已知:如图一次函数y =21x +1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y =21x 2+bx +c 的图象与一次函数y =21x +1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC 的面积S ;(3)在x 轴上是否存在点P ,使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P ,若不存在,请说明理由.例5 考点:讨论四边形已知:如图所示,关于x 的抛物线y =ax 2+x +c (a ≠0)与x 轴交于点A (-2,0),点B (6,0),与y 轴交于点C .(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式; (3)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q .是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.综合练习:xOy 中,抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ,与y 轴的正半轴交于点C ,点 A 的坐标为(1, 0),OB =OC ,抛物线的顶点为D 。
(1) 求此抛物线的解析式;(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ,求点P 的坐标;(3) Q 为线段BD上一点,点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A ',若2=-QB QA ,求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。
xOy 中,已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0,C ,与x 轴交于A 、B 两点,点B 的坐标为()0 3,-. (1) 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标;(2) 点M 是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 :2的两部分,求出此时点M 的坐标;(3) 点P 是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P 在何处时△CPB 的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P 的坐标。
在平面直角坐标系xOy 中,抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ,顶点为B ,且对称轴与x 轴交于点C 。
(1)求点B 的坐标(用含m 的代数式表示);(2)D 为OB 中点,直线AD 交y 轴于E ,若E (0,2),求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点M 在直线OB 上,且使得AMC ∆的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线BC 上,若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标。
4、已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=.(1) 若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;(2) 若正整数m 满足822m ->,设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点,将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你结合这个新的图象回答:当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时,求出k 的值(只需要求出两个满足题意的k 值即可)。