概率论与数理统计第一章第三节(概率统计)
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用概率的统计定义来估计概率的方法, 在过去和现在解决了不少问题, 但它们 在理论上存在缺陷, 在应用上也有局限性. 例如, 在实际问题中往往无法满足概率 统计定义中要求的试验次数的“充分大”, 也 不清楚试验次数应该大到什么程度, 因此概率 的统计定义不能作为数学意义上的定义.
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我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一
次试验中发生的可能性的大小.
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2. 概率重要性质 概率的一些重要性质:
性质4 P( )=0.
证
令An= , n=1,2,…, 则 An = .
n 1
并且AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).由概率的可列可 加性得 P()= P An P( An ) P(). n1 n1 n 1 由概率的非负性知P()≥0,因此,由上式得到 P( )=0. 上页 下页 返回
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讲评 “频率”与“概率”的区别：
(1) 事件的频率与概率有着本质区别: 频率具有随机波动性,是一个变数; 而概率是 一个常数,具有客观性.
(2) 概率的统计定义只是一种描述, 它指 出了事件的概率是客观存在的, 随着试验次数 的增加,频率在概率附近摆动. 因此,在实际问 题中,当试验的次数n很大时, 频率通常作为概 率的近似值.
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比如,一个箱子中装有100只产品, 其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意 拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到
次品的可能性大. 假如这100只产品中的合
格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到
次品的可能性就大致相同.
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所以,一个事件发生的可能性大小是它 本身所固有的一种客观的度量.很自然, 人们希望用一个数来描述事件发生的可能性 大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大; 事件发生可能性小的,这个数就小.
为此,我们引入熟悉的“频率”的概念, 它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度, 进而引出表征事件在一次试验中发生的可能 性大小的数量指标——概率.
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Leabharlann Baidu
1. 频率 定义1 在相同的条件下，进行了n次试验,
在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事
nA 件A发生的频数；比值 n
称为事件A发生的
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1.3.4 建立理论
1. 概率的公理化定义
定义3 设E是随机试验,Ω是E的样本空间, 若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A) 与之对应,如果集合函数P(· )满足下列条件： (1)非负性：对于每一事件A, 有0≤P(A)； (2)规范性：对必然事件Ω, 有P(Ω)=1； (3)可列可加性：对于两两互不相容的可列 无穷多个事件A1,A2,…,An,…, 有
P (A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+… (1.3.1)
则实数P(A)称为事件A的概率.
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对上面讲过的“频率”定义、 “概率统计”定义都满足这个定义中的条件
要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情
形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频
率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A). 因此,
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
内容简介: 通过借助于熟悉的频率及
其性质,引出概率的统计定义,建立概率的
公理化定义,在此概念基础上,研究概率的
有限可加性、差事件和对立事件的概率计
算公式、概率加法公式等重要理论。
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1.3.1 提出问题
1.大量的重复试验后,事件发 生的可能性有大有小,怎样来认识 和刻画它？
fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B).
经验表明：虽然n次试验中, 事件A出现 的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当 试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个 常数附近摆动. 用这个常数来表示事件A发 生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将 给出概率统计定义的客观基础.
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2. 概率的统计定义 定义2 在试验条件不变的情况下，重复作 n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p 附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验 中发生的概率，记作P(A). 即P(A)=p. 数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的 可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2 是概率的统计定义. 例如,在引例中就可以用 0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现 的可能性大小.
性质5(加法公式)对于两两互不相容的n 个事件A1,A2,…,An, 则有
P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An) (1.3.2)
证
令An+1= An+2=…= , 由假设即得 AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).
频率,并记为fn(A).
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引例 在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的 硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在
历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据.
表1-2 掷硬币试验数据 实验者 蒲 丰 投掷次数n 4040 12000
实验者 资料
出现正面次数nA 频率 (频数) 2048 6019
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关 系吗? 可以给我们哪些启示呢？
1.3.3 预备知识
1. 频数, 频率, 掷币试验的频率.
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1.3.3 问题分析
我们观察一项随机试验所发生 的各个事件,就其一次具体的试验 而言,每一事件出现与否都带有很 大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某 些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生 的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致 相同.
nA n
0.5080 0.5016
皮尔逊
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
24000
80640
12012
40961
0.5005
0.5077
上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定 上页 下页 返回 于0.5.
频率具有下列性质： 性质1 非负性: 0≤fn(A)≤1. 性质2 规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1. 性质3 可加性:若A,B互不相容,则
用概率的统计定义来估计概率的方法, 在过去和现在解决了不少问题, 但它们 在理论上存在缺陷, 在应用上也有局限性. 例如, 在实际问题中往往无法满足概率 统计定义中要求的试验次数的“充分大”, 也 不清楚试验次数应该大到什么程度, 因此概率 的统计定义不能作为数学意义上的定义.
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我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一
次试验中发生的可能性的大小.
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2. 概率重要性质 概率的一些重要性质:
性质4 P( )=0.
证
令An= , n=1,2,…, 则 An = .
n 1
并且AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).由概率的可列可 加性得 P()= P An P( An ) P(). n1 n1 n 1 由概率的非负性知P()≥0,因此,由上式得到 P( )=0. 上页 下页 返回
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讲评 “频率”与“概率”的区别：
(1) 事件的频率与概率有着本质区别: 频率具有随机波动性,是一个变数; 而概率是 一个常数,具有客观性.
(2) 概率的统计定义只是一种描述, 它指 出了事件的概率是客观存在的, 随着试验次数 的增加,频率在概率附近摆动. 因此,在实际问 题中,当试验的次数n很大时, 频率通常作为概 率的近似值.
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比如,一个箱子中装有100只产品, 其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意 拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到
次品的可能性大. 假如这100只产品中的合
格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到
次品的可能性就大致相同.
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所以,一个事件发生的可能性大小是它 本身所固有的一种客观的度量.很自然, 人们希望用一个数来描述事件发生的可能性 大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大; 事件发生可能性小的,这个数就小.
为此,我们引入熟悉的“频率”的概念, 它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度, 进而引出表征事件在一次试验中发生的可能 性大小的数量指标——概率.
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1. 频率 定义1 在相同的条件下，进行了n次试验,
在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事
nA 件A发生的频数；比值 n
称为事件A发生的
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1.3.4 建立理论
1. 概率的公理化定义
定义3 设E是随机试验,Ω是E的样本空间, 若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A) 与之对应,如果集合函数P(· )满足下列条件： (1)非负性：对于每一事件A, 有0≤P(A)； (2)规范性：对必然事件Ω, 有P(Ω)=1； (3)可列可加性：对于两两互不相容的可列 无穷多个事件A1,A2,…,An,…, 有
P (A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+… (1.3.1)
则实数P(A)称为事件A的概率.
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对上面讲过的“频率”定义、 “概率统计”定义都满足这个定义中的条件
要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情
形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频
率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A). 因此,
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
第一章 随机事件与概率
1.3 频率与概率
内容简介: 通过借助于熟悉的频率及
其性质,引出概率的统计定义,建立概率的
公理化定义,在此概念基础上,研究概率的
有限可加性、差事件和对立事件的概率计
算公式、概率加法公式等重要理论。
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1.3.1 提出问题
1.大量的重复试验后,事件发 生的可能性有大有小,怎样来认识 和刻画它？
fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B).
经验表明：虽然n次试验中, 事件A出现 的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当 试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个 常数附近摆动. 用这个常数来表示事件A发 生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将 给出概率统计定义的客观基础.
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2. 概率的统计定义 定义2 在试验条件不变的情况下，重复作 n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p 附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验 中发生的概率，记作P(A). 即P(A)=p. 数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的 可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2 是概率的统计定义. 例如,在引例中就可以用 0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现 的可能性大小.
性质5(加法公式)对于两两互不相容的n 个事件A1,A2,…,An, 则有
P(A1∪A2∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+…+P(An) (1.3.2)
证
令An+1= An+2=…= , 由假设即得 AiAj= (i≠j, i, j =1, 2,…).
频率,并记为fn(A).
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引例 在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的 硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在
历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据.
表1-2 掷硬币试验数据 实验者 蒲 丰 投掷次数n 4040 12000
实验者 资料
出现正面次数nA 频率 (频数) 2048 6019
2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关 系吗? 可以给我们哪些启示呢？
1.3.3 预备知识
1. 频数, 频率, 掷币试验的频率.
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1.3.3 问题分析
我们观察一项随机试验所发生 的各个事件,就其一次具体的试验 而言,每一事件出现与否都带有很 大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某 些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生 的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致 相同.
nA n
0.5080 0.5016
皮尔逊
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
24000
80640
12012
40961
0.5005
0.5077
上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定 上页 下页 返回 于0.5.
频率具有下列性质： 性质1 非负性: 0≤fn(A)≤1. 性质2 规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1. 性质3 可加性:若A,B互不相容,则