10-6 多元函数的泰勒公式
多元函数的泰勒公式
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C ,
或 x 2 xy y 2 x 6 y C1 .
2 2
利用变量代换求微分方程的解 dy 例6 求 ( x y )2的通解. dx
dy du 1 代入原方程 解 令 x y u, dx dx dy 1 u 2 解得 arctanu x C , dx
2
F (0) h k f ( x0 , y0 ), y x
(n)
n
F
( n1)
( ) h k y x
n1
f ( x0 h, y0 k ),
1 把上面各式代入F (1) F (0) F (0) F (0) 2! 1 (n) 1 F (0) F ( n1) ( ), (0 1). n! (n 1)!
4 f 3! , p 4 p 4 x y (1 x y )
( p 0,1,2,3,4),
x y f (0,0) xf x (0,0) yf y (0,0) x y, y x
x x y y f (0,0) x 2 f xx (0,0) 2 xyf xy (0,0) y 2 f yy (0,0) ( x y ) 2 ,
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.
例 1 求函数 f ( x , y ) ln(1 x y ) 的三阶麦
克劳林公式.
解: 因为f x ( x, y ) f y ( x, y )
1 , 1 x y
1 f xx ( x , y ) f xy ( x , y ) f yy ( x , y ) , 2 (1 x y ) 3 f 2! , ( p 0,1,2,3), p 3 p 3 x y (1 x y )
第八节 多元函数的Taylor公式
定理 2 设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )处有极值且可偏导, 则 r (8.7) ∇ f ( x 0 , y0 ) = 0 或即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 (8.7)'
满足 (8.7 )或(8.7 )' 的点称为 f ( x , y )的驻点.
f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取得极小值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极小值点 . 极大值与极小值统称为 极值 , 极大值点与极小值点 统称为极值点 .
如同一元函数 , 首先建立可微函数取得 极值的必要条件 .
∂2 f = − (1 + x + y )− 2 , ∂y 2 ∂k f 一般地 j k − j = ( −1)k −1 ( k − 1)!(1 + x + y )− k , ∂x ∂y
∂k f ( j k − j )( 0 , 0 ) = ( −1)k −1 ( k − 1)! ∂x ∂y
由(8.1)得
+ 2 f xy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )( y − y0 ) + f yy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 )2 ∂ ∂ 2 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )], ∂x ∂y
高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式
分析
近 1.若在 x0点相交
似 程
Pn (x) f (x0)
度 越
2.若有相同的切线
来
越 好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1） 求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】 求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】 求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解 由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
多元函数的Taylor公式
y
f
1, 2
1 2!
x
1
x
y
2
y
2
f
1, 2
f 1, 2 x 1 fx 1, 2 y 2 fy 1, 2
1 ( x 12
2!
f xx
1, 2 2 x 1 y 2
(4) 若函数z f (x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数.
n阶Taylor公式中关于h和k的n次多项式(或:除去函 数在点(x0+θh,y0+θk)(其中0<θ<1)处所有偏导数项以 后),称为n阶Taylor多项式.
在作近似计算时我们常用以下公式:
(h
x
k
y
)3
f
(0,
0)
3
C3p
p0
h
pk
3
p
x
3 p
f y3
p
(0,0)
2(h k)3
又 f (0, 0) 0,将h x , k y 代入三阶泰勒公式得
其中
R3
ln(1 x y)
(h
x
k
y
)
x
4
y
f ( h,
1 2
(x k)
h
y)2
x
1 3
1 4
(
x y)3
(x
(1 x
R3
y)4
y)4
ky
例2 写出在点(1,-2)附近函数 f x, y 2x2 xy y2
多元函数泰勒展式
多元函数泰勒展式多元函数的泰勒展开是一种将函数在其中一点附近用多项式逼近的方法。
泰勒展开可以用来求解函数在其中一点的导数、极值、曲线的拐点等问题，具有很重要的应用价值。
设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的其中一邻域内有各阶偏导数，则函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的泰勒展开式为：$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)+$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{\partial^2 f}{\partialy^2}(x_0,y_0)(y-y_0)^2\right)+$$\frac{1}{3!}\left(\frac{\partial^3 f}{\partialx^3}(x_0,y_0)(x-x_0)^3+3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0)+\right.$$\left.3\frac{\partial^3 f}{\partial x\partialy^2}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2+\frac{\partial^3 f}{\partialy^3}(x_0,y_0)(y-y_0)^3\right)+\cdots$其中，$f(x_0,y_0)$是函数在$(x_0,y_0)$处的函数值；$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$和$\frac{\partialf}{\partial y}(x_0,y_0)$是函数在$(x_0,y_0)$处的一阶偏导数；$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)$和$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)$是函数在$(x_0,y_0)$处的二阶偏导数；$\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}(x_0,y_0)$和$\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}(x_0,y_0)$是函数在$(x_0,y_0)$处的三阶偏导数。
常用泰勒公式大全图片
常用泰勒公式大全图片
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n 次多项式来逼近函数的方法。
在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
扩展资料：
泰勒公式表示形式：
（1）形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)
(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
（2）形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。
任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。
)+f'(x。
)(x-x。
)+f''(x。
)/2!*(x-x。
)^2,+f'''(x。
)/3!*(x-x。
)^3+……+f(n)(x。
)/n!*(x-x。
)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。
)^(n+1), ξ在x。
和x之间，是依赖于x的量。
10-6泰勒级数
f (n) ( x) n!an (n 1)n3 2an1( x x0 )
令 x x0 , f (0) (x0 ) f (x0 ) ， 即得
an
＝x 1 x3 1 x 5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
cos
x
sin
x
m=0
(1)m
x2m1
(2m
1)!
(1)m
m0
x2m 。
2m!
例3：将 f (x) arctan x 展开成 x 的幂级数。
由函数项级数收敛定义即可完成证明。
注： f (n) (x) M ,
xX , n0,
lim
n
Rn
(
x)
0
。
3，初等函数的泰勒展开式
求初等函数的泰勒展开式通常有两个方法。
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f (n) (0) sin n , 2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 2
sin x (1)m
x2m1
m=0
(2m 1)!
x (,) x (,)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 (1)n (2n 1)!! xn
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泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和:
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
x2m2
(0 1)
(2m 2) !
又 cos2 x 1 1 cos 2x,
22
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所以 cos2 x 1 1 1 1 2x2 1 2x4
2 2 2!
4!
1m
1 2m
!
2
x
2
m
1 2m
2!
2
x
2m2
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.
Taylor公式
2 ′ ϕ′(t)=h fxx(x +h, y +kt) t 0 0
+2 kfxy(x +h, y +k ) h t 0 t 0
+k fyy(x +h, y +k ) t 0 t 0
2
∂ ∂ ⇒ ′(0 =(h∂x+k∂y)2 f (x , y ) ϕ′ ) 0 0
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一般地,
利 mx x+ 1 x ) = 2 用a ( −
2 [01 ,]
M n1 n1 + + ≤ ( 2 1 ( ∂ +k ) )nρf (x oθ n) + k (h 0 R =(n+(n+∂x ∂y + h )! ∂ 1 =+ρ , y θ ) 1 n 0 1! )
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内可微， （2 设函数 f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 )的某邻域 D内可微，则 ）
①
∂ ∂ + 其中 R =(n1 )!(h∂x+k∂y)n 1f (x + h y + k) ② n 0 θ , 0 θ + 1
(0< < ) θ 1
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式 ②称为其拉格 阶泰勒公式, 拉格 朗日型余项 .
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证: 令 ϕ t)= f (x +th y +tk ( ≤t ≤ ) ( , 0 ) 0 1, 0 则
m ∂ f ( ) p − C ϕ m (t)=∑ mhpkm p p m p t 0 t ∂ ∂y − (x +h, y +k ) x 0 p0 = m
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，从而可以用多项式来逼近原函数。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等各个领域。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念和展开式的计算方法，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来看泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 。
其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
展开式中的每一项都可以由原函数在点x=a处的导数来确定，这就是泰勒展开式的基本思想。
接下来，我们将列举一些常见函数的泰勒展开式。
首先是指数函数e^x，在点x=0处的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式实际上就是指数函数的麦克劳林展开式，它在数学分析和物理计算中有着广泛的应用。
另一个常见的函数是三角函数sin(x)，在点x=0处的泰勒展开式为：sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...这个展开式可以用来近似计算sin(x)的值，尤其是在计算机程序中经常会用到。
除了指数函数和三角函数，对数函数ln(1+x)的泰勒展开式也是非常重要的。
在点x=0处的展开式为：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...这个展开式在微积分和数学分析中有着重要的应用，可以用来近似计算对数函数的值。
除了这些常见的函数，泰勒展开式还可以用于其他各种函数的近似计算。
通过计算函数在某一点处的导数，我们可以得到它的泰勒展开式，从而可以用多项式来逼近原函数。
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式（Taylor Series）是数学分析中的一个重要工具，用于近似地表示一个函数在其中一点附近的值。
其基本思想是使用函数在其中一点的各阶导数来逼近函数的值。
泰勒公式的完整推导可以用数学归纳法证明，展开为一般形式为：\[f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\]其中，\(f(x)\)是要近似的函数，\(a\)是近似的中心点，\(n\)是近似的阶数，\(f'(x), f''(x), \ldots, f^{(n)}(x)\)是函数在\(a\)点的各阶导数，\(R_n(x)\)是余项。
以下是几种常用的泰勒公式：1.一阶泰勒公式：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]这是泰勒公式的最简单形式，将一阶导数乘以\(x-a\)，得到函数在近似点附近的一次线性逼近。
2.二阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\]在一阶泰勒公式的基础上，再加上二阶导数乘以\(\frac{(x-a)^2}{2!}\)，得到函数在近似点附近的二次二项式逼近。
3.三阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3\]在二阶泰勒公式的基础上，再加上三阶导数乘以\(\frac{(x-a)^3}{3!}\)，得到函数在近似点附近的三次三项式逼近。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是用来将一个函数表达式在一些点处展开成一系列无穷次的幂级数的公式。
这个公式在数学和物理领域中很常见，并且经常被用来进行函数逼近和近似计算。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+⋯其中，f(x)是要展开的函数，a是展开的点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别表示f(x)在点a处的一阶、二阶和三阶导数。
通过不断迭代，我们可以将泰勒公式展开到任意阶。
不同阶的展开式有不同的表示形式，下面我将介绍几种常见的泰勒公式展开式。
1.一阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个展开式将函数f(x)在点a处展开到一阶，也就是通过函数在点a 处的函数值和一阶导数来近似函数的取值。
2.二阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到二阶，也就是通过函数在点a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似函数的取值。
3.三阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到三阶，也就是通过函数在点a处的函数值、一阶导数、二阶导数和三阶导数来近似函数的取值。
4.n阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+⋯+f^(n)(a)(x-a)^n/n!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到n阶，也就是通过函数在点a处的函数值、一阶导数、二阶导数直到n阶导数来近似函数的取值。
高中数学：多元函数泰勒公式
2
上连续,在 D 的
所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P ( a , b ),
证 引入函数 显然
( t ) f ( a h t , b kt ),
( 0 t 1).
( t ) C [0, 1], 在 (0, 1)
内可微 ,由中值定理
f ( a h , b k ) f ( h , k ) (1) (0 ) ( ).
F (x , y ) f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 y ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ( x 0 )
( x0 x )
( y 0 x ) ( y 0 ) ( y 0 3 y ) y
(n)
1 2!
( 0 )
(n1)
(0)
1 ( n 1 )!
( ), ( 0 1 ).
将 ( 0 ) f ( x 0 , y 0 ) , (1 ) f ( x 0 h , y 0 k ) 及 上面求得的 ( t ) 直到 n 阶导数在 t 0 的值,以及
n 2
(1 )
其中
Rn k h ( n 1 )! x y 1
n1
f ( x 0 h , y 0 k ), (2)
( 0 1 ).
证毕
公 式 (1 ) 称 为 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的
( x x0 )
2 0
f
(n)
( x0 )
n!
n1
( x x0 )
多元函数Taylor公式与极值
4.1 多元函数的Taloy公式
定义 4.1 设 f ( x ) 是定义在区域 R n 内的 n 元函数，若 f 在
内连续，则称 f 是 上的 C (0) 类函数，记为 f C (0) () ，或
f C () ；若 f 在 内有连续的 m 阶偏导数，则称 f 是 上的 C ( m)
其中 ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
4.2 无约束极值、最大值与最小值
1. 无约束极值
定义 4.2 恒成立不等式 设 f : U (x0 ) Rn R ，若 x U ( x0 ) ，
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) ，则称 f 在点
（2）若 A 0, AC B2 0 ，则 H f ( P 0 ) 为极大值； 0 ) 负定，故 f ( P （3）当 AC B 2 0 ，则 H f ( P 0 ) 不是极值。 0 ) 不定，故 f ( P
求函数 z f ( x , y ) 的极值的步骤
f x ( x , y ) 0 （1） 解方程组 ，求出一切驻点； f y ( x , y ) 0
∴函数 f ( x , y ) 在点 (1, 1) 有极小值 f (1, 1) 1 .
2. 最大值与最小值
最值的求法 :
由于有界闭区域 D 上的连续函数必有最大值和最小值. 因此将函数在 D 内的所有驻点、偏导数不存在的点处的 函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，其 中最大(小)者即为函数在 D 上的最大(小)值.
驻点为 (0, 0), (1, 1).
f x x ( x, y ) 6 x,
f x y ( x, y) 3,
泰勒公式课件
x 2 x3 xn (1) n 1 解:因为 ln(1 x) x 2 3 n
(1) n x n1 n 1 n 1 (1 x)
(0 1)
x 1 所以 ln 1 x ln 2 x 1 ln 2 1 2 2 3 n x 1 1 x 1 1 x 1 n 1 1 x 1 x 1 ln 2 ln 1 1 ln 2 2 2 2 3 2 n 2 2
以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用
(1 x )
( 1) 1 x
x2
中经常遇到，应该熟记！
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结束
三、泰勒公式的应用
1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 例3:求 f x cos 2 x 的麦克劳林展开式.
2m x2 x4 m x cos x 1 (1) 解:因为 2! 4! ( 2 m) ! (1) m 1 cos( x) 2 m 2 (0 1) x
2. 又 x0 ( x x0 ) (0 1)
取 x0 0,
则余项
f ( n 1) (x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)!
f ( x 0 ) 2 ( x 0 )( x x 0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) f ( n 1) ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) n! n!
即 Rn ( x ) o[( x x0 )n ].
f ( x)
多元函数泰勒公式
( n1) (t )在 t 的值代入上式.即得
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) h k f ( x0 , y0 ) y x 1 h k f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 h k f ( x0 , y0 ) Rn , n! x y
3
2( x y )3 ,
又 f (0,0) 0 ,故
1 1 2 ln(1 x y ) x y ( x y ) ( x y )3 R3 , 2 3
其中
1 R3 x y f ( x , y ) 4! x y 4 1 ( x y) (0 1). 4, 4 (1 x y )
1. 空间曲线的切线与法平面
x x( t ) 1) y y( t ) z z(t )
切向量 T { x(t ), y(t ), z(t )}
y ( x) 2) z ( x)
切向量 T {1, ( x ), ( x )}
由 (t ) 的定义及多元复合函数的求导法则，可得
( t ) hf x ( x0 ht , y0 kt ) kf y ( x0 ht , y0 kt ) h k f ( x0 ht , y0 kt ), y x
( t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
练习题答案
一、 ( x , y ) 5 2( x 1)2 ( x 1)( y 2) ( y 2)2． f
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F ′(t ) = hf x ( x0 + ht , y0 + kt ) + kf y ( x0 + ht , y0 + kt ) = h + k f ( x0 + ht , y0 + kt ), y x
F ′′(t ) = h 2 f xx ( x0 + ht , y0 + kt ) +2hkf xy ( x0 + ht , y0 + kt ) + k 2 f yy ( x0 + ht , y0 + kt ) = h + k f ( x0 + ht , y0 + kt ), y x
n +1
n
( n +1)
f ( x0 + θ h, y0 + θ k ),
1 把上面各式代入F (1) = F (0) + F ′(0)t + F ′′(0)t 2 + L 2! 1 (n) 1 n + F (0)t + F ( n +1) (θ )t n +1 , (0 < θ < 1).有 ( n + 1)! n!
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. 二元函数的拉格朗日中值公式
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例 1 求函数 f ( x , y ) = ln(1 + x + y ) 的三阶麦
克劳林公式.
解: 因为f x ( x, y ) = f y ( x, y ) =
证明: 证明:引入函数
F (t ) = f ( x0 + ht , y0 + kt ),
(0 ≤ t ≤ 1).
则F(t)是关于t的一元函数,在t=0的邻域内有n+1阶 F(t)是关于t的一元函数 t=0的邻域内有n+1阶 是关于 的邻域内有n+1 导数,利用一元函数的麦克劳林公式, 导数,利用一元函数的麦克劳林公式,得
1 ′(0)t + F ′′(0)t 2 + L F (1) = F (0) + F 2! 1 (n) 1 ( n +1) n n +1 + F (0)t + F (θ )t , (0 < θ < 1). (n + 1)! n!
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特别地,当t=1时,有 1 F (1) = F (0) + F ′(0) + F ′′(0) + L 2! 1 (n) 1 + F (0) + F ( n +1) (θ ), (0 < θ < 1). n! ( n + 1)!
n +1 n 2
f ( x0 + θ h, y0 + θ k ), 证明完毕,
(0 < θ < 1)
上面式子称为二元函数f ( x, y)在点( x0 , y0 )的n阶泰勒公式
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1 令 Rn = h x + k y ( n + 1)!
1 1 2 ln(1 + x + y ) = x + y ( x + y ) + ( x + y )3 + R3 , 2 3
其中
1 R3 = x + y f (θ x , θ y ) y 4! x 1 ( x + y )4 = , (其中0 < θ < 1). 4 4 (1 + θ x + θ y )
m
n +1
f ( x0 + θ h, y0 + θ k ),
(0 < θ < 1)
m m p p m p f (x0 , y0 ) 记 : h + k f (x0 , y0 ) = ∑Cmh k 号 . p m p y x y p=0 x
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n +1
f ( x0 + θ h, y0 + θ k ),
(0 < θ < 1)
我 们 称 R n 为 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 )的 拉 格 朗 日 余 项 .
当 n = 0时 , 泰 勒 公 式 变 为 : f ( x0 + h , y0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + hf x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + kf y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k )
对于二元函数z = f ( x, y ), 我们也可以给出相应的公式.
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定理 1
设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且
有直到 n + 1 阶的连续偏导数,如果 ( x 0 + h, y 0 + h) 为 此邻域内任一点,则有
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f ( x0 + h, y0 + k ) = f ( x0 , y0 ) + h + k f ( x0 , y0 ) y x 1 + h + k f ( x0 , y0 ) + L 2! x y 1 + h + k f ( x0 , y0 ) n ! x y 1 + h x + k y ( n + 1)!
LL LL
2
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n +1 f p ( n +1) F (t ) = ∑ C n +1h p k n +1 p p n +1 p x y p =0
n +1
( x0 + ht , y0 + kt )
= h + k y x
从而
1
n +1
f ( x0 + ht , y0 + kt ).
′(0) = h F +k f ( x0 , y 0 ), y x F ′′(0) = h +k f ( x0 , y 0 ), y x
2
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F F
(n)
(0) = h + k f ( x0 , y0 ), y x (θ ) = h + k y x
2
2
x + y f (0,0) = x 3 f xxx (0,0) + 3x 2 yf xxy (0,0) x y + 3xy 2 f xyy (0,0) + y 3 f yyy (0,0) = 2( x + y )3 ,
3
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又 f ( 0,0 ) = 0 , 故
( p = 0,1,2,3,4),
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∴ x + y f (0,0) = xf x (0,0) + yf y (0,0) = x + y , y x
x x + y y f (0,0) 2 2 = x f xx (0,0) + 2 xyf xy (0,0) + y f yy (0,0) = ( x + y ) ,
f ( x0 + h, y0 + k ) = f ( x0 , y0 ) + h + k f ( x0 , y0 ) y x
2 n
1 1 + h + k f ( x0 , y0 ) + L+ h + k f ( x0 , y0 ) 2! x y n! x y 1 + h x + k y (n + 1)!
显 然 : F (0 ) = f ( x0 , y 0 ), F (1 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) .
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由F(t)的定义及多元复合函数的求导法则,可得 F(t)的定义及多元复合函数的求导法则, 的定义及多元复合函数的求导法则
4
�
1 , 1+ x + y
1 f xx ( x , y ) = f xy ( x , y ) = f yy ( x , y ) = , 2 (1 + x + y ) 2! 3 f , = ( p = 0,1,2,3), p 3 p 3 (1 + x + y ) x y
3! 4 f , = p 4 p 4 (1 + x + y ) x y
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§6 多元函数的泰勒公式
在讨论一元函数的时候我们给出了一元函数y=f(x)的点x0处的 , n阶泰勒公式 . f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) + (x x0 )2 +L +L 2! f (n) (x0 ) f (n+1) (x0 +θ(x x0 )) + (x x0 )n + (x x0 )n+1, n! n +1! (其中 <θ <1) 0