理论力学第3章
合集下载
理 论 力 学 教学 课程第3章
上一页 下一页 返回
第一节 平面静定桁架
• 2 ．截面法 • 当桁架中的杆件比较多，而只需计算其中某几个杆件的内力时，应用
节点法往往比较麻烦，这时采用截面法。截面法是适当选取一截面， 假想地将桁架截开，选取其中的一部分作为研究对象。作用在这部分 桁架上的外力与被截断杆件的内力构成平面一般力系，应用平面一般 力系的平衡条件，可求解三个未知量。因此，在应用截面法时，一般 截断的未知内力的杆件数应不多于三根。假想截面的形状可任意选择， 既可以是平面，也可以是曲面。
• 所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件与杆件 的连接处称为节点，节点的构造通常使用铆接、焊接或螺栓连接等形 式。如图 3-2 所示，由基本三角形结构出发，通过增加杆件延拓而成 的平面桁架称为平面简单桁架，图 3-2 （ a ）和（ b ）分别为屋架 和桥梁结构的平面简单桁架。这种结构是静定的几何不变系统。本节 只讨论平面简单桁架的内力计算问题。
• 二、桁架内力的计算方法
• 计算平面简单桁架的内力有两种方法：节点法和截面法。在求解桁架 内力之前，通常先选取整体为研究对象，求出桁架支座的约束力。
• 1 ．节点法 • 节点法求解桁架内力是以桁架的节点为研究对象的。平面桁架的每个
节点都受平面汇交力系的作用，可用平面汇交力系的平衡方程求解。 对于每个节点只能列两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此， 在采用节点法时，选取的节点的未知量应不超过两个。
• Fd=f dFN （ 3-3 ） • 式中： f d 称为动摩擦系数，它与接触物的材料、表面粗糙度及相对
滑动速度等因素有关，其值略小于静摩擦系数，即 f d < f s 。 • 2 ．摩擦角与自锁现象 • 1 ）摩擦角 • 摩擦角是对静摩擦系数的几何描述。
第一节 平面静定桁架
• 2 ．截面法 • 当桁架中的杆件比较多，而只需计算其中某几个杆件的内力时，应用
节点法往往比较麻烦，这时采用截面法。截面法是适当选取一截面， 假想地将桁架截开，选取其中的一部分作为研究对象。作用在这部分 桁架上的外力与被截断杆件的内力构成平面一般力系，应用平面一般 力系的平衡条件，可求解三个未知量。因此，在应用截面法时，一般 截断的未知内力的杆件数应不多于三根。假想截面的形状可任意选择， 既可以是平面，也可以是曲面。
• 所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件与杆件 的连接处称为节点，节点的构造通常使用铆接、焊接或螺栓连接等形 式。如图 3-2 所示，由基本三角形结构出发，通过增加杆件延拓而成 的平面桁架称为平面简单桁架，图 3-2 （ a ）和（ b ）分别为屋架 和桥梁结构的平面简单桁架。这种结构是静定的几何不变系统。本节 只讨论平面简单桁架的内力计算问题。
• 二、桁架内力的计算方法
• 计算平面简单桁架的内力有两种方法：节点法和截面法。在求解桁架 内力之前，通常先选取整体为研究对象，求出桁架支座的约束力。
• 1 ．节点法 • 节点法求解桁架内力是以桁架的节点为研究对象的。平面桁架的每个
节点都受平面汇交力系的作用，可用平面汇交力系的平衡方程求解。 对于每个节点只能列两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此， 在采用节点法时，选取的节点的未知量应不超过两个。
• Fd=f dFN （ 3-3 ） • 式中： f d 称为动摩擦系数，它与接触物的材料、表面粗糙度及相对
滑动速度等因素有关，其值略小于静摩擦系数，即 f d < f s 。 • 2 ．摩擦角与自锁现象 • 1 ）摩擦角 • 摩擦角是对静摩擦系数的几何描述。
理论力学第03章
FAz
z
FAy
O
30 30
0 0
∑M
FBz
FC
B y
FBx
y
(F ) = 0
： =P Fc
FAx
a 0 − Fc sin30 a + P = 0 2
x
D
C
∑M
x
(F ) = 0
3a + Fc sin300 3a = 0 2
FBz 3a − P
FBz = 0
∑M
z
(F ) = 0
FBx 3a = 0
FBx = 0
满足这个方程组三个投影方程的某个方 程，合力在相应轴上无投影； 满足这个方程组三个投影方程，合力在 三个坐标轴上无投影。 满足这个方程组三个力矩方程的某个方 程，合力通过相应轴； 满足这个方程组三个力矩方程，合力通 过原点； 根据力系的具体情况，可形成4，5，6力 矩式方程：
×
4力矩式方程 力矩式方程
×
6力矩式方程 力矩式方程
∑M x (F) = 0 ∑M y (F) = 0 ∑M z (F) = 0 ∑M x' (F) = 0 ∑M y' (F) = 0 ∑M z' (F) = 0
×
特殊情况： 特殊情况：
1）空间平行力系： 作用在刚体上所有力Fi 都互相平行；且设： Fi∥z 。 一般式中： ∑ Fx ≡ 0, ∑ Fy ≡ 0, ∑ M z ( F ) ≡ 0 成为恒等式自然满足
FB
4)分析力系,本题为空间平行 0.5a 力系。 A点，B点，C点都是1自由度 FA x A 约束，可列3个独立方程 5)列平衡方程解未知力
y
×
∑M
i =1
z
FAy
O
30 30
0 0
∑M
FBz
FC
B y
FBx
y
(F ) = 0
： =P Fc
FAx
a 0 − Fc sin30 a + P = 0 2
x
D
C
∑M
x
(F ) = 0
3a + Fc sin300 3a = 0 2
FBz 3a − P
FBz = 0
∑M
z
(F ) = 0
FBx 3a = 0
FBx = 0
满足这个方程组三个投影方程的某个方 程，合力在相应轴上无投影； 满足这个方程组三个投影方程，合力在 三个坐标轴上无投影。 满足这个方程组三个力矩方程的某个方 程，合力通过相应轴； 满足这个方程组三个力矩方程，合力通 过原点； 根据力系的具体情况，可形成4，5，6力 矩式方程：
×
4力矩式方程 力矩式方程
×
6力矩式方程 力矩式方程
∑M x (F) = 0 ∑M y (F) = 0 ∑M z (F) = 0 ∑M x' (F) = 0 ∑M y' (F) = 0 ∑M z' (F) = 0
×
特殊情况： 特殊情况：
1）空间平行力系： 作用在刚体上所有力Fi 都互相平行；且设： Fi∥z 。 一般式中： ∑ Fx ≡ 0, ∑ Fy ≡ 0, ∑ M z ( F ) ≡ 0 成为恒等式自然满足
FB
4)分析力系,本题为空间平行 0.5a 力系。 A点，B点，C点都是1自由度 FA x A 约束，可列3个独立方程 5)列平衡方程解未知力
y
×
∑M
i =1
理论力学第三章
M 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 F 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 F 0 FAx F FBx 0
A
y
x
FAy 72.5kN
FBy 77.5kN
FAx FBx F
取吊车梁,画受力图.
M O M O FR x FRy y FRx x F y F
' Ry
' Rx
2355 x 670.1 y 232.9
607.1x 232.9 y 2355 0
例3-2 已知： AC=CB= l，P=10kN; 求： 铰链A和DC杆受力.
Fy 0
0 0 0 0
F1 cos F2 cos F3 cos 0
F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
iy
O
FOx
FR l R
2 2
FOy F
M FR
例3-8
已知: F=20kN, q=10kN/m,M 20kN m, l=1m;
求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
M
C
0
l FB sin 60 l ql F cos30 2l 0 2
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
§3-3 物体系的平衡· 静定和超静定问题
§3-4
平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。 节点：桁架中杆件的铰链接头。
理论力学第三章刚体力学 ppt课件
正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B
L
a
L
a AL L )(a L
a L
a
B L
L
)
a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB
A
B ev ev
理论力学第三章ppt课件
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例4-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 MO 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn)
F1' M1 o
F2'
M2
Fn'
Mn
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例4-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 MO 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn)
F1' M1 o
F2'
M2
Fn'
Mn
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
理论力学-第3章
M Oy M Oy Fi 0
略去所有表达式中的下标 i ，空间任意力系平
F F F
x y
0 0 0
z
M F 0 M F 0 M F 0
x y z
任意力系的平衡方程
平衡方程的一般形式
F F F
x y
0 0 0
平衡方程的一般形式
对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平
衡条件的投影形式为
z
F2 M2
FRx Fix 0 FRz Fiz 0
FRy Fiy 0
M Ox M Ox Fi 0 M Oz M Oz Fi 0
F1
M1
O y
Mn
l
l
A C
第三种情形
l
B
FP
D
平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力
l
l
A C
第三种情形
l
B
FP
D
FA
l
A C B
l
FP
D
l
FCx
FCy
平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力 MA ( F ) = 0 :
平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形 下的约束力
l
l
B D
FP
FAy FAx A
l
A C
l
d C
B FBC
l
FP
D
第一种情形
l
理论力学---第三章 空间力系
B
P
Fz 0 : F cos P 0
E
C
D FD
F
C
z
A y
F
x
P
12
B
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢 空间力对点的矩的作用效果取决于： MO(F)
z B F
(1)力矩的大小 (2)转向 (3)力矩作用面方位。
h 这三个因素可用一个矢量 M O (F ) 表示。 x 矢量的方位：与作用平面法线 大小： M O (F ) Fh
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
＝ 45° 已知:P＝1000N，CD＝AC＝AD，E为CD中点，
不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
E
C
D
A
Fx 0 : FC sin FD sin 0
Fy 0: FC cos FD cos F sin 0
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
6
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin ,
将力Fxy向x，y 轴投影
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
z Fz F B Fy
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O ( Fy )
xFy yFx
理论力学第三章-
– b) 真实的力满足牛顿第三定律，即存在大 小相等，方向相反，处于同一直线的作用力 与反作用力，不存在惯性力的反作用力
– c) 作用在质点上的惯性力只是在非惯性系中 才存在，在惯性系中根本不存在这样的力
• 惯性力的处理
– 在非惯性系里面，可以认为惯性力就是作用 于物体上的一种外力，则可以用非惯性系的 “牛顿第二定律题 1，5
第一部分为活动参考系中的观察者测量到的 质点加速度，称为相对加速度
第二部分为牵连加速度，只与活动参考系的 运动有关，其中第一项为平动牵连加速度， 其余两项由活动坐标系的转动运动引起，为 转动牵连加速度
第三部分不单单与活动坐标系的转动角速度 有关，而且与相对速度有关，为科里奥利加 速度
§3.2 平动的非惯性系
第二项惯性力的方向沿着离开转轴的方 向离心力，称为惯性离心力
第三项惯性力为科里奥利力，既与非惯 性系的转动轴垂直，又与相对速度垂直
设想一质点在光滑的圆盘 上沿着一直线运动，惯性 系中的观察者看来虽然圆 盘在转动，但质点并没有 受到合外力的作用，始终 保持着直线运动，但在转 动着的非惯性系中的观察
者看来，圆盘是不动的，质点的运动路径 却向转动相反的方向弯曲，存在加速度， 因而会认为质点必在速度的垂直方向受到 力的作用，这便是科里奥利惯性力！
第三章：非惯性参考系
惯性参照系 非惯性参照系
非惯性参照系 惯性参照系
§3.1 相对运动
• （一）绝对速度、相对速度和牵连速度
rrt r r tx tiy tj ztk r x i y j zk
• 速度是位置矢量的时间变化率，质点相对于固 定参考系的速度称为绝对速度
行求解 F fm a
– 当把惯性力当作一种外 “力”看待时，我 们同样可以像在惯性系中一样得到非惯性系 下面的一些定理（动量、动量矩、动能定 理），此时，惯性力必须要考虑进去
– c) 作用在质点上的惯性力只是在非惯性系中 才存在，在惯性系中根本不存在这样的力
• 惯性力的处理
– 在非惯性系里面，可以认为惯性力就是作用 于物体上的一种外力，则可以用非惯性系的 “牛顿第二定律题 1，5
第一部分为活动参考系中的观察者测量到的 质点加速度，称为相对加速度
第二部分为牵连加速度，只与活动参考系的 运动有关，其中第一项为平动牵连加速度， 其余两项由活动坐标系的转动运动引起，为 转动牵连加速度
第三部分不单单与活动坐标系的转动角速度 有关，而且与相对速度有关，为科里奥利加 速度
§3.2 平动的非惯性系
第二项惯性力的方向沿着离开转轴的方 向离心力，称为惯性离心力
第三项惯性力为科里奥利力，既与非惯 性系的转动轴垂直，又与相对速度垂直
设想一质点在光滑的圆盘 上沿着一直线运动，惯性 系中的观察者看来虽然圆 盘在转动，但质点并没有 受到合外力的作用，始终 保持着直线运动，但在转 动着的非惯性系中的观察
者看来，圆盘是不动的，质点的运动路径 却向转动相反的方向弯曲，存在加速度， 因而会认为质点必在速度的垂直方向受到 力的作用，这便是科里奥利惯性力！
第三章：非惯性参考系
惯性参照系 非惯性参照系
非惯性参照系 惯性参照系
§3.1 相对运动
• （一）绝对速度、相对速度和牵连速度
rrt r r tx tiy tj ztk r x i y j zk
• 速度是位置矢量的时间变化率，质点相对于固 定参考系的速度称为绝对速度
行求解 F fm a
– 当把惯性力当作一种外 “力”看待时，我 们同样可以像在惯性系中一样得到非惯性系 下面的一些定理（动量、动量矩、动能定 理），此时，惯性力必须要考虑进去
理论力学第三章
注意结果中“ - ‖的含意 !!!
END
例3-2 已知：小车匀速上升，P = 10kN。α=30o y 求： 拉力T 和轨道给车轮的约束反力。 解：1) 取小车为分离体; a=0.75m; b=0.3m T b 画受力图： 2) 列平衡方程：
X 0 : T P sin 0 3)解：T = Psin30o = 5 kN
X 0 : X A T cos 30 0
XA = Tcos30o = 15.01 kN
P Q
Y 0 : YA T sin 30 P Q 0
YA = P + Q－Tcos30o = 5.33 kN
M A 0 : T 6 sin 30 P 3 Q 4 0
END
例3-3 已知：P = 20 kN, m = 16 kN· qa = 20 kN/m, a = 0.8 m m, q
求：A、B的支反力。
解：1)取AB梁为分离体； 画受力图如右图示： 2)列平衡方程：
XA
YA
YB
X 0：
Y 0：
XA 0
YA YB qa P 0
小 结
1) 力的平移定理： 条件、结论及其应用 2) 力矩与附加力偶：概念、区别及其特性
3) 平面任意力系的简化：
概念 —— 合成与分解 结果 —— 主矢与主矩
应用 —— 求合力或受力分析
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1) 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 从上节可知平面任意力系平衡的充要条件是： 而
1
3
2)平面汇交力系、平面平行力系：2 所以：当独立方程的数目“n”≥未知数的数目“m‖时， 就是静定问题(即可以由静力学平衡方程完全确定的问题)。
END
例3-2 已知：小车匀速上升，P = 10kN。α=30o y 求： 拉力T 和轨道给车轮的约束反力。 解：1) 取小车为分离体; a=0.75m; b=0.3m T b 画受力图： 2) 列平衡方程：
X 0 : T P sin 0 3)解：T = Psin30o = 5 kN
X 0 : X A T cos 30 0
XA = Tcos30o = 15.01 kN
P Q
Y 0 : YA T sin 30 P Q 0
YA = P + Q－Tcos30o = 5.33 kN
M A 0 : T 6 sin 30 P 3 Q 4 0
END
例3-3 已知：P = 20 kN, m = 16 kN· qa = 20 kN/m, a = 0.8 m m, q
求：A、B的支反力。
解：1)取AB梁为分离体； 画受力图如右图示： 2)列平衡方程：
XA
YA
YB
X 0：
Y 0：
XA 0
YA YB qa P 0
小 结
1) 力的平移定理： 条件、结论及其应用 2) 力矩与附加力偶：概念、区别及其特性
3) 平面任意力系的简化：
概念 —— 合成与分解 结果 —— 主矢与主矩
应用 —— 求合力或受力分析
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1) 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 从上节可知平面任意力系平衡的充要条件是： 而
1
3
2)平面汇交力系、平面平行力系：2 所以：当独立方程的数目“n”≥未知数的数目“m‖时， 就是静定问题(即可以由静力学平衡方程完全确定的问题)。
理论力学-课件第3章
由图3-6（b）可得
cos
1
1
12 32 52 5.92
cos 3 ， cos 5
5.92
5.92
（2）计算力F 在各坐标轴上的投影
Fx
F
cos
500
N
1 5.92
84.5
N
Fy
F
cos
500
N
3 5.92
253.4
N
Fz
F
cos
500
N
5 5.92
422.3
N
图3-6（b）
（3）计算力 F在各坐标轴的矩
上，如图3-9所示。在刚体上取任意一点O为简化中心，将各力向O点
平移，可得到一个在O点的空间汇交力系和一个空间附加力偶系。与
平面力系类似，该汇交力系可合成为一个作用于O点的力 FR ，等于各
力的矢量和。
即
FR F1 F2 Fn Fi （3-11）
图3-9
附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 MO，等于各附加力
Fy
Fx2 Fy2 Fz2
Fz
Fx2 Fy2 Fz2
第二节 力对轴的矩与力对点的矩
一、力对轴的矩
一力使物体绕某一定轴转动，其效应通常以此力对该轴的矩来度 量，称为力对轴的矩。
图3-3
归纳：当力作用线与旋转轴共面时， 不可能使物体绕该轴转动。
如果力 F 垂直于门且不通过转动轴，就能使门转动；而且这个力越大， 或其作用线与转动轴的距离越远，这个转动效应就越显著。
（3-6）
式（3-6）即为力对轴之矩的解析表达式。
注意式中力 F 的投影Fx ，Fy ，Fz 和力F 的作用点的坐标x，y，z
郭新柱 理论力学(第三章)
即平面力系向点 B 简化得到一力和一力偶，该力过点 B ，其大小和方向与力系的主矢 F 相
同。该力偶的力偶矩等于主矩 M B ，如图 b
y
y
MC
A B
F
3、向 C 点简化的主矩
D C
x
F
A (-3,0) B
D Cx
利用两点之矩的关系计算 M C M B M C F 3 Fy 2 5KN
o 1 1 2
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
简化
FR
简化 中心
①
=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 FR
简化
M=MO
简化 中心
=0 FR
② FR =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚体等效于只有一个力 偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时， 主矩与简化中心O无关。
2 2
Fx 2 2 5 cos F 5 5
F 的解析式
5 cos F 5 5
Fy
1
F 2i 1 j
y
A
Fx MB Fy
D B Cx
2 向 B 点简化的主矩
F
同。该力偶的力偶矩等于主矩 M B ，如图 b
y
y
MC
A B
F
3、向 C 点简化的主矩
D C
x
F
A (-3,0) B
D Cx
利用两点之矩的关系计算 M C M B M C F 3 Fy 2 5KN
o 1 1 2
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
简化
FR
简化 中心
①
=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 FR
简化
M=MO
简化 中心
=0 FR
② FR =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚体等效于只有一个力 偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时， 主矩与简化中心O无关。
2 2
Fx 2 2 5 cos F 5 5
F 的解析式
5 cos F 5 5
Fy
1
F 2i 1 j
y
A
Fx MB Fy
D B Cx
2 向 B 点简化的主矩
F
理论力学第三章
F1 400 FBx 800 0
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
理论力学第三章
1静力学第三章 平面任意力系第三章 平面任意力系若所有力的作用线都在同一平面 内，且它们既不相交于一点，又不平 行，此力系称为平面任意力系，简称 平面力系。
本章将研究该力系的简化 与平衡问题，这是静力学的重点之 一。
本章还介绍平面简单桁架的内力 计算。
2静力学第三章 平面任意力系§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。
力系简化的理论基础是力线平移定理。
1．力线平移定理 作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。
3静力学第三章 平面任意力系请看动画4静力学第三章 平面任意力系5静力学第三章 平面任意力系2．平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢与主矩 设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。
应 用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…， Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。
再 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即′ FR = Fi′ = Fii =1 i =1nn(c)6静力学第三章 平面任意力系平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即MO = Mi = MO (Fi )i =1 i =1nnFRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的 主矢。
MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。
主 矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指 明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简 化。
可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的 力和一个相对于简化中心的主矩。
该主矩等于原力 系对简化中心的矩。
它们的解析表达式为7静力学第三章 平面任意力系′ ′ ′ FR = FRx + FRy = Fx i + Fy j大小方向余弦′ FR = ( Fx ) + ( Fy )22F cos( F ′ , i ) =Rx′ FR,nF cos( F ′ , j ) =Ry′ FR主矩M O = M O (Fi ) = ( xi Fyi − yi Fxi )i =1 i =1n8静力学第三章 平面任意力系3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端） 支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。
理论力学第3章刚体力学
§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
▪在普通物理学中处理定轴转动时，曾直接把 角速度 作为一个矢量，这样处理在逻辑上 其实是不够严谨的。 ▪但在定轴转动中角速度方向始终不变，所以 它是不是矢量关系不大。
▪ 但在刚体绕固定点转动时，转动轴方向随 时改变，因而角速度的方向也随时改变， 所以必须首先证明角速度是一个矢量。 ▪ 并不是有量值有方向的量就一定是矢量。 它还必须遵守平行四边形加法所应遵守的 对易律，即：
§3.1 刚体运动的分析
1 什么是刚体？
▪刚体是一种理想化的特殊的质点组，质点组 中任意两点之间的距离保持不变。 ▪在处理实际问题时，当物体的大小和形状的 变化可以忽略不计时，可以把它当作刚体看 待。
2 确定刚体的空间位置需要几个独立变量？
▪在空间确定一个质点的位置需要三个独立变 量。那么由 n个质点组成的质点组需要 3n 个
亦即矢量
r
经 n 微小转动后的线位移为
r
现在来看两个微小转动n 和n 的合成是不是遵
守对易律？
▪ 转动前，P 的位矢：r ▪ 转动 n后： r n r ▪ 再转动 n 后：r n r n (r n r )
有限转动角位移不是矢量，因它不遵守 对易律
考查无限小转动时角位移是否是矢量？
▪ 如图可见，若r 为无限小量 则 r 必与包含 r 及n 的平面
垂直，且 r PM
▪ 但 PM r sin
▪ 因此 r r sin r n sin ▪ 即 r n r
▪ 定轴转动。 如果刚体运动时，其中有两个点始终不动， 因为两点可以决定一条直线，整个刚体就绕 着这条直线转动，叫定轴转动。只要知道刚 体绕这条轴线转了多少角度，就能确定刚体 的位置。因此刚体作定轴转动时只有一个独 立变量。
理论力学第三章力矩与力偶
解: １）各力偶的合力偶矩为：
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦
cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶
Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为
M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)
rOA
(F
)
rOB
F
(rOB
rOA )
F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦
cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶
Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为
M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)
rOA
(F
)
rOB
F
(rOB
rOA )
F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
理论力学第三章平面任意力系
m
B (F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) FA ( 2 2) 0
Q 75 kN
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求： ①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时 轨道A、B给起重机轮子的反力？
3-3 物体系的平衡 静定与超静定问题
物系平衡的特点：
1、物系中每个单体也必平衡。
2、每个单体可列3个平衡方程，整个系统可
列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法： 由整体 局部， 由局部 整体
[思考题:P61 3-9]
三、例题分析 [例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：1）研究B
MO
M
i 1
n
O ( Fi )
(x Y
i 1
n
i i
yi X i )
其 中 ， i，y i 为 力Fi 作 用 点 的 坐 标 。 x
大小： MO 主矩MO
（转动效应）
m
O ( Fi )
方向：
方向规定
+
—
简化中心： (与简化中心有关，必须指明 力系是对于哪一点的主矩)
[思考题:P61 3-6]
② F R '=0,MO≠0
即简化结果为一合力偶M, M=MO 。
若为O1点，如何?
力偶可以在刚体平 面内任意移动， 故此时主矩与简化中心O无关。
' ③ F R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力F ' 。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
中南大学土木建筑学院
31
[例] 已知各杆均铰接，杆重不计，B 端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m。求AC 杆内力和B点的约束力？
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
解：
X 0, X D 0
mDy
0,
m2
Z
A
a
0,Z
A
m2 a
mDz
0,
m3
Y
A
a
0,Y
A
m3 a
Y
0,
Y
A
YD
0,
YD
YA
m3 a
Z
0,
Z
A
Z
D
0,
Z
D
Z
A
m2 a
mx1 0, m1 bZD cYD 0
m1
bZ
D
cYD
b(
m2 a
)
c(
m3 a
)
b a
m2
c a
m3
解：思路：要巧选投影轴和取矩 轴，使一个方程解出一个未知数。
中南大学土木建筑学院
17
由Z 0,NB P80N
mDD' 0,
TB
c
os60
AC
P
1 2
CE
0
又 ACctg60cos60CE
TB
c
os60
A
C
P
1 2
A
Cc
tg60c
os60
TB
P 2
c
tg60
P 2
3 3
3 6
8023.1
( N)
理论力学
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5P1.20
X ' 0, X Asin YAcos Psin 0
而sin
AC AD
12.6
45;
cos
CADD12.2
3 5
解得: X A 136N;YA 48N
理论力学
中南大学土木建筑学院
34
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, SB sinCBYAAC 0
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X )2 (Y )2 0 M O mO (Fi )0
理论力学
中南大学土木建筑学院
20
平面任意力系平衡方程为：
X 0
X 0
mA(Fi ) 0
Y 0
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0
mO (Fi )0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
平面 力偶系
mi 0
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
X 0
平面 任意力系
Y
0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
mO (Fi )0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
理论力学
中南大学土木建筑学院
25
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
RB
a
qa
a 2
m
P2a
0
Y 0 YA RB qaP0
RB
qa 2
m a
2
P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
理论力学
中南大学土木建筑学院
24
§3-3 静定与静不定 物系的平衡
一、静定与静不定问题的概念
平面 X 0 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 汇交力系 Y 0
理论力学
中南大学土木建筑学院
29
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X 0
N SB sin 0
Y 0
P SB cos 0
SB
P
cos
,
N P
tg
理论力学
中南大学土木建筑学院
30
N2 230 (kN)
理论力学
中南大学土木建筑学院
10
[例] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座约束力和力偶矩m1?
此题训练：
①力偶不出现在投影式中 ②力偶在力矩方程中出现是
把力偶当成矢量后，类似 力在投影式中投影。
③了解空间支座约束力 ④力争一个方程求一个约束力
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
[例] 已知: RC=100mm， RD=50mm，Px=466N，Py=352N ，Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）
和轴承A , B的约束力？
解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程 最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。
理论力学
中南大学土木建筑学院
27
物系平衡的特点： ①物系静止，物系中每个单体也是平衡的； ②每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
理论力学
中南大学土木建筑学院
28
三、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
my (P ) my (Px )my (P y )my (Pz ) 005Pz 5Psin4570.7(Nm)
理论力学
中南大学土木建筑学院
8
[例] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN;
求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力
解：分别研究C点和B点作受力图
由C点：Y 0,T1'sin15Qsin450,
mz 0
面空 的间 力 系
X 0 Y 0 mx 0 my 0
mz 0
X 0 Y 0 mx 0 my 0 mz 0 mx' 0
四矩式、 五矩式和 六矩式的附加条件 均为使方程式独立。
理论力学
中南大学土木建筑学院
5
2.空间力系的几个问题： ①x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选
中南大学土木建筑学院
18
理论力学
X 0, TA TB cos600
TA TB cos60
3 6
80
1 2
11.5
(
N)
Y 0, N A TB sin600
N A
3 6
80
3 2
20
(
N)
中南大学土木建筑学院
19
§3-2 平面力系的平衡方程及应用
一、平面任意力系平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：
静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力） 中用位移谐调条件来求解。
理论力学
中南大学土木建筑学院
26
二、物体系统的平衡问题
物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
外力、内力都是某研究对象而言的， 对不同的研究对象而言，可转换。
mz (F )0
X 0
Y 0 均成为了恒等式。
理论力学
中南大学土木建筑学院
4
∥z ∥xoy
空 X 0
间 Y 0
一 般
Z 0
力 mx 0
系 my 0
1.空间力系方程
空 间 汇 交 力
X 0 Y 0 Z 0
空 间 力 偶 系
系
空
mx 0 间 Z 0
m y 0 轴
mx 0
mz 0
力 系
my 0
理论力学
中南大学土木建筑学院
15
方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力 系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
中南大学土木建筑学院
31
[例] 已知各杆均铰接，杆重不计，B 端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m。求AC 杆内力和B点的约束力？
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
解：
X 0, X D 0
mDy
0,
m2
Z
A
a
0,Z
A
m2 a
mDz
0,
m3
Y
A
a
0,Y
A
m3 a
Y
0,
Y
A
YD
0,
YD
YA
m3 a
Z
0,
Z
A
Z
D
0,
Z
D
Z
A
m2 a
mx1 0, m1 bZD cYD 0
m1
bZ
D
cYD
b(
m2 a
)
c(
m3 a
)
b a
m2
c a
m3
解：思路：要巧选投影轴和取矩 轴，使一个方程解出一个未知数。
中南大学土木建筑学院
17
由Z 0,NB P80N
mDD' 0,
TB
c
os60
AC
P
1 2
CE
0
又 ACctg60cos60CE
TB
c
os60
A
C
P
1 2
A
Cc
tg60c
os60
TB
P 2
c
tg60
P 2
3 3
3 6
8023.1
( N)
理论力学
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5P1.20
X ' 0, X Asin YAcos Psin 0
而sin
AC AD
12.6
45;
cos
CADD12.2
3 5
解得: X A 136N;YA 48N
理论力学
中南大学土木建筑学院
34
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, SB sinCBYAAC 0
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X )2 (Y )2 0 M O mO (Fi )0
理论力学
中南大学土木建筑学院
20
平面任意力系平衡方程为：
X 0
X 0
mA(Fi ) 0
Y 0
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0
mO (Fi )0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
平面 力偶系
mi 0
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
X 0
平面 任意力系
Y
0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
mO (Fi )0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
理论力学
中南大学土木建筑学院
25
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
RB
a
qa
a 2
m
P2a
0
Y 0 YA RB qaP0
RB
qa 2
m a
2
P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
理论力学
中南大学土木建筑学院
24
§3-3 静定与静不定 物系的平衡
一、静定与静不定问题的概念
平面 X 0 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 汇交力系 Y 0
理论力学
中南大学土木建筑学院
29
[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X 0
N SB sin 0
Y 0
P SB cos 0
SB
P
cos
,
N P
tg
理论力学
中南大学土木建筑学院
30
N2 230 (kN)
理论力学
中南大学土木建筑学院
10
[例] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座约束力和力偶矩m1?
此题训练：
①力偶不出现在投影式中 ②力偶在力矩方程中出现是
把力偶当成矢量后，类似 力在投影式中投影。
③了解空间支座约束力 ④力争一个方程求一个约束力
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
[例] 已知: RC=100mm， RD=50mm，Px=466N，Py=352N ，Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）
和轴承A , B的约束力？
解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程 最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。
理论力学
中南大学土木建筑学院
27
物系平衡的特点： ①物系静止，物系中每个单体也是平衡的； ②每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
理论力学
中南大学土木建筑学院
28
三、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
my (P ) my (Px )my (P y )my (Pz ) 005Pz 5Psin4570.7(Nm)
理论力学
中南大学土木建筑学院
8
[例] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN;
求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力
解：分别研究C点和B点作受力图
由C点：Y 0,T1'sin15Qsin450,
mz 0
面空 的间 力 系
X 0 Y 0 mx 0 my 0
mz 0
X 0 Y 0 mx 0 my 0 mz 0 mx' 0
四矩式、 五矩式和 六矩式的附加条件 均为使方程式独立。
理论力学
中南大学土木建筑学院
5
2.空间力系的几个问题： ①x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选
中南大学土木建筑学院
18
理论力学
X 0, TA TB cos600
TA TB cos60
3 6
80
1 2
11.5
(
N)
Y 0, N A TB sin600
N A
3 6
80
3 2
20
(
N)
中南大学土木建筑学院
19
§3-2 平面力系的平衡方程及应用
一、平面任意力系平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：
静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力） 中用位移谐调条件来求解。
理论力学
中南大学土木建筑学院
26
二、物体系统的平衡问题
物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
外力、内力都是某研究对象而言的， 对不同的研究对象而言，可转换。
mz (F )0
X 0
Y 0 均成为了恒等式。
理论力学
中南大学土木建筑学院
4
∥z ∥xoy
空 X 0
间 Y 0
一 般
Z 0
力 mx 0
系 my 0
1.空间力系方程
空 间 汇 交 力
X 0 Y 0 Z 0
空 间 力 偶 系
系
空
mx 0 间 Z 0
m y 0 轴
mx 0
mz 0
力 系
my 0
理论力学
中南大学土木建筑学院
15
方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力 系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。