数据结构-哈夫曼树及其应用

15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
15
15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优
i=1 n
二叉树”或称为“哈夫曼树”。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,......,Tn}， 其中Ti是只有一个根结点且根结点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从F 中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一棵 新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值为 其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码：
例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
二、哈夫曼树及其应用
三、实例
已知某通信用电文仅由A、B、C、D这4个字符构成， 其出现的频率分别为：8、4、6、2，请给出它们的哈夫 曼编码，要求写出相应的哈夫曼树。
解：根据哈夫曼算法，求得哈夫曼树如下：
20
0 A8
6
1
12
从根开始到叶子得各字 符的哈夫曼编码如下：
1
6
0 0
C
A :0 B:100
C:11 D:101
译码时，两位一分进行译码，可唯一得到电文： ABACCDA 。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码： 即采用不等长的编码方案，将“高频字符”的 编码设计得尽可能短一些，把最长的编码留给“低 频字符”。 例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
a<80 no a<90 yes 打印 “good" no 打印"excellent" 10%的学生 40%的学生 15%的学生 30%的学生
打印"general"
二、哈夫曼树及其应用
1.哈夫曼树的有关概念
①结点的路径长度： 从根结点沿某条路径到某结点途中所经历的弧的条数 称为该结点的路径长度。
② 树的路径长度： 从根结点到每一个叶子结点的路径长度之和。
n
作业:
1.假设用于通信的电文仅由6个字母 {A,B,C,D,E,F} 组成,这6个字母在电文中出现的频率高低依次为： 3,4,5,8,9,4,试为这6个字母设计哈夫曼编码。 2.证明:若哈夫曼树中有n个叶子结点,则该哈夫曼树 中共有2n-1个结点。（提示：哈夫曼树中无度数为 1的结点,则利用教材第124页二叉树的性质3即可得 证）
哈夫曼树 及其应用
一、问题的提出
设有10000个学生某门课程的考试成绩的分布如 下表所示：
学生成绩数据分布情况表
分数 学生比例数 0~59 0.05 60~69 70~79 80~89 90~100 0.15 0.40 0.30 0.10
*问题：现在要编写程序依次根据每个学生的成绩 打印出该学生的成绩等级。
③结点的带权路径长度： 某结点的路径长度与该结点上的权值的乘积称为该结 点的带权路径长度。 ④ 树的带权路径长度(WPL)： 树中所有叶子结点的带权路径长度之和称为树的带权 路径长度。
二、哈夫曼树及其应用 树的带权路径长度为：
树的带权路径长度为： 1.哈夫曼树的有关概念 树的带权路径长度为： WPL=2*4+3*7+3*5+1*2=46 WPL=1*7+2*5+3*2+3*4=35 WPL=2*7+2*5+2*2+2*4=36 实例：已知某二叉树的四个叶子结点 a,b,c,d
分别带权7，5，2，4，则可构造出有如下几 种不同形式的二叉树：
2 7
c
4 7 5 2 4
a
5
d d
7 5
b a b
a
b
c
2
4
c
d
二、哈夫曼树及其应用
1.哈夫曼树的有关概念
⑤哈夫曼树的定义：
设有n个叶子结点的二叉树，其第i个 叶子结点的权值为wi(i=1,2,3,...n),且第i个 叶子结点的路径长度为li ,则使
a<80 no a<90 yes 打印 “good" no 打印"excellent" 10%的学生 40%的学生 15%的学生 30%的学生
打印"general"
思考：如何找到一棵最优的判断树使得编写 出来的程序的运行时间是最高效的？
读取一个学生成绩→a
方法2：
循环一万次
a<70 yes a<60 yes 打印"bad" 5%的学生 no 打印"pass" no yes
End
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ①等长编码：
设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进行 等长编码如下：
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ①等长编码： 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进行 等长编码如下： A: 00 B: 01 C: 10 D: 11
则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 00010010101100 总长为14位
学生成绩数据分布情况表
分数 0~59 60~69 70~79
学生比例数
0.05
0.15
0.40
共做31500 80~89 90~100 次比较
0.30 0.10
读取一个学生成绩→a
方法1：
yes 打印"bad"
a<60 no a<70 yes 打印"pass" yes 打印"general" yes 5%的学生 15%的学生 40%的学生 30%的学生 打印"good" no 打印"excellent" 10%的学生 no a<80 no a<90
60
40 a
30 b
30
15
15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
40 a 60 100
30 b
30
15
15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ①等长编码： 以英文字符编码为例，一般英文字符编码是采 用7位二进制数编码（ASCII码）。7位二进制数可 以为27个不同的英文字符编码。 下面为讨论问题简单起见，假设被编码的字符 集中只有4个（即22个）不同字符，故只要两位二 进制数即可完成编码。 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进行 等长编码如下：
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
1
2
B 4
D
则对于电文“ABACCDA”的二 进制电码为： 0100011111010 总长为13位
四、小结:
1.哈夫曼树的引入：程序优化问题。 2.哈夫曼树的定义：
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优二叉树”或 i=1 称
为“哈夫曼树”。 3.哈夫曼树求解的算法思想：3个步骤。 4.哈夫曼树的应用：哈夫曼编码的设计问题。
思考：如何解 3.哈夫曼编码 决这一问题？ ②压缩编码： 问题的关键在于编码 例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 是否为无前缀编码。 下不等长编码方案进行编码：
A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一。 如000011010中的前4个0的译码会有如下几种不 同译码： 0000→AAAA；0000→ABA；0000→BB
循环一万次
学生成绩数据分布情况表
分数 学生比例数 0~59 0.05 60~69 70~79 0.15 0.40
共做22000 80~89 次比较 90~100
0.30 0.10
读取一个学生成绩→a
方法2：
循环一万次
a<70 yes a<60 yes 打印"bad" 5%的学生 no 打印"pass" no yes
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ③无前缀压缩编码（既哈夫曼编码）： *思想：利用哈夫曼树设计出来的不等长的编码方 案一定是无前缀的。 *方法：
步骤1：将各字符按照其“出现频率”的统计数字安排 一个“权值”并作为“叶子”，并求出相应的哈夫曼树；
步骤2：树中各结点到其左孩子的边上的权值设为0、到 其右孩子的边上的权值设为1（即所谓左0右1）； 步骤3：从根开始到“叶子”所经历的边上的数值的序 列即为该“叶子”所对应的字符的编码。