一元多项式除法及其相关问题的一种新解法

一元多项式除法及其相关问题的一种新解法

＊经慧芹

(昆明理工大学成人教育学院,云南昆明650051)

摘　要:　文章提出了一种求解两个一元多项式除法的系数变换法,并推广到求取一元多项式的最大公

因式及判别两个多项式是否互素等问题上,给出了该方法的应用实例。

关键词:　系数变换法;一元多项式;除法;最大公因式;互素

中图分类号:　0122.1 文献标识码:　A 文章编号:　1007-9793(2007)05-0021-04

在一元多项式环中,可以进行加、减、乘三种运算,但除法运算并不是普遍可以进行的,在解决多项式除法时,常遇到整除、最大公因式和互素等问题。一般地,可以使用带余除法来处理这些问题,但运算烦琐。作者结合自己多年的教学实践,总结出一种系数变换法,可以有效地解决一元多项式除法中的这些相关问题,且方法简单、实用、易掌握。

1　系数变换法

设P 是一个数域,P [x ]是数域P 上的一元多项式环,f (x )与g (x )是P [x ]中的两个多项式,并设g (x )≠0

1)若f (x )=0,则f (x )=0×g (x ),显然f (x )能被g (x )整除。

2)若 (f (x ))< (g (x )),则f (x )=0×g (x )+f (x ),显然f (x )不能被g (x )整除,余式为f (x )。

3)若 (f (x ))≥ (g (x )),设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,

g (x )=b 0x m +b 1x

m-1+…+b m -1x +b m (其中a 0≠0,b 0≠0,n ≥m )。情形I 当n =m ,即 (f (x ))= (g (x ))时,将f (x )与g (x )的系数按x 的方幂减小的顺序排成一个

数表:M=a 0　a 1　…　a n -1　a n

b 0　b 1　…　b m-1　b m (将第二行乘以-a 0b 0

,加到第一行上去)※0　a 1-a 0b 0b 1　…　a n -1-a 0b 0b m -1　a n -a 0b 0b m b 0 b 1 … b m -1 b m

则f (x )=q (x )g (x )+r (x ),其中

q (x )=a 0b 0,r (x )=(a 1-a 0b 0b 1)x n -1+…+(a n -1-a 0b 0b m -1)x +a n -a 0b 0

b m 第27卷第5期2007年9月云南师范大学学报J o u r n a l o f Y u n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .27N o .5S e p .2007

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收稿日期:2006-11-28作者简介:经慧芹(1966-),女,云南省牟定县人,讲师,主要从事成人教育和应用数学研究。

当r (x )=0时,f (x )能被g (x )整除。

情形Ⅱ　当n >m ,即 (f (x ))> (g (x ))时,其系数变换方法如下:

将f (x )与g (x )的系数按x 的方幂减小的顺序排成一个数表N=a 0　a 1　…　a m-1　a m a m+1　…　a n -1　a n

b 0　b 1…　b m-1　b m

(第二行乘以-a 0b 0

加到第一行上去,使b 0所对应的第一行的相应元素化为零)※0　a 1-a 0b 0b 1　…　a m-1-a 0b 0b m-1　a m -a 0b 0b m a m+1　…　a n -1　a n b 0 b 1 … b m -1 b m

(将第二行整体向右移动一位)※0　a 1-a 0b 0b 1　…　a m-1-a 0b 0b m-1　a m -a 0b 0b m a m+1　…　a n -1　a n b 0 … b m-2 b m-1 b m

记B 1=a 1-a 0b 0b 1,　B 2=a 2-a 0b 0b 2,…,B m-1=a m -1-a 0b 0b m -1,　B m =a m -a 0b 0

b m ,B m+1=a m+1,…,B n =a n ,则

※0　B 1　B 2　…　B m-1　B m B m+1　…　B n -1　B n

　b 0　b 1　…　b m-2　b m -1　b m

(若B 1≠0,则第二行乘以-B 1b 0

加到第一行上去,使b 0所对应的第一行的元素化为零)※0　0　B 2-B 1b 0b 1　…　B m-1-B 1b 0b m-2　B m -B 1b 0b m-1　B m +1-B 1b 0b m …　B n -1　B n b 0 b 1 … b m-2 b m-1 b m

(再将第二行整体向右移动一位)※0　0　B 2-B 1b 0b 1　…　B m-1-B 1b 0b m-2　B m -B 1b 0b m-1　B m +1-B 1b 0b m+1　…　B n -1　B n b 0 … b m-3 b m -2 b m-1 b m

再将b 0所对应的第一行的元素B 2-B 1b 0

b 1化为零,再次将第二行整体向右移动一位。……

重复以上步骤,直至将第二行整体向右移动n -m 次并使b 0所以应的第一行的相应元素化为零,第二行不变,即N ※0　…　0　a n -m +1　…　a n -1　a n

b 0　b 1 …　b m -1　b m

假设在整个过程中,第二行所乘的数分别为k 0,k 1,k 2…,k n -m 。则f (x )=q (x )g (x )+r (x ),其中:商式q (x )=-(k 0x n -m

+k 1x n -m -1+…+k n -m-1x +k n -m ) 余式r (x )=a ′n -m+1x m-1+a ′n -m+2x m -2+…+a ′n -1x +a ′

n 当r (x )=0时,f (x )能被g (x )整除。

·22·云南师范大学学报(自然科学版)第27卷