勾股定理笔记要点
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是 ，斜边长为 和一个边长为 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2， ， ，且 三点共线．
试证明 ；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC为___________三角形．(4分)
勾股定理基础知识汇总
一、已经学过的有关直角三角形中的边角关系
1．两锐角之间的关系：
2.边与高的关系：
3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即
三、勾股定理逆定理
（3）伽菲尔德（ ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
4.「问题情境」
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（3）长方体盒子对角线的长度公式
（4）蚂蚁最短路径问题公式
六、典型例题
例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=．【答案】12
4.勾股数的几种表达方式
（毕达哥拉斯）
（柏拉图）
（丢番图）
请探究上述三个表达式，思考下列问题
（1）你能从勾股数3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？
（2）柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？
五、勾股定理应用
（1）学习过勾股定理之后三角形的特殊关系
（2）代数式 的最小值为_____________．
．（3分）
5.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方源自文库等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分)
(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分)
7.阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： 如图，建立平面直角坐标系，点 是 轴上一点，则 可以看成点 与点 的距离， 可以看成点 与点 的距离，所以原代数式的值可以看成线段 与 长度之和，它的最小值就是 的最小值．
「定理表述」
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）
「尝试证明」
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以 为底，以 为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分）
「知识拓展」
利用图2中的直角梯形，我们可以证明 ．其证明步骤如下：
， ．
又 在直角梯形 中有 （填大小关系），即．
设点 关于 轴的对称点为 ，则 ，因此，求 的最小值，只需求 的最小值，而点 、 间的直线段距离最短，所以 的最小值为线段 的长度．为此，构造直角三角形 ，因为 ，所以 ，即原式的最小值为 ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 ___________的距离之和．（填写点 的坐标）
①如果 ，那么
②如果 ，那么
③如果 是直角三角形的三条直角边，那么以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④如果 是直角三角形的三条直角边，那么以 ， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形
（2）藤绕树问题的解法
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．
如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
四、勾股数组
1.如果三个正整数 满足关系 ，那么 叫做勾股数。
2.勾股数的性质
如果 是勾股数， 为正整数，那么 也是勾股数
思考：勾股数的定义中有何限制？
3.常用勾股数：
3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2， ， ，且 三点共线．
试证明 ；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC为___________三角形．(4分)
勾股定理基础知识汇总
一、已经学过的有关直角三角形中的边角关系
1．两锐角之间的关系：
2.边与高的关系：
3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即
三、勾股定理逆定理
（3）伽菲尔德（ ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
4.「问题情境」
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（3）长方体盒子对角线的长度公式
（4）蚂蚁最短路径问题公式
六、典型例题
例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=．【答案】12
4.勾股数的几种表达方式
（毕达哥拉斯）
（柏拉图）
（丢番图）
请探究上述三个表达式，思考下列问题
（1）你能从勾股数3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？
（2）柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？
五、勾股定理应用
（1）学习过勾股定理之后三角形的特殊关系
（2）代数式 的最小值为_____________．
．（3分）
5.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方源自文库等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分)
(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分)
7.阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： 如图，建立平面直角坐标系，点 是 轴上一点，则 可以看成点 与点 的距离， 可以看成点 与点 的距离，所以原代数式的值可以看成线段 与 长度之和，它的最小值就是 的最小值．
「定理表述」
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）
「尝试证明」
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以 为底，以 为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分）
「知识拓展」
利用图2中的直角梯形，我们可以证明 ．其证明步骤如下：
， ．
又 在直角梯形 中有 （填大小关系），即．
设点 关于 轴的对称点为 ，则 ，因此，求 的最小值，只需求 的最小值，而点 、 间的直线段距离最短，所以 的最小值为线段 的长度．为此，构造直角三角形 ，因为 ，所以 ，即原式的最小值为 ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 ___________的距离之和．（填写点 的坐标）
①如果 ，那么
②如果 ，那么
③如果 是直角三角形的三条直角边，那么以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④如果 是直角三角形的三条直角边，那么以 ， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形
（2）藤绕树问题的解法
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．
如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
四、勾股数组
1.如果三个正整数 满足关系 ，那么 叫做勾股数。
2.勾股数的性质
如果 是勾股数， 为正整数，那么 也是勾股数
思考：勾股数的定义中有何限制？
3.常用勾股数：
3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；