难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

初中数学难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题.doc

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】难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE ＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP ＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

中考数学专题复习之特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE ＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠PAM ＝30°，AP ＝10，∴PM ＝12AP＝5.由勾股定理得AM ＝PA 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．。

最新湘教版八年级下册数学难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)

难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题(选做)◆类型一菱形及正方形中利用点的对称性求最小值【方法9】1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则P A＋PB＋PC＋PD的最小值是()A．边长的两倍B．周长C．两条对角线长之和D．以上都不对2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，点E是BC中点，点P 在对角线AC上滑动，则BP＋EP的最小值是()A. 2 B．2 C. 5 D．3第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是________．◆类型二特殊四边形中的动态问题一、动点问题4．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度沿对角线AC运动到点C.设运动时间为t秒，当图中出现等腰三角形个数最多时(不再添加辅助线)，t的值为()A．3.6 B．4 C．5 D．6第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2016时，点P所在位置为________；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为________(用含自然数n的式子表示)．6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间，四边形AQCP 是菱形？(2)在(1)的条件下，分别求出菱形AQCP的周长、面积．二、图形的变化问题7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积CA．由小变大B．由大变小C．始终不变D．先由大变小，后由小变大8．(临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)如图②，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．◆类型三四边形间的综合性问题9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF ＝15°，则∠B的度数是()A．50°B．55°C．70°D．75°第9题图第10题图10．(南京中考)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.11．★如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△F AC.（1）试说明四边形AFED是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？并说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？并说明理由；(4)当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？参考答案与解析1．C 2.C 3.3 4.C 5.点A4n＋36．解：(1)可能．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC.∵DP＝BQ，∴AP＝CQ，∴四边形AQCP为平行四边形．设经过x s后，四边形AQCP是菱形，∴AP＝AQ.由勾股定理得AB2＋BQ2＝AQ2，即16＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即经过3s后四边形AQCP是菱形．(2)由(1)得菱形的边长为AP＝8－x＝5(cm)，∴菱形AQCP的周长为5×4＝20(cm)，菱形AQCP 的面积为5×4＝20(cm2)．7．C解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形BNOM＝S△BOC＝14S正方形ABCD，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.8．解：(1)FG＝CE FG∥CE(2)结论仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.又∵CE＝BF，∴△FBC≌△ECD，∴CF＝DE，∠FCB＝∠EDC.∵EG＝DE，∴CF＝GE.∵∠EDC ＋∠DEC＝90°，∴∠FCB＋∠DEC＝90°，∴DE⊥CF.∵EG⊥DE，∴CF∥EG，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.(3)结论仍然成立．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠ABC＝90°，∴∠DCE ＝∠CBF＝90°.∵CE＝BF，∴△DCE≌△CBF，∴DE＝CF，∠CDE＝∠BCF.又∵∠DEC＋∠CEG ＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CEG＝∠CDE＝∠BCF，∴FC∥EG.∵EG＝DE，∴EG＝CF，∴四边形ABCD为平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE.9．C10．13解析：连接AC.因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC＝2×50＝10(cm)．因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD＝2×12010＝24(cm)，所以菱形的边长为⎝⎛⎭⎫1022＋⎝⎛⎭⎫2422＝13(cm)．11．解：(1)∵△ABD，△BCE，△F AC是等边三角形，∴AB＝DB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD ＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC.在△BDE和△BAC中，DB＝AB，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC，∴△DBE≌△ABC(SAS)，∴DE＝AC，∴DE＝AF.同理可证DA＝EF，∴四边形AFED是平行四边形．(2)当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．理由如下：∵△ABD，△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠CAF＝60°，∠DAF＝360°－∠DAB－∠BAC－∠CAF＝360°－60°－150°－60°＝90°，∴▱AFED是矩形．(3)当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时，四边形AFED是正方形．理由如下：由(2)可知，当∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形．∵AB＝AC，∴AD＝AF，∴矩形AFED是正方形．(4)当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D，A，F三点在同一条直线上，以点A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．。

【最新】九年级数学-4.难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)--精选练习

难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)◆类型一特殊平行四边形中的最值问题1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是（）A．边长的两倍B．周长C．两条对角线长之和D．以上都不对2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为【方法5③】（）A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 6第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是_____.【方法5③】4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_________.◆类型二特殊平行四边形中的动态问题一、动点问题5．如图①，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．206．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD，AN.当AM为_______时，四边形AMDN是矩形．二、图形变化问题7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积【方法5⑤】（）A．由小变大B．由大变小C．始终不变D ．先由大变小，后由小变大8．★如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型三四边形间的综合性问题9．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．10．★★(2016－2017·三门峡义马市期中)问题与探索问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现：(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形，并说明理由；(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论．难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)答案1．C2．B解析：如图，设BE与AC的交点为P′，连接BD，P′D.∵点B与点D关于AC对称，∴P′D＝P′B，即P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE.当点P位于点P′时，PD＋PE最小．∵正方形的面积为12，∴AB＝2 3.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，即PD＋PE最小值为2 3.故选B.3. 34．4.8解析：如图，连接P A.∵在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，∴AP＝EF.当EF最小时，P A也最小，∴当AP⊥CB时，P A最小，∴12AB·AC ＝12BC·AP，即AP＝AB·ACBC＝6×810＝4.8，∴线段EF的最小值为4.8.5．A解析：当P在BC上运动时，y随x 的增大而增大，根据图象得BC＝4.当P在CD 上运动时，y的值不变，∴CD＝9－4＝5，∴AB ＝5，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×5×4＝10.故选A.6．1解析：易证四边形AMDN是平行四边形，当MN＝AD，即AE＝EM时，四边形AMDN是矩形．∵四边形ABCD为菱形，∴AD ＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB＝60°，∴△AEM 为等边三角形，∴AM＝1，即当AM为1时，四边形AMDN是矩形．7．C解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO 是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S 四边形BNOM＝S△BOC，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.8．(1)证明：如图①，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA ＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；(2)解：①如图②，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O＝30°，∴∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求得∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上所述，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°.9．(1)证明：如图①，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：如图②，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠BPD ＝∠APC .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，∴EF ＝GH ＝EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是菱形；(3)解：四边形EFGH 是正方形．证明如下：如图②，设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .由(2)可知△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°，∴AC ⊥BD .∵点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，HG ∥AC ，∴EH ⊥HG ，∴∠EHG ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．10．解：(1)菱形理由如下：图①中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∠BAC ＝∠ACD .图②中，由旋转可得AC ＝AC ′，∠CAC ′＝α＝∠BAC ，∠AC ′D ＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝∠CAC ′＝∠AC ′D ，∴AC ′∥EC ，∴AC ∥EC ′，∴四边形ACEC ′是平行四边形．∵AC ＝AC ′，∴四边形ACEC ′是菱形；(2)过点A 作AE ⊥C ′C 于点E .由旋转可得AC ′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C ′AE ＝12α＝∠ABC .∵BA ＝BC ，∴∠BCA ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BCA ，∴AE ∥BC .同理可得AE ∥DC ′，∴BC ∥DC ′.又∵BC ＝DC ′，∴四边形BCC ′D 是平行四边形．又∵AE ∥BC ，∠AEC ＝90°，∴∠BCC ′＝180°－90°＝90°，∴四边形BCC ′D 是矩形．。

【最新】九年级数学-4.难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)--精选练习

难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)◆类型一特殊平行四边形中的最值问题1．设点P是正方形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值是（）A．边长的两倍B．周长C．两条对角线长之和D．以上都不对2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为【方法5③】（）A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 6第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是_____.【方法5③】4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_________.◆类型二特殊平行四边形中的动态问题一、动点问题5．如图①，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．206．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD，AN.当AM为_______时，四边形AMDN是矩形．二、图形变化问题7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积【方法5⑤】（）A．由小变大B．由大变小C．始终不变D ．先由大变小，后由小变大8．★如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型三四边形间的综合性问题9．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．10．★★(2016－2017·三门峡义马市期中)问题与探索问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现：(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形，并说明理由；(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论．难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题(选做)答案1．C2．B解析：如图，设BE与AC的交点为P′，连接BD，P′D.∵点B与点D关于AC对称，∴P′D＝P′B，即P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE.当点P位于点P′时，PD＋PE最小．∵正方形的面积为12，∴AB＝2 3.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，即PD＋PE最小值为2 3.故选B.3. 34．4.8解析：如图，连接P A.∵在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，∴AP＝EF.当EF最小时，P A也最小，∴当AP⊥CB时，P A最小，∴12AB·AC ＝12BC·AP，即AP＝AB·ACBC＝6×810＝4.8，∴线段EF的最小值为4.8.5．A解析：当P在BC上运动时，y随x 的增大而增大，根据图象得BC＝4.当P在CD 上运动时，y的值不变，∴CD＝9－4＝5，∴AB ＝5，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×5×4＝10.故选A.6．1解析：易证四边形AMDN是平行四边形，当MN＝AD，即AE＝EM时，四边形AMDN是矩形．∵四边形ABCD为菱形，∴AD ＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB＝60°，∴△AEM 为等边三角形，∴AM＝1，即当AM为1时，四边形AMDN是矩形．7．C解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO 是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S 四边形BNOM＝S△BOC，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.8．(1)证明：如图①，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA ＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；(2)解：①如图②，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O＝30°，∴∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求得∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上所述，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°.9．(1)证明：如图①，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：如图②，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠BPD ＝∠APC .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，∴EF ＝GH ＝EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是菱形；(3)解：四边形EFGH 是正方形．证明如下：如图②，设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .由(2)可知△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°，∴AC ⊥BD .∵点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，HG ∥AC ，∴EH ⊥HG ，∴∠EHG ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．10．解：(1)菱形理由如下：图①中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∠BAC ＝∠ACD .图②中，由旋转可得AC ＝AC ′，∠CAC ′＝α＝∠BAC ，∠AC ′D ＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝∠CAC ′＝∠AC ′D ，∴AC ′∥EC ，∴AC ∥EC ′，∴四边形ACEC ′是平行四边形．∵AC ＝AC ′，∴四边形ACEC ′是菱形；(2)过点A 作AE ⊥C ′C 于点E .由旋转可得AC ′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C ′AE ＝12α＝∠ABC .∵BA ＝BC ，∴∠BCA ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BCA ，∴AE ∥BC .同理可得AE ∥DC ′，∴BC ∥DC ′.又∵BC ＝DC ′，∴四边形BCC ′D 是平行四边形．又∵AE ∥BC ，∠AEC ＝90°，∴∠BCC ′＝180°－90°＝90°，∴四边形BCC ′D 是矩形．。