2015年考研数学(二)真题与答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2x.+∞⎰(B) 2ln d xx.x+∞⎰(C) 21d ln x.x x+∞⎰(D) 2d e xx x.+∞⎰【答案】(D) 【解析】()d 1e e xx x x x ,-=-+⎰则()()2222d 1e3e lim 1e 3e e x x x x x x x x .+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰(2) 函数()20sin lim 1x tt t f x x →⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】()220sin lim0sin lim 1ee 0t x t x tx x tt t f x ,x ,x →→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭故()f x 有可去间断点0x =.(3) 设函数()()1cos 00000x ,x f x ,x,x αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩,若()f x '在0x =处连续则 ( ) (A) 0.αβ-> (B) 01.αβ<-≤ (C) 2.αβ-> (D) 02.αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()()()1000001cos10lim lim cos x x f x ,f ,x x f x .x xαβαβ++--+→→'='=-'==0x >时，()()()1111111cos1sin 11cos sin f x x x x x x x x .x xααβββααβββαβαβ-+---'=+--=+()f x '在0x =处连续，则()()1100lim cos 010x f f x .xαβα+--+→''===⇒-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x ,x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭则10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()f x ''的图形如图所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】观察图像，二阶导数有两次变号，则拐点个数为2个. (5) 设函数(),f u v 满足22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v f u==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,0.2 (B) 10,.2 (C) 1,0.2- (D) 10,.2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uvx y v v==++，从而22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭变为()()2221111u v u uv f u,v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()2221211u v f f u ,u v v v -∂∂==-∂+∂+，因而 111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.选（D ）.(6) 设D 是第一象限由曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r r θθθθθ⎰⎰(B)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r r θθθ⎰(C)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r θθθθθ⎰⎰(D)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r θθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为ππ43D (r,)r θθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以π3π4(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵22111112,.14a d a d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b =若集合{}12,,Ω=则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) a ,d .∉Ω∉Ω (B) a ,d .∉Ω∈Ω (C) a ,d .∈Ω∉Ω (D) a ,d .∈Ω∈Ω【答案】(D)【解析】()()()()()221111111112011114001212,a d a d ,ad a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A b由()()r r 3,,=<A A b 故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）.(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232.y y y -+ (B) 2221232.y y y +- (C) 2221232.y y y -- (D) 2221232.y y y ++【答案】(A)【解析】由=x Py ，故()T T T 2221232f y y y .===+-x Ax y P AP y且T 200010001.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P AP由已知可得:100001010⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P PC,故有()T T T 200010001,⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q AQ C P AP C所以()T T T 2221232f y y y .===-+x Ax y Q AQ y .选（A ）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t,y t t =⎧⎨=+⎩则 212d d t yx ==【答案】48 【解析】()2222d d 33d 31d 1d d 1yy tt t x xt t +===++()()()()2222222222d 31121d d d 31121d 1d d d 1t t t y t t t t x x x tt ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+===+⎢⎥⎣⎦+221d 48d t y .x ==(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得()()()()()(2)2220(1)0222ln 2(1)ln 2.2n n n n x nx n n fCn n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()2d x x x f t t ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知()()2d x x x f t t ϕ=⎰，求导得2220()()d 2()x x f t t x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()d 1,(1)12(1)5,f t t f ϕϕ=='=+=⎰则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】2e2e xx -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为：212e e x x y C C -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22e e.xxy -=+(13)若函数(),Z z x y =由方程23e 1x y zxyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3e )e ,x y z x y z zxy yz x++++∂+=--∂ 2323(3e )2e .x y z x y z zxy xz y++++∂+=--∂ 将（0,0,0）点值代入即有(0,0)(0,0)12,.33z z xy∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121d |d d d 2d .333z x y x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2=-+B A A E ，其中E 为3阶单位阵，则行列式=B . 【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1,-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121.=⨯⨯=B .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+，由等价无穷小的定义得()()()()()302333330234330ln 1sin 1lim236lim 1236lim x x x x a x bx xkx x x x x a x o x bx x o x kx a a b a x b x x x o x .kx→→→+++=⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭=可得10,1,10,,2211,.33a a a b b a k k ⎧⎧⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪-=⇒=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩方法二：由等价无穷小的定义得()()320ln 1sin 1lim1sin cos 1lim 3x x x a x bx xkx ab x bx x x kx →→+++=++++=洛必法达则 因为分子的极限为0，则1a =-，继续使用洛必达法则得()212cos sin 1lim16x b x bx x x ,kx→--+-+=分子的极限为0，12b =-，再次使用洛必达法则得 ()22sin sin cos 111lim1633x b x b x bx xx k .kk →----+=-=⇒=- 故111,,.23a b k =-=-=- (16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段πsin (0)2y A x x =≤≤及直线0y =，π2x =所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得πππ22222222101cos 2ππ()d π(sin )d πd ,24x A V f x x A x x Ax -====⎰⎰⎰ππ22202π()d 2πd cos 2π.V xf x x A x x A ==-=⎰⎰由题,V V 21=求得8A .π= (17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(,)2(1)e ,(,0)(1)e ,(0,)2,x x xyx f x y y f x x f y y y '''=+=+=+求 (,)f x y 的极值.【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】(,)2(1)e xxyf x y y ''=+两边对y 积分，得 221(,)2()e ()(2)e (),2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++故(,0)()(1)e x x f x x x φ'==+， 求得()e (1)x x x φ=+，故2(,)(2)e e (1)x x x f x y y y x '=+++，两边关于x 积分，得22222(,)(2)e e (1)d (2)e (1)de (2)e (1)e e d (2)e (1)e e C (2)e e C,x x x xx x x x x x x x f x y y y x xy y x y y x x y y x y y x =+++=+++=+++-=+++-+=+++⎰⎰⎰ 由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C所以2(,)(2)e e .xxf x y y y x =++令2(2)e e e 0,(22)e 0,x x xx xy f y y x f y '⎧=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩求得⎩⎨⎧-==10y x . 又2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e ,x x x xxx xyx yyf y y x f y f ''=+++''=+''=当1,0-==y x 时，(0,1)1,B (0,1)0,(0,1)2,xxxy yy A f f C f ''''''=-==-==-= 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y xy y x =+≤≥【答案】π245- 【解析】221201220π122400ππ2224200()d d d d 2d d 2)d 22222sin 2cos d 5522π22sin 2d sin d .5545DDxx t u t x x y x y x x y x yx x xx x t t t t t u u =+====--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21x f x t t =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值. 而11224112241()2,f t t t tt t t =+=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰在1(,1)2故11220,t t -<⎰⎰从而有1()0.2f <2221111lim()lim[],lim()lim[]lim[],xxx xx x xxx x xf x t tf x t t t t→-∞→-∞→+∞→+∞→+∞=+=+∞=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim,xx xt==+∞所以lim()xf x→+∞=+∞.所以函数()f x在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C︒的物体在20C︒的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C︒，若要将该物体的温度继续降至21C︒，还需冷却多长时间？【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为()x t，比例常数为(0)k>，介质温度为m,则d()dxk x mt=--，从而()e.ktx t C m-=+(0)120,20x m==，所以100C=，即()100e20.ktx t-=+又1()30,2x=所以2ln10k=，所以11()20.100tx t-=+当21x=时，t=１，所以还需要冷却30min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x在区间[]+a∞，上具有2阶导数，()0f a=，()0f x'>，()0f x''>，设b a>，曲线()y f x=在点()(),b f b处的切线与x轴的交点是()x，，证明0a x b<<.【证明】根据题意得点(,())b f b处的切线方程为()()()y f b f b x b'-=-令0y=，得()()f bx bf b=-'因为(x)0f'>所以(x)f单调递增，又因为(a)0f=，所以(b)0f>.又因为()0f b'>，所以(),()f bx b bf b=-<'又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间(),a b 上应用拉格朗日中值定理有 ()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈- 所以0()()()()()().()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为()0f x ''>所以(x)f '单调递增，所以()()f b f ξ''>.所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 且3=A O . ()I 求a 的值；()II 若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，E 为3阶单位阵，求X .【解析】()I323100100111100.011a a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-A O A()II 由题意知()()()()()()()()()222211122212,A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--X XA AX AXA E X E A X E A EE A X E A E X E A E A E A E A X E A A 2011111,112-⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦E A A011100111010111010011100112001112001111010111010011100011100021011001211110201100010111010001211001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥→-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦312111.211-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故312111.211-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦X(23) (本题满分11分)设矩阵02313312a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 相似于矩阵12000031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =.()I 求,a b 的值；()II 求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】()I ()()tr tr 311~a b ,⇒=⇒+=++A B A B0231201330012031b ,a --=⇒--=-A B则有14235a b ,a ,a b ,b .-=-=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩()II 思路一：由()I 知023133.124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于矩阵A 相似于矩阵B ，所以()()215,λλλλ-=-=--E A E B故A 的特征值为1231, 5.λλλ===当121λλ==时，由方程组()-=0E A x ，得线性无关的特征向量T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ当35λ=时，由方程组(5)-=0E A x ，得线性无关的特征向量T 3(1,1,1).=--ξ令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP P 为所求可逆矩阵.思路二：023100123133010123124001123---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=+--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E C, []12311231123.1231---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦C C 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)-=0E C x 的基础解系为T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ 5λ=时(4)-=0E C x 的基础解系为T 3(1,1,1).=--ξ A 的特征值1:1,1,5.A C λλ=+令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.。